卷子答案网-一个不只有答案的网站上海市七宝中学2020-2021学年高二上学期数学10月月考试卷
一、单选题
1．（2020高二上·上海月考）已知命题甲：非零向量 ， ， 满足 ；命题乙： ， ， 可以构成三角形，则甲是乙的（ ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．非充分非必要
【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】若 且 ， ， 共线，则 ， ， 不可以构成三角形，故甲不能推出乙；
在 中，若 ， ， ，则 ， ， 可以构成三角形，
但 ，
故 ， ， 可以构成三角形推不出 ；
所以甲是乙的非充分非必要条件.
故答案为：D.
【分析】由充分条件，必要条件的定义判断即可得解。
2．（2020高二上·上海月考）下面给出矩阵的一些性质中正确的是（ ）
A． B． 或
C． D．
【答案】D
【知识点】矩阵乘法的性质
【解析】【解答】对于A，矩阵乘法运算没有交换律，A不符合题意；
对于B，令 ， ，则 ，
此时 且 ,B不符合题意；
对于C，若 ， ， ，满足 ，
但是 ，C不符合题意；
对于D，矩阵乘法运算有结合律，故 ，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】由矩阵的运算法则可判断A、D，举出反例可判断B、C，即可得解。
3．（2012·江西理）在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则 =（ ）
A．2 B．4 C．5 D．10
【答案】D
【知识点】向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：以D为原点，AB所在直线为x轴，建立如图坐标系，
∵AB是Rt△ABC的斜边，
∴以AB为直径的圆必定经过C点
设AB=2r，∠CDB=α，则
A（﹣r，0），B（r，0），C（rcosα，rsinα）
∵点P为线段CD的中点，
∴P（ rcosα， rsinα）
∴|PA|2= + = +r2cosα，
|PB|2= + = ﹣r2cosα，
可得|PA|2+|PB|2= r2
又∵点P为线段CD的中点，CD=r
∴|PC|2= = r2
所以： = =10
故选D
【分析】以D为原点，AB所在直线为x轴，建立坐标系，由题意得以AB为直径的圆必定经过C点，因此设AB=2r，∠CDB=α，得到A、B、C和P各点的坐标，运用两点的距离公式求出|PA|2+|PB|2和|PC|2的值，即可求出 的值．
4．（2020高二上·上海月考）已知点 是 所在平面上的一点， 的三边为 ，若 ，则点 是 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】在 ， 上分别取点 ， ，使得 ， ，
则 ．
以 ， 为邻边作平行四边形 ，如图，
则四边形 是菱形，且 ．
为 的平分线．
，
即 ，
．
， ， 三点共线，即 在 的平分线上．
同理可得 在其他两角的平分线上，
是 的内心．
故答案为：B．
【分析】先将转化成，得 ， ， 三点共线，即 在 的平分线上，同理可得 在其他两角的平分线上，从而可得结论。
二、填空题
5．（2020高二上·上海月考）二元一次方程组 的增广矩阵是 .
【答案】
【知识点】逆矩阵与二元一次方程组
【解析】【解答】由增广矩阵的概念，可知二元一次方程组所对应的增广矩阵为 ，
故答案为： .
【分析】由增广矩阵的概念进行求解即可。
6．（2020高二上·上海月考）已知 ， ，若 ，则 .
【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式；二阶矩阵
【解析】【解答】 ，
,
故答案为：
【分析】利用矩阵的运算及两角和的正切公式即可求得 。
7．（2020高二上·上海月考）已知 ， ， 与 的夹角为 ，若 ，则 .
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】因为 ， ， 与 的夹角为 ，所以 ，
又 ，所以 ，解得 .
故答案为： .
【分析】由平面向量数量积的定义可得，再有平面向量垂直的性质可得，运算即可得解。
8．（2020高二上·上海月考）计算两矩阵的积： .
【答案】
【知识点】矩阵乘法的性质
【解析】【解答】由题意， .
故答案为： .
【分析】利用矩阵乘法运算法则求的结果。
9．（2020高二上·上海月考）若 ， ，则 在 方向上的投影为
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；空间向量的投影向量
【解析】【解答】 在 方向上的投影为 .
故答案为：
【分析】根据题意，由向量的坐标以及数量积的计算公式即可求出 在 方向上的投影为 ，计算即可。
10．（2020高二上·上海月考）记等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若 ，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200＝ .
【答案】100
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】依题意， ，故 .
