卷子答案网-一个不只有答案的网站2020-2021 学年吉林省长春市绿园区解放大路中学八年级（上）
期中数学试卷
一、选择题（共八题：共 24 分）
1．（3分） 的平方根是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）若代数式 有意义，则实数 x的取值范围是（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝3 C．x≠﹣1 D．x≠3
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a+1）2＝a2+1 B．5a2﹣3a2＝2
C．2a+3b＝5ab D．（ab3）2＝a2b6
4．（3分）在数轴上表示不等式组 的解集，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）如图，在△ABC中，以点 B为圆心，连接 AD．若∠B＝40°，∠C＝36°（ ）
A．70° B．44° C．34° D．24°
6．（3分）如图，已知由 16个边长为 1的小正方形拼成的图案中，有五条线段 PA、PB、PC、
PD、PE（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
7．（3分）如图在边长为 a的正方形中挖掉一个边长为 b的小正方形（a＞b）．把余下的部
分剪拼成一个矩形，通过计算阴影部分的面积，则这个等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣ab＝a（a﹣b）
8．（3分）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则 BP的最小值是（ ）
A．4 B． C．5 D．
二、填空题（共六题：共 18 分）
9．（3分）计算： ＝ ．
10．（3分）已知 a﹣b＝3，ab＝5，则（a+b）2＝ ．
11．（3分）若 2a﹣5b﹣4＝0，则 4a÷32b＝ ．
12（．3分）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，交AC于点D，∠B＝70°，则∠C＝ °．
13．（3分）在如图所示的网格中，A、B、C都在格点上，连结 AB、AC °．
14．（3分）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为 12cm，在容器内壁离容
器底部 3cm的点 B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，则蚂蚁吃到饭粒需爬行
的最短路径是 cm．
三、解答题（共十题：共 78 分）
15．（6分）先化简，再求值：（a﹣2）2+（a+1）（a﹣1）﹣2（1﹣2a），其中 ．
16．（8分）因式分解：
（1）x3﹣9x；
（2）﹣2x3+12x2﹣18x．
17．（8分）计算：
（1） ；
（2） ．
18．（8分）计算：
（1） ；
（2） ．
19．（8分）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE，点 C在 DE上．
（1）求证：△ABD≌△ACE．
（2）若∠BDA＝35°，则∠BDE＝ °．
20．（8 分）已知图①、图②都是 5×5 的方格纸，其中每个小正方形的边长均为 1，每个
小正方形的顶点称为格点．
（1）在图①的方格纸中画出一个面积为 13的正方形，使它的顶点都在格点上．
（2）在图②的方格纸中画出一个三边均为无理数的直角三角形，使它的顶点都在格点
上．
21．（8分）如图，在△ABC中，BC＝9，在△ABE中，DE是 AB边上的高，△ABE的面积
为 60．
（1）AB的长为 ．
（2）求四边形 ACBE的面积．
22．（8分）我们知道，对于任意一个实数 a，“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我
们需要将代数式配成完全平方式，然后利用“a2≥0”来解决问题．
例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，
∵（x+2）2≥0，
∴（x+2）2+1≥1，
∴x2+4x+5≥1．
（1）填空：x2﹣4x+5＝（x ）2+ ．
（2）请用作差法比较 x2﹣2与 2x﹣5的大小，并写出解答过程．
（3）求 x2﹣4x+y2+2y+8的最小值．
23．（8分）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第 96页的部分内容．
3．角平分线
回忆
我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴，如下图所示，P是
OC上任一点，作 PD⊥OA，垂足分别为点 D和点 E，将∠AOB沿 OC对折，由此即有：
角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等．
已知：如图 1所示，OC是∠AOB的平分线，P是 OC上任一点，PE⊥OB，垂足分别为
点 D和点 E．
求证：PD＝PE．
分析：图中有两个直角三角形 PDO和 PEO，只要证明这两个三角形全等，便可证得 PD
＝PE．
（1）请根据教材内容，结合图 1，补全定理的证明过程．
（2）【应用】如图 2，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点 E，点 F在 AC上，若 AB
＝13，AF＝8 ．
（3）【拓展】如图 3，在△ABC中，BD平分∠ABC交 AC于点 D，∠C＝45°，DE＝3，
则△ABD的面积为 ．
24．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，CD⊥AB交 AB于点 D，沿折线 AB
