卷子答案网-一个不只有答案的网站2015-2016学年湖北省武汉市新洲一中、黄陂一中联考高二下学期期末数学试卷（理科）
一、选择题
1．（2016高二下·新洲期末）i为虚数单位，则复平面内复数z=i+i2的共轭复数的对应点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2016高二下·新洲期末）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（ ）
A．P1=P2＜P3 B．P2=P3＜P1 C．P1=P3＜P2 D．P1=P2=P3
3．（2017高二下·合肥期中）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值（ ）
A．2个 B．1个 C．3个 D．4个
4．（2016高二下·新洲期末）由直线x=﹣ ，y=0与曲线y=sinx所围成的封闭图形的面积为（ ）
A． B． C． D．1
5．（2016高二下·新洲期末）一个物体的运动方程为s=1﹣t+t2其中s的单位是米，t是单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）
A．7米/秒 B．6米/秒 C．5米/秒 D．8米/秒
6．（2016高二下·海南期中）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
7．（2016高二下·新洲期末）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数 =3， =3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）
A．=0.4x+2.3 B．=2x﹣2.4
C．y^=﹣2x+9.5 D．y^=﹣0.3x+4.4
8．（2016高二下·新洲期末）先后掷骰子两次，都落在水平桌面上，记正面朝上的点数分别为x，y．设事件A：x+y为偶数； 事件B：x，y至少有一个为偶数且x≠y．则P（B|A）=（ ）
A． B． C． D．
9．（2016高二下·新洲期末）已知三个正态分布密度函数 （x∈R，i=1，2，3）的图象如图所示，则（ ）
A．μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＞σ3 B．μ1＞μ2=μ3，σ1=σ2＜σ3
C．μ1=μ2＜μ3，σ1＜σ2=σ3 D．μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＜σ3
10．（2016高二下·新洲期末）育英学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有（ ）
A．80种 B．90种 C．120种 D．150种
11．（2016高二下·新洲期末）从重量分别为1，2，3，4，…，10，11克的砝码（每种砝码各一个）中选出若干个，使其总重量恰为10克的方法总数为m，下列各式的展开式中x10的系数为m的选项是（ ）
A．（1+x）（1+x2）（1+x3）…（1+x11）
B．（1+x）（1+2x）（1+3x）…（1+11x）
C．（1+x）（1+2x2）（1+3x3）…（1+11x11）
D．（1+x）（1+x+x2）（1+x+x2+x3）…（1+x+x2+…+x11）
12．（2016高二下·新洲期末）已知函数g（x）满足g（x）=g′（1）ex﹣1﹣g（0）x+，且存在实数x0使得不等式2m﹣1≥g（x0）成立，则m的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，3]
C．[1，+∞） D．[0，+∞）
二、填空题
13．（2016高二下·新洲期末）用数学归纳法证明命题“当n为正奇数时，xn+yn能被x+y整除”，第二步假设n=2k﹣1（k∈N+）命题为真时，进而需证n= 时，命题亦真．
14．（2016高二下·新洲期末）（x+ ）（2x﹣ ）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 ．
15．（2016高二下·新洲期末）记集合A={（x，y）|x2+y2≤16}和集合B={（x，y）|x+y﹣4≤0，x≥0，y≥0}表示的平面区域分别为Ω1，Ω2，若在区域Ω1内任取一点M（x，y），则点M落在区域Ω2的概率为 ．
16．（2016高二下·新洲期末）已知曲线C的极坐标方程是ρ= cos（θ+ ）．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是： （t为参数），则直线l与曲线C相交所成的弦的弦长为 ．
三、解答题
17．（2016高二下·新洲期末）某校为了解一个英语教改实验班的情况，举行了一次测试，将该班30位学生的英语成绩进行统计，得图示频率分布直方图，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．
（1）求出该班学生英语成绩的众数，平均数及中位数；
（2）从成绩低于80分的学生中随机抽取2人，规定抽到的学生成绩在[50，60）的记1绩点分，在[60，80）的记2绩点分，设抽取2人的总绩点分为ξ，求ξ的分布列．
18．（2016高二下·新洲期末）某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行了民意调查，如表是在某单位得到的数据（人数）：
（1）能否有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关？
赞同 反对 合计
男 5 6 11
女 11 3 14
合计 16 9 25
（2）从赞同“男女延迟退休”16人中选出3人进行陈 述发言，求事件“男士和女士各至少有1人发言”的概率；
