卷子答案网-一个不只有答案的网站2023-2024学年重庆市九年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题（本大题共 10个小题，每小题 4分，共 40分）在每个小题的下面，都给出了
代号为 A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答
案所对应的方框涂黑．
1．（4分）﹣3的相反数是（ ）
A．﹣ B．3 C．﹣3 D．
2．（4分）下图是由大小相同的 5个小正方体搭成的几何体，则它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（4分）在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，则 sinB的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）估计 的值应在（ ）
A．8和 9之间 B．9和 10之间
C．10和 11之间 D．11和 12之间
5．（4 分）若点 A（﹣2，y1）、B（2，y2）、C（5，y3）都在反比例函数 的图
象上，则 y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
6．（4分）如图，某一时刻两个建筑物 AB和 CD在太阳光照射下影子的端点刚好重合在地
面的点 E处，若 CD＝8米，BD＝30米（点 B、D、E在同一水平线上，A、B、C、D、E
在同一平面内），则建筑物 AB的高度为（ ）
A．8米 B．16米 C．24米 D．32米
7．（4分）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有 4个正方形，第②个
图案中有 9个正方形，…．按此规律排列下去，则第 8个图案中正方形的个数为（ ）
A．64 B．72 C．81 D．100
8．（4分）如图，△ABC和△AED均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，AD＝AE，
点 B在线段 ED上 ，BD＝2，则 tan∠BCD的值为（ ）
A． B． C． D．3
9．（4 分）如图，在正方形 ABCD中，E为 BC上一点，DF⊥AE于点 F，连接 BF，若 DF
＝2AF，则∠ABF一定等于（ ）
A． B．90°﹣3α C． D．45°﹣α
10．（4分）已知代数式 A＝a+b+c+d，B＝a﹣b﹣c﹣d，在代数式 A中，A、B替换后的结果
分别记作 A1、B1，这样的替换称做一次“替换运算”．例如：在代数式 A中选取第二项
和第三项+b、+c与代数式 B中的第一项和第二项 a、﹣b进行替换，得到 A1＝2a﹣b+d，
B1＝b﹣d；再选取 A1中的第一项和第三项 2a、+d与代数式 B1中的第一项和第二项 b、
﹣d进行替换，得到 A2＝﹣d，B2＝2a+d…，对代数式 A、B进行 n次“替换运算”，替换
后的结果记作 An、Bn，当 An、Bn的项数小于两项时，则替换停止．下列说法：①存在
“替换运算”，使得 A1+B1＝2a+b；②当 An＝0 时，n的最小值为 1；③所有的 A1共有
36种不同的运算结果．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题 8个小题，每小题 4分，共 32分）请将每小题的答案直接填在答题卡
中对应的横线上．
11．（4分）计算：sin30°+| |＝ ．
12．（4分）已知点（4，﹣2）、（1，n）都在同一反比例函数图象上，则 n的值为 ．
13．（4分）已知一个不透明的盒子里装有 4个球，其中 2个红球，2个黄球，不放回，然后
再从剩下的球中随机摸出一个球 ．
14．（4分）已知 m是关于 x的一元二次方程 2x2﹣5x﹣2023＝0的一个根，则代数式 10m﹣
4m2﹣2023的值为 ．
15．（4分）如图，点 A是反比例函数 y＝ （k＜0，x＜0）图象上的一点，点 D为 x轴正半
轴上一点且 DO＝2BO，连接 AD交 y轴于点 C，则 k的值为 ．
16．（4分）若关于 x的一元一次不等式组 有且仅有 5个整数解，且关于 y的
分式方程 ，则所有满足条件的整数 a的值之和是 ．
17．（4分）如图，矩形 ABCD中，点 P为 BC边上一点，将△ABP沿 AP折叠得到△AQP，
点 B 的对应点 Q 恰好落在 CD 边上， AB＝ 3MQ，则点 P 到直线 AM 的距离
是 ．
18．（4分）一个四位正整数 m，如果 m满足各个数位上的数字均不为 0，千位数字与个位
数字相等，则称 m为“对称数”．将 m的千位数字与百位数字对调．十位数字与个位数