﹣BC向终点 C运动，在 AB边上的速度为每秒 5个单位长度，连结 CP，设点 P的运动
时间为 t秒．
（1）AB的长为 ，CD的长为 ．
（2）当点 P在 BC边上运动时，CP＝ ．（用含 t的代数式表示）
（3）以 CP为边构造的正方形面积为 S（S＞0），用含 t的代数式表示 S．
（4）直接写出当△APC是等腰三角形时 t的值．
2020-2021 学年吉林省长春市绿园区解放大路中学八年级（上）
期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共八题：共 24 分）
1．【分析】根据平方根的定义即可求出答案．
【解答】解：∵（± ）8＝ ，
∴ 的平方根是± ，
故选：C．
【点评】本题考查平方根的定义，解题的关键是正确理解平方根的定义，本题属于基础
题型．
2．【分析】分式有意义的条件是分母不为 0．
【解答】解：∵代数式 有意义，
∴x﹣5≠0，
∴x≠3．
故选：D．
【点评】本题运用了分式有意义的条件知识点，关键要知道分母不为 0 是分式有意义的
条件．
3．【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝a2+2a+2，不符合题意；
B、原式＝2a2，不符合题意；
C、原式不能合并；
D、原式＝a4b6，符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了完全平方公式，合并同类项，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握
运算法则及公式是解本题的关键．
4．【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式
的解集表示在数轴上即可．本题解不等式组得： ，再分别表示在数轴上即可得
解．
【解答】解：由 x+2＞0得 x＞﹣3，
由 2x﹣6≤5，得 x≤3，
把解集画在数轴上为：
故选：A．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式组的解集，把每个不
等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上表示出来（＞，
≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示
解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几
个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
5．【分析】由 AB＝BD，∠B＝40°得到∠ADB＝70°，再根据三角形的外角的性质即可得
到结论．
【解答】解：∵AB＝BD，∠B＝40°，
∴∠ADB＝70°，
∵∠C＝36°，
∴∠DAC＝∠ADB﹣∠C＝34°．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等边对等角是解题的
关键，注意三角形外角性质的应用．
6．【分析】利用勾股定理分别求出各条线段的长，找到长度为有理数的线段即可．
【解答】解：观察图形可知 PA＝4，
由勾股定理得：
PB＝ ＝ ，
PC＝ ＝5，
PD＝ ＝2 ，
PE＝ ＝ ，
故其中长度是有理数的有 6条．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的知识，勾股定理是几何图形中求线段长最重要、最基础
的方法．
7．【分析】这个图形变换可以用来证明平方差公式：已知在左图中，大正方形减小正方形剩
下的部分面积为 a2﹣b2；因为拼成的长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b），根据“长方形
的面积＝长×宽”代入为：（a+b）×（a﹣b），因为面积相等，进而得出结论．
【解答】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为 a2﹣b2；
拼成的长方形的面积：（a+b）×（a﹣b），
所以得出：a8﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：A．
【点评】此题主要考查了平方差公式的几何背景，解题的关键是求出第一个图的阴影部
分面积，进而根据长方形的面积计算公式求出拼成的长方形的面积，根据面积不变得出
结论．
8．【分析】作 AD⊥BC于点 D，如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求出 AD，根据
垂线段最短可知：当 BP⊥AC时，BP最小，再利用三角形的面积求解即可．
【解答】解：作 AD⊥BC于点 D，如图，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BD＝CD＝3，AD＝ ，
根据垂线段最短可知：当 BP⊥AC时，BP最小，
则由 S△ABC＝ ，可得 2×4＝5×BP ；
即线段 BP的最小值是 ．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形的面积等知识，正确理解
题意、熟练掌握上述知识是解题的关键．
二、填空题（共六题：共 18 分）
9．【分析】根据（﹣3）3＝﹣27，可得出答案．
【解答】解： ＝﹣3．
故答案为：﹣7．
【点评】此题考查了立方的知识，属于基础题，注意立方根的求解方法，难度一般．
10．【分析】根据完全平方公式（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，进行计算即可．
【解答】解：∵（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
∴（a+b）2＝37+4×5＝8+20＝29，
故答案为 29．