（3）若以这25人的样本数据来估计整个地区的总体数据，现从该地区（人数很多）任选5人，记赞同“男女延迟退休”的人数为X，求X的数学期望．
附：
p（K2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
K2= ．
19．（2016高二下·新洲期末）已知函数f（x）=lnax﹣ （a≠0）．
（1）求此函数的单调区间及最值；
（2）求证：对于任意正整数n，均有1+ + …+ ≥ln （e为自然对数的底数）．
20．（2016高二下·新洲期末）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 （其中α为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ．
（1）若A，B为曲线C1，C2的公共点，求直线AB的斜率；
（2）若A，B分别为曲线C1，C2上的动点，当|AB|取最大值时，求△AOB的面积．
21．（2016高二下·新洲期末）已知函数f（x）=|x﹣a|．
（1）若f（x）≤m的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a，m的值．
（2）当a=2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2）．
22．（2016高二下·新洲期末）已知函数f（x）= ﹣2ax+1+lnx
（1）当a=0时，若函数f（x）在其图象上任意一点A处的切线斜率为k，求k的最小值，并求此时的切线方程；
（2）若函数f（x）的极大值点为x1，证明：x1lnx1﹣ax12＞﹣1．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：z=i+i2=﹣1+i，对应的坐标为（﹣1，1），位于第二象限，
故选：B．
【分析】根据复数的几何意义进行化简即可．
2．【答案】D
【知识点】简单随机抽样；分层抽样方法；系统抽样方法
【解析】【解答】解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，
即P1=P2=P3．
故选：D．
【分析】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论．
3．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：如图所示，
由导函数f′（x）在（a，b）内的图象可知：
函数f（x）只有在点B处取得极小值，
∵在点B的左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0，且f′（xB）=0．
∴函数f（x）在点B处取得极小值．
故选：B．
【分析】如图所示，由导函数f′（x）在（a，b）内的图象和极值的定义可知：函数f（x）只有在点B处取得极小值．
4．【答案】D
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】解：作出对应的图象如图：
则对应的区域面积S= =2 =2（﹣cosx）| =2（1﹣cos ）=2× ，
故选：D
【分析】先根据题意画出直线及y=sinx所围成的封闭图形，然后利用定积分表示区域面积，最后转化成等价形式．
5．【答案】C
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：∵s=1﹣t+t2，∴s′=﹣1+2t，
把t=3代入上式可得s′=﹣1+2×3=5
由导数的意义可知物体在3秒末的瞬时速度是5米/秒，
故选C
【分析】求导数，把t=3代入求得导数值即可．
6．【答案】B
【知识点】系统抽样方法
【解析】【解答】解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．
所以从编号1～480的人中，恰好抽取 =24人，接着从编号481～720共240人中抽取 =12人．
故：B．
【分析】根据系统抽样方法，从840人中抽取42人，那么从20人抽取1人．从而得出从编号481～720共240人中抽取的人数即可．
7．【答案】A
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：∵变量x与y正相关，
∴可以排除C，D；
样本平均数 =3， =3.5，代入A符合，B不符合，
故选：A．
【分析】变量x与y正相关，可以排除C，D；样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程．
8．【答案】A
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】解：根据题意，若事件A为“x+y为偶数”发生，则x、y两个数均为奇数或均为偶数．
共有2×3×3=18个基本事件，
∴事件A的概率为P1= = ．
而A、B同时发生，基本事件有“2+4”、“2+6”、“4+2”、“4+6”、“6+2”、“6+4”，
一共有6个基本事件，
因此事件A、B同时发生的概率为P2= =
因此，在事件A发生的情况下，B发生的概率为P（B|A）= =
故选：A．
【分析】根据题意，利用随机事件的概率公式，分别求出事件A的概率与事件A、B同时发生的概率，再用条件概率公式加以计算，可得P（B|A）的值．
9．【答案】D
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：∵正态曲线关于x=μ对称，且μ越大图象越靠近右边，
∴第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，
只能从A，D两个答案中选一个，
∵σ越小图象越瘦长，
得到第二个图象的σ比第三个的σ要小，
故选D．
