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第七章《万有引力与宇宙航行》单元练习卷
一．选择题
1．下列说法正确的是（ ）
A．经典力学只适用于宏观、低速、弱引力场
B．伽利略通过扭秤实验较为精确的测出了引力常量的数值G
C．第谷基于对行星的观测数据，提出了开普勒三大定律
D．1687年，开普勒发现了万有引力定律
2．20世纪人类最伟大的创举之一是开拓了太空这一全新活动领域，人类突破了大气层的阻拦，摆脱了地球引力的束缚，实现了在太空翱翔的梦想，近年来我国也在太空探索中取得多项重大突破。以下关于宇宙相关知识说法正确的是（ ）
A．哥白尼对第谷观测的行星数据进行多年研究，提出了行星运动定律
B．卡文迪许通过实验推算出来引力常量G的值，被誉为第一个能“称量地球质量”的人
C．人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的速度可能大于地球的第一宇宙速度
D．开普勒经过长期研究发现了万有引力定律
3．某人造地球卫星绕地球运动的椭圆轨道如图所示，F1和F2是椭圆轨道的两个焦点，卫星在A点的速率比在B点的速率小，则地球位于（ ）
A．F2位置 B．F1位置 C．A位置 D．B位置
4．如图是太阳系行星分布示意图，则（ ）
A．地球绕太阳运动的速度不变
B．木星与土星公转的角速度相等
C．地球、火星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等
D．八大行星中，海王星公转周期最大，向心加速度最小
5．如图所示，有一个质量为M、半径为R、密度均匀的大球体，从中挖去一个半径为的小球体，并在空腔中心放置一质量为m的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为（已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零）（ ）
A． B． C． D．0
6．神舟十三号载人飞船与天和核心舱实现了我国首次飞船径向对接，从发射到对接成功仅历时6.5小时。对接前两者稳定运行的圆周轨道如图所示。则稳定运行时， （ ）
A．天和核心舱运行周期更大
B．天和核心舱加速度更大
C．神舟十三号的线速度更小
D．神舟十三号需要减速完成对接
7．2023年5月11日，“天舟六号”货运飞船成功对接于空间站“天和”核心舱后向端口。交会对接完成后，“天舟六号”转入组合体飞行段。若组合体绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为r，运行周期为T，地球的半径为R，则地球表面的重力加速度大小为（ ）
A． B．
C． D．
8．2023年2月10日，在中国空间站全面建成后，航天员首次出舱活动取得圆满成功。已知空间站在距地球表面约400km的高空绕地球做匀速圆周运动，运行周期1.5h，地球半径约6400km，下列说法正确的是（ ）
A．空间站绕地球做运动的线速度略大于第一宇宙速度
B．空间站绕地球做运动的线速度大于同步卫星绕地球的线速度
C．空间站绕地球做运动的角速度小于同步卫星绕地球的角速度
D．空间站绕地球做运动的向心加速度小于同步卫星绕地球的向心速度
9．某位同学在媒体上看到一篇报道称：“地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为‘火星冲日’，此时火星和地球间距约为8220万千米，平均780天才会出现一次。”他根据所学高中物理知识，设火星和地球在同一平面内沿同一方向绕太阳做匀速圆周运动，如图所示，已知地球的公转周期为365天，引力常量G＝6.67×10﹣11N m2/kg2。根据以上信息，他无法估算出下列哪个物理量（ ）
A．太阳的质量
B．火星的质量
C．火星绕太阳运动的轨道半径
D．火星绕太阳运动的公转周期
10．火星探测器经过多次变轨后登火星的轨迹图如图所示，其中轨道Ⅰ、Ⅲ为椭圆，轨道Ⅱ为圆，探测器经轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ运动后在Q点登陆火星，O点是轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的切点，轨道上的O、P、Q三点与火星中心在同一直线上，O、Q两点分别是椭圆轨道Ⅲ的远火星点和近火星点。已知火星的半径为R，OQ＝4R，下列说法不正确的是（ ）
