卷子答案网-一个不只有答案的网站贵州省遵义航天高级中学2017-2018学年高三上学期理数第四次模拟考试试卷
一、单选题
1．（2018·遵义模拟）已知全集 ， ， ，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】 ，阴影部分为 ，
故答案为：C．
【分析】本题通过一元二次不等式求出集合N,再利用维恩图表示的阴影部分求出所求的集合。
2．（2018·遵义模拟）若函数 ，则 （ ）
A． B．e C． D．
【答案】A
【知识点】函数的值
【解析】【解答】因为函数 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，
所以 ，
即 ，
故答案为：A.
【分析】本题利用分段函数的解析式，根据x的取值范围找出对应的函数的解析式代入求出函数值。
3．（2018高二上·深圳期中）等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 等于（ ）
A．58 B．54 C．56 D．52
【答案】D
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】 ，得 ,
.
故答案为：D.
【分析】根据等差数列的性质，求出 ,结合等差数列前n项和公式及性质，即可求出S13=13a7=52.
4．（2018·遵义模拟）函数 在 上的最小值为（ ）
A．4 B．1 C． D．
【答案】C
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：因为 ，在[0,2]上递减，在[2,3]上递增，因此可知函数在给定区间的最小值为x=2时取得，且为 ，
故答案为：C
【分析】本题利用导数判断函数的单调性，从而求出给定区间的最小值。
5．（2018·遵义模拟）有如下关于三角函数的四个命题：
， ， ，
， ， 若 ，则
其中假命题的是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】A
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】 ： ，都有 ，故 错误；
： 时满足式子，故 正确；
： ， ，且 ，所以 ，故 正确；
： ， ，故 错误；
故答案为：A.
【分析】本题利用全称命题和特称命题的真假性的判断找出假命题。
6．（2015高三上·滨州期末）设x，y满足 ，则z=x+y（ ）
A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值
C．有最大值3，无最小值 D．既无最小值，也无最大值
【答案】B
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解析：如图作出不等式组表示 的可行域，如下图所示：
由于z=x+y的斜率大于2x+y=4的斜率，
因此当z=x+y过点（2，0）时，z有最小值，
但z没有最大值．
故选B
【分析】本题考查的知识点简单线性规划问题，我们先在坐标系中画出满足约束条件 对应的平面区域，根据目标函数z=x+y及直线2x+y=4的斜率的关系，即可得到结论．
7．（2018·遵义模拟）平面向量 ， 共线的充要是（ ）
A． ， 方向相同
B． ， 两向量中至少有一个为零向量
C． ，
D．存在不全为零的实数私 ， ，
【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】若 均为零向量，则显然符合题意，
且存在不全为零的实数 ，使得 ；
若 ，则由两向量共线知，存在 ，使得 ，
即 ，符合题意，
故答案为：D.
【分析】本题利用向量共线定理找出两向量共线的充要条件。
8．（2018·遵义模拟）已知 为等比数列, , ,则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】 ，由等比数列性质可知 .
故答案为：D
【分析】本题利用等比数列的性质求出等比数列第一项和第十项的和。
9．（2018·遵义模拟）若 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】因为 ，
故答案为：C.
【分析】本题利用正切的和差角公式求值。
10．（2018·遵义模拟）将函数 的图象向左平移 个单位长度后，所得到的图象关于 轴对称，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】
所以图象向左平移 个单位长度得到 ，
因为所得的图象关于y轴对称，
所以 ，
则 的最小值为 ，
故答案为：B.
【分析】本题利用辅助角公式化简函数解析式，再利用三角型函数图象的变换求出m的最小值。
11．（2018·遵义模拟）设曲线 （e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为 ，总存在曲线 上某点处的切线 ，使得 ，则实数 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；用斜率判定两直线垂直
【解析】【解答】因为 ，所以直线 的斜率分别为 ，则由题设可得 ，即 ，又因为对任意 ，都有 ，故 存在 使得 ，即存在 使得 ，故 ，即 ，
故答案为：D 。
【分析】本题利用导数分别求出两个曲线的切线方程，再利用两条切线互相垂直，从而得到两切线斜率之积等于-1,从而求出a的取值范围。
二、填空题
12．（2018·遵义模拟）在 中，AB=3，AC=4，BC=3，D为BC的中点，则AD= ．
【答案】
【知识点】余弦定理的应用
【解析】【解答】在 中，根据余弦定理，可得 ，
在 中，根据余弦定理，可得 ，
所以 ，故答案是 .
