卷子答案网-一个不只有答案的网站2023届高考数学小题狂刷卷： 三角函数线的含义与运用
一、选择题（共19小题）
1. 若 和 分别是 的正弦线和余弦线，那么下列结论中正确的是
A. B. C. D.
2. 若 ，则下列角中符合条件的是
A. B. C. D.
3. 已知角 的余弦线是单位长度的有向线段，那么角 的终边
A. 在 轴上 B. 在直线 上
C. 在 轴上 D. 在直线 或 上
4. 若 ，则下式中正确的是
A. B.
C. D.
5. 已知角 是第四象限角，则
A. 大于 B. 大于或等于 C. 小于 D. 小于或等于
6. 若 ，则 ，， 的大小关系为
A. B.
C. D.
7. 对于下列四个命题：① ；② ；③ ；④ ．其中正确命题的序号是
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
8. 不论角 的终边位置如何，在单位圆中作三角函数线时，下列说法正确的是
A. 总能分别作出正弦线、余弦线、正切线
B. 总能分别作出正弦线、余弦线、正切线，但可能不只一条
C. 正弦线、余弦线、正切线都可能不存在
D. 正弦线、余弦线总存在，但正切线不一定存在
9. 如果 ，那么下列不等式成立的是
A. B.
C. D.
10. 若 是第一象限角，则 的值与 的大小关系是
A. B. C. D. 不能确定
11. 已知 是第二象限角，下列四个不等式可能成立的是
① ；
② ；
③ ；
④ ．
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④
12. 若点 在第一象限，则在 内 的取值范围是
A. B.
C. D.
13. 满足 的角 的一个取值区间是
A. B. C. D.
14. 如图，已知单位圆 与 轴相交于 、 两点，角 的顶点为坐标原点，始边在 轴的正半轴上，终边在射线 上．过点 作直线 垂直于 轴且与角 的终边 交于点 ，则有向线段 表示的函数值是
A. B. C. D.
15. 设 是第二象限的角，则必有
A. B. C. D.
16. 如果 、 都是第二象限角，且 ，那么
A. B. C. D. 不能确定
17. 满足下列关系式的 的是
A. 且 B. 且
C. 且 D. 且
18. 给出下列命题：
①第二象限角大于第一象限角；
②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；
③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关；
④若 ，则 与 的终边相同；
⑤若 ，则 是第二或第三象限的角．
其中正确命题的个数是
A. B. C. D.
19. ，， 的大小关系是
A. B. C. D.
二、填空题（共10小题）
20. 三角函数线
如图，设角 的终边与单位圆交于点 ，过 作 轴，垂足为 ，过 作单位圆的切线与 的终边或终边的反向延长线相交于点 ．
21. 若 ， ，则 .
22. 已知 ， 均为第二象限角，若 ，则 与 的大小关系是 ．（填“”“”或“”）
23. 如图，点 从 出发，沿单位圆按顺时针方向运动 弧长到达 点，则 点的坐标为 .
24. ，， 的大小顺序为 ．（按从大到小的顺序排列）
25. 若 ，则角 的范围是 ．
26. 已知点 在第一象限，则在 内， 的取值范围为 ．
27. ，， 从小到大的顺序是 ．
28. 若等腰三角形的周长 为常数，底边长为 ，腰长为 ，则函数 的定义域为 ．
29. 设 ，，若对任意实数 都有 ，则满足条件的有序实数对 的对数为 ．
三、解答题（共9小题）
30. 在单位圆中画出满足 的角 的范围，并由此写出角 的集合．
31. 已知 ，利用正弦线和余弦线比较 和 的大小．
32. 以 为单位长度作单位圈，分别作出 ，，，， 角的正弦线、余弦线和正切线，量出它们的长度，写出这些角的正弦、余弦和正切的近似值，再使用科学计算器求这些角的正弦、余弦和正切，并进行比较．
33. 已知 ，试利用三角函数线讨论 值的变化规律．
34. 若 ， 是关于 的二次方程 的两个根，且 ，求 的取值范围．
35. 已知 ，试利用三角函数线讨论 值的变化规律．
36. 已知 ，求证：．
37. 已知 ，，求证：．
38. （1）在 到 内，求使 的角 的取值范围；
（2）在任意角范围内，求使 的角 的取值范围．
答案
1. C
2. A
3. A
4. A
【解析】
由图可知，，所以 ．
5. C
【解析】因为角 为第四象限角，所以 ，
令 ，则 ，
所以角 为第四象限角，
所以 .
6. A
7. B
8. D
9. A
【解析】如图所示，在单位圆中分别作出 的正弦线 、余弦线 、正切线 ，很容易地观察出 ，即 ．
10. A
【解析】设 终边与单位圆交于点 ，过 作 垂直 轴于点 ，则 ，，则 ，即 ．
11. B
12. B
13. D
【解析】提示：将原不等式转化成 ，解得 或 ，此时
14. D
15. A
【解析】提示： 是第二象限的角，则 在图中阴影区域，利用三角函数线判断．
16. D
17. B
18. A
【解析】由于第一象限角 不小于第二象限角 ，故 ① 错；当三角形的内角为 时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故 ② 错；③ 正确；由于 ，但 与 的终边不相同，故 ④ 错；当 ， 时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故 ⑤ 错．综上可知只有 ③ 正确．
19. C
【解析】，可利用单位圆上的三角函数线比较．
20. ，，
21.
22.
【解析】作出符合题意的正弦线后，再作出 ， 的正切线得 ．
23.
24.
25.
26. 或
【解析】由题意知
如图所示，
由三角函数线可得
所以 或 ．
27.
【解析】，．因为 时，，所以 ，所以 ．
28.
29.
【解析】若 ，则 ，得 ，，
又 ，得 ；
若 ，则 ，得 ，即 ，，
又 ，得 ．
综上，满足条件的有序实数对 为 与 ，共有 对．
30. 在单位圆中作出满足 与 的角的终边，然后根据已知条件确定角 的范围．
作直线 ， 交单位圆于 、 、 、 四点，连接 、 、 、 ，则 、 、 、 围成的区域（如图所示阴影部分）即为角 的范围，
故满足条件的角 的集合为 ．
31. ．
32. ，，；
，，；
，，；
，，；
，，．
学生可自己作图得到近似值，与以上数据（近似到小数点后两位）进行比较．
33. 当 时，； 时，；
当 时，； 时，；
当 时，．
34. 由题意，，且 ，解得 的取值范围为 .
35. 当 时，；
当 时，；
当 时，；
当 时，；
当 时，．
36. 如图所示，设角 的终边与单位圆交于点 ，过 作 、 ， 、 分别为垂足．
所以 ，，
在 中，，
所以 ．
因为 ，
，
，
又因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ．
37. 如图，在单位圆中，过 作单位圆的切线 ，
在 上取 ， 两点，使 ，．
设 为 的平分线，则 ．
取 的中点 不妨设 ．
由 及 ，，得 ，，，．
由 为 的平分线，根据三角形内角平分线的性质，得 ，
可知 ，即 ，可得
故 点在 点和 点之间，所以 ．
而 ，
所以
即 ．
38. （1） 如图所示，作 与以原点为圆心的单位圆交于 ，．
在 到 内，， 分别是 ， 的终边，
当角 的终边 由 逆时针旋转至 时恒有 ；
当 由 逆时针旋转到 时，
恒有 ，
所以在 到 范围内使 的角 的取值范围是 ．
（2） 把（1）中情形推广到任意角范围，可得使 的角 的取值范围是 ．
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