A．在相等时间内，轨道Ⅰ上探测器与火星中心的连线扫过的面积与轨道Ⅱ上探测器与火星中心的连线扫过的面积相等
B．探测器在轨道Ⅱ和轨道Ⅲ运动经过O点时的加速度相等
C．探测器从轨道Ⅱ变轨至轨道Ⅲ，需要在经过O点时发动机点火减速
D．探测器在轨道Ⅱ与轨道Ⅲ上的周期之比为
11．如图所示，a为放在赤道上随地球一起自转的物体，b为同步卫星，c为一般卫星，d为极地卫星。设b、c、d三卫星距地心的距离均为r，做匀速圆周运动。则下列说法正确的是（ ）
A．a、b、c、d线速度大小相等
B．a、b、c、d向心加速度大小相等
C．d可能在每天的同一时刻，出现在a物体上空
D．若b卫星升到更高圆轨道上运动，则b仍可能与a物体相对静止
12．2021年5月，基于俗称“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜（FAST）的观测，国家天文台李菂、朱炜玮研究团组的姚菊枚博士等首次研究发现脉冲星三维速度与自转轴共线的证据。之前的2020年3月，我国天文学家通过FAST，在武仙座球状星团（M13）中发现一个脉冲双星系统。如图所示，假设在太空中有恒星A、B双星系统绕点O做顺时针匀速圆周运动，运行周期为T1，它们的轨道半径分别为RA、RB，RA＜RB，C为B的卫星，绕B做逆时针匀速圆周运动，运行周期为T2，忽略A与C之间的引力，引力常量为G，则以下说法正确的是（ ）
A．若知道C的轨道半径，则可求出C的质量
B．若A也有一颗轨道半径与C相同的卫星，则其运动周期也一定为T2
C．恒星B的质量为
D．设A、B、C三星由图示位置到再次共线的时间为t，则
二．多选题
13．2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为3：2，如图所示。根据以上信息可以得出（ ）
A．火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27：8
B．当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大
C．火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9：4
D．下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之后
14．2023年6月21日，国际学术期刊《自然》刊载：“中国天眼FAST”发现了一个名为psrj1953+1844（m7le）的双星系统，其轨道周期T仅为53分钟，是目前发现轨道周期最短的脉冲星双星系统。系统中两颗脉冲星在演化过程中，质量较大的脉冲星不断“吸食”质量较小的脉冲星，直至完全吞并。该双星系统中的两颗脉冲星m71e1和m71e2目前的质量分别为m1、m2，其中m2＝14m1，万有引力常量为G。根据提供的信息，下列说法正确的是（ ）
A．目前m71el与m71e2的距离为
B．目前m7le1的线速度大小为
C．目前m71e2的密度为
D．若在演化过程中双星间的距离保持不变，则双星间的引力逐渐减小
15．2023年3月30日，我国在太原卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，成功将宏图一号01组卫星发射升空，并进入预定的极地轨道做匀速圆周运动。它是由“一颗主星+三颗辅星”构成的卫星组，犹如在太空中飞行的车轮。已知宏图一号卫星组的运行轨道距离地面的高度为h（约为530km），地球半径为R，自转周期为T，地球极地表面的重力加速度为g，卫星组经过赤道上空的时候，携带的摄像机都可以对赤道进行一次拍摄。则下列正确的有（ ）
A．地球的第一宇宙速度为
B．宏图一号卫星组绕地球运动的周期为T
C．宏图一号卫星组绕地球运动的速度等于7.9km/s
D．要使摄像机在1天的时间内将整个赤道拍摄下来，则每次拍摄赤道的长度至少为
三．实验题
16．宇宙飞船进入靠近某行星表面的圆形轨道，绕行数圈后着陆在该行星上，宇航员在绕行及着陆后各做一次测量，依据所测量的数据，可以求出该行星的密度ρ、半径R（已知引力常量为G）。
如果宇宙飞船上备有的实验仪器有：
A．一只秒表
B．一个弹簧秤