【分析】正态曲线关于x=μ对称，且μ越大图象越靠近右边，第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，又有σ越小图象越瘦长，得到正确的结果．
10．【答案】D
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：依题意分组法是（1，1，3），（1，2，2）共有 =25，
再分配，乘以A33，即得总数150，
故选：D．
【分析】分组法是（1，1，3），（1，2，2）共有25种，再分配，共有A33种果，根据分步计数原理知结果．
11．【答案】A
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：x10是由x、x2、x3、x4、x5、x6、x7、x8、x9、x10、x11中的指数和等于10 的那些项的乘积构成，有多少种这样的乘积，就有多少个x10．
各个这样的乘积，分别对应从重量1，2，3，…10，11克的砝码（每种砝码各一个）中，选出若干个表示10克的方法．
故“从重量1，2，3，…10，11克的砝码（每种砝码各一个）中选出若干个．使其总重量恰为9克的方法总数”，
就是“（1+x）（1+x2）（1+x3）…（1+x10）（1+x11）”的展开式中x10的系数”，
故选：A．
【分析】x10是由x、x2、x3、x4、x5、x6、x7、x8、x9、x10、x11中的指数和等于10 的那些项的乘积构成，有多少种这样的乘积，就有多少个x10．各个这样的乘积，分别对应从重量1，2，3，…10，11克的砝码（每种砝码各一个）中，选出若干个表示10克的方法．
12．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：∵g（x）=g′（1）ex﹣1﹣g（0）x+，
∴g′（x）=g′（1）ex﹣1﹣g（0）+x，
∴g′（1）=g′（1）﹣g（0）+1，解得：g（0）=1，
g（0）=g′（1）e﹣1，解得：g′（1）=e，
∴g（x）=ex﹣x+x2，
∴g′（x）=ex﹣1+x，g″（x）=ex+1＞0，
∴g′（x）在R递增，而g′（0）=0，
∴g′（x）＜0在（﹣∞，0）恒成立，g′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，
∴g（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，
∴g（x）min=g（0）=1，
若存在实数x0使得不等式2m﹣1≥g（x0）成立，
只需2m﹣1≥g（x）min=1即可，解得：m≥1，
故选：C．
【分析】分别求出g（0），g′（1），求出g（x）的表达式，求出g（x）的导数，得到函数的单调区间，求出g（x）的最小值，问题转化为只需2m﹣1≥g（x）min=1即可，求出m的范围即可．
13．【答案】2k+1
【知识点】数学归纳法的原理；数学归纳法的应用
【解析】【解答】解：当n为正奇数时，求证xn+yn被x+y整除
用数学归纳法证明时候，第二步假设n=2k﹣1时命题为真，进而需要验证n=2k+1．
故答案为：2k+1．
【分析】首先分析题目求在用数学归纳法验证当n为正奇数时，xn+yn被x+y整除．当第二步假设n=2k﹣1时命题为真，进而需验证那一项成立？理论上是验证下一项成立，而题目中n为正奇数，故下一项为2k+1．即可得到答案．
14．【答案】40
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：由题意，（x+ ）（2x﹣ ）5的展开式中各项系数的和为2，
所以，令x=1则可得到方程1+a=2，解得得a=1，故二项式为
由多项式乘法原理可得其常数项为﹣22×C53+23C52=40
故答案为40
【分析】由于二项式展开式中各项的系数的和为2，故可以令x=1，建立起a的方程，解出a的值来，然后再由规律求出常数项
15．【答案】
【知识点】几何概型
【解析】【解答】解：由题意可得A表示圆心为原点半径为4的圆及其内部，
由圆的面积公式可得Ω1的面积S=π×42=16π，
集合B表示的平面区域为两直角边都为4的直角三角形，
∴由三角形的面积公式可得Ω2的面积S′= ×4×4=8，
∴点M落在区域Ω2的概率P= = ，
故答案为： ．
【分析】由题意和三角形以及圆的面积公式可得区域的面积，由概率公式可得．
16．【答案】
【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程
【解析】【解答】解：由曲线C的极坐标方程ρ= cos（θ+ ），化为 ，即ρ=cosθ﹣sinθ，
∴ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ，
∴x2+y2=x﹣y．
化为 ．表示圆心为C ，半径r= 的圆．
直线l的参数方程是： （t为参数）化为3x+4y+1=0．
∴圆心C到直线l的距离d= = ．
∴直线l与曲线C相交所成的弦的弦长=2 = ．
【分析】把曲线C的极坐标方程展开，再利用 即可化为直角坐标方程，把直线l的方程化为普通方程，利用弦长公式l=2 即可得出．
17．【答案】（1）解：由频率分布直方图可知：众数为85．
平均数为：55× =81，
∴该班学生英语成绩的平均数为81．
设中位数为x，由频率分布直方图，得：
[50，80）内的频率为（ ）×10=0.4，[80，90）内的频率为 = ，
∴中位数x=80+ =83．
（2）解：依题意，成绩在[50，60）的学生数为30× ，
成绩在[60，80）的学生数为30× =10，
∴成绩低于80分的学生总人数为 12，
∴ξ可取的值为2，3，4，
P（ξ=2）= = ，
P（ξ=3）= = ，
P（ξ=4）= = ，
∴ξ的分布列为：
ξ 2 3 4
P
∴ξ的数学期望E（ξ）=2× = ．
