江苏省常熟市王淦昌高级中学2022-2023高一下学期4月第一次月考数学试卷（含答案）

常熟市王淦昌高级中学 2022-2023 学年第二学期高一月考数学试卷
2022-2023 学年高一数学下学期第一次月考试卷
满分：150 分 考试时间：120 分钟
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．sin20 cos10 +sin70 sin10 =（ ）
1 1 3 3
A． B． C． D．
2 2 2 2
2．已知点 (1,3), (4, 1),则与 同方向的单位向量为（ ）
3 4 4 3 3 4 4 3
A. ， B. ， C. ， D. ，
5 5

5 5 5 5 5 5
3．已知 、 、 为单位向量，且满足 + = ，则 与 的夹角为（ ）
A. 30 B. 60 C. 90 D. 120
4．已知向量 = (3 sin , 2), = (1,1 cos )，若 = 2，则tan 2 =（ ）
12 6 12 6
A. B. C. D.
13 13 5 5
5．已知点 N、O、P满足 + + = 0 ，| | = | | = | |， = =
，则点 N、O、P依次是△ 的（ ）
A. 重心 外心 垂心 B. 重心 外心 内心 C. 外心 重心 垂心 D. 外心 重心 内心
6．已知△ABC是腰长为 2 的等腰直角三角形，D点是斜边 AB的中点，点 P在 CD上，且
= 3 ，则 =（ ）
15 15 15
A. B. C. D. 2
4 16 8
7．在△ 中，| | = | | = 2， A =120 ，点M 满足 = + ，
+ 2 =1，则| |的最小值为（ ）
21 21
A. B. C. 2 D. 1
7 14
8．在△ 中， = 2 ，过点 O的直线分别交直线 AB, AC 于 M，N两个不同的点，
若 = , = ，其中 m，n为实数，则m2 + 4n2 的最小值为（ ）
9
A. 1 B. 4 C. D. 5
2
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
第1页
常熟市王淦昌高级中学 2022-2023 学年第二学期高一月考数学试卷
9．下列等式成立的是（ ）
A. sin2
3 1 3 2
75 cos2 75 = B. sin15 + cos15 =
2 2 2 2
1
C. sin 75 cos75 = D. tan165 = 2 3
4
10． ABC是边长为 2 的等边三角形,已知向量 , 满足 = 2 , = 2 + ,则下列结论
中正确的是（ ）
A. 为单位向量 B. 为单位向量 C. ⊥ D. (4 + ) ⊥
11．已知向量 = (√2, 1)， = (cos , sin )(0 ≤ ≤ )，则下列命题正确的是（ ）
A. 若 ⊥ ，则tan = 2
3 2
B. 若 在 上的投影向量为
√
，则向量 与 的夹角为
6 3
C. 存在 ，使得| + | = | | + | |
D. 的最大值为 3
12．.下列四个等式中正确的是（ ） A. tan 25 + tan35 + 3 tan 25 tan35 = 3 B sin 50 (1+ 3 tan10 ) =1 C. 已知函数 f (x) =| sin x | + 3 | cos x |，则 f (x)的最小正周期是 cos( + ) sin( + )D. 已知 , (0, ) ， 2sin( + ) = sin sin ，则 + 的最小值为2 sin sin cos cos
2 1
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．
sin 48 cos18 sin 30
13． = ______.
sin18
14.已知向量 = (4,2)， = ( , 1)，若 + 2 与 的夹角是锐角，则实数 的取值范围
为 ．
15.如图，已知菱形 ABCD的边长为1， DAB＝60 ， = , = 2 ，则
=__________．
16．已知A 、 B 、C 为△ ABC的三内角，且角A 为锐角，
1 1
若 tan B = 2tan A，则 + 的最小值为______.
tan B tan C
第2页
常熟市王淦昌高级中学 2022-2023 学年第二学期高一月考数学试卷
四、解答题：本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．如图在平行四边形 ABCD中， AB = 4 ， AD = 2， BAD = 60 ，E为CD的中点，
H为线段 BE 上靠近点 E的四等分点，记 = ， = .
（1）用 ， 表示 ， ；
（2）求线段 AH 的长.
2 3
18．已知cos x = ， x , .
4 10 2 4
（1）求cosx的值；