C．一个质量为m的钩码
D．一把毫米刻度尺
（1）宇航员两次测量所选用的仪器分别是 和 。（填写序号）
（2）宇航员两次测量的物理量分别是 和 。（写清楚物理量含义）
（3）用测得的数据求得该行星的密度ρ＝，表面重力加速度g＝ ，半径R＝ 。
17．2023年《三体》电视剧异常火爆，这正展示了人类想了解未知世界的渴望，为延续人类文明防患于未然，人类也需要寻找适宜人类居住的新家园。假设多年后宇航员找到了一类地星球，为了探究星球的相关情况，宇航员降落在星球表面，并做了以下实验（假设该星球为匀质球体，星球半径为R）：
实验Ⅰ：让一石子和一片羽毛分别从相同高度由静止同时释放多次，发现两者总沿竖直方向向下运动并同时落在水平地面上。由此可以判断该星球表面 （填“有”或“无”）大气。
实验Ⅱ：在赤道的水平地面上，以一定的水平速度v0抛出物体，并记录下抛出点的高度h及相应的从抛出到落地过程中的水平位移x，保持v0不变，改变高度，重复实验多次。并用描点法做出了图像，你认为宇航员做 图像最为合理。（选填选项前的相应字母）
A．h﹣x B．h2﹣x C．h﹣x2
若求出图线的斜率为k1，则赤道处的重力加速度g＝。
实验Ⅲ：到达极地后，在抛出速度与实验Ⅱ中v0一样的情况下，重复实验Ⅱ，若得到图像的斜率为k2。据此宇航员推出了该类地星球的自转周期T＝。（用k1、k2、R、v0表示）
四．计算题
18．宇航员站在某质量分布均匀的星球表面上，沿水平方向以初速度v0从斜坡上P点抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点Q。已知斜坡的倾角为α，该星球的半径为R，引力常量为G，球的体积公式为V（r为球的半径），不考虑星球自转的影响。
（1）求该星球表面的重力加速度g；
（2）求该星球的密度；
（3）飞行器绕该星球以周期T做匀速圆周运动时，求飞行器距离星球表面的高度。
19．2021年2月10日19时52分，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，成功实现环绕火星运动，成为我国第一颗人造火星卫星。假设“天问一号”环绕火星做匀速圆周运动周期为T。已知火星的半径为R，火星表面的重力加速度的大小为g，引力常量为G，不考虑火星的自转影响。求：
（1）火星的质量M；
（2）火星的第一宇宙速度v；
（3）“天问一号”绕火星飞行时距离火星表面的高度h。
20．2021年10月16日，我国成功发射了神舟十三号载人飞船，与空间站组合体完成自主快速交会对接，3名航天员翟志刚、王亚平、叶光富成功送入了天和核心舱，他们将在轨驻留6个月，任务主要目标为验证中国空间站建造相关技术，为我国空间站后续建造及运营任务奠定基础。
已知神舟十三号与空间站组合体完成对接后在轨道上运行，可视为匀速圆周运动，它们飞行n圈所用时间为t。已知它们的总质量为m，它们距地面的高度为h，地球半径为R，引力常量为G。求：
（1）神舟十三号与空间站组合体对接后，地球对它们的万有引力F；
（2）地球的质量M；
（3）地球表面的重力加速度g。
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第七章《万有引力与宇宙航行》单元练习卷
一．选择题
1．下列说法正确的是（ ）
A．经典力学只适用于宏观、低速、弱引力场
B．伽利略通过扭秤实验较为精确的测出了引力常量的数值G
C．第谷基于对行星的观测数据，提出了开普勒三大定律
D．1687年，开普勒发现了万有引力定律
【解答】解：A、经典力学只适用于宏观、低速、弱引力场，不适用微观高速粒子的运动，故A正确；
B、第一次精确测量出万有引力常量的物理学家是卡文迪许，故B错误；
C、开普勒在第谷基于对行星的观测数据上，总结出关于行星运动三条定律，因此是开普勒提出开普勒三大定律，故C错误；
D、总结出万有引力定律的物理学家是牛顿，故D错误；
故选：A。
2．20世纪人类最伟大的创举之一是开拓了太空这一全新活动领域，人类突破了大气层的阻拦，摆脱了地球引力的束缚，实现了在太空翱翔的梦想，近年来我国也在太空探索中取得多项重大突破。以下关于宇宙相关知识说法正确的是（ ）
A．哥白尼对第谷观测的行星数据进行多年研究，提出了行星运动定律
B．卡文迪许通过实验推算出来引力常量G的值，被誉为第一个能“称量地球质量”的人