【知识点】频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）由频率分布直方图能求出众数、平均数和中位数．（2）依题意，成绩在[50，60）的学生数为2人，成绩在[60，80）的学生数为10人，ξ可取的值为2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．
18．【答案】（1）解：K2= ≈2.932＞2.706，
由此可知，有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关
（2）解：记题设事件为A，则所求概率为P（A）= =
（3）解：根据题意，X～B（5， ），∴E（X）=5× =
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）求出K2，与临界值比较，即可得出结论；（2）求出基本事件的个数，利用古典概型的概率公式求解即可；（3）根据题意，X～B（5， ），利用公式求出X的数学期望．
19．【答案】（1）解：由题意可得 f′（x）= ，
∴当a＞0时，令f′（x）=0，求得x=a，
由ax＞0，求得x＞0，函数的定义域为（0，+∞），
此时函数在（0，a）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数；在（a，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数，
故函数f（x）的极小值为f（a）=lna2，无最大值．
当a＜0时，由ax＞0，求得x＜0，可得函数f（x）的定义域为（﹣∞，0），
此时函数（﹣∞，a）上，f′（x）= ＜0，f（x）是减函数；在（a，0）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数，
故函数f（x）的极小值为f（a）=lna2，无最大值
（2）证明：取a=1，由（1）知 f（x）=lnx﹣ ≥f（1）=0，∴ ≥1﹣lnx=ln ，
取x=1，2，3…，n，则 1+ + …+ ≥ln +ln +ln +…+ln =ln ，
故要征得不等式1+ + …+ ≥ln 成立
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求出函数的导数，分类讨论a的范围，确定函数的单调性，从而求得函数的极值．（2）取a=1，由（1）知 f（x）=lnx﹣ ≥0，即 ≥1﹣lnx=ln ，取x=1，2，3…，n，累加可得要征的结论．
20．【答案】（1）解：消去参数α得曲线C1的普通方程C1：x2+y2﹣2x=0．…（1）
将曲线C2：ρ=4sinθ化为直角坐标方程得x2+y2﹣4y=0．…（2）
由（1）﹣（2）得4y﹣2x=0，即为直线AB的方程，故直线AB的斜率为 ；
（2）解：由C1：（x﹣1）2+y2=1知曲线C1是以C1（1，0）为圆心，半径为1的圆，
由C2：x2+（y﹣2）2=4知曲线C2：是以C2（0，2）为圆心，半径为2的圆．
∵|AB|≤|AC1|+|C1C2|+|BC2|，
∴当|AB|取最大值时，圆心C1，C2在直线AB上，
∴直线AB（即直线C1C2）的方程为：2x+y=2．
∵O到直线AB的距离为 ，
又此时|AB|=|C1C2|+1+2=3+ ，
∴△AOB的面积为
【知识点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）消去参数α得曲线C1的普通方程，将曲线C2化为直角坐标方程，两式作差得直线AB的方程，则直线AB的斜率可求；（2）由C1方程可知曲线是以C1（1，0）为圆心，半径为1的圆，由C2方程可知曲线是以C2（0，2）为圆心，半径为2的圆，又|AB|≤|AC1|+|C1C2|+|BC2|，可知当|AB|取最大值时，圆心C1，C2在直线AB上，进一步求出直线AB（即直线C1C2）的方程，再求出O到直线AB的距离，则△AOB的面积可求．
21．【答案】（1）解：∵f（x）≤m，
∴|x﹣a|≤m，
即a﹣m≤x≤a+m，
∵f（x）≤m的解集为{x|﹣1≤x≤5}，
∴ ，解得a=2，m=3
（2）解：当a=2时，函数f（x）=|x﹣2|，
则不等式f（x）+t≥f（x+2）等价为|x﹣2|+t≥|x|．
当x≥2时，x﹣2+t≥x，即t≥2与条件0≤t＜2矛盾．
当0≤x＜2时，2﹣x+t≥x，即0 ，成立．
当x＜0时，2﹣x+t≥﹣x，即t≥﹣2恒成立．
综上不等式的解集为（﹣∞， ]
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）根据绝对值不等式的解法建立条件关系即可求实数a，m的值．（2）根据绝对值的解法，进行分段讨论即可得到不等式的解集．
22．【答案】（1）解：∵a=0，∴ ，
∴ ，当仅当 时，即x=1时，f'（x）的最小值为2，
∴斜率k的最小值为2，切点A ，
∴切线方程为 ，即4x﹣2y﹣1=0；
（2）解：∵ ，
①当﹣1≤a≤1时，f（x）单调递增无极值点，不符合题意；
②当a＞1或a＜﹣1时，令f'（x）=0，设x2﹣2ax+1=0的两根为x1和x2，
因为x1为函数f（x）的极大值点，所以0＜x1＜x2，
又x1x2=1，x1+x2=2a＞0，∴a＞1，0＜x1＜1，
∴f′（x1）=0， ，则 ，
∵ = = ，x1∈（0，1），
令 ，x∈（0，1），
∴ ，∴h′（x）=﹣3x+ = ，x∈（0，1），
当 时，h′（x）＞0，当 时，h′（x）＜0，
∴h′（x）在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ ，
∴h（x）在（0，1）上单调递减．
∴h（x）＞h（1）=﹣1，原题得证．
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求得f（x）的导数，由基本不等式可得斜率的最小值，及切点，运用点斜式方程可得切线的方程；（2）求出f（x）的导数，讨论判别式的符号，设出二次方程的两根，运用韦达定理和构造函数 ，x∈（0，1），求出导数，求得单调区间和极值、最值，即可得证．