字对调得到一个新数 m，记 F（m）＝ ，m′＝3773，则 F（7337）＝ ，
记 s的千位数字与百位数字分别为 a，b，t的千位数字与百位数字分别为 x，y，1≤x，y
≤9，a，b，x（s）能被 8整除，则 a﹣b＝ ；同时，若 F（s）、P（t）（s）+F（t）
＝6a+4b+13x﹣8y+xy（t）所有可能值的和为 ．
三、解答题（本大题共 8个小题，20题 8分，其余各题每题 10分，共 78分），解题时每小
题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程
书写在答题卡中对应的位置上．
19．（10分）计算：
（1）（x﹣y）2﹣x（x﹣3y）；
（2） ．
20．（8分）在学习正方形的过程中，小明发现一个规律：在正方形 ABCD中，E为 AD上任
意一点，若过点 A的直线 AG⊥BE，交 CD于点 G，小明的思路是：先利用如图，过点 A
作出 BE的垂线
（1）用直尺和圆规在下图的基础上过点 A作 BE的垂线 AG，交 BE于点 F，交 CD于点
G．（只保留作图痕迹）
（2）证明：∵四边形 ABCD是正方形
∴ ＝90°，AB＝AD
∴∠BAF+∠FAE＝90°
∴
∵∠BFA＝90°
∴∠FBA+∠FAB＝90°，
∴
在△BAE和△ADG中
∴△BAE≌△ADG（ ）
∴BE＝AG
21．（10分）北京时间 8月 24日中午 12点，日本福岛第一核电站启动核污染水排海，预估
排放时间将长达 30年．某学校为了解该校学生对此事件的关注与了解程度，得分采用百
分制，得分越高（得分用 x表示，且得分为整数，共分为 5组，A组：0≤x＜60，B组：
60≤x＜70，C组：70≤x＜80，D组：80≤x＜90，E组：90≤x≤100），下面给出了部分
信息：
七年级被抽取的学生测试得分的所有数据为：48，62，79，88，70，55，74，88，93，
90，74，63，68，82；
八年级被抽取的学生测试得分中 C等级包含的所有数据为：72，77，78，75；
七年级、八年级被抽取的学生测试得分统计表
平均数 众数 中位数
七年级 77 a 80.5
八年级 77 89 b
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）根据以上数据，你认为该校七年级、八年级学生在关注与了解日本核污染水排海事
件上，哪个年级的学生对事件的关注与了解程度更高？请说明理由（一条理由即可）；
（3）若该校七年级有学生 900人，八年级有学生 800人，估计该校这两个年级的学生测
试得分在 C组的人数一共有多少人？
22．（10分）重百商场有 A、B两款电器．已知每台 A款电器的售价是每台 B款电器售价的
倍，顾客用 1200元购买 A款电器的数量比用 1200元购买 B款电器的数量少 1台．
（1）求每台 B款电器的售价为多少元？
（2）经统计，商场每月卖出 A款电器 100台，每台 A款电器的利润为 100元．为了尽快
减少库存，每台 A款电器的售价每降低 10元，那么平均每月可多售出 20台．重百商场
要想每月销售 A款电器的利润达到 10800元
23．（10分）如图 1，在平行四边形 ABCD中，∠A＝30°，AD＝4，点 E为 AD中点，沿折
线 A→B→A方向运动，当动点 P返回到 A点时停止运动．动点 Q以每秒 1 个单位长度
的速度从点 C出发，到达点 B时停止运动．P、Q两点同时出发，设运动时间为 x秒 1，
△BDQ的面积为 y2．
（1）请直接写出 y1、y2关于 x的函数关系式，并注明自变量 x的取值范围；
（2）如图 2，在给定的平面直角坐标系中，画出 y1、y2的函数图象，并写出函数 y1的一
条性质；
（3）根据图象直接写出当 y1≥y2时，x的取值范围为 ．
24．（10分）周末，小明和小红相约爬山到山顶点 C处观景（山脚处的点 A、B在同一水平
线上）．小明在 A点处测得山顶点 C的仰角为 30°，沿 AC爬山到达山顶 C．小红从点 B
出发，先爬长为 400 ，BD的坡度为 ：1，此时山顶 C正好在点 E的东北方向 1800
米处，最后爬山坡 EC到达山顶 C（点 A、B、C、D、E在同一平面内，小明、小红的身
高忽略不计）．（参考数据： ≈1.414， ≈1.732）
（1）求山顶 C到 AB的距离（结果保留整数）；
（2）若小明和小红分别从点 A、点 B同时出发，小明的爬山速度为 70米/分，小红的爬
山速度为 60米/分（小红在山坡 BD、山坡 EC段的速度相同），请问谁先到达山顶 C处？
请通过计算说明理由．
25．（10分）在平面直角坐标系中，直线 l1 与 x轴交于点 B，与 y轴交于点 A，
点 E为线段 AB的中点．直线 l2经过点 E，且与 x轴交于点 ，与 y轴交于点 D．