C．人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的速度可能大于地球的第一宇宙速度
D．开普勒经过长期研究发现了万有引力定律
【解答】解：A．开普勒对第谷观测的行星数据进行多年研究，提出了行星运动定律，故A错误；
B．卡文迪许通过实验推算出来引力常量G的值，被誉为第一个能“称量地球质量”的人，故B正确；
C．地球的第一宇宙速度代表卫星做圆周运动的最大速度，人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的速度小于地球的第一宇宙速度，故C错误；
D．牛顿经过长期研究发现了万有引力定律，故D错误；
故选：B。
3．某人造地球卫星绕地球运动的椭圆轨道如图所示，F1和F2是椭圆轨道的两个焦点，卫星在A点的速率比在B点的速率小，则地球位于（ ）
A．F2位置 B．F1位置 C．A位置 D．B位置
【解答】解：根据开普勒第二定律，对任意一个卫星来说，它与地球的连线在相等时间内扫过相等的面积，所以在近地点速度比远地点速度大；由于卫星在A点的速率比在B点的速率小，所以B点为近地点，A点为远地点，则地球是位于F1位置。故B正确，ACD错误。
故选：B。
4．如图是太阳系行星分布示意图，则（ ）
A．地球绕太阳运动的速度不变
B．木星与土星公转的角速度相等
C．地球、火星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等
D．八大行星中，海王星公转周期最大，向心加速度最小
【解答】解：A．地球绕太阳运动的轨道是一椭圆，由开普勒第二定律知：当地球从近日点向远日点运动时，地球运动的速度大小逐渐减小，且方向每时每刻发生变化，故A错误；
B．行星绕太阳做圆周运动的向心力由万有引力提供，可得
解得：
土星公转半径比木星公转半径大，因此土星公转角速度比木星的公转角速度小，故B错误；
C．根据开普勒第二定律知同一椭圆运动过程中，行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，不同的行星周期不同，它们与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积不相等，故C错误；
D．根据开普勒第三定律，可知海王星的轨道半径最大，公转周期最大；
由牛顿第二定律得：
解得：
可知，海王星的轨道半径最大，海王星的向心加速度最小，故D正确。
故选：D。
5．如图所示，有一个质量为M、半径为R、密度均匀的大球体，从中挖去一个半径为的小球体，并在空腔中心放置一质量为m的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为（已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零）（ ）
A． B． C． D．0
【解答】解：已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则未挖去前实心大球体对质点m的万有引力就等于内部半径为的球体对质点m的万有引力，则有：
F实，其中：
解得：
质点m在挖去的小球体的球心处，则挖去的小球体在原处对质点m的万有引力等于0，即F挖＝0
则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为：
F余＝F实﹣F挖，故ABD错误，C正确。
故选：C。
6．神舟十三号载人飞船与天和核心舱实现了我国首次飞船径向对接，从发射到对接成功仅历时6.5小时。对接前两者稳定运行的圆周轨道如图所示。则稳定运行时， （ ）
A．天和核心舱运行周期更大
B．天和核心舱加速度更大
C．神舟十三号的线速度更小
D．神舟十三号需要减速完成对接
【解答】解：根据图像可知，天和核心舱的轨道半径大于神舟十三号载人飞船的轨道半径。
A、根据开普勒第三定律可得k，所以天和核心舱运行周期更大，故A正确；
B、根据牛顿第二定律可得ma，解得a，所以天和核心舱加速度较小，故B错误；
C、卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有：m，解得：v，所以神舟十三号的线速度较大，故C错误；
D、根据变轨原理可知，神舟十三号需要加速做离心运动才能完成对接，故D错误。
故选：A。