2015-2016学年湖北省武汉市新洲一中、黄陂一中联考高二下学期期末数学试卷（理科）
一、选择题
1．（2016高二下·新洲期末）i为虚数单位，则复平面内复数z=i+i2的共轭复数的对应点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：z=i+i2=﹣1+i，对应的坐标为（﹣1，1），位于第二象限，
故选：B．
【分析】根据复数的几何意义进行化简即可．
2．（2016高二下·新洲期末）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（ ）
A．P1=P2＜P3 B．P2=P3＜P1 C．P1=P3＜P2 D．P1=P2=P3
【答案】D
【知识点】简单随机抽样；分层抽样方法；系统抽样方法
【解析】【解答】解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，
即P1=P2=P3．
故选：D．
【分析】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论．
3．（2017高二下·合肥期中）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值（ ）
A．2个 B．1个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：如图所示，
由导函数f′（x）在（a，b）内的图象可知：
函数f（x）只有在点B处取得极小值，
∵在点B的左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0，且f′（xB）=0．
∴函数f（x）在点B处取得极小值．
故选：B．
【分析】如图所示，由导函数f′（x）在（a，b）内的图象和极值的定义可知：函数f（x）只有在点B处取得极小值．
4．（2016高二下·新洲期末）由直线x=﹣ ，y=0与曲线y=sinx所围成的封闭图形的面积为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】解：作出对应的图象如图：
则对应的区域面积S= =2 =2（﹣cosx）| =2（1﹣cos ）=2× ，
故选：D
【分析】先根据题意画出直线及y=sinx所围成的封闭图形，然后利用定积分表示区域面积，最后转化成等价形式．
5．（2016高二下·新洲期末）一个物体的运动方程为s=1﹣t+t2其中s的单位是米，t是单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）
A．7米/秒 B．6米/秒 C．5米/秒 D．8米/秒
【答案】C
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：∵s=1﹣t+t2，∴s′=﹣1+2t，
把t=3代入上式可得s′=﹣1+2×3=5
由导数的意义可知物体在3秒末的瞬时速度是5米/秒，
故选C
【分析】求导数，把t=3代入求得导数值即可．
6．（2016高二下·海南期中）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】B
【知识点】系统抽样方法
【解析】【解答】解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．
所以从编号1～480的人中，恰好抽取 =24人，接着从编号481～720共240人中抽取 =12人．
故：B．
【分析】根据系统抽样方法，从840人中抽取42人，那么从20人抽取1人．从而得出从编号481～720共240人中抽取的人数即可．
7．（2016高二下·新洲期末）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数 =3， =3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）
A．=0.4x+2.3 B．=2x﹣2.4
C．y^=﹣2x+9.5 D．y^=﹣0.3x+4.4
【答案】A
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：∵变量x与y正相关，
∴可以排除C，D；
样本平均数 =3， =3.5，代入A符合，B不符合，
故选：A．
【分析】变量x与y正相关，可以排除C，D；样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程．
8．（2016高二下·新洲期末）先后掷骰子两次，都落在水平桌面上，记正面朝上的点数分别为x，y．设事件A：x+y为偶数； 事件B：x，y至少有一个为偶数且x≠y．则P（B|A）=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】解：根据题意，若事件A为“x+y为偶数”发生，则x、y两个数均为奇数或均为偶数．
共有2×3×3=18个基本事件，
∴事件A的概率为P1= = ．
而A、B同时发生，基本事件有“2+4”、“2+6”、“4+2”、“4+6”、“6+2”、“6+4”，
一共有6个基本事件，
因此事件A、B同时发生的概率为P2= =
因此，在事件A发生的情况下，B发生的概率为P（B|A）= =
故选：A．
【分析】根据题意，利用随机事件的概率公式，分别求出事件A的概率与事件A、B同时发生的概率，再用条件概率公式加以计算，可得P（B|A）的值．
9．（2016高二下·新洲期末）已知三个正态分布密度函数 （x∈R，i=1，2，3）的图象如图所示，则（ ）
A．μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＞σ3 B．μ1＞μ2=μ3，σ1=σ2＜σ3