（2）求sin 2x + 的值.
3
19．在直角坐标平面 xOy 内，已知向量 = (1,5)， = (7,1)， = (1,2)， P 为直线
上的一个动点．当 取得最小值时，求：
（1）向量 的坐标；
（2） cos APB的值；
（3）求点 A到直线 PB的距离．
第3页
常熟市王淦昌高级中学 2022-2023 学年第二学期高一月考数学试卷
20．已知向量 = (2 cos , sin + √2sin )， = (2 sin , cos + √2cos ).
（1）若 ∥ ，求cos( + )；

（2）若 = ，函数 ( ) = ( ∈ [0, ])，求 f (x)的值域.
4
21．在平行四边形 ABCD中， AD =1， E 为CD中点．
（1）若 BAD = 60 ，且满足 = 1，求 AB 的长；
（2）若 + 2 = 3 ，求sin ACB 的最大值．
22．如图，扇形钢板 的半径为1m ，圆心角为60 ．现要从中截取一块四边形钢板
．其中顶点 B 在扇形 的弧 PQ上，A 、 分别在半径 ，OQ 上，且 ⊥ ，
BC ⊥OQ ．
（1）设∠ = ，试用 表示截取的四边形钢板 的
面积 ( )，并指出 的取值范围；
（2）求当 为何值时，截取的四边形钢板 ABCO的面积最大．
第4页
常熟市王淦昌高级中学 2022-2023 学年第二学期高一月考数学试卷
2022-2023 学年高一数学下学期第一次月考试卷答案
1. B；2. A；3. D；4. C；5. A；6. C；7. A；8. C；
9. AC；10. AD；11. BCD；12. ABC；
3 13 2
13. ；14. (1 11,2) (2,1+ 11) ；15. ；16. .
2 12 3
1 1 1
17.（1）由已知得 = + = + = + = + ，…………2分
2 2 2
3 3 3 1 5 3 = + = + = + ( + ) = + ( ) = + ，
4 4 4 2 8 4
1 5 3所以 = + ， = + ； …………………………5分
2 8 4
5 3（2）由（1）得 = + ，
8 4
2
所以 2
5 3 25 9 5 3 49
= ( + ) = 2 + 2+2 × × | | |
| × 6 0 = ，
8 4 64 16 8 4 4
7
所以线段 AH 的长为 . …………………………10分
2
3
18.（1）因为 x , ，
2 4
7 2
所以 x , ， sin x = 1 cos
2
x = . …………………………2分 4 4 2 4 4 10

cos x = cos x + = cos x cos sin x sin .
4 4 4 4 4 4
2 2 7 2 2 3
= = . …………………………6分
10 2 10 2 5
3
（2）因为 x , ，
2 4
2
2 3 4故 sin x = 1 cos x = 1 = . …………………………7分
5 5
24
所以sin2x = 2sinxcosx = ， …………………………8分
25
7
cos2x = 2cos2x 1= . …………………………9 分
25
24 1 7 3 24 + 7 3
所以 sin 2x + = sin 2xcos + cos2xsin = + = ………………12分
3 3 3 25 2 25 2 50
19.（1） = = ( ，2 )， …………………………1分
= (1 ，5 2 )， = (7 ，1 2 )，
∴ = (1 )(7 ) + (5 2 )(1 2 ) = 5 2 20 + 12 = 5( 2)2 8………3分
当 取得最小值时，t＝2．∴ =（2，4）． …………………………4分
第5页
常熟市王淦昌高级中学 2022-2023 学年第二学期高一月考数学试卷
（2） = ( 1，1)，| | = √2， = (5， 3)，| | = √34， ………………6分
5 3 4
∴ ∠ = = =
√17． …………………………8分 | | | | √2×√34 17
（2）设点 A到直线 PB的距离为 h，则 h＝
2
4 34
PA sin (π APB) = 2sin APB = 2 1 = . ………………12分
17 17
20.（1）a = (2cos x,sin x + 2 sin )，b = (2sin x, cos x+ 2 cos )，a∥b，
2cos x ( cos x+ 2 cos ) = 2sin x (sin x+ 2 sin ) …………………………2分
2 2
即 2 2 (cos xcos sin xsin ) = 2 (sin x + cos x)，
2 cos ( 2x + ) =1， cos ( x + ) = . …………………………6分
2