【分析】本题利用余弦定理求出线段AD的长度。
13．（2018·遵义模拟）某公司招聘员工，以下四人中只有一人说真话，只有一人被录用，甲：我没有被录用；乙：丙被录用；丙：丁被录用；丁：我没有被录用．根据以上条件，可以判断被录用的人是 ．
【答案】乙
【知识点】进行简单的演绎推理
【解析】【解答】 由题意，若甲说的是真话，即丙被录用，则乙、丙、丁都说的是假话，与乙是矛盾的；
若乙说的是真话，此时丙与丁是矛盾的；
若丙说的是真话，此时甲、乙、丁说的都是假话，此时推得乙被录用；
若丁说的是真话，此时丁与丙是矛盾的，
综上可推得被录用的人是乙.
【分析】本题利用演绎推理的方法判断出被录用的人。
14．（2018·遵义模拟）已知函数 有两个零点，则实数b的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由函数 有两个零点，得 有两个不等的根，即函数 与函数 的图象有两个交点，如图，由图可得 ．
【分析】本题利用函数零点和方程的根以及函数图象与x轴交点横坐标的等价关系，借助两函数图象的交点的个数，求出实数b的取值范围。
15．（2018·遵义模拟）如图，在同一个平面内，向量 ， ， 的模分别为1，1， ，且 与 的夹角为 ， ， 与 的夹角为 ，若 ，则 ．
【答案】3
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】如图所示，建立直角坐标系，
，由 于 的夹角为 ，且 ，
所以 ，所以 ，
， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，解得 ，则 ，
故答案是3.
【分析】本题利用角的余弦值求出角的正弦值，再利用余弦的和角公式求出两角的余弦值，再利用平面向量基本定理求出m+n的值。
三、解答题
16．（2018·遵义模拟）已知数列 中， 且 .
（1）求 ， ，并证明 是等比数列；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1）解：由已知
， ， ，即 ，
因为 ，所以 是以2为公比的等比数列
（2）解：由（1）得 ，即 ，
所以 ，
设 ，且前 项和为 ，
所以 ， ①
， ②
①－②得
所以 ， ．
【知识点】等比关系的确定
【解析】【分析】（1）本题利用数列递推公式结合已知条件求出数列第二项和第三项的值，再利用等比数列的定义证出所求数列是等比数列。
（2）本题利用已知数列与所求数列通项公式的关系式，用已知数列求出所求数列的通项公式，再利用错位相减的方法求出所求数列的前n项和。
17．（2018·遵义模拟）从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
（1）求这500件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差 （同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数 ， 近似为样本方差 ．
（i）利用该正态分布，求 ；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间 的产品件数，利用（i）的结果，求E（X）．
附： ．
若 ，则 ， ．
【答案】（1）解：抽取产品质量指标值的样本平均数 和样本方差 分别为
，
（2）解：（i）由（Ⅰ）知 ，
从而 ,
(ii)由（i）知，一件产品中质量指标值位于区间 的概率为 ，依题意知 ，所以
【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征；离散型随机变量的期望与方差；正态密度曲线的特点；概率的应用
【解析】【分析】（1）本题利用样本数据的频率分布直方图，结合样本平均数和方差的求解公式求出样本的平均数和样本的方差。
（2）本题第一问利用离散型随机变量满足正态分布，从而求出满足要求的概率。本题第二问利用满足正态分布的离散型随机变量求出相应的分布列，从而利用满足正态分布的离散型随机变量的分布列结合相应的期望公式求出期望值。
18．（2018·遵义模拟）如图，四棱锥 中，底面 为菱形， ， 为等边三角形．
（1）求证： ．
（2）若 ， ，求二面角 的余弦值．
【答案】（1）证明：因为底面ABCD为菱形，且 ，所以 为等边三角形．如下图，作 ，则E为AD的中点．
又因为 为等边三角形，所以 ．
因为PE和BE为平面PBE内的两条相交的直线，所以直线 平面PBE，
又因为PB为面PBE内的直线，所以
（2）解： 为等边三角形，边长为2，
，所以 ， ，
因为 ，
所以 面 ，
如图建立空间直角坐标系 ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，
，即 ，即 ，
取 ，则 ， ，
设平面 的法向量为 ，
，即 ，即 ，
取 ，则 ， ，
因为 ，
设二面角 的平面角为 ，则有 .