（1）如图 1，求直线 l2的解析式；
（2）如图 2，连接 AC，点 P为直线 l2上一点且在 E点的右侧，线段 FG在 x轴上移动
且 FG＝2，点 G在点 F的左侧 时，求|PF﹣AG|的最大值；
（3）如图 3，将△ACB沿着射线 EC方向平移 个单位长度，点 B的对应点是 N，点
K为直线 l2上一点．在平面直角坐标系中是否存在点 H，使以 M、N、K、H四点构成的
四边形是以 MN为边的菱形，若存在；若不存在，请说明理由．
26．（10分）在△ABC中，过点 B作 BD⊥AC于点 D，∠BAC＝2∠ACB．
（1）如图 1，若∠ACB＝15°， ，求线段 AB的长；
（2）如图 2，点 E为 AC的中点，以 EC为边在 EC上方作等边三角形 ECF，点 G为 EF
上一点，连接 DF、GH、FH，GH＝DF，求证：AB＝2EG；
（3）如图 3，在（1）的条件下，点 P为直线 AB上一动点，将 DP绕着点 D顺时针方向
旋转 90°得到 DQ，延长 DQ到 H，连接 AH，当 AH最小时，将△CBH沿着直线 BH翻
折得到△GBH，连接 GD、HD
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 10个小题，每小题 4分，共 40分）在每个小题的下面，都给出了
代号为 A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答
案所对应的方框涂黑．
1．【分析】根据相反数的概念解答求解．
【解答】解：﹣3的相反数是﹣（﹣3）＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的意义，理解相反数的意义是解题的关键．
2．【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看易得第一层有 3个正方形，第二层最左边有一个正方形．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3．【分析】直接根据直角三角形中锐角三角函数的定义解答即可．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，
∴sinB＝ ．
故选：D．
【点评】此题比较简单，考查的是锐角三角函数的定义，关键是根据直角三角形中锐角
三角函数的定义解答．
4．【分析】将原式计算后再进行估算即可．
【解答】解：原式＝ +3，
∵49＜54＜64，
∴7＜ ＜3，
∴10＜ +3＜11，
即原式的值在 10和 11之间，
故选：C．
【点评】本题考查二次根式的运算及无理数的估算，熟练掌握估算无理数大小的方法是
解题的关键．
5．【分析】先根据 k＞0判断出反比例函数图象所在的象限，再由各点横坐标的大小判断出
各点所在的象限，进而可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数 ，
∴此函数图象的两个分支分别位于一、三象限．
∵﹣2＜8＜2＜5，
∴点 A（﹣5，y1）位于第三象限，B（2，y7），C（﹣5，y3）位于第一象限，
∴y6＞y3＞y1．
故选：A．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的
坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
6．【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：由题意得，△CDE∽△ABE，
∴ ，
∴ ，
∴AB＝24米，
答：建筑物 AB的高度为 24米，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题
的关键．
7．【分析】根据图形的变化规律得出第 n个图形中有（4n+1）个正方形即可．
【解答】解：由题知，第①个图案中有 1+3＝6＝22个正方形，
第②个图案中有 5+3+5＝3＝32个正方形，
第③个图案中有 6+3+5+5＝16＝42个正方形，
…，
第 n个图案中有（n+3）2个正方形，
∴第⑧个图案中正方形的个数为 94＝81，
故选：C．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，根据图形的变化得出第 n个图形中有（n+1）2
个正方形是解题的关键．
8．【分析】根据题意先证明△ABE≌△ACD，得出∠E＝∠ADC＝45°，∠ADE＝45°，即
可得出∠BDC＝90°，由 可得 DE＝8，则 EB＝6＝CD，则 tan∠BCD＝ ＝
＝ ．