7．2023年5月11日，“天舟六号”货运飞船成功对接于空间站“天和”核心舱后向端口。交会对接完成后，“天舟六号”转入组合体飞行段。若组合体绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为r，运行周期为T，地球的半径为R，则地球表面的重力加速度大小为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：设地球表面的重力加速度为g，地球的质量为M，组合体的质量为m，地球上某物体的质量为m0，
对空间组合体，由万有引力充当向心力有：
对在地球表面的物体m0有：
联立解得：
故选：C。
8．2023年2月10日，在中国空间站全面建成后，航天员首次出舱活动取得圆满成功。已知空间站在距地球表面约400km的高空绕地球做匀速圆周运动，运行周期1.5h，地球半径约6400km，下列说法正确的是（ ）
A．空间站绕地球做运动的线速度略大于第一宇宙速度
B．空间站绕地球做运动的线速度大于同步卫星绕地球的线速度
C．空间站绕地球做运动的角速度小于同步卫星绕地球的角速度
D．空间站绕地球做运动的向心加速度小于同步卫星绕地球的向心速度
【解答】解：A、第一宇宙速度是卫星绕地球做圆周运动的最大速度，所以空间站围绕地球做圆周运动的线速度小于第一宇宙速度，故A错误；
B.同步卫星绕地球运动的周期为24h，大于空间站的运行周期，由万有引力提供向心力
整理解得
由于T同＞T空
可知r同＞r空
同步卫星运行轨道半径比空间站大，由万有引力提供向心力，可得
整理解得
所以空间站的线速度大于同步卫星的线速度，故B正确；
C.根据万有引力提供向心力
整理解得
所以空间站的角速度大于同步卫星的角速度，故C错；
D.根据万有引力提供向心力
得空间站运行的向心加速度为
所以空间站的向心加速度大于同步卫星的向心加速度，故D错。
故选：B。
9．某位同学在媒体上看到一篇报道称：“地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为‘火星冲日’，此时火星和地球间距约为8220万千米，平均780天才会出现一次。”他根据所学高中物理知识，设火星和地球在同一平面内沿同一方向绕太阳做匀速圆周运动，如图所示，已知地球的公转周期为365天，引力常量G＝6.67×10﹣11N m2/kg2。根据以上信息，他无法估算出下列哪个物理量（ ）
A．太阳的质量
B．火星的质量
C．火星绕太阳运动的轨道半径
D．火星绕太阳运动的公转周期
【解答】解：已知t＝780天，设地球和火星的质量分别为m1和m2，地球和火星的公转周期分别为T1和T2，地球和火星绕太阳运动的轨道半径分别为r1和r2，太阳的质量为M。
根据地球比火星多转一圈时，出现“火星冲日”，有1，已知T1＝365天，t＝780天，可以求出火星绕太阳运动的公转周期T2。
根据万有引力提供向心力，对地球和火星分别有
G
G
据题有：r2﹣r1＝8220万千米，G＝6.67×10﹣11N m2/kg2
根据以上三式可求出太阳的质量M，火星绕太阳运动的轨道半径r2，但不能求出火星的质量m2，故ACD错误，B正确。
故选：B。
10．火星探测器经过多次变轨后登火星的轨迹图如图所示，其中轨道Ⅰ、Ⅲ为椭圆，轨道Ⅱ为圆，探测器经轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ运动后在Q点登陆火星，O点是轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的切点，轨道上的O、P、Q三点与火星中心在同一直线上，O、Q两点分别是椭圆轨道Ⅲ的远火星点和近火星点。已知火星的半径为R，OQ＝4R，下列说法不正确的是（ ）
A．在相等时间内，轨道Ⅰ上探测器与火星中心的连线扫过的面积与轨道Ⅱ上探测器与火星中心的连线扫过的面积相等
B．探测器在轨道Ⅱ和轨道Ⅲ运动经过O点时的加速度相等
C．探测器从轨道Ⅱ变轨至轨道Ⅲ，需要在经过O点时发动机点火减速
D．探测器在轨道Ⅱ与轨道Ⅲ上的周期之比为
【解答】解：A、开普勒第二定律，适用于在同一轨道上，行星或卫星与中心天体的连线，在相同时间内扫过的面积相等，轨道Ⅰ与轨道Ⅱ不在同一轨道上，因此在相等时间内，轨道Ⅰ上探测器与火星中心的连线扫过的面积与轨道Ⅱ上探测器与火星中心的连线扫过的面积不相等，故A错误；
B、探测器在轨道Ⅱ和轨道Ⅲ运动时，由牛顿第二定律可得：