（2）因为 = ， a = (2cos x,sin x+1)，b = (2sin x, cos x+1)
4
f (x) = a b = 4sin xcos x + (sin x +1)( cos x +1)
= 3sin xcos x+ (sin x cos x)+1 …………………………8分
3 2 5
= (sin x cos x) + (sin x cos x)+ ，
2 2

设 t = sin x cos x ，则 t = 2 sin x ，
4
因为 x 0, ， t 1, 2 ， …………………………9分
3 2 5
设 g (t ) = t + t + ， t 1, 2 ， …………………………10分 2 2
8
由二次函数性质可得： f (x)的值域为 0, …………………………12分
3
1
21.（1）因为E 为CD中点， =
2
因为四边形 ABCD为平行四边形，所以 = + ， …………………………1分
因为 =
1
+ = + =
1
, …………………………2分
2 2
因为 AD =1， = 1， BAD = 60
所以 = ( + ) (
1
) = 1，
2
第6页
常熟市王淦昌高级中学 2022-2023 学年第二学期高一月考数学试卷
1 1 2 2 1 1
2
+ = | | 6 0° | | + 1 = 1， …………………………4分
2 2 2 2
1 1
解得| | = ，所以 AB = ， …………………………5分
2 2
（2）因为 + 2 = 3 ，
所以 ( ) ( ) + 2( ) ( ) = 3 ,
所以 + 2 2 + 2 2 = 3 ，
所以 2 + 2 2 = 6 …………………………7分
2
所以| | + 2 = 6| | ∠ ,
1 1
所以 ∠ = | | + …………………………8分 6 3| |
1 1 √2
≥ 2√ | | = ，
6 3| | 3
1
当且仅当 |
1
| =
| |，即|
| = √2时取等号， …………………………10分 6 3
2

2 2 7所以sin ACB = 1 cos ACB 1 = ， …………………………11分
3

3
7
所以sin ACB 的最大值为 …………………………12分
3
22.（1）因为 AOB = ，扇形钢板POQ 的圆心角为60 ，

所以 BOC = ，
3
因为扇形钢板POQ 的半径为1m ， AB⊥OP， BC ⊥OQ ，
所以OA= cos ， AB = sin ，
1 1 1
所以 S△OAB = OA AB = sin cos = sin 2 ， …………………………2分
2 2 4

OC = cos ， BC = sin ，
3 3
1 1 1 2
所以 S = OC BC = cos sin = sin 2 △OBC ，…………4分
2 2 3 3 4 3
所以四边形钢板 ABCO的面积为：
1 2
S ( ) = S△ + S△ = sin 2 + sin 2 OAB OBC ， ………………………5分 4 3



其中 的取值范围为 0， ． ………………………6分
3
1 2
（2） S ( ) = sin 2 + sin 2 ………………………7分 4 3


第7页
常熟市王淦昌高级中学 2022-2023 学年第二学期高一月考数学试卷
1 3 1 1 3 3
= sin 2 + cos 2 + sin 2 = sin 2 + cos 2 …………8分4 2 2 4 2 2
3 3 1 3
= sin 2 + cos 2 = sin 2 + ，…………………………10分 4 2 2 4 6
5
因为 0, ，所以2 + , ，
3 6 6 6

所以当2 + = ，即 = 时， …………………………11分
6 2 6
3
四边形钢板 ABCO的面积 S ( )最大，最大值为 m2 …………………………12分
4
第8页

转载请注明出处卷子答案网-一个不只有答案的网站 » 江苏省常熟市王淦昌高级中学2022-2023高一下学期4月第一次月考数学试卷（含答案）