【知识点】直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）本题根据四棱锥的结构特征和已知条件，用线面垂直的性质定理证出线线垂直。
（2）本题利用空间向量的方法求出二面角的平面角的余弦值。
19．（2018·遵义模拟）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为 ， ，且 ，点 在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过 的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且 的面积为 ，求以 为圆心与直线l相切的圆的方程．
【答案】（1）解：设椭圆的方程为 =1（a>b>0），由题意可得：
椭圆C两焦点坐标分别为F1（-1；0），F2（1，0）.
所以2a=
所以a=2，又c=1，b2=4-1=3，
故椭圆的方程为 .
（2）解：当直线l⊥x轴，计算得到：A（-l，- ），B（-1， ）， ，不符合题意.
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=k（x+1），
由 消去y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0, 显然△>0成立，设A（x1,y1），B（x2,y2）， 则x1+x2= ，x1·x2= ， 又|AB|= , 即|AB|= ， 又圆F2的半径r= ， 所以 ， 化简，得17k4+k2-18=0， 即（k2-1）（17k2+18）=0，解得k=±1， 所以，r= ，故圆F2的方程为：（x-1）2+y2=2.
【知识点】圆的标准方程；椭圆的标准方程
【解析】【分析】（1）本题利用椭圆的定义结合椭圆中a,b,c三者的关系式，从而求出a.b的值，最后求出椭圆的标准方程。
（2）本题利用直线与圆相交的位置关系联立二者方程求出交点A和B的坐标，再利用三角形面积公式求出椭圆的右焦点坐标，从而求出所求圆的圆心，再利用直线l与圆相切位置关系判断方法，即圆心到直线l的距离等于圆的半径，从而求出圆的半径，最后利用圆心和圆的半径求出圆标准方程。
20．（2018·遵义模拟）已知函数 的两个零点为 ．
（1）求实数m的取值范围；
（2）求证： ．
【答案】（1）解： ，当 时， ，
在 上单调递增，不可能有两个零点；
当 时，由 可解得 ，由 可解得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
要使得 在 上有两个零点，则 ，解得 ，
则m的取值范围为 ．
（2）解：令 ，则 ，
由题意知方程 有两个根，
即方程 有两个根，
不妨设 ， ，令 ，
则当 时， 单调递增， 时， 单调递减，
综上可知， ，
要证 ，即证 ，即 ，即证 ，
令 ，下面证 对任意的 恒成立，
∵ ，∴ ，
∴
又∵ ，∴
∴ ，则 在 单调递增
∴ ，故原不等式成立．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；基本不等式在最值问题中的应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】(1)本题利用导数判断函数的单调性，再利用零点存在性定理求出m的取值范围。
（2）本题利用不等式恒成立问题的解决方法和函数的单调性证出不等式成立。
21．（2018·遵义模拟）在极坐标系中，圆C的极坐标方程为： ．若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求圆C的参数方程；
（2）在直角坐标系中，点 是圆C上动点，试求 的最大值，并求出此时点P的直角坐标．
【答案】（1）解：因为 ，
∴ ，
∴ ，即 为圆C的直角坐标方程．
所以所求的圆 的参数方程为 ( 为参数)
（2）解：由（Ⅰ）可得，
当 时，即点 的直角坐标为 时， 取到最大值为6.