【分析】由三点共线可得，再由等差数列前项和公式解得即可。
11．（2020高二上·上海月考）已知向量序列 ，满足如下条件： ， ， ，且 ，若 ，则 .
【答案】9
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
解得 .
故答案为：9
【分析】由题意知是以为首项，为公差的等差数列，则计算即可求解。
12．（2020高二上·上海月考）设点 在 内部，且 ，则 与 的面积之比为 .
【答案】5:1
【知识点】向量在几何中的应用
【解析】【解答】因为点 在 内部，满足奔驰定理 ，且 ，
所以 与 的面积之比为 ，
故答案为：5:1.
【分析】根据奔驰定理以及得出结果。
13．（2020高二上·上海月考）平面直角坐标系中，已知点 ， ，且 ，当 时，点 无限趋近于点 ，则点 的坐标是 .
【答案】
【知识点】极限及其运算；等比数列的前n项和；平面向量数乘的运算
【解析】【解答】因为
，
所以
，
所以 ，
即 ，
所以点 .
故答案为： .
【分析】由平面向量及其数乘运算的坐标表示，结合等比数列的前项和公式可得，再由极限的知识即可得解。
14．（2020高二上·上海月考）已知点 ， ， ，若平面区域 由所有满足 （ ， ）的点 组成，则 的面积为 .
【答案】3
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】 , ， ，设 ，则 ，所以 即
因为 ， ，所以 且 ，即
画出平面区域，如下图所示， ， 到直线 的距离为 ，故四边形BDCE的面积为3.
【分析】根据 ，结合向量的坐标运算解出，再由 ， ，得到关于的不等式组，从而得到如图的平行四边形CDEF及其内部，最后根据坐标内两点间的距离公式即可算数平面区域D的面积。
15．（2020高二上·上海月考）在 中， ， ， ，若点 为三角形外心，则满足关系式： 的有序实数对 .
【答案】
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】解：根据题意，作出图形如图，延长 与三角形的外接圆交于点 ，
因为 ，
所以 ，
即 ，所以 ，
所以 ，
同理 ，
又 ，
同理 ，
所以 ，解得 ，
所以有序实数对 .
故答案为：
【分析】根据题意，作出图形，先根据 ，结合模的公式可得，进而得，，另一方面延长AO与三角形的外接圆交于点D，则，，再联立方程即可得答案。
16．（2020高二上·上海月考）在 中， ，点 在线段 上，且 ，则 的最小值为 .
【答案】6
【知识点】两向量的和或差的模的最值
【解析】【解答】因为 ，
所以
所以 ，解得 ，
所以
，
设 ， ，则 ，
由射影定理得 ，即 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，
即最小值为6.
故答案为：6
【分析】根据数量积公式直接求向量长度，利用基本不等式求向量长度的最值。
三、解答题
17．（2020高二上·上海月考）已知 ， ，且 与 夹角为 ，
求：
（1） ；
（2） ；
（3） 与 的夹角.
【答案】（1）解：
所以 ；
（2）解：因为 ，
所以 ；
（3）解：因为 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
所以 与 的夹角为 .
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）先化简 ，再代入已知数据计算即可；
（2）根据夹角公式，代入数据计算即可。
18．（2020高二上·上海月考）
（1）设向量 ， ，向量 垂直于向量 ，向量 平行于 ，试求 时， 的坐标；
（2）用行列式解方程组 （ 为常数）
【答案】（1）解：设 ，因为 ，所以 ，
又 ，且 ， ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以 ，
所以 ；
（2）解：由题意，系数行列式
，
， ，
当 且 且 时， ，
原方程组有唯一解 ；
当 时， ，原方程组有无数组解；
当 或 时， ， ， ，原方程组无解.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；二元一次方程组的矩阵形式
【解析】【分析】（1） 设 ，由 和 ，建立方程组解出，再由 求得 的坐标；
（2）先求出系数行列式D，Dx，Dy，然后讨论，从而确定二元一次方程解的情况。
19．（2020高二上·上海月考）
（1）已知 的三边长 ， ， ，求 ；
（2）在 中，已知斜边 ，若长为 的线段 以点 为中点，求 的最大值？
【答案】（1）解：由余弦定理得 ，
同理 ， ，
所以
；
（2）解：由题意作出图形，如图，
因为 ， ， ，
所以
，
故当 ，即 与 同向时， 取得最大值0.