解得：，可知探测器在轨道Ⅱ和轨道Ⅲ运动经过O点时的加速度相等，故B正确；
C、探测器从轨道Ⅱ变轨至轨道Ⅲ，根据近心运动的原理，由高轨道降到低轨道，需要减速做向心运动，因此需要在经过O点时发动机点火减速，故C正确；
D、已知火星的半径为R，OQ＝4R，可知轨道Ⅱ的半径为3R，轨道Ⅲ的半长轴为2R，由开普勒第三定律可得：
解得：，故D正确。
本题选错误的
故选：A。
11．如图所示，a为放在赤道上随地球一起自转的物体，b为同步卫星，c为一般卫星，d为极地卫星。设b、c、d三卫星距地心的距离均为r，做匀速圆周运动。则下列说法正确的是（ ）
A．a、b、c、d线速度大小相等
B．a、b、c、d向心加速度大小相等
C．d可能在每天的同一时刻，出现在a物体上空
D．若b卫星升到更高圆轨道上运动，则b仍可能与a物体相对静止
【解答】解：A、a、b比较，角速度相等，由v＝ωr，可知υa＜υb，根据线速度公式v，b、c、d为卫星，轨道半径相同，线速度大小相等，故A错误；
B、a、b比较，角速度相等，由a＝ω2r，aa＜ab，根据向心加速度大小公式a，b、c、d为卫星，轨道半径相同，向心加速度大小相等，故B错误；
C、d为极地卫星，如果d的周期与a的转动的周期相等，d可能在每天的同一时刻，出现在a物体上空，故C正确；
D、b为同步卫星，若b卫星升到更高圆轨道上运动，周期发生变化，b不可能与a物体相对静止，故D错误。
故选：C。
12．2021年5月，基于俗称“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜（FAST）的观测，国家天文台李菂、朱炜玮研究团组的姚菊枚博士等首次研究发现脉冲星三维速度与自转轴共线的证据。之前的2020年3月，我国天文学家通过FAST，在武仙座球状星团（M13）中发现一个脉冲双星系统。如图所示，假设在太空中有恒星A、B双星系统绕点O做顺时针匀速圆周运动，运行周期为T1，它们的轨道半径分别为RA、RB，RA＜RB，C为B的卫星，绕B做逆时针匀速圆周运动，运行周期为T2，忽略A与C之间的引力，引力常量为G，则以下说法正确的是（ ）
A．若知道C的轨道半径，则可求出C的质量
B．若A也有一颗轨道半径与C相同的卫星，则其运动周期也一定为T2
C．恒星B的质量为
D．设A、B、C三星由图示位置到再次共线的时间为t，则
【解答】解：A、C为B的卫星，绕B做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，得GmCrC，可得MB，若知道C的轨道半径，可求出B的质量，不能求出C的质量，故A错误；
B、若A也有一颗轨道半径与C相同的卫星，根据上式可知，由于A与B的质量不等，则其运动周期一定不是T2，故B错误；
C、恒星A、B双星系统绕点O做顺时针匀速圆周运动，角速度和周期相同，由相互间的万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
对A有：GMARA
对B有：GMBRB
联立可得MA，MB，故C错误；
D、A、B、C三星由图示位置到再次共线时，有πtt，解得t，故D正确；
故选：D。
二．多选题
13．2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为3：2，如图所示。根据以上信息可以得出（ ）
A．火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27：8
B．当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大
C．火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9：4
D．下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之后
【解答】解：A、设火星的轨道半径为R1，周期为T1，地球的轨道半径为R2，周期为T2，根据开普勒第三定律有，故A错误；
B、火星和地球都是绕太阳做匀速圆周运动，当火星、地球和太阳三者共线时，且火星和地球分别在太阳的两侧时，火星与地球的距离最远，此时火星和地球的速度方向相反，二者的相对速度大小等于二者的速度大小之和，此时相对速度最大，故B正确；