【知识点】正弦函数的性质；圆的参数方程
【解析】【分析】（1）本题利用圆C的极坐标方程通过点的极坐标与直角坐标的互化公式求出圆的直角坐标方程，再利用圆的直角坐标方程转化为圆的参数方程。
（2）本题利用圆的参数方程表示圆上的点P的坐标，利用点P的坐标表示x+y,再利用辅助角公式化简x+y为三角型函数，最后利用三角型函数图象求出x+y的最大值。
22．（2018·遵义模拟）已知a，b，c为正数，且 ．
（1）求函数 的最小值 ；
（2）若 ，求 的最小值．
【答案】（1）解：∵
当且仅当 ，即 时，等号成立，
∴
（2）解：因为 ，
所以
，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
故 的最小值为
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；绝对值三角不等式
【解析】【分析】（1）本题利用绝对值三角不等式的性质求出函数的最小值，从而求出m的值。
（2）本题利用均值不等式求最值的方法求出的最小值。
贵州省遵义航天高级中学2017-2018学年高三上学期理数第四次模拟考试试卷
一、单选题
1．（2018·遵义模拟）已知全集 ， ， ，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2018·遵义模拟）若函数 ，则 （ ）
A． B．e C． D．
3．（2018高二上·深圳期中）等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 等于（ ）
A．58 B．54 C．56 D．52
4．（2018·遵义模拟）函数 在 上的最小值为（ ）
A．4 B．1 C． D．
5．（2018·遵义模拟）有如下关于三角函数的四个命题：
， ， ，
， ， 若 ，则
其中假命题的是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
6．（2015高三上·滨州期末）设x，y满足 ，则z=x+y（ ）
A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值
C．有最大值3，无最小值 D．既无最小值，也无最大值
7．（2018·遵义模拟）平面向量 ， 共线的充要是（ ）
A． ， 方向相同
B． ， 两向量中至少有一个为零向量
C． ，
D．存在不全为零的实数私 ， ，
8．（2018·遵义模拟）已知 为等比数列, , ,则 （ ）
A． B． C． D．
9．（2018·遵义模拟）若 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．
10．（2018·遵义模拟）将函数 的图象向左平移 个单位长度后，所得到的图象关于 轴对称，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
11．（2018·遵义模拟）设曲线 （e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为 ，总存在曲线 上某点处的切线 ，使得 ，则实数 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
12．（2018·遵义模拟）在 中，AB=3，AC=4，BC=3，D为BC的中点，则AD= ．
13．（2018·遵义模拟）某公司招聘员工，以下四人中只有一人说真话，只有一人被录用，甲：我没有被录用；乙：丙被录用；丙：丁被录用；丁：我没有被录用．根据以上条件，可以判断被录用的人是 ．
14．（2018·遵义模拟）已知函数 有两个零点，则实数b的取值范围是 ．
15．（2018·遵义模拟）如图，在同一个平面内，向量 ， ， 的模分别为1，1， ，且 与 的夹角为 ， ， 与 的夹角为 ，若 ，则 ．
三、解答题
16．（2018·遵义模拟）已知数列 中， 且 .
（1）求 ， ，并证明 是等比数列；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
17．（2018·遵义模拟）从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
（1）求这500件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差 （同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数 ， 近似为样本方差 ．
（i）利用该正态分布，求 ；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间 的产品件数，利用（i）的结果，求E（X）．
附： ．
若 ，则 ， ．
18．（2018·遵义模拟）如图，四棱锥 中，底面 为菱形， ， 为等边三角形．
（1）求证： ．
（2）若 ， ，求二面角 的余弦值．
19．（2018·遵义模拟）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为 ， ，且 ，点 在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过 的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且 的面积为 ，求以 为圆心与直线l相切的圆的方程．
20．（2018·遵义模拟）已知函数 的两个零点为 ．
（1）求实数m的取值范围；
（2）求证： ．
21．（2018·遵义模拟）在极坐标系中，圆C的极坐标方程为： ．若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求圆C的参数方程；
（2）在直角坐标系中，点 是圆C上动点，试求 的最大值，并求出此时点P的直角坐标．
22．（2018·遵义模拟）已知a，b，c为正数，且 ．
（1）求函数 的最小值 ；
（2）若 ，求 的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】 ，阴影部分为 ，
故答案为：C．
【分析】本题通过一元二次不等式求出集合N,再利用维恩图表示的阴影部分求出所求的集合。
2．【答案】A
【知识点】函数的值
【解析】【解答】因为函数 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，
所以 ，
即 ，
故答案为：A.
【分析】本题利用分段函数的解析式，根据x的取值范围找出对应的函数的解析式代入求出函数值。
3．【答案】D
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】 ，得 ,
.
故答案为：D.
【分析】根据等差数列的性质，求出 ,结合等差数列前n项和公式及性质，即可求出S13=13a7=52.
4．【答案】C
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：因为 ，在[0,2]上递减，在[2,3]上递增，因此可知函数在给定区间的最小值为x=2时取得，且为 ，
故答案为：C
【分析】本题利用导数判断函数的单调性，从而求出给定区间的最小值。
5．【答案】A
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】 ： ，都有 ，故 错误；
： 时满足式子，故 正确；
： ， ，且 ，所以 ，故 正确；
： ， ，故 错误；
故答案为：A.