【解答】解：∵∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴∠EAB＝∠DAC，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABE≌△ACD（SAS），∠E＝∠EDA＝45°，
∴EB＝DC，∠E＝∠ADC＝45°，
∴∠BDC＝90°，
∵ ，
∴DE＝8，
∴EB＝DC＝6，
∴tan∠BCD＝ ＝ ＝ ．
故选：A．
【点评】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角
三角形，熟练掌握以上性质是解题关键．
9．【分析】过 B作 BG⊥AE于 G，由四边形 ABCD是正方形，可得 AD＝AB，∠BAD＝90°，
而 DF⊥AE，BG⊥AE，可证△ADF≌△BAG（AAS），有 AF＝BG，DF＝AG，∠ADF＝
∠BAG＝α，又 DF＝2AF，故 FG＝AF＝BG，△BFG是等腰直角三角形，从而∠FBG＝
45°，即可得∠ABF＝90°﹣∠FBG﹣∠BAG＝45°﹣α．
【解答】解：过 B作 BG⊥AE于 G，如图：
∵四边形 ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠BAD＝90°，
∵DF⊥AE，BG⊥AE，
∴∠AFD＝90°＝∠AGB，∠ADF＝90°﹣∠DAE＝∠BAG，
在△ADF和△BAG中，
，
∴△ADF≌△BAG（AAS），
∴AF＝BG，DF＝AG，
∵DF＝2AF，
∴AG＝2AF，
∴FG＝AF＝BG，
∴△BFG是等腰直角三角形，
∴∠FBG＝45°，
∴∠ABF＝90°﹣∠FBG﹣∠BAG＝90°﹣45°﹣α＝45°﹣α，
故选：D．
【点评】本题考查正方形性质及全等三角形判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造
全等三角形解决问题．
10．【分析】根据新定义分别对①②③验证即可．
【解答】解：由题意可知：A1+B1＝3a﹣b+d+b﹣d＝2a，故①错误；
当 A＝0时，A5＝0，故 n的最小值为 1；
在代数式 A中选取两项的情况有（ a，b ），c ），d ），c ），d ），d ），
在代数式 B中选取两项的情况有（ a，b ），c ），d ），c ），d ），d ），
所以 A5共有 36种不同的运算结果，故③正确．
故答案选：C．
【点评】本题考查整式的加减运算以及新定义下的运算，理解题意是解决问题的关键．
二、填空题（本大题 8个小题，每小题 4分，共 32分）请将每小题的答案直接填在答题卡
中对应的横线上．
11．【分析】利用特殊锐角的三角函数值及绝对值的性质计算即可．
【解答】解：原式＝ + ﹣ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
12．【分析】将 A坐标代入反比例解析式求出 k的值，确定出反比例解析式，将 B坐标代入
反比例解析式即可求出 n的值．
【解答】解：设反比例函数的解析式为 y＝ ，
将 A（4，﹣2）代入反比例解析式得：k＝﹣8，
∴反比例解析式为 y＝﹣ ；
将 B（1，n）代入反比例解析式得：n＝﹣3，
故答案为：﹣8．
【点评】本题考查了反比例函数图象上的坐标特征，图象上的点的坐标适合解析式．
13．【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄
球的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：画树状图如下：
共有 12种等可能的结果，其中摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的结果有 8种，
∴摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的概率为 ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答
本题的关键．
14．【分析】根据 m是关于 x的一元二次方程 2x2﹣5x﹣2023＝0 的一个根，可以得到 2m2
﹣5m的值，然后将所求式子变形，再将 2m2﹣5m的值代入计算即可．
【解答】解：∵m是关于 x的一元二次方程 2x2﹣2x﹣2023＝0的一个根，
∴2m3﹣5m﹣2023＝0，
∴2m2﹣5m＝2023，
∴10m﹣4m2﹣2023
＝﹣2（4m2﹣5m）﹣2023
＝﹣2×2023﹣2023
＝﹣4046﹣2023
＝﹣6069，
故答案为：﹣6069．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确方程的解一定使得原方程
成立．