C、在星球表面有得，因为不知道火星和地球的质量及半径关系，所以无法计算它们表面的自由落体运动加速度的关系，故C错误；
D、根据A选项可知，火星和地球绕太阳运动的周期之比约为，已知地球的公转周期T2＝1年，则火星的公转周期T1≈1.8年。设经过时间t出现下一次“火星冲日”，则有，解得t＝2.25年，所以下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之后，故D正确。
故选：BD。
14．2023年6月21日，国际学术期刊《自然》刊载：“中国天眼FAST”发现了一个名为psrj1953+1844（m7le）的双星系统，其轨道周期T仅为53分钟，是目前发现轨道周期最短的脉冲星双星系统。系统中两颗脉冲星在演化过程中，质量较大的脉冲星不断“吸食”质量较小的脉冲星，直至完全吞并。该双星系统中的两颗脉冲星m71e1和m71e2目前的质量分别为m1、m2，其中m2＝14m1，万有引力常量为G。根据提供的信息，下列说法正确的是（ ）
A．目前m71el与m71e2的距离为
B．目前m7le1的线速度大小为
C．目前m71e2的密度为
D．若在演化过程中双星间的距离保持不变，则双星间的引力逐渐减小
【解答】解：A.两颗脉冲星m71e1和m71e2构成双星系统，设距离为L，轨道半径分别为r1，r2，则有
m1r1
m2r2
r1+r2＝L
联立解得：L，故A正确；
B.两颗脉冲星的角速度和周期相同，已知m2＝14m1，可得：
目前m71e1的线速度大小为v1r1，解得v1，故B正确；
C.因星球m7le2的半径未知，故无法求出其密度，故C错误；
D.若在演化过程中双星间的距离L保持不变，而质量较大的脉冲星不断“吸食”质量较小的脉冲星，直至完全吞，则两者的质量乘积逐渐减小，故双星间的引力F会逐渐减小，故D正确。
故选：ABD。
15．2023年3月30日，我国在太原卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，成功将宏图一号01组卫星发射升空，并进入预定的极地轨道做匀速圆周运动。它是由“一颗主星+三颗辅星”构成的卫星组，犹如在太空中飞行的车轮。已知宏图一号卫星组的运行轨道距离地面的高度为h（约为530km），地球半径为R，自转周期为T，地球极地表面的重力加速度为g，卫星组经过赤道上空的时候，携带的摄像机都可以对赤道进行一次拍摄。则下列正确的有（ ）
A．地球的第一宇宙速度为
B．宏图一号卫星组绕地球运动的周期为T
C．宏图一号卫星组绕地球运动的速度等于7.9km/s
D．要使摄像机在1天的时间内将整个赤道拍摄下来，则每次拍摄赤道的长度至少为
【解答】解：A、根据万有引力提供向心力有
m
根据万有引力与重力的关系有
mg
解得地球的第一宇宙速度为v
故A正确；
B、根据开普勒第三定律k可知宏图一号卫星小于地球同步卫星的周期T，故B错误；
C、7.9km/s是第一宇宙速度，宏图一号卫星组绕地球运动的速度小于7.9km/s，故C错误；
D、设宏图一号卫星组绕地球运动的周期为T'，根据万有引力提供向心力有
mr
一天时间，卫星经过赤道的次数为n＝2
根据万有引力与重力的关系有
mg
所以要使摄像机在1天的时间内将整个赤道拍摄下来，则每次拍摄赤道的长度至少为s
联立解得s
故D正确；
故选：AD。
三．实验题
16．宇宙飞船进入靠近某行星表面的圆形轨道，绕行数圈后着陆在该行星上，宇航员在绕行及着陆后各做一次测量，依据所测量的数据，可以求出该行星的密度ρ、半径R（已知引力常量为G）。
如果宇宙飞船上备有的实验仪器有：
A．一只秒表
B．一个弹簧秤
C．一个质量为m的钩码
D．一把毫米刻度尺
（1）宇航员两次测量所选用的仪器分别是 和 。（填写序号）
（2）宇航员两次测量的物理量分别是 和 。（写清楚物理量含义）
（3）用测得的数据求得该行星的密度ρ＝，表面重力加速度g＝ ，半径R＝ 。
【解答】解：对于在轨道上运行的飞船，根据万有引力提供向心力，并等于重力，可得：
mg
解得：R
还可得到：
星球的密度：ρ
该星球表面的重力加速度：g
因而需要用秒表测量周期T，用弹簧秤测量质量为m的钩码的重力F。
故答案为：（1）A；BC；（2）周期T；物体重力F；（3）；；