【分析】本题利用全称命题和特称命题的真假性的判断找出假命题。
6．【答案】B
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解析：如图作出不等式组表示 的可行域，如下图所示：
由于z=x+y的斜率大于2x+y=4的斜率，
因此当z=x+y过点（2，0）时，z有最小值，
但z没有最大值．
故选B
【分析】本题考查的知识点简单线性规划问题，我们先在坐标系中画出满足约束条件 对应的平面区域，根据目标函数z=x+y及直线2x+y=4的斜率的关系，即可得到结论．
7．【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】若 均为零向量，则显然符合题意，
且存在不全为零的实数 ，使得 ；
若 ，则由两向量共线知，存在 ，使得 ，
即 ，符合题意，
故答案为：D.
【分析】本题利用向量共线定理找出两向量共线的充要条件。
8．【答案】D
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】 ，由等比数列性质可知 .
故答案为：D
【分析】本题利用等比数列的性质求出等比数列第一项和第十项的和。
9．【答案】C
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】因为 ，
故答案为：C.
【分析】本题利用正切的和差角公式求值。
10．【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】
所以图象向左平移 个单位长度得到 ，
因为所得的图象关于y轴对称，
所以 ，
则 的最小值为 ，
故答案为：B.
【分析】本题利用辅助角公式化简函数解析式，再利用三角型函数图象的变换求出m的最小值。
11．【答案】D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；用斜率判定两直线垂直
【解析】【解答】因为 ，所以直线 的斜率分别为 ，则由题设可得 ，即 ，又因为对任意 ，都有 ，故 存在 使得 ，即存在 使得 ，故 ，即 ，
故答案为：D 。
【分析】本题利用导数分别求出两个曲线的切线方程，再利用两条切线互相垂直，从而得到两切线斜率之积等于-1,从而求出a的取值范围。
12．【答案】
【知识点】余弦定理的应用
【解析】【解答】在 中，根据余弦定理，可得 ，
在 中，根据余弦定理，可得 ，
所以 ，故答案是 .
【分析】本题利用余弦定理求出线段AD的长度。
13．【答案】乙
【知识点】进行简单的演绎推理
【解析】【解答】 由题意，若甲说的是真话，即丙被录用，则乙、丙、丁都说的是假话，与乙是矛盾的；
若乙说的是真话，此时丙与丁是矛盾的；
若丙说的是真话，此时甲、乙、丁说的都是假话，此时推得乙被录用；
若丁说的是真话，此时丁与丙是矛盾的，
综上可推得被录用的人是乙.
【分析】本题利用演绎推理的方法判断出被录用的人。
14．【答案】
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由函数 有两个零点，得 有两个不等的根，即函数 与函数 的图象有两个交点，如图，由图可得 ．
【分析】本题利用函数零点和方程的根以及函数图象与x轴交点横坐标的等价关系，借助两函数图象的交点的个数，求出实数b的取值范围。
15．【答案】3
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】如图所示，建立直角坐标系，
，由 于 的夹角为 ，且 ，
所以 ，所以 ，
， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，解得 ，则 ，
故答案是3.
【分析】本题利用角的余弦值求出角的正弦值，再利用余弦的和角公式求出两角的余弦值，再利用平面向量基本定理求出m+n的值。
16．【答案】（1）解：由已知
， ， ，即 ，
因为 ，所以 是以2为公比的等比数列
（2）解：由（1）得 ，即 ，
所以 ，
设 ，且前 项和为 ，
所以 ， ①
， ②
①－②得
所以 ， ．
【知识点】等比关系的确定
【解析】【分析】（1）本题利用数列递推公式结合已知条件求出数列第二项和第三项的值，再利用等比数列的定义证出所求数列是等比数列。
（2）本题利用已知数列与所求数列通项公式的关系式，用已知数列求出所求数列的通项公式，再利用错位相减的方法求出所求数列的前n项和。
17．【答案】（1）解：抽取产品质量指标值的样本平均数 和样本方差 分别为
，
（2）解：（i）由（Ⅰ）知 ，
从而 ,
(ii)由（i）知，一件产品中质量指标值位于区间 的概率为 ，依题意知 ，所以
【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征；离散型随机变量的期望与方差；正态密度曲线的特点；概率的应用
【解析】【分析】（1）本题利用样本数据的频率分布直方图，结合样本平均数和方差的求解公式求出样本的平均数和样本的方差。
（2）本题第一问利用离散型随机变量满足正态分布，从而求出满足要求的概率。本题第二问利用满足正态分布的离散型随机变量求出相应的分布列，从而利用满足正态分布的离散型随机变量的分布列结合相应的期望公式求出期望值。
18．【答案】（1）证明：因为底面ABCD为菱形，且 ，所以 为等边三角形．如下图，作 ，则E为AD的中点．
又因为 为等边三角形，所以 ．
因为PE和BE为平面PBE内的两条相交的直线，所以直线 平面PBE，
又因为PB为面PBE内的直线，所以
（2）解： 为等边三角形，边长为2，
，所以 ， ，
因为 ，
所以 面 ，
如图建立空间直角坐标系 ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，
，即 ，即 ，
取 ，则 ， ，
设平面 的法向量为 ，
，即 ，即 ，
取 ，则 ， ，
因为 ，
设二面角 的平面角为 ，则有 .
