卷子答案网-一个不只有答案的网站天津市北辰区2023-2024学年高二上学期11月期中考试
数学
说明：本试卷共有选择、填空、解答三道大题，共计120分，考试时间：100分钟
一、选择题．（本大题共9个小题，每小题4分，共36分，在每小题的四个选项中，只有一项是正确的，请把它选出并填在答题卡上）
1．已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
2．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
3．过点且与直线垂直的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
4．若方程表示圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知椭圆，焦点在轴上，且焦距为4，则短轴长为（ ）
A． B．4 C． D．8
6．若直线与平行，则的值为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．2或3
7．如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．若直线不经过第一象限，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．在正方体中，为中点，，，，，使得，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题．（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将正确答案填在答题卡上）
10．已知椭圆上一点到其一个焦点的距离为3，则点到另一个焦点的距离为________．
11．直线在两坐标轴上的截距之和为________．
12．已知四面体ABCD，G是CD的中点，连接AG，则________．
13．直线与，若，则实数________．
14．已知空间向量，，两两夹角均为，其模均为1，则_______．
15．直线被两条直线和截得的线段的中点为，则直线的方程为_______．
三、解答题．（本大题共5个小题，共60分）
16．（本题满分12分）
已知直线过原点，且与平行．
（1）求直线的方程；
（2）求与间的距离；
（3）若圆经过点、，并且被直线平分，求圆的方程．
17．（本题满分12分）
如图，在四棱锥中，，，，底面ABCD为正方形，M、N分别为AD、PD的中点．
（1）证明：平面MNC；
（2）求直线PB与平面MNC所成角的正弦值；
（3）求平面MNC与平面NCD夹角的余弦值．
18．（本题满分12分）
已知椭圆过点，且离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若过原点的直线与椭圆交于、两点，且在直线上存在点，使得为等边三角形，求直线的方程．
19．（本题满分12分）
如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中，，，，为棱BC上的点，且．
（1）求证：平面PAC；
（2）求点到平面PCD的距离；
（3）设为棱CP上的点（不与C，P重合），且直线QE与平面PAC所成角的正弦值为，求的值．
20．（本题满分12分）
已知椭圆经过点，且离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆相交于A，B两点，线段AB的中点为，是否存在常数，使恒成立，并说明理由．
天津市北辰区2023-2024学年高二上学期11月期中考试
数学 答案
一. 选择题：
1.D 2. D 3. B 4. A 5. A 6. D 7. C 8. B 9. A
二. 选择题：
10. 11. 12.
13. 或 14. 15.
三．解答题：
16.（本题满分12分）
解：（1）根据题意，直线与平行，..............（1分）
则有斜率为， .........................................（2分）
又因其过原点，所以方程为.........................（3分）
（2）方程为，
所以与间的距离为. .....................（5分）
（3）设圆心
由于直线平分圆，所以圆心在直线上，即.......（6分）
又，所以有...............（7分）
联立，解得...............................................（8分）
................................................（9分）
所以....................................（10分）
所以圆的方程为...............................（12分）
17.（本题满分12分）
解：（1）因为，，............................（1分）
所以，................................................（2分）
且平面， ...........................................（3分）
平面，.............................................（4分）
则平面. ............................................（5分）
法二：建系法
因为，，且，所以平面，...（1分）
设，可得，，，、、．
向量，，.
设为平面的法向量，则，即，
不妨令，可得为平面的一个法向量.................（2分）
因为，所以即........................（3分）
又因平面， .........................................（4分）
所以平面. ..........................................（5分）
（2）由（1）法二可得
向量，，.
设为平面的法向量，则，即，
不妨令，可得为平面的一个法向量.................（6分）
设与平面所成角为，
于是有，................（8分）
与平面正弦值为 .......................................（9分）
（3）因为为平面的法向量，.......................（10分）
设平面与平面夹角为，
所以，...........................（11分）
所以，平面与平面夹角的余弦值为.....................（12分）
18.（本题满分12分）
解：（1）由题......................................（3分）
解得a=,b=,c=,椭圆C的方程为...............（4分）
（2）由题，当的斜率k=0时，此时PQ=4 直线与y轴的交点（0，满足题意，所以此时y=0成立. ................................（5分）
当的斜率k0时，设直线与椭圆联立得=8,,......................................（6分）
设P（）,则Q（）,
,...........（7分）
又PQ的垂直平分线方程为由，解得,,..............................（8分）
, ......................................（9分）
∵为等边三角形
即................................（10分）
解得k=0(舍去)，k=,直线的方程为y=....................（11分）
综上可知，直线的方程为y=0或y=．.........................（12分）
19.（本题满分12分）
解：（1）因为平面，平面，平面
所以，因则以A为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系.
由已知可得，，，，，.
.......................................................（1分）
所以，，.
因为，所以...............（2分）
.所以，. ..............................（3分）
又，.........................................（4分）
平面，平面.所以平面． .........（5分）
（2）由（1）可知，
设平面的法向量因为，.
所以，即不妨设，得．...（6分）
点到平面的距离...............（7分）
所以点到平面的距离为． .............................（8分）
（3）设，即.
所以，.................................（9分）
即.与正弦值为
所以
........................................................（10分）
即解得，............................（11分）
即．..............................................（12分）
20.（本题满分12分）
解：（1）由题意知，....................................（1分）
......................................（2分）
又因为解得. .................................（3分）
所以椭圆方程为. .....................................（4分）
（2）存在常数，使恒成立.
证明如下：
由得，且...............（5分）
设，，则 , ...............（6分）
又因为，，........................（7分）
, ........................（8分）
所以.................................................（9分）
因为线段的中点为，所以，......................（10分）
所以. .......................................（11分）
所以存在常数，使恒成立....................（12分）
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