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算；余弦定理
【解析】【分析】（1）由余弦定理可得，再由平面向量数量积的定义即可得解；
（2）由平面向量的线性运算法则结合数量积的运算可得 ，即可得解。
20．（2020高二上·上海月考）已知向量 与向量 的对应关系用 表示．
（1）设 ， ，求向量 与 的坐标；
（2）求使 （p，q为常数）的向量 的坐标；
（3）证明：对任意的向量 ， 及常数m，n，恒有 成立．
【答案】（1）解：∵ ， ，
∴ ．
（2）解：设 ，则 ，
∴∴∴ ．
（3）证明：设 ， ，
则 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
故对任意的向量a，b及常数m，n，恒有 成立．
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【分析】（1）根据两个向量之间的关系，依据题目所给的映射关系，写出所求的向量坐标；
（2）利用方程思想设出所求向量的坐标，通过建立未知数的方程求出向量的坐标；
（3）利用新定义的向量之间的关系，结合向量的坐标表示的运算法则进行转化求解，通过坐标的运算，证明 成立 。
21．（2020高二上·上海月考）一个三角形数表按如下方式构成（如图：其中项数 ）：第一行是以4为首项，4为公差的等差数列，从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如： ； 为数表中第 行的第 个数.
…
…
…
……
（1）求第2行和第3行的通项公式 和 ；
（2）证明：数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列，并求 关于 的表达式；
（3）若 ， ，试求一个等比数列 ，使得 ，且对于任意的 ，均存在实数 ，当 时，都有 .
【答案】（1）解： .
（2）解：由已知，第一行是等差数列，假设第 行是以 为公差的等差数列，
则由
（常数）知第 行的数也依次成等差数列，且其公差为 .综上可得，数表中除最后2行以外每一行都成等差数列；
由于 ， ，所以 ，所以
，由 ，
得 ，
于是 ，
即 ，又因为 ，
所以，数列 是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以， ，所以 .
（3）解： ，
，
令 ，
.
，
，
，
令 ，则当 时，都有 ，
∴适合题设的一个等比数列为 .
【知识点】等差数列概念与表示；等比数列概念与表示
【解析】【分析】（1）根据等差数列和等比数列的定即可求出相应的通项公式；
（2）根据条件建立方程关系即可求出 的表达式；
（3）根据条件寻找等比数列 ，即可得到结论。
上海市七宝中学2020-2021学年高二上学期数学10月月考试卷
一、单选题
1．（2020高二上·上海月考）已知命题甲：非零向量 ， ， 满足 ；命题乙： ， ， 可以构成三角形，则甲是乙的（ ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．非充分非必要
2．（2020高二上·上海月考）下面给出矩阵的一些性质中正确的是（ ）
A． B． 或
C． D．
3．（2012·江西理）在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则 =（ ）
A．2 B．4 C．5 D．10
4．（2020高二上·上海月考）已知点 是 所在平面上的一点， 的三边为 ，若 ，则点 是 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
二、填空题
5．（2020高二上·上海月考）二元一次方程组 的增广矩阵是 .
6．（2020高二上·上海月考）已知 ， ，若 ，则 .
7．（2020高二上·上海月考）已知 ， ， 与 的夹角为 ，若 ，则 .
8．（2020高二上·上海月考）计算两矩阵的积： .
9．（2020高二上·上海月考）若 ， ，则 在 方向上的投影为
10．（2020高二上·上海月考）记等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若 ，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200＝ .
11．（2020高二上·上海月考）已知向量序列 ，满足如下条件： ， ， ，且 ，若 ，则 .
12．（2020高二上·上海月考）设点 在 内部，且 ，则 与 的面积之比为 .
13．（2020高二上·上海月考）平面直角坐标系中，已知点 ， ，且 ，当 时，点 无限趋近于点 ，则点 的坐标是 .
14．（2020高二上·上海月考）已知点 ， ， ，若平面区域 由所有满足 （ ， ）的点 组成，则 的面积为 .
15．（2020高二上·上海月考）在 中， ， ， ，若点 为三角形外心，则满足关系式： 的有序实数对 .
16．（2020高二上·上海月考）在 中， ，点 在线段 上，且 ，则 的最小值为 .
三、解答题
17．（2020高二上·上海月考）已知 ， ，且 与 夹角为 ，
求：
（1） ；
（2） ；
（3） 与 的夹角.