C．μ1=μ2＜μ3，σ1＜σ2=σ3 D．μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＜σ3
【答案】D
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：∵正态曲线关于x=μ对称，且μ越大图象越靠近右边，
∴第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，
只能从A，D两个答案中选一个，
∵σ越小图象越瘦长，
得到第二个图象的σ比第三个的σ要小，
故选D．
【分析】正态曲线关于x=μ对称，且μ越大图象越靠近右边，第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，又有σ越小图象越瘦长，得到正确的结果．
10．（2016高二下·新洲期末）育英学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有（ ）
A．80种 B．90种 C．120种 D．150种
【答案】D
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：依题意分组法是（1，1，3），（1，2，2）共有 =25，
再分配，乘以A33，即得总数150，
故选：D．
【分析】分组法是（1，1，3），（1，2，2）共有25种，再分配，共有A33种果，根据分步计数原理知结果．
11．（2016高二下·新洲期末）从重量分别为1，2，3，4，…，10，11克的砝码（每种砝码各一个）中选出若干个，使其总重量恰为10克的方法总数为m，下列各式的展开式中x10的系数为m的选项是（ ）
A．（1+x）（1+x2）（1+x3）…（1+x11）
B．（1+x）（1+2x）（1+3x）…（1+11x）
C．（1+x）（1+2x2）（1+3x3）…（1+11x11）
D．（1+x）（1+x+x2）（1+x+x2+x3）…（1+x+x2+…+x11）
【答案】A
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：x10是由x、x2、x3、x4、x5、x6、x7、x8、x9、x10、x11中的指数和等于10 的那些项的乘积构成，有多少种这样的乘积，就有多少个x10．
各个这样的乘积，分别对应从重量1，2，3，…10，11克的砝码（每种砝码各一个）中，选出若干个表示10克的方法．
故“从重量1，2，3，…10，11克的砝码（每种砝码各一个）中选出若干个．使其总重量恰为9克的方法总数”，
就是“（1+x）（1+x2）（1+x3）…（1+x10）（1+x11）”的展开式中x10的系数”，
故选：A．
【分析】x10是由x、x2、x3、x4、x5、x6、x7、x8、x9、x10、x11中的指数和等于10 的那些项的乘积构成，有多少种这样的乘积，就有多少个x10．各个这样的乘积，分别对应从重量1，2，3，…10，11克的砝码（每种砝码各一个）中，选出若干个表示10克的方法．
12．（2016高二下·新洲期末）已知函数g（x）满足g（x）=g′（1）ex﹣1﹣g（0）x+，且存在实数x0使得不等式2m﹣1≥g（x0）成立，则m的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，3]
C．[1，+∞） D．[0，+∞）
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：∵g（x）=g′（1）ex﹣1﹣g（0）x+，
∴g′（x）=g′（1）ex﹣1﹣g（0）+x，
∴g′（1）=g′（1）﹣g（0）+1，解得：g（0）=1，
g（0）=g′（1）e﹣1，解得：g′（1）=e，
∴g（x）=ex﹣x+x2，
∴g′（x）=ex﹣1+x，g″（x）=ex+1＞0，
∴g′（x）在R递增，而g′（0）=0，
∴g′（x）＜0在（﹣∞，0）恒成立，g′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，
∴g（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，
∴g（x）min=g（0）=1，
若存在实数x0使得不等式2m﹣1≥g（x0）成立，
只需2m﹣1≥g（x）min=1即可，解得：m≥1，
故选：C．
【分析】分别求出g（0），g′（1），求出g（x）的表达式，求出g（x）的导数，得到函数的单调区间，求出g（x）的最小值，问题转化为只需2m﹣1≥g（x）min=1即可，求出m的范围即可．
二、填空题
13．（2016高二下·新洲期末）用数学归纳法证明命题“当n为正奇数时，xn+yn能被x+y整除”，第二步假设n=2k﹣1（k∈N+）命题为真时，进而需证n= 时，命题亦真．
【答案】2k+1
【知识点】数学归纳法的原理；数学归纳法的应用
【解析】【解答】解：当n为正奇数时，求证xn+yn被x+y整除
用数学归纳法证明时候，第二步假设n=2k﹣1时命题为真，进而需要验证n=2k+1．
故答案为：2k+1．
【分析】首先分析题目求在用数学归纳法验证当n为正奇数时，xn+yn被x+y整除．当第二步假设n=2k﹣1时命题为真，进而需验证那一项成立？理论上是验证下一项成立，而题目中n为正奇数，故下一项为2k+1．即可得到答案．
14．（2016高二下·新洲期末）（x+ ）（2x﹣ ）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 ．
【答案】40
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：由题意，（x+ ）（2x﹣ ）5的展开式中各项系数的和为2，
所以，令x=1则可得到方程1+a=2，解得得a=1，故二项式为
