卷子答案网-一个不只有答案的网站天津市南开区2023-2024学年高三上学期11月阶段性质量监测(一)
数学学科 2023．11
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页。
祝各位考生考试顺利！
第I卷
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；
3．本卷共9小题，每小题5分，共45分。
参考公式：
·球的表面积公式，其中R表示球的半径。
·台体的体积公式，其中，S分别为上、下底面面积，h为台体高。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集，则（ ）.
A． B． C． D．
2．命题p的否定为“，使得”，则命题p为（ ）．
A．，使得 B．，使得
C．，使得 D．，使得
3．已知函数的部分图象如图，则函数的解析式可能为（ ）.
A． B．
C． D．
4．“”的充要条件的是（ ）．
A. B. C. D.
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，且，则（ ）
A. B. C. D.
7．圆台上、下底面的圆周都在一个表面积为的球面上，其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的体积为（ ）．
A． B． C．61 D．183
8．已知函数（其中）的部分图象如图所示，则下列结论中：
①函数为偶函数； ②；
③； ④曲线在处的切线斜率为
所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③④ C．③④ D．②③④
9．对于任意的实数，总存在三个不同的实数y，使得成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题；
2．本卷共11小题，共105分。
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分。
10．若（i为虚数单位），则__________．
11．己知，则__________．
12．棱长为2的正方体中，M，N分别为棱，AB的中点，P为棱上一点，则三棱锥的体积为__________．
13．已知，则__________，__________．
14．在中，己知，点P是所在平面上一点，且，若，则__________；若，则取得最小值时，实数y的值为__________．
15．已知函数，若方程至少有三个不同的实根，则实数a的取值范围是__________．
三、解答题：本大题共5题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分14分）
已知集合.
（I）若，求；
（Ⅱ）若，求实数m的取值范围．
17．（本小题满分15分）
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知
.
（I）证明：；
（II）求a；
（Ⅲ）求的值．
18．（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，平面ABCD，，E是棱PB上一点．
（I）求证：平面平面PBC；
（Ⅱ）若E是PB的中点，
（i）求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．
（ii）求平面PDC和平面EAC的夹角的余弦值．
19．（本小题满分15分）
设函数是定义域为R的奇函数，且的图象过点.
（I）求a，b的值；
（Ⅱ）设，若（为函数的导数），试写出符合上述条件的函数的一个解析式，并说明你的理由．
20．（本小题满分16分）
已知函数．
（I）若曲线在处的切线斜率为1，求a的值；
（Ⅱ）讨论的零点个数；
（Ⅲ）若时，不等式恒成立，求a的最小值．
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参考答案
数学学科
一、选择题：（本题共9小题，每题5分，共45分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 C D A B C B A D A
二、填空题：（本题共6小题，每题5分，共30分）
10．； 11．； 12．1；
13．（第一个空3分，第二个空2分）；
14．（第一个空3分，第二个空2分）；
15．
三、解答题：（其他正确解法请比照给分）
16．解：
， 3分
因为，所以，
所以，即. 5分
（I）若，则， 6分
从而． 7分
所以． 8分
（Ⅱ），
①当，即时，，所以． 9分
②当，即时，，所以． 11分
③当，即时，，
若，则，所以. 13分
综上，. 14分
17．解：（I）因为，
所以由余弦定理可得， 2分
即
又由正弦定理，得， 4分
因为角A，B为的内角，所以． 5分
（Ⅱ）由（I）知，所以． 6分
又，
由余弦定理，得， 7分
即，解得. 8分
（II）由，得， 9分
因为， 11分
所以. 12分
所以 13分
. 15分
18．解：因为，取AB中点M，连接CM，则， 1分
又平面ABCD，所以，
故以CM为x轴，CD为y轴，CP为z轴建立空间直角坐标系，则
，
所以． 13分
（I）因为，
所以，
所以平面PBC，即为平面PBC的法向量． 5分
设，
则． 6分
设平面EAC的法向量为，，
则即
令，则． 8分
因为，所以平面平面PBC． 9分
（Ⅱ）因为E是PB的中点，所以． 10分
（i）设直线PA与平面EAC所成角为，
则，
故直线PA与平面EAC所成角的正弦值为． 12分
（i）显然平面PDC的法向量为， 13分
设平面PDC和平面EAC的夹角为，
则．
故平面PDC和平面EAC的夹角的余弦值为． 15分
19．解：（I）因为是定义域为的奇函数，
所以，即， 1分
整理得，解得， 3分
所以，
又的图象过点，
则，解得或，
又，且，
所以． 5分
（Ⅱ）因为为奇函数，
所以，得． 6分
由（I）可得，，
因为，
所以为上的单调递增函数， 7分
所以对恒成立． 8分
因为，， 9分
所以，
整理得，* 10分
当时，左边是一个一次因式乘一个恒正（或恒负）的二次三项式，或者是三个一次因式的积，无论哪种情况，总有一个一次因式的指数是奇次的，这个因式的零点左右的符号不同，因此不可能恒非负，
所以． 12分
所以*式化为恒成立，
所以． 13分
①若，则；
②若，则，即，与矛盾，舍去．
综上，， 14分
所以为满足条件的的一个解析式．（答案不唯一） 15分
20．解：（I），
依题意，，解得． 2分
（Ⅱ）的零点的根． 3分
设，
①当时，没有零点； 4分
②当时，，所以在内是增函数．
取，取，
所以在上有且仅有一个零点； 6分
③当时，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
从而．
当时，没有零点；
当时，在上有且仅有一个零点；
当时，，
取，取，
所以在上有两个零点． 9分
综上，当时，没有零点；当或时，有且仅有一个零点；当时，有两个零点． 10分
（III）
，
构造函数，所以． 12分
由（Ⅱ）知，在上单调递减，在上单调递增，
当时，，与1的大小不定，但当实数a最小时，只需考虑其为负数的情况，此时．
因为当时，单调递减，故， 14分
两边取对数得，，
所以，
令，则，
令得，，令得，，
所以在单调递增，在单调递减，
所以，
故a的最小值是． 16分
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