18．（2020高二上·上海月考）
（1）设向量 ， ，向量 垂直于向量 ，向量 平行于 ，试求 时， 的坐标；
（2）用行列式解方程组 （ 为常数）
19．（2020高二上·上海月考）
（1）已知 的三边长 ， ， ，求 ；
（2）在 中，已知斜边 ，若长为 的线段 以点 为中点，求 的最大值？
20．（2020高二上·上海月考）已知向量 与向量 的对应关系用 表示．
（1）设 ， ，求向量 与 的坐标；
（2）求使 （p，q为常数）的向量 的坐标；
（3）证明：对任意的向量 ， 及常数m，n，恒有 成立．
21．（2020高二上·上海月考）一个三角形数表按如下方式构成（如图：其中项数 ）：第一行是以4为首项，4为公差的等差数列，从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如： ； 为数表中第 行的第 个数.
…
…
…
……
（1）求第2行和第3行的通项公式 和 ；
（2）证明：数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列，并求 关于 的表达式；
（3）若 ， ，试求一个等比数列 ，使得 ，且对于任意的 ，均存在实数 ，当 时，都有 .
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】若 且 ， ， 共线，则 ， ， 不可以构成三角形，故甲不能推出乙；
在 中，若 ， ， ，则 ， ， 可以构成三角形，
但 ，
故 ， ， 可以构成三角形推不出 ；
所以甲是乙的非充分非必要条件.
故答案为：D.
【分析】由充分条件，必要条件的定义判断即可得解。
2．【答案】D
【知识点】矩阵乘法的性质
【解析】【解答】对于A，矩阵乘法运算没有交换律，A不符合题意；
对于B，令 ， ，则 ，
此时 且 ,B不符合题意；
对于C，若 ， ， ，满足 ，
但是 ，C不符合题意；
对于D，矩阵乘法运算有结合律，故 ，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】由矩阵的运算法则可判断A、D，举出反例可判断B、C，即可得解。
3．【答案】D
【知识点】向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：以D为原点，AB所在直线为x轴，建立如图坐标系，
∵AB是Rt△ABC的斜边，
∴以AB为直径的圆必定经过C点
设AB=2r，∠CDB=α，则
A（﹣r，0），B（r，0），C（rcosα，rsinα）
∵点P为线段CD的中点，
∴P（ rcosα， rsinα）
∴|PA|2= + = +r2cosα，
|PB|2= + = ﹣r2cosα，
可得|PA|2+|PB|2= r2
又∵点P为线段CD的中点，CD=r
∴|PC|2= = r2
所以： = =10
故选D
【分析】以D为原点，AB所在直线为x轴，建立坐标系，由题意得以AB为直径的圆必定经过C点，因此设AB=2r，∠CDB=α，得到A、B、C和P各点的坐标，运用两点的距离公式求出|PA|2+|PB|2和|PC|2的值，即可求出 的值．
4．【答案】B
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】在 ， 上分别取点 ， ，使得 ， ，
则 ．
以 ， 为邻边作平行四边形 ，如图，
则四边形 是菱形，且 ．
为 的平分线．
，
即 ，
．
， ， 三点共线，即 在 的平分线上．
同理可得 在其他两角的平分线上，
是 的内心．
故答案为：B．
【分析】先将转化成，得 ， ， 三点共线，即 在 的平分线上，同理可得 在其他两角的平分线上，从而可得结论。
5．【答案】
【知识点】逆矩阵与二元一次方程组
【解析】【解答】由增广矩阵的概念，可知二元一次方程组所对应的增广矩阵为 ，
故答案为： .
【分析】由增广矩阵的概念进行求解即可。
6．【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式；二阶矩阵
【解析】【解答】 ，
,
故答案为：
【分析】利用矩阵的运算及两角和的正切公式即可求得 。
7．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】因为 ， ， 与 的夹角为 ，所以 ，
又 ，所以 ，解得 .
故答案为： .
【分析】由平面向量数量积的定义可得，再有平面向量垂直的性质可得，运算即可得解。
8．【答案】
【知识点】矩阵乘法的性质
【解析】【解答】由题意， .
故答案为： .
【分析】利用矩阵乘法运算法则求的结果。
9．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；空间向量的投影向量
【解析】【解答】 在 方向上的投影为 .
故答案为：
【分析】根据题意，由向量的坐标以及数量积的计算公式即可求出 在 方向上的投影为 ，计算即可。
10．【答案】100
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】依题意， ，故 .
【分析】由三点共线可得，再由等差数列前项和公式解得即可。
11．【答案】9
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
解得 .