由多项式乘法原理可得其常数项为﹣22×C53+23C52=40
故答案为40
【分析】由于二项式展开式中各项的系数的和为2，故可以令x=1，建立起a的方程，解出a的值来，然后再由规律求出常数项
15．（2016高二下·新洲期末）记集合A={（x，y）|x2+y2≤16}和集合B={（x，y）|x+y﹣4≤0，x≥0，y≥0}表示的平面区域分别为Ω1，Ω2，若在区域Ω1内任取一点M（x，y），则点M落在区域Ω2的概率为 ．
【答案】
【知识点】几何概型
【解析】【解答】解：由题意可得A表示圆心为原点半径为4的圆及其内部，
由圆的面积公式可得Ω1的面积S=π×42=16π，
集合B表示的平面区域为两直角边都为4的直角三角形，
∴由三角形的面积公式可得Ω2的面积S′= ×4×4=8，
∴点M落在区域Ω2的概率P= = ，
故答案为： ．
【分析】由题意和三角形以及圆的面积公式可得区域的面积，由概率公式可得．
16．（2016高二下·新洲期末）已知曲线C的极坐标方程是ρ= cos（θ+ ）．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是： （t为参数），则直线l与曲线C相交所成的弦的弦长为 ．
【答案】
【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程
【解析】【解答】解：由曲线C的极坐标方程ρ= cos（θ+ ），化为 ，即ρ=cosθ﹣sinθ，
∴ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ，
∴x2+y2=x﹣y．
化为 ．表示圆心为C ，半径r= 的圆．
直线l的参数方程是： （t为参数）化为3x+4y+1=0．
∴圆心C到直线l的距离d= = ．
∴直线l与曲线C相交所成的弦的弦长=2 = ．
【分析】把曲线C的极坐标方程展开，再利用 即可化为直角坐标方程，把直线l的方程化为普通方程，利用弦长公式l=2 即可得出．
三、解答题
17．（2016高二下·新洲期末）某校为了解一个英语教改实验班的情况，举行了一次测试，将该班30位学生的英语成绩进行统计，得图示频率分布直方图，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．
（1）求出该班学生英语成绩的众数，平均数及中位数；
（2）从成绩低于80分的学生中随机抽取2人，规定抽到的学生成绩在[50，60）的记1绩点分，在[60，80）的记2绩点分，设抽取2人的总绩点分为ξ，求ξ的分布列．
【答案】（1）解：由频率分布直方图可知：众数为85．
平均数为：55× =81，
∴该班学生英语成绩的平均数为81．
设中位数为x，由频率分布直方图，得：
[50，80）内的频率为（ ）×10=0.4，[80，90）内的频率为 = ，
∴中位数x=80+ =83．
（2）解：依题意，成绩在[50，60）的学生数为30× ，
成绩在[60，80）的学生数为30× =10，
∴成绩低于80分的学生总人数为 12，
∴ξ可取的值为2，3，4，
P（ξ=2）= = ，
P（ξ=3）= = ，
P（ξ=4）= = ，
∴ξ的分布列为：
ξ 2 3 4
P
∴ξ的数学期望E（ξ）=2× = ．
【知识点】频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）由频率分布直方图能求出众数、平均数和中位数．（2）依题意，成绩在[50，60）的学生数为2人，成绩在[60，80）的学生数为10人，ξ可取的值为2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．
18．（2016高二下·新洲期末）某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行了民意调查，如表是在某单位得到的数据（人数）：
（1）能否有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关？
赞同 反对 合计
男 5 6 11
女 11 3 14
合计 16 9 25
（2）从赞同“男女延迟退休”16人中选出3人进行陈 述发言，求事件“男士和女士各至少有1人发言”的概率；
（3）若以这25人的样本数据来估计整个地区的总体数据，现从该地区（人数很多）任选5人，记赞同“男女延迟退休”的人数为X，求X的数学期望．
附：
p（K2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
K2= ．
【答案】（1）解：K2= ≈2.932＞2.706，
由此可知，有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关
（2）解：记题设事件为A，则所求概率为P（A）= =
（3）解：根据题意，X～B（5， ），∴E（X）=5× =
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）求出K2，与临界值比较，即可得出结论；（2）求出基本事件的个数，利用古典概型的概率公式求解即可；（3）根据题意，X～B（5， ），利用公式求出X的数学期望．
19．（2016高二下·新洲期末）已知函数f（x）=lnax﹣ （a≠0）．
（1）求此函数的单调区间及最值；
（2）求证：对于任意正整数n，均有1+ + …+ ≥ln （e为自然对数的底数）．
【答案】（1）解：由题意可得 f′（x）= ，
∴当a＞0时，令f′（x）=0，求得x=a，
由ax＞0，求得x＞0，函数的定义域为（0，+∞），
此时函数在（0，a）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数；在（a，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数，