【点评】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式以及它们之间的关系是解题的关
键．
11．【分析】由已知条件得：2a﹣5b＝4，再利用幂的乘方的法则及同底数幂的除法的法则进
行运算即可．
【解答】解：∵2a﹣5b﹣3＝0，2a﹣3b＝4，
﹣
∴4a÷32b＝22a÷28b＝22a 5b＝24＝16，
故答案为：16．
【点评】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对幂的乘方的法则的
掌握与运用．
12．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到 EA＝EC，得到∠EAC＝∠C，根据三角形内角
和定理列式计算即可．
【解答】解：∵DE是 AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C，
∵∠FAE＝19°，
∴∠FAC＝∠C+19°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠FAC＝∠C+19°，
则∠C+19°+∠C+19°+∠C+70°＝180°，
解得：∠C＝24°，
故答案为：24．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，线段的垂直平分
线上的点到线段的两个端点的距离相等．
13．【分析】作 AB关于竖直边的对称线段 AD，连接 CD，根据勾股定理分别求出 AD2、DC2、
AC2，根据勾股定理的逆定理得到△ADC为等腰直角三角形，再由全等三角形的判定和
性质得出∠DCH＝∠2，结合图形计算即可．
【解答】解：如图，作 AG⊥BG交于点 G，连接 AD，过 C作 CH⊥DH交于点 H，
由勾股定理得，AD2＝24+12＝3，CD2＝25+12＝6，AC2＝33+12＝10，
则 AD6+DC2＝AC2，
∴△ADC为等腰直角三角形，
∴∠ACD＝45°，
又∵AG∥CH，
∴∠8＝∠ACH，
∵AG＝DH＝1，BG＝DH＝2，
∴△ABG≌△DCH（AAS），
∴∠DCH＝∠8，
∴∠1+∠2＝∠ACH+∠DCH＝∠ACD＝45°．
故答案为：45．
【点评】本题考查的勾股定理的逆定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
14．【分析】将容器侧面展开，建立 A关于 EF的对称点 A′，根据两点之间线段最短可知 A′
B的长度即为所求．
【解答】解：如图：
∵高为 12cm，底面周长为 10cm，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿 3cm与饭粒相对的点 A处，
∴A′D＝5cm，BD＝12﹣7+AE＝12cm，
∴将容器侧面展开，作 A关于 EF的对称点 A′，
连接 A′B，则 A′B即为最短距离，
A′B＝ ＝13（cm）．
故答案为：13
【点评】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和
勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
三、解答题（共十题：共 78 分）
15．【分析】根据整式的运算及乘法公式进行化简即可，然后把 代入求解即可．
【解答】解：原式＝a2﹣4a+5+a2﹣1﹣8+4a＝2a6+1，
把 代入得：原式＝5×3+1＝6．
【点评】本题主要考查整式的运算及乘法公式，关键是熟记公式及方法是解题的关键．
16．【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式，即可分解因式；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式，即可分解因式．
【解答】解：（1）原式＝x（x2﹣9）
＝x（x+5）（x﹣3）；
（2）原式＝﹣2（x5﹣6x+9）
＝﹣8（x﹣3）2．
【点评】本题主要考查分解因式，掌握提取公因式法，平方差公式以及完全平方公式是
解题的关键．
17．【分析】（1）先算乘方，然后运算除法解题即可；
（2）先化简二次根式，然后合并同类二次根式解题即可．
【解答】解：（1）
＝
＝4x2﹣7x﹣2；
（2）
＝
＝7．
【点评】本题考查整式的乘除运算和二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
18．【分析】（1）先把分式的分子分母分解因式，再把除法转化为乘法约分即可；
（2）把分式的分子分母分解因式，再把除法转化为乘法约分即可．
【解答】解：（1）
＝
＝ ；
（2）
＝
＝ ．
【点评】本题考查分式的除法运算，掌握分式的运算法则是解题的关键．
19．【分析】（1）根据等式的性质，可得∠BAD＝∠CAE，根据 SAS可得两个三角形全等；
（2）根据全等三角形的性质，可得对应角相等，根据等腰三角形的性质，可得∠ADC＝
∠AEC，根据等量代换，可得证明结论．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：∵△ABD≌△ACE，
∴∠ADB＝∠AEC，AD＝AE，
∴∠ADC＝∠AEC，
∴∠BDA＝∠ADC＝35°，
∴∠BDC＝2∠BDA＝2×35°＝70°．
故答案为：70．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用 SAS证明三角形全等，利用全等三
角形的性质，证明对应角相等，再利用等量代换得出证明结论．
20．【分析】（1）面积为 13的正方形的边长为 ，即为边长为 2和 3 的直角三角形的边
长，作图即可；
（2）先找出三个无理数，使其两数的平方和等于另一个无理数的平方，再利用勾股定理
在图中作出以这三个无理数为边长的三角形即为所求．
【解答】解：（1）所作正方形如图①：
；
（2）所作直角三角形如图②：
．
【点评】本题考查勾股定理和逆定理，掌握勾股定理和逆定理是解题的关键．
