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5 实验:用单摆测量重力加速度
实验热点 探究突破
随 堂 训 练
实验探究 方案梳理
实验探究 方案梳理
实验目的
利用单摆测定当地的重力加速度,巩固和加深对单摆周期公式的理解。
实验原理
实验器材
带横杆的铁架台、铁夹、金属小球(上面有一个通过球心的小孔)、停表、细线、刻度尺、游标卡尺。
实验步骤
1.在细线的一端打一个比小球上的孔径稍大些的结,将细线穿过球上的小孔,并把细线上端固定在横杆上,并用铁夹夹住,制成一个单摆。
2.将横杆固定在铁架台的上端,铁架台放在实验桌边,使横杆伸到桌面以外。
3.用刻度尺测量悬挂点与小球上端之间的距离l',用游标卡尺测量摆球的直径d,然后计算出悬点到球心的距离l=l'+ ,即摆长。
4.把此单摆从平衡位置拉开一个较小的角度,再释放小球。当摆球摆动稳定以后,在最低点位置时,用停表开始计时,测量单摆全振动30次(或50次)的时间,然后求出一次全振动的时间,即单摆的振动周期。
5.改变摆长,重做几次。
6.根据单摆的周期公式,计算出每次实验的重力加速度;求出几次实验得到的重力加速度的平均值,即本地区的重力加速度的值。
7.将测得的重力加速度数值与当地重力加速度数值加以比较,如有误差,分析产生误差的原因。
数据处理
注意事项
1.摆线要选1 m左右,不要过长或过短,太长测量不方便,太短摆动太快,不易计数。
2.摆长要悬挂好摆球后再测,不要先测摆长再系小球,因为悬挂摆球后细绳会发生形变。
3.计算摆长时要将摆线长加上摆球半径,不要把摆线长当作摆长。
4.摆球要选体积小、密度大的,不要选体积大、密度小的,这样可以减小空气阻力的影响。
5.摆角要小于5°,不要过大,因为摆角过大,单摆的振动不再是简谐运动,公式 就不再适用。
6.单摆要在竖直平面内摆动,不要使之成为圆锥摆。
7.要从平衡位置计时,不要从摆球到达最高点时开始计时。
8.要准确记好摆动次数,不要多记或少记。
误差分析
1.本实验系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求,即悬点是否固定,球、线是否符合要求,振动是圆锥摆还是同一竖直平面内的振动以及测量哪段长度作为摆长等等。
2.本实验偶然误差主要来自时间(即单摆周期)的测量。要从摆球通过平衡位置开始计时,不能多记或漏记振动次数。为了减小偶然误差,进行多次测量后取平均值。
实验热点 探究突破
热点1 实验原理与操作
典例剖析
某实验小组在做利用单摆测量当地重力加速度的实验。
(1)用游标卡尺测定摆球的直径,测量结果如图所示,则该摆球的直径为 cm。
(2)小组成员在实验过程中有如下说法,其中正确的是 。(填选项前的字母)
A.把单摆从平衡位置拉开30°的摆角,并在释放摆球的同时开始计时
B.测量摆球通过最低点100次的时间t,则单摆周期为
C.用悬线的长度加摆球的直径作为摆长,代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏大
D.选择密度较小的摆球,测得的重力加速度值误差较小
答案:(1)0.97 (2)C
解析:(1)游标卡尺读数=主尺读数+游标尺读数
=0.9 cm+7×0.01 cm=0.97 cm。
(2)要使单摆做简谐运动,摆角应小于5°,要在摆球通过最低点时开始计时,选项A错误;应选择密度较大的摆球,阻力的影响较小,测得的重力加速度误差较小,选项D错误;摆球通过最低点100次,完成了50次全振动,周期是 ,选项B错误;单摆的摆长应是悬线的长度加摆球的半径,若用悬线的长度加摆球的直径作为摆长,则测出的重力加速度值偏大,选项C正确。
学以致用
(多选)在用单摆测重力加速度的实验中,下列措施可以提高实验精度的是( )
A.单摆摆动时保持摆线在同一竖直平面内
B.拴好摆球后,令其自然下垂时测量线长为摆长
C.计时起止时刻,选在最大摆角处
D.计时初始时刻应选在摆球通过平衡位置时
答案:AD
解析:由于单摆与圆锥摆的周期不同,本实验是利用单摆的简谐运动周期公式 测量g,所以单摆摆动时必须保持摆线在同一竖直平面内,不能形成圆锥摆,选项A正确;由于细线有伸缩性,所以应拴好摆球后,令其自然下垂时测量悬点到球心的距离作为摆长,不能将线长作为摆长,选项B错误;摆球经过平衡位置时,速度最大,相同的距离误差引起的时间误差最小,故应从平衡位置开始计时和停止计时,选项C错误,D正确。
热点2 数据处理与误差分析
典例剖析
在做用单摆测量重力加速度的实验时,用摆长l和周期T计算重力加速度的公式是g= 。若已知摆球直径为2.00 cm,让刻度尺的零刻度线对准摆线的悬点,摆线竖直下垂,如图甲所示,则单摆摆长是 m。若测定了40次全振动的时间如图乙中停表所示,则停表读数是 s,单摆摆动周期是 s。