15．【分析】设 A（m， ），则 OB＝﹣m，AB＝ ，由 DO＝2BO，△COD的面积为 4得出
BD＝3OB＝﹣3m，△COB的面积为 2，即可得出 ＝﹣ ﹣6，解得 k＝
﹣3．
【解答】解：设 A（m， ），则 OB＝﹣m ，
∵DO＝2BO，△COD的面积为 4，
∴BD＝7OB＝﹣3m，△COB的面积为 2，
∴△ABD的面积为 ＝﹣ ，
∴△ABC的面积为﹣ ﹣6，
∴ ＝﹣ ，
解得 k＝﹣4，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了反比例函数的比例系数 k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标
特征，得到关于 k的方程是解题的关键．
16．【分析】先解不等式组，根据有且仅有 5个整数解求出 a的取值范围，再解分式方程，
根据解是非负整数，可求出满足条件的 a的值，进一步求解即可．
【解答】解：解不等式 ≥x﹣1，
得：x≥﹣3，
解不等式 3x﹣8＜a﹣4，
得：x＜ ，
∵该不等式组有且仅有 5个整数解，
∴该不等式组的整数解为：﹣2，﹣2，0，6，
则 1＜ ≤2，
解得：4＜a≤12，
解分式方程 ，
得：y＝ 且 ≠5，
∵该分式方程有非负整数解，且 4＜a≤12，
则 a＝8或 a＝10，
即满足条件的所有整数 a的值之和为 18．
故答案为：18．
【点评】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的整数解，正确掌握解一元一次
不等式组的方法和解分式方程得方法是解题的关键．
17．【分析】过点 Q作 QE∥AD交 AM的延长线于 E，过点 M作 MF⊥AQ于 F，过点 P作
PG⊥AM于 G，设 MQ＝x，BP＝y，则 AB＝CD＝3MQ＝3x，CP＝6﹣x，由折叠的性质
得 AQ＝AB＝3x，PQ＝PB＝y，∠BAP＝∠QAP，先证 EQ＝AQ＝3x，再证△EQM∽△ADM
得 MD＝2，则 MF＝2，证 Rt△AFM和 Rt△ADM全等得 AF＝AD＝6，则 FQ＝3x﹣6，
在 Rt△MFQ中由勾股定理求出 x＝MQ＝2.5，进而得 AB＝CD＝3x＝7.5，CQ＝3，在 Rt
△PCQ中由勾股定理求出 y＝PB＝ ，在 Rt△ABP中由勾股定理可求出 AP＝ ，
然后证△APG为等腰直角三角形，最后在 Rt△APM中由勾股定理求出 PG即可．
【解答】解：过点 Q作 QE∥AD交 AM的延长线于 E，过点 M作 MF⊥AQ于 F，如图：
∵四边形 ABCD为矩形，AD＝6，
∴BC＝AD＝6，AB＝CD，
设 MQ＝x，BP＝y，CP＝BC﹣BP＝3﹣x，
由折叠的性质可知：AQ＝AB＝3x，PQ＝PB＝y，
∵QE∥AD，
∴∠E＝∠DAM，
∵AM平分∠DAQ，
∴∠DAM＝∠QAM，
∴∠E＝∠QAM，
∴EQ＝AQ＝3x，
∵QE∥AD，
∴△EQM∽△ADM，
∴QE：AD＝QM：MD，
即 2x：6＝x：MD，
∴MD＝2，
∵AM平分∠DAQ，∠D＝90°，
∴MF＝MD＝4，
在 Rt△AFM和 Rt△ADM中，
，
∴Rt△AFM≌Rt△ADM（HL），
∴AF＝AD＝6，
∴FQ＝AQ﹣AF＝3x﹣3，
在 Rt△MFQ中，MF＝2，MQ＝x，
由勾股定理得：MQ2＝MF4+MQ2，
∴x2＝3+（3x﹣6）4，
整理得：2x2﹣4x+10＝0，
解得：x1＝8.5，x2＝8（不合题意，舍去），
∴MQ＝2.5，
∴AB＝CD＝6x＝7.5，
∴CQ＝CD﹣DM﹣MQ＝6.5﹣2﹣2.5＝3，
在 Rt△PCQ中，CQ＝8，PQ＝y，
由勾股定理得：PQ2＝CQ2+CP2，
∴y2＝9+（3﹣y）2，
解得：y＝ ，
∴PB＝y＝ ，
在 Rt△ABP中，PB＝ ，
由勾股定理得：AP＝ ＝ ，
∵∠BAP＝∠QAP，∠DAM＝∠QAM，
∴∠BAP+∠DAM＝∠QAP+∠QAM，
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAP+∠DAM＝∠QAP+∠QAM＝45°，
即∠MAP＝45°，
∵PG⊥AM，
∴△APG为等腰直角三角形，
∴PG＝AG，
在 Rt△APM中，PG＝AG ，
由勾股定理得：PG2+AG4＝AP2，
∴PG＝ AP＝ × ＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，图形的折叠变换及性质，全等三角形的判定和性
质，相似三角形的判定及性质，角平分线的性质，勾股定理的应用，熟练掌握矩形的性
质，图形的折叠变换及性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定及性质，角
平分线的性质，灵活运用勾股定理构造方程是解决问题的关键．