【知识点】直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）本题根据四棱锥的结构特征和已知条件，用线面垂直的性质定理证出线线垂直。
（2）本题利用空间向量的方法求出二面角的平面角的余弦值。
19．【答案】（1）解：设椭圆的方程为 =1（a>b>0），由题意可得：
椭圆C两焦点坐标分别为F1（-1；0），F2（1，0）.
所以2a=
所以a=2，又c=1，b2=4-1=3，
故椭圆的方程为 .
（2）解：当直线l⊥x轴，计算得到：A（-l，- ），B（-1， ）， ，不符合题意.
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=k（x+1），
由 消去y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0, 显然△>0成立，设A（x1,y1），B（x2,y2）， 则x1+x2= ，x1·x2= ， 又|AB|= , 即|AB|= ， 又圆F2的半径r= ， 所以 ， 化简，得17k4+k2-18=0， 即（k2-1）（17k2+18）=0，解得k=±1， 所以，r= ，故圆F2的方程为：（x-1）2+y2=2.
【知识点】圆的标准方程；椭圆的标准方程
【解析】【分析】（1）本题利用椭圆的定义结合椭圆中a,b,c三者的关系式，从而求出a.b的值，最后求出椭圆的标准方程。
（2）本题利用直线与圆相交的位置关系联立二者方程求出交点A和B的坐标，再利用三角形面积公式求出椭圆的右焦点坐标，从而求出所求圆的圆心，再利用直线l与圆相切位置关系判断方法，即圆心到直线l的距离等于圆的半径，从而求出圆的半径，最后利用圆心和圆的半径求出圆标准方程。
20．【答案】（1）解： ，当 时， ，
在 上单调递增，不可能有两个零点；
当 时，由 可解得 ，由 可解得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
要使得 在 上有两个零点，则 ，解得 ，
则m的取值范围为 ．
（2）解：令 ，则 ，
由题意知方程 有两个根，
即方程 有两个根，
不妨设 ， ，令 ，
则当 时， 单调递增， 时， 单调递减，
综上可知， ，
要证 ，即证 ，即 ，即证 ，
令 ，下面证 对任意的 恒成立，
∵ ，∴ ，
∴
又∵ ，∴
∴ ，则 在 单调递增
∴ ，故原不等式成立．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；基本不等式在最值问题中的应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】(1)本题利用导数判断函数的单调性，再利用零点存在性定理求出m的取值范围。
（2）本题利用不等式恒成立问题的解决方法和函数的单调性证出不等式成立。
21．【答案】（1）解：因为 ，
∴ ，
∴ ，即 为圆C的直角坐标方程．
所以所求的圆 的参数方程为 ( 为参数)
（2）解：由（Ⅰ）可得，
当 时，即点 的直角坐标为 时， 取到最大值为6.
【知识点】正弦函数的性质；圆的参数方程
【解析】【分析】（1）本题利用圆C的极坐标方程通过点的极坐标与直角坐标的互化公式求出圆的直角坐标方程，再利用圆的直角坐标方程转化为圆的参数方程。
（2）本题利用圆的参数方程表示圆上的点P的坐标，利用点P的坐标表示x+y,再利用辅助角公式化简x+y为三角型函数，最后利用三角型函数图象求出x+y的最大值。
22．【答案】（1）解：∵
当且仅当 ，即 时，等号成立，
∴
（2）解：因为 ，
所以
，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
故 的最小值为
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；绝对值三角不等式
【解析】【分析】（1）本题利用绝对值三角不等式的性质求出函数的最小值，从而求出m的值。
（2）本题利用均值不等式求最值的方法求出的最小值。
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