故函数f（x）的极小值为f（a）=lna2，无最大值．
当a＜0时，由ax＞0，求得x＜0，可得函数f（x）的定义域为（﹣∞，0），
此时函数（﹣∞，a）上，f′（x）= ＜0，f（x）是减函数；在（a，0）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数，
故函数f（x）的极小值为f（a）=lna2，无最大值
（2）证明：取a=1，由（1）知 f（x）=lnx﹣ ≥f（1）=0，∴ ≥1﹣lnx=ln ，
取x=1，2，3…，n，则 1+ + …+ ≥ln +ln +ln +…+ln =ln ，
故要征得不等式1+ + …+ ≥ln 成立
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求出函数的导数，分类讨论a的范围，确定函数的单调性，从而求得函数的极值．（2）取a=1，由（1）知 f（x）=lnx﹣ ≥0，即 ≥1﹣lnx=ln ，取x=1，2，3…，n，累加可得要征的结论．
20．（2016高二下·新洲期末）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 （其中α为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ．
（1）若A，B为曲线C1，C2的公共点，求直线AB的斜率；
（2）若A，B分别为曲线C1，C2上的动点，当|AB|取最大值时，求△AOB的面积．
【答案】（1）解：消去参数α得曲线C1的普通方程C1：x2+y2﹣2x=0．…（1）
将曲线C2：ρ=4sinθ化为直角坐标方程得x2+y2﹣4y=0．…（2）
由（1）﹣（2）得4y﹣2x=0，即为直线AB的方程，故直线AB的斜率为 ；
（2）解：由C1：（x﹣1）2+y2=1知曲线C1是以C1（1，0）为圆心，半径为1的圆，
由C2：x2+（y﹣2）2=4知曲线C2：是以C2（0，2）为圆心，半径为2的圆．
∵|AB|≤|AC1|+|C1C2|+|BC2|，
∴当|AB|取最大值时，圆心C1，C2在直线AB上，
∴直线AB（即直线C1C2）的方程为：2x+y=2．
∵O到直线AB的距离为 ，
又此时|AB|=|C1C2|+1+2=3+ ，
∴△AOB的面积为
【知识点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）消去参数α得曲线C1的普通方程，将曲线C2化为直角坐标方程，两式作差得直线AB的方程，则直线AB的斜率可求；（2）由C1方程可知曲线是以C1（1，0）为圆心，半径为1的圆，由C2方程可知曲线是以C2（0，2）为圆心，半径为2的圆，又|AB|≤|AC1|+|C1C2|+|BC2|，可知当|AB|取最大值时，圆心C1，C2在直线AB上，进一步求出直线AB（即直线C1C2）的方程，再求出O到直线AB的距离，则△AOB的面积可求．
21．（2016高二下·新洲期末）已知函数f（x）=|x﹣a|．
（1）若f（x）≤m的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a，m的值．
（2）当a=2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2）．
【答案】（1）解：∵f（x）≤m，
∴|x﹣a|≤m，
即a﹣m≤x≤a+m，
∵f（x）≤m的解集为{x|﹣1≤x≤5}，
∴ ，解得a=2，m=3
（2）解：当a=2时，函数f（x）=|x﹣2|，
则不等式f（x）+t≥f（x+2）等价为|x﹣2|+t≥|x|．
当x≥2时，x﹣2+t≥x，即t≥2与条件0≤t＜2矛盾．
当0≤x＜2时，2﹣x+t≥x，即0 ，成立．
当x＜0时，2﹣x+t≥﹣x，即t≥﹣2恒成立．
综上不等式的解集为（﹣∞， ]
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）根据绝对值不等式的解法建立条件关系即可求实数a，m的值．（2）根据绝对值的解法，进行分段讨论即可得到不等式的解集．
22．（2016高二下·新洲期末）已知函数f（x）= ﹣2ax+1+lnx
（1）当a=0时，若函数f（x）在其图象上任意一点A处的切线斜率为k，求k的最小值，并求此时的切线方程；
（2）若函数f（x）的极大值点为x1，证明：x1lnx1﹣ax12＞﹣1．
【答案】（1）解：∵a=0，∴ ，
∴ ，当仅当 时，即x=1时，f'（x）的最小值为2，
∴斜率k的最小值为2，切点A ，
∴切线方程为 ，即4x﹣2y﹣1=0；
（2）解：∵ ，
①当﹣1≤a≤1时，f（x）单调递增无极值点，不符合题意；
②当a＞1或a＜﹣1时，令f'（x）=0，设x2﹣2ax+1=0的两根为x1和x2，
因为x1为函数f（x）的极大值点，所以0＜x1＜x2，
又x1x2=1，x1+x2=2a＞0，∴a＞1，0＜x1＜1，
∴f′（x1）=0， ，则 ，
∵ = = ，x1∈（0，1），
令 ，x∈（0，1），
∴ ，∴h′（x）=﹣3x+ = ，x∈（0，1），
当 时，h′（x）＞0，当 时，h′（x）＜0，
∴h′（x）在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ ，
∴h（x）在（0，1）上单调递减．
∴h（x）＞h（1）=﹣1，原题得证．
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求得f（x）的导数，由基本不等式可得斜率的最小值，及切点，运用点斜式方程可得切线的方程；（2）求出f（x）的导数，讨论判别式的符号，设出二次方程的两根，运用韦达定理和构造函数 ，x∈（0，1），求出导数，求得单调区间和极值、最值，即可得证．
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