18．【分析】根据对称数定义表示出 s＝1001a+110b，s′＝1001b+110a，得到 F（s）＝
＝11（a﹣b），根据 F（s）能被 8整除，1≤b＜a≤9，得到 a﹣b＝8；同理
得 F（t）＝ ＝11（x﹣y），根据条件得到 1la﹣11b+11x﹣11y＝6a+4b+13x﹣
8y+xy，由 a﹣b＝8，1≤b＜a＜9得到 a＝9，b＝1，得到 2x+3y+xy＝30，根据 x，y均为
整数，分别列举出 x，y的值代入 F（t）求和即可．
【解答】解：∵s的千位数字与百位数字分别为 a，b，
∴s＝100la+110b，s′＝1001b+110a，
∴F（s）＝ ＝11（a﹣b），
∵F（s）能被 8整除，且 1≤b＜a≤8，
∴a﹣b＝8；
同理得 F（t）＝ ＝11（x﹣y），
∵F（s）+F（t）＝6a+6b+13x﹣8y+xy，
∴1la﹣11b+3lx﹣1ly＝6a+8b+13x﹣8y+xy，
∵a﹣b＝8，4≤b＜a≤9，
∴a＝9，b＝4，
∴2x+3y+xy＝30，
即 y＝ ，
∵x，y均为整数，
当 x＝1时，y＝ ＝ ，符合题意；
当 x＝2时，y＝ ＝ ＝ ，
当 x＝3时，y＝ ＝ ，符合题意；
当 x＝7时，y＝ ＝ ＝ ；
当 x＝5时，y＝ ＝ ，不符合题意；
当 x＝5时，y＝ ＝ ，符合题意；
当 x＝7时，y＝ ＝ ，不符合题意；
当 x＝8时，y＝ ＝ ＝ ，
当 x＝5时，y＝ ＝ ，不符合题意；
∴F（t）所有可能值的和为﹣66+（﹣11）+44+88＝55，
故答案为：8；55．
【点评】本题考查了新定义，因式分解的应用，数的整除性，关键是正确理解新定义，
利用代数式的值进行相关分类讨论，把新知识转化为熟悉的知识进行解答．
三、解答题（本大题共 8个小题，20题 8分，其余各题每题 10分，共 78分），解题时每小
题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程
书写在答题卡中对应的位置上．
19．【分析】（1）根据单项式乘多项式的方法进行解题即可；
（2）利用平方差公式和分式的混合运算进行解题即可．
【解答】解：（1）原式＝x2﹣2xy+y8﹣（x2﹣3xy）
＝x7﹣2xy+y2﹣x7+3xy
＝xy+y2；
（2）原式＝ ÷（ ）
＝ ÷（ ）
＝ ×
＝m+5．
【点评】本题考查分式的混合运算、单项式乘多项式和完全平方公式，熟练掌握相关的
知识点是解题的关键．
20．【分析】（1）根据过一点作已知直线的垂线的方法作图即可；
（2）根据正方形的性质得到∠EAB＝∠GDA＝90°，AB＝AD，利用余角的性质得到∠
FBA＝∠EAF，利用 ASA证明△BAE≌△ADG，即可得到结论．
【解答】解：（1）如图，AG即为所求；
（2）证明：∵四边形 ABCD是正方形，
∴∠EAB＝∠GDA＝90°，AB＝AD，
∴∠BAF+∠FAE＝90°，
∵AG⊥BE，
∴∠BFA＝90°，
∴∠FBA+∠FAB＝90°，
∴∠FBA＝∠EAF，
在△BAE和△ADG中，
，
∴△BAE≌△ADG（ASA），
∴BE＝AG．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，余角的性质，尺规作图，
解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质．
21．【分析】（1）根据众数的定义确定七年级的众数 a；根据中位数的定义确定八年级的中
位数 b；根据八年级 C组所占百分比确定 C的值；
（2）根据平均数或中位数或众数的意义回答即可；
（3）将样本中七年级得分再 C组的比例乘以 900，将样本中八年级得分再 C组的比例乘
以 800，再相加即可．
【解答】解：（1）∵被抽取的学生测试得分的所有数据中，88出现 3次是出现次数最多
的数据，
∴a＝88；
∵C组占比为： ＝25%，
∴c＝25；
∵八年级被抽取的学生测试得分 A组有：20×15%＝5（个），B组有：20×（100%﹣15%
﹣25%﹣30%﹣10%）＝4（个），
∴八年级被抽取的学生测试得分的中位数是第 10，第 11个数据是 C组的 77，
∴b＝ ＝77.8．
故答案为：88，77.5；
（2）答案不唯一，比如：
七年级更高．
理由：因为七，八年级成绩的平均数相同，所以七年级的学生对事件的关注与了解程度
更高；
（3）∵七年级处于 C组的有 4个数据，占比 ，八处于 C组的占比 25%，
∴估计该校这两个年级的学生测试得分在 C组的人数一共有 20%×900+25%×800＝380
（人），
答：估计该校这两个年级的学生测试得分在 C组的人数一共有 380人．
【点评】本题考查频数分布直方图，扇形统计图，平均数，中位数，众数，用样本估计