故答案为：9
【分析】由题意知是以为首项，为公差的等差数列，则计算即可求解。
12．【答案】5:1
【知识点】向量在几何中的应用
【解析】【解答】因为点 在 内部，满足奔驰定理 ，且 ，
所以 与 的面积之比为 ，
故答案为：5:1.
【分析】根据奔驰定理以及得出结果。
13．【答案】
【知识点】极限及其运算；等比数列的前n项和；平面向量数乘的运算
【解析】【解答】因为
，
所以
，
所以 ，
即 ，
所以点 .
故答案为： .
【分析】由平面向量及其数乘运算的坐标表示，结合等比数列的前项和公式可得，再由极限的知识即可得解。
14．【答案】3
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】 , ， ，设 ，则 ，所以 即
因为 ， ，所以 且 ，即
画出平面区域，如下图所示， ， 到直线 的距离为 ，故四边形BDCE的面积为3.
【分析】根据 ，结合向量的坐标运算解出，再由 ， ，得到关于的不等式组，从而得到如图的平行四边形CDEF及其内部，最后根据坐标内两点间的距离公式即可算数平面区域D的面积。
15．【答案】
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】解：根据题意，作出图形如图，延长 与三角形的外接圆交于点 ，
因为 ，
所以 ，
即 ，所以 ，
所以 ，
同理 ，
又 ，
同理 ，
所以 ，解得 ，
所以有序实数对 .
故答案为：
【分析】根据题意，作出图形，先根据 ，结合模的公式可得，进而得，，另一方面延长AO与三角形的外接圆交于点D，则，，再联立方程即可得答案。
16．【答案】6
【知识点】两向量的和或差的模的最值
【解析】【解答】因为 ，
所以
所以 ，解得 ，
所以
，
设 ， ，则 ，
由射影定理得 ，即 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，
即最小值为6.
故答案为：6
【分析】根据数量积公式直接求向量长度，利用基本不等式求向量长度的最值。
17．【答案】（1）解：
所以 ；
（2）解：因为 ，
所以 ；
（3）解：因为 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
所以 与 的夹角为 .
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）先化简 ，再代入已知数据计算即可；
（2）根据夹角公式，代入数据计算即可。
18．【答案】（1）解：设 ，因为 ，所以 ，
又 ，且 ， ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以 ，
所以 ；
（2）解：由题意，系数行列式
，
， ，
当 且 且 时， ，
原方程组有唯一解 ；
当 时， ，原方程组有无数组解；
当 或 时， ， ， ，原方程组无解.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；二元一次方程组的矩阵形式
【解析】【分析】（1） 设 ，由 和 ，建立方程组解出，再由 求得 的坐标；
（2）先求出系数行列式D，Dx，Dy，然后讨论，从而确定二元一次方程解的情况。
19．【答案】（1）解：由余弦定理得 ，
同理 ， ，
所以
；
（2）解：由题意作出图形，如图，
因为 ， ， ，
所以
，
故当 ，即 与 同向时， 取得最大值0.
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算；余弦定理
【解析】【分析】（1）由余弦定理可得，再由平面向量数量积的定义即可得解；
（2）由平面向量的线性运算法则结合数量积的运算可得 ，即可得解。
20．【答案】（1）解：∵ ， ，
∴ ．
（2）解：设 ，则 ，
∴∴∴ ．
（3）证明：设 ， ，
则 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
故对任意的向量a，b及常数m，n，恒有 成立．
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【分析】（1）根据两个向量之间的关系，依据题目所给的映射关系，写出所求的向量坐标；
（2）利用方程思想设出所求向量的坐标，通过建立未知数的方程求出向量的坐标；
（3）利用新定义的向量之间的关系，结合向量的坐标表示的运算法则进行转化求解，通过坐标的运算，证明 成立 。
21．【答案】（1）解： .
（2）解：由已知，第一行是等差数列，假设第 行是以 为公差的等差数列，
则由
（常数）知第 行的数也依次成等差数列，且其公差为 .综上可得，数表中除最后2行以外每一行都成等差数列；
由于 ， ，所以 ，所以
，由 ，
得 ，
于是 ，
即 ，又因为 ，
所以，数列 是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以， ，所以 .
（3）解： ，
，
令 ，
.
，
，
，
令 ，则当 时，都有 ，
∴适合题设的一个等比数列为 .
【知识点】等差数列概念与表示；等比数列概念与表示
【解析】【分析】（1）根据等差数列和等比数列的定即可求出相应的通项公式；
（2）根据条件建立方程关系即可求出 的表达式；
（3）根据条件寻找等比数列 ，即可得到结论。