17．2023年《三体》电视剧异常火爆，这正展示了人类想了解未知世界的渴望，为延续人类文明防患于未然，人类也需要寻找适宜人类居住的新家园。假设多年后宇航员找到了一类地星球，为了探究星球的相关情况，宇航员降落在星球表面，并做了以下实验（假设该星球为匀质球体，星球半径为R）：
实验Ⅰ：让一石子和一片羽毛分别从相同高度由静止同时释放多次，发现两者总沿竖直方向向下运动并同时落在水平地面上。由此可以判断该星球表面 （填“有”或“无”）大气。
实验Ⅱ：在赤道的水平地面上，以一定的水平速度v0抛出物体，并记录下抛出点的高度h及相应的从抛出到落地过程中的水平位移x，保持v0不变，改变高度，重复实验多次。并用描点法做出了图像，你认为宇航员做 图像最为合理。（选填选项前的相应字母）
A．h﹣x B．h2﹣x C．h﹣x2
若求出图线的斜率为k1，则赤道处的重力加速度g＝。
实验Ⅲ：到达极地后，在抛出速度与实验Ⅱ中v0一样的情况下，重复实验Ⅱ，若得到图像的斜率为k2。据此宇航员推出了该类地星球的自转周期T＝。（用k1、k2、R、v0表示）
【解答】解：（1）实验Ⅰ，因为只有没有空气阻力影响时，石子和羽毛才能总是同时落地，所以可以判断该星球表面无大气。
（2）实验Ⅱ，在实验Ⅰ的基础上，可确定石子做的是平抛运动，由两个方向上的规律可得
x＝v0t
联立可得
即h与x2成正比关系，做此图像可以有效减小实验数据处理导致的偶然误差，故宇航员做C图像最为合理。
（3）由斜率可得赤道处的重力加速度g＝2k1
（4）实验Ⅲ，跟实验Ⅱ的原理相同，同理可得
又赤道处有F引﹣mg＝mR
极地处有F引＝mg极
联立可得
四．计算题
18．宇航员站在某质量分布均匀的星球表面上，沿水平方向以初速度v0从斜坡上P点抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点Q。已知斜坡的倾角为α，该星球的半径为R，引力常量为G，球的体积公式为V（r为球的半径），不考虑星球自转的影响。
（1）求该星球表面的重力加速度g；
（2）求该星球的密度；
（3）飞行器绕该星球以周期T做匀速圆周运动时，求飞行器距离星球表面的高度。
【解答】解：（1）小球做平抛运动过程中，水平方向做匀速直线运动：x＝v0t
竖直方向做自由落体运动：
由几何知识可得：
联立解得：
（2）对于星球表面质量为m0的物体，重力由万有引力提供：
而星球的体积：
星球的密度：
联立以上解得：
（3）根据万有引力提供向心力有：
联立解得：
19．2021年2月10日19时52分，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，成功实现环绕火星运动，成为我国第一颗人造火星卫星。假设“天问一号”环绕火星做匀速圆周运动周期为T。已知火星的半径为R，火星表面的重力加速度的大小为g，引力常量为G，不考虑火星的自转影响。求：
（1）火星的质量M；
（2）火星的第一宇宙速度v；
（3）“天问一号”绕火星飞行时距离火星表面的高度h。
【解答】解：（1）忽略火星自转，对火星表面质量为m的物体，其重力等于万有引力，有：
解得火星的质量M
（2）忽略火星自转，设火星近地卫星的质量为m0，根据万有引力定律，有：
解得火星的第一宇宙速度
（3）设天问一号质量为m′，根据万有引力定律和牛顿第二定律，有：，其中r＝R+h
联立解得：h
20．2021年10月16日，我国成功发射了神舟十三号载人飞船，与空间站组合体完成自主快速交会对接，3名航天员翟志刚、王亚平、叶光富成功送入了天和核心舱，他们将在轨驻留6个月，任务主要目标为验证中国空间站建造相关技术，为我国空间站后续建造及运营任务奠定基础。
已知神舟十三号与空间站组合体完成对接后在轨道上运行，可视为匀速圆周运动，它们飞行n圈所用时间为t。已知它们的总质量为m，它们距地面的高度为h，地球半径为R，引力常量为G。求：
（1）神舟十三号与空间站组合体对接后，地球对它们的万有引力F；
（2）地球的质量M；
（3）地球表面的重力加速度g。
【解答】解：（1）由题意知道，组合体的运动周期：
组合体所受的向心力：
向心力由地球对其的万有引力提供，所以F引＝F
（2）组合体绕地球做圆周运动，则有：
整理得到：
（3）在地球表面的物体，不考虑自转时：m′g
所以可得：g
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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