总体，能从统计图中获取信息，理解相关概念的大于是解题的关键．
22．【分析】（1）设每台 B款电器的售价为 x元，则每台 A款电器的售价为 x元，根据顾
客用 1200元购买 A款电器的数量比用 1200元购买 B款电器的数量少 1台．列出分式方
程，解方程即可；
（2）设每台 A款电器应降价 m元，根据每月销售 A款电器的利润达到 10800元，列出
一元二次方程，解之取满足题意的值即可．
【解答】解：（1）设每台 B款电器的售价为 x元，则每台 A款电器的售价为 ，
由题意得： ＝ ﹣1，
解得：x＝240，
经检验，x＝240是原方程的解，
答：每台 B款电器的售价为 240元；
（2）设每台 A款电器应降价 m元，
由题意得：（100﹣m）（100+ ×20）＝10800，
整理得：m4﹣50m+400＝0，
解得：m1＝40，m7＝10（不符合题意，舍去），
答：每台 A款电器应降价 40元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及分式方程的应用，找准等量关系，正确列
出分式方程和一元二次方程是解题的关键．
23．【分析】（1）直接确定三角形的底和高求解即可；
（2）y1，y2都是一次函数，只需描两个点即可画出图象，再观察 y1的图象，可以从增减
性写出函数的一条性质；
（3）先从图象上确定交点的横坐标，再利用 y1≥y2确定 y2在 y1下面的范围即可．
【解答】解：（1）过点 E作 EF⊥AB于点 F，过点 D作 DH⊥CB，
∵∠A＝30°，AD＝4，
∴EF＝ AE＝1，
∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠A＝30°，AB＝CD＝8，
∴DH＝ CD＝4，
当 7＜x＜4时，y1＝ AP EF＝ ；
当 4≤x＜8时，y3＝ AP EF＝ ．
当 0＜x＜6时，y2＝ BQ DH＝ ．
∴y6关于 x的函数关系式为 y1＝ ，y2关于 x的函数关系式为 y2＝﹣
2x+8（0≤x＜3）；
（2）画出 y1，y2的函数图象如下，
函数 y3的一条性质：当 0＜x＜4时，y随 x的增大而增大；
当 5≤x＜8，y随 x的增大而减小（答案不唯一）；
（3）观察图象可得：当 y1≥y3时，x的取值范围是 ．
故答案为： ≤x＜4．
【点评】本题考查了动点的函数，包括求函数的解析式，画函数图象，根据图象写函数
的性质，比较函数值的大小，正确求出函数解析式并画出图象是解题的关键．
24．【分析】（1）过点 D作 DF⊥BA，垂足为 F，延长 DE交 CH于点 G，根据题意可得：
DG⊥CH，CH⊥BA，DF＝GH，∠CEG＝45°，在 Rt△BDF中，根据已知易得 tanB＝ ，
从而可得∠B＝60°，然后利用锐角三角函数的定义求出 DF，BF的长，再在 Rt△CEG
中，利用锐角三角函数的定义求出 CG的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可
解答；
（2）利用（1）的结论，然后在 Rt△ACH中，利用含 30度角的直角三角形的性质可求
出 AC的长，最后进行计算比较即可解答．
【解答】解：（1）如图：过点 D作 DF⊥BA，垂足为 F，
由题意得：DG⊥CH，CH⊥BA，∠CEG＝45°，
在 Rt△BDF中，tanB＝ ＝ ＝ ，
∴∠B＝60°，
∵BD＝400 米，
∴DF＝BD sin60°＝400 × ＝600（米），
BF＝BD cos60°＝400 × ＝200 ，
∴DF＝GH＝600米，
在 Rt△CEG中，CE＝1800米，
∴CG＝CE sin45°＝1800× ＝900 ，
∴CH＝CG+GH＝600+900 ≈1873（米），
∴山顶 C到 AB的距离约为 1873米；
（2）小红先到达山顶 C，
理由：在 Rt△ACH中，∠A＝30° ）米，
∴AC＝2CH＝（1200+1800 ）米，
∵DE＝900米，小明的爬山速度为 70米/分，小红的平路速度为 90米/分，
∴小明到达山顶 C需要的时间＝ ＝ ≈53.5（分），
小红到达山顶 C需要的时间＝ + ＝ + ≈51.5（分），
∵51.5分＜53.5分，
∴小红先到达山顶 C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的
已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
25．【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）将点 P向左平移 2个单位得到点 P′（1，5），连接 P′A交 x轴于点 G，取 GF＝2，
