人教A版（2019）必修第一册 2.1等式性质与不等式性质 同步练习（含解析）

2.1等式性质与不等式性质同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如果，那么下列式子中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．对于实数，，，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．设，，为实数，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．不等式的解集为（ ）
A．或 B．
C．或 D．
5．若、、为实数，则下列命题正确的是（ ）.
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．若条件，则下列条件中是条件的必要条件的有（ ）
条件； 条件；条件； 条件
A．条件和条件 B．条件和条件
C．条件和条件 D．条件和条件
7．已知命题：①若，则；②若，则；③若，则且；④若，则．其中真命题的个数为（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．若为实数，且，则下列命题中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知a，b，c，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，则
10．已知实数x，y满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知，则的取值可以为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．设，则 （填“>” “<” “”或“”）.
14．若，，则a、b的大小关系是 ．
15．某杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就相应减少2000本.设提价后该杂志的单价为x元，则用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元为 .
四、双空题
16．已知甲、乙、丙三种食物的维生素含量及成本如下表：
甲 乙 丙
维生素A(单位/kg) 600 700 400
维生素B(单位/kg) 800 400 500
成本(元/kg) 11 9 4
若用甲、乙、丙三种食物各x kg、y kg、z kg配成100 kg的混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.试用x，y表示混合食物成本c元 ，并写出x，y所满足的不等关系 ．
五、解答题
17．（1）已知实数满足，求的取值范围；
（2）已知，，求的取值范围.
18．一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好.
(1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？
(2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？请证明你的结论.
六、证明题
19．已知点和点是直角坐系第一象限内的两个点，定义：若，则称点是点的“上位点”，点是点的“下位点”．
(1)试写出点的一个“上位点”和一个“下位点”坐标；
(2)已知正数a、b、c、d满足：，，且点是点的“上位点”．试判断点和点是否是的“上位点”？证明你的结论．
20．（1）已知，其中为实数，求证：中至少有一个为正数；
（2）求证：.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据不等式的性质判断即可.
【详解】，则，，故AD错；
，同乘可得，故B正确；
，同除可得，故C错.
故选：B.
2．C
【分析】由不等式的性质进行证明或举例判断即可.
【详解】对于A，若，令，，则，，，故选项A是假命题；
对于B，若，令，则，故选项B是假命题；
对于C，若，则，
∵，∴，∴，故选项C是真命题；
对于D，若，令，，则，故选项D是假命题.
故选：C.
3．B
【分析】通过举反例判断ACD，利用不等式的性质判断B.
【详解】设，，为实数，且，
当，时，，选项A错误，
因为，，所以，选项B正确，
当，时，，选项C错误，
当，时，，选项D错误，
故选：B.
4．D
【分析】分式不等式的解法.
【详解】由，得，即，
即，解得，D正确.
故选：D
5．D
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可.
【详解】对于A：当时结论不成立，所以A错误；
对于B：因为，所以，所以，
两边同除可得，B错误；
对于C：因为，两边同除可得，C错误；
对于D：因为，两边同乘可得，两边同乘可得，
所以，D正确，
故选：D
6．B
【分析】根据已知，根据不等式的性质结合作差法，逐项验证，即可得出答案.
【详解】对于条件：因为，所以，，
所以有，即条件正确，
所以，条件是条件的必要条件；
对于条件：若，则，即条件不正确，
所以，条件不是条件的必要条件；
对于条件：因为，所以，
所以，即，即条件不正确，
所以，条件不是条件的必要条件；
对于条件：.
因为，所以，，
所以，，，
所以，，即条件正确，
所以，条件是条件的必要条件.
故选：B.
7．B
【分析】利用等式及不等式的性质逐一判断各个命题即得.
【详解】对于①，，由，得，①是真命题；
对于②，在中，，因此，②是真命题；
对于③，显然满足，③是假命题；
对于④，显然满足，而，④是假命题，
所以真命题的个数为2.
故选：B
8．A
【分析】根据不等式的性质判断A，取特殊值判断BCD.
【详解】因为，所以，，所以，故A正确；
当时，，故B错误；
当时，，故C错误；
当时，，故D错误.
故选：A
9．ACD
【分析】根据不等式的性质判断AC；举例说明即可判断B；利用作差法即可判断D.
【详解】对于A：由知，所以，故A正确；
对于B：当，满足，但，故B错误；
对于C：由知，又，所以，故C正确；
对于D：，，即，故D正确.
故选：ACD.
10．AC
【分析】根据不等式的基本性质同向可加性可判断A、B，把，分别转化，再利用不等式的性质可判断C、D.
【详解】因为，所以，故A正确；
因为，所以，解得，故B错误；
因为，又，
所以，故C正确；
因为，又，
所以，故D错误.
故选：AC
11．ABC
【分析】设出，求出，再利用不等式的性质求解.
【详解】设，
则，解得，
，
，
，
即，
故选：ABC.
12．CD
【分析】由不等式性质判断A；特殊值法判断B，作差法判断C、D.
【详解】由，则，A错；
当时，B错；
，即，C对；
，即，D对.
故选：CD
13．
【分析】运用作差法和不等式的性质，即可得到所求大小关系.
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
14．
【分析】将，式子分子有理化，利用分式的性质比较分母即可得答案.
【详解】，，
因为，所以，
.
故答案为：.
15．
【分析】根据已知条件列出不等式.
【详解】若提价后该杂志的单价为x元，则销售量为万本，
则提价后销售的总收入为万元，
所以不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以用不等式表示为：
.
故答案为：
16． 且
【分析】理解题意，由题意得出的关系式，再列出不等式组并进行化简，再根据图表中的食品成本数据，用x，y表示混合食物成本c元即可.
【详解】由已知得 , 又，
则 ,
由 及 ,
整理化简, 得 ,
于是得 x，y所满足的不等关系为且
故答案为：；且
17．（1）；（2）
【分析】（1）由，，结合可加性求解；
（2）由，结合不等式的性质求解.
【详解】（1）因为，，所以，
所以的取值范围是．
（2）设
则，
∴，
∴
∵，，
∴，
∴
即.
18．(1)
(2)变好，证明见详解
【分析】（1）设该公寓窗户面积为，依题意列出不等式组求解可得；
（2）记窗户面积为a和地板面积为b，同时增加的面积为c，表示出增加面积前后的比值作差比较即可作出判断.
【详解】（1）设该公寓窗户面积为，则地板面积为，
依题意有，解得，
所以，这所公寓的窗户面积至少为.
（2）记窗户面积为a和地板面积为b，同时增加的面积为c.
由题可知，，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为，
因为，且，
所以，即,
所以，同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果变好了.
19．(1)一个“上位点”是，一个“下位点”是；
(答案不唯一)
(2)点不是的“上位点”， 点是的“上位点”，证明见解析.
【分析】（1）利用“上位点”和“下位点”的定义，即可求解；
（2）利用“上位点”和“下位点”的定义，列式证明
【详解】（1）由定义，可知，，且，
所以点的一个“上位点”是，一个“下位点”是；
（2）由条件可知，，且，
则
，
由条件，，可知，，，
且，即，
即，得，
所以点是的“下位点”，不是“上位点”，
，
由条件，，可知，，，
且，即，
即，得，
所以点是的“上位点”.
20．（1）证明见解析（2）证明见解析
【分析】（1）利用反证法，即可得到本题答案；
（2）利用作差法，即可得到本题答案.
【详解】（1）（反证法）
假设中没有正数，即，则.
而
这与三个数没有正数矛盾，
故假设错误，原命题正确；
（2）
（当且仅当时取等号）
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