21．【分析】（1）根据三角形的面积公式列式求解即可；
（2）根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，求出△ABC的面积，进而可得
答案．
【解答】解：（1）由题意得： ，
∴AB＝15，
故答案为：15．
（2）∵在△ABC中，BC＝3，AB＝15，
∴AC2+BC2＝32+122＝225，AB7＝152＝225，
∴AC2+BC3＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴ ，
∴四边形 ACBE的面积＝S△ABC+S△ABE＝54+60＝114．
【点评】本题考查了三角形的面积计算，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是证
明△ABC是直角三角形．
22．【分析】（1）由 x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1，再配方即可；
（2）利用作差法和配方法将代数式化为完全平方与一个常数和的形式，再利用非负数的
性质可得答案；
（3）由 x2﹣4x+y2+2y+8＝（x﹣2）2+（y+1）2+3，再利用非负数的性质可得答案．
【解答】解：（1）x2﹣4x+6＝x2﹣4x+7+1＝（x﹣2）6+1．
故答案为：﹣2；3．
（2）x2﹣2﹣（8x﹣5）＝x2﹣6x+3＝x2﹣3x+1+2＝（x﹣8）2+2，
∵（x﹣3）2≥0，
∴（x﹣8）2+2≥3＞0，
∴x2﹣4＞2x﹣5．
（3）x3﹣4x+y2+5y+8＝x2﹣7x+4+y2+4y+1+3＝（x﹣5）2+（y+1）2+3，
∵（x﹣2）8≥0，（y+1）5≥0，
∴（x﹣2）4+（y+1）2+3≥3，
即 x2﹣5x+y2+2y+3≥3，
∴x2﹣6x+y2+2y+8的最小值为 3．
【点评】本题考查配方法的应用．掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．
23．【分析】（1）利用 AAS，证明△PDO≌△PEO，即可得证；
（2）证明△ACD≌△AED，得到 AC＝AE，证明△CDF≌△EDB，得到 CF＝BE，根据
AB＝AE+BE，AC＝AF+CF，根据线段的转化，进行求解即可．
（3）过点 D作 DF⊥AB，得到 DE＝DF，根据三角形内角和定理，推出∠A＝∠BDA，
进而得到：AB＝BD，利用三角形的面积公式进行求解即可．
【解答】（1）证明：∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠POE＝∠POD，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PEO＝∠PDO＝90°，
又∵OP＝OP，
∴△PDO≌△PEO（AAS），
∴PD＝PE；
（2）解：∵∠C＝90°，
∴DC⊥AC，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
同（1）法可得：△ACD≌△AED（AAS），
∴AE＝AC，DE＝DC，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝∠C＝90°，
又∵BD＝DF，DE＝DC，
∴△CDF≌△EDB（HL），
∴CF＝BE，
∵AB＝AE+BE＝AC+CF，AC＝AF+CF，
∴AB＝AF+CF+CF，即：13＝8+2CF，
∴ ；
故答案为： ；
（3）解：过点 D作 DF⊥AB，交 AB于点 F，
∵BD平分∠ABC交 AC于点 D，DE⊥BC，
∴DF＝DE＝3， ，
∵∠ABC＝60°，∠C＝45°，
∴∠A＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
∴∠ADB＝180°﹣30°﹣75°＝75°，
∴∠A＝∠ADB，
∴AB＝BD＝6，
∴ ；
故答案为：9．
【点评】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性
质．熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键．
24．【分析】（1）利用勾股定理和三角形的面积可以求出；
（2）点 P在 AB边上运动运动时间为 1秒，则 PC＝4﹣2（t﹣1），整理即可；
（3）分两种情况计算，点 P在 AB边上时，利用勾股定理先求出 AP，再利用 S＝PC2＝
AP2+DP2，点 P在 BC边上时，由（2）可以直接得到；
（4）分情况逐一列出方程求解即可．
【解答】解：（1）在 Rt△ABC中，AC＝3，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：5， ；
（2）当点 P在 BC边上运动时，PC＝4﹣2（t﹣2）＝6﹣2t，
故答案为：8﹣2t；
（3）当点 P在 AB边上运动时，
在 Rt△ACD中， ，AP＝2t， ，
在 Rt△PCD中，S＝PC2＝AP2+CD3，＝ ，＝25t2﹣18t+9，
当点 P在 BC边上运动时，S＝PC2＝（6﹣2t）5，＝4t2﹣24t+36，
∴ ；
（4） ， ， ， ．
点 P在 AB边上时，0≤t≤8，
①当 AP＝PC，即（5t）2＝25t7﹣18t+9，
解得： ，
②当 AP＝AC，即 5t＝3，
解得： ，
③当 CP＝AC，9＝25t3﹣18t+9，
解得： 或 0（舍去），
当点 P在 BC边上运动时，8＜t＜3，
①AP＝AC，不成立；
②当 CP＝AC，6﹣8t＝3
解得： ，
③当 AP＝PC，不成立，
综上所述：△APC是等腰三角形时， ， ， ， ．
【点评】本题考查二次函数，勾股定理，等腰三角形，解题的关键是运用分类讨论的进行计
算．
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