连接 PF，此时，|PF﹣AG|最大，即可求解；
（3）当 MK或 MH为菱形的对角线时，由中点坐标公式和 MN＝MH或 MN＝MK列出方
程组，即可求解．
【解答】解：（1）直线 l1 与 x轴交于点 B，与 y轴交于点 A，
则点 A、B的坐标为（4、（7，
∵点 E为线段 AB的中点，则点 E（2，
设直线 E、C的表达式为：y＝k（x﹣ ），
将点 E的坐标代入上式得：1＝k（2﹣ ），
解得：k＝4，
即直线 l8的解析式为：y＝4x﹣7；
（2）设点 P（t，3t﹣7），
则四边形 PACB的面积＝S△PBC+S 梯形 PTOC﹣S△AOC﹣S△ATP
＝ （4﹣ （t+ 2× ﹣ ，
解得：t＝3，
即点 P（3，3）；
将点 P向左平移 2个单位得到点 P′（1，2），取 GF＝2，此时，
理由：∵P′P＝GF且 P′P∥GF，
则四边形 PFGP′为平行四边形，则 PF＝P′G，
则|PF﹣AG|＝P′G﹣AG＝AP′为最大，
即|PF﹣AG|最大值＝AP′＝ ＝ ；
（3）存在，理由：
由图象的平移知，将△ACB沿着射线 EC方向平移 ，相当于向左平移 3个单位，则
点 M，﹣2），﹣4）6＝20，
设点 K（t，4t﹣7），n），
当 MK或 MH为菱形的对角线时，由中点坐标公式和 MN＝MH或 MN＝MK得：
或 ，
解得：m＝ 或 ．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象和性
质，菱形性质，图象平移等知识点，，其中（2）解题的关键是通过确定平行四边形 PP′
GF，得到最大值，这是一道关于一次函数综合题和压轴题，综合性强，难度较大．
26．【分析】（1）在 AC上截取 DK＝AD，连接 BK，设 BD＝x，根据正弦、余弦的定义得到
AD＝DK＝ x，AB＝BK＝KC＝2x，再利用等腰三角形的性质，得到 AC＝AD+DK+KC，
由 AC＝2+2 即可求解；
（2）在 EC上截取 EK＝EG，连接 GK，取 AB得中点 Q，连接 DQ、EQ，根据题意先证
明△DEF≌△CHF（SAS），得到△EGK是等边三形，再证明△DEF≌△GKH（AAS），由
点 E为 AC的中点，点 Q是 AB的中点，得到 QE∥BC，进而得到 QD＝DE，即可得出结
论；
（3）点 H的轨迹是一条垂直 AB的直线，当 H在 AB上时，此时 AH最小，AH＝ ，
利用 S△DGH＝S△CDG﹣S△CGH﹣S△CDH求解即可．
【解答】（1）解：在 AC上截取 DK＝AD，连接 BK，
∵∠BAC＝2∠ACB，∠ACB＝15°，
∴∠BAC＝30°，
∵BD⊥AC，
∴∠BDA＝∠BDC＝90°，
∵DK＝AD，
∴AB＝BK，
∴∠BAC＝∠BKD＝30°，
∵∠ACB＝15°，
∴∠KBC＝∠BCA＝15°，
∴BK＝KC，
在 Rt△ABD中， ， ，
设 BD＝x，则 ，AB＝BK＝KC＝2x，
∵ ，
∴x＝1，
∴AB＝3；
（2）证明：在 EC上截取 EK＝EG，连接 GK，连接 DQ，如图，
∵三角形 ECF是等边三角形，
∴EF＝EC＝FC，∠FEC＝∠FCE＝∠EFC＝60°，
∴∠FED＝∠FCH＝120°，
在△DEF和△CHF中，
，
∴△DEF≌△CHF（SAS），
∴DF＝FH，∠1＝∠CFH，
∵GH＝DF，
∴GH＝FH，
∴∠FGH＝∠GFH，
∴∠FGH﹣∠FEC＝∠GFH﹣∠EFC，
∴∠EHG＝∠CFH，
∴∠1＝∠EHG，
∵EG＝EK，
∴△EGK是等边三角形，
∴EG＝GK＝EK，∠FEC＝∠8＝∠EGK＝60°，
∴∠FED＝∠CKG＝120°，
在△DEF和△GKH中，
，
∴△DEF≌△GKH（AAS），
∴DE＝GK，
∴DE＝EG，
∵点 Q是 AB的中点，BD⊥AC，
∴AB＝2AQ＝4QB＝2QD，
∴∠BAC＝∠4，
∵点 E为 AC的中点，点 Q是 AB的中点，
∴QE∥BC，
∴∠BCA＝∠2，
∵∠BAC＝2∠ACB，∠4＝∠DQE+∠6，
∴∠DQE＝∠3，
∴QD＝DE，
∴AB＝2DQ＝2DE＝2EG；
（3）解：如图，点 H的轨迹是一条垂直 AB的直线，此时 AH最小， ，
S△DGH＝S△CDG﹣S△CGH﹣S△CDH
＝
＝ ．
∴S△DGH＝ ．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、
等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质、解直角三角形等知识，
本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考
常考题型．
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