甲
乙
为了提高测量精度,需多次改变l值,并测得相应的T值。现将测得的六组数据标示在以l为横坐标、以T2为纵坐标的坐标系上,如图丙所示。试根据图中给出的数据点作出T2和l的关系图线,根据图线可求出g= m/s2。(结果取2位有效数字)
丙
特别提醒
1.在读数时,要注意有效数字问题,毫米刻度尺的分度值为1 mm,需估读,而停表的分度值为0.1 s,不估读。
2.在作图像时,由于有测量误差,会造成并非所有的点都在一条直线上,作图时应让误差较大的点均匀分布在直线两侧,提高实验的准确性。
学以致用
用单摆测量重力加速度的实验装置如图所示。
(1)测出悬点O到小球球心的距离(摆长)l及单摆完成n次全振动所用的时间t,则重力加速度g= (用l、n、t表示)。
(2)下表是某同学记录的3组实验数据,并做了部分计算处理。
组次 1 2 3
摆长l/cm 80.00 90.00 100.00
50次全振动时间t/s 90.0 95.5 100.5
振动周期T/s 1.80 1.91
重力加速度g/(m·s-2) 9.74 9.73
请计算出第3组实验中的T= s,g= m/s2。
随 堂 训 练
1.(1)在用单摆测定当地的重力加速度的实验中除带横杆的铁架台、铁夹、停表、游标卡尺、刻度尺之外,还必须选用的器材是 。
A.约1 m的不可伸长的细线,半径约1 cm的小铁球
B.约0.1 m的不可伸长的细线,半径约1 cm的小铁球
C.约0.1 m的不可伸长的细线,半径约1 cm的小塑料球
D.约1 m的不可伸长的细线,半径约1 cm的小塑料球
(2)某同学在处理数据的步骤中,以 为纵坐标,以周期T为横坐标,作出如图所示的图像,已知该图线的斜率为k=0.500,则重力加速度为 m/s2。(结果保留三位有效数字,π=3.14)
答案:(1)A (2)9.86
解析:(1)本实验应选择细、轻、不易伸长的线,长度一般在1 m左右,小球应选用直径较小、密度较大的金属球,故选项A正确。
2.在利用单摆测定重力加速度的实验中,由单摆做简谐运动的周期公式得到 ,只要测出多组单摆的摆长l和运动周期T,作出T2-l图像,就可以求出当地的重力加速度,理论上T2-l图像是一条过坐标原点的直线,某同学根据实验数据作出的图像如图甲所示:
(1)由图像求出的重力加速度g= m/s2(取π2=9.87)。
(2)由于图像没有经过坐标原点,求出的重力加速度g值与当地真实值相比 ;若利用 ,采用公式法计算,则求出重力加速度g值与当地真实值相比 。(均选填“偏大”“偏小”或“不变”)
(3)某同学在家里做用单摆测定重力加速度的实验,但没有合适的摆球,他找到了一块外形不规则的长条状的大理石块代替了摆球(如图乙),以下实验步骤中存在错误或不当的步骤是
(只填写相应的步骤代号即可)。
A.将石块用细尼龙线系好,结点为N,将尼龙线的上端固定于O点
B.用刻度尺测量ON间尼龙线的长度l作为摆长
C.将石块拉开一个大约α=5°的角度,然后由静止释放
答案:(1)9.87 (2)不变 偏小 (3)BDF
(3)B选项:用刻度尺测量ON间尼龙线的长度l作为摆长是错误的,摆长等于悬点到石块重心的距离;D选项:从石块摆到最低点时开始计时并记为n=0,当石块第n=30次到达最低点时结束记录总时间t,由 得出周期;F选项:求出多次实验中测得的l和T的值,作出T2-l图像,根据图像的斜率求出重力加速度g。5 实验:用单摆测量重力加速度
课后·训练提升
1.(多选)在做用单摆测量重力加速度的实验中,有人提出如下建议,其中对提高测量结果精确度有利的是( )
A.适当加长摆线
B.质量相同、体积不同的摆球,应选用体积较大的
C.单摆偏离平衡位置的角度不能太大
D.当单摆经过最高位置时开始计时
答案AC
解析单摆实验的精确度取决于实验装置的理想化程度及相关物理量的测量精度。适当加长摆线,有利于把摆球看成质点,在摆角小于5°的条件下,摆球的空间位置变化较大,便于观察,选项A正确;摆球体积越大,所受空气阻力越大,对质量相同的摆球影响越大,选项B错误;摆角应小于5°,选项C正确;本实验采用累积法测量周期,且从球过平衡位置时开始计时,选项D错误。
2.(多选)在用单摆测量重力加速度的实验中,由于摆球形状不规则,无法准确测量摆长,但摆线的长度l'可以准确测量。现使用同一摆球,多次改变摆线长度l'并测得每一次相应的摆动周期T。对于数据处理方法,下列说法正确的是( )
A.l'与T2不是直线关系
B.摆长可以利用l'-T2图线求出
C.l'与T2是直线关系,在理论上,l'-T2直线的斜率与l-T2直线的斜率相同
D.l'与T2是直线关系,在理论上,l'-T2直线的斜率与l-T2直线的斜率不同
答案BC
解析设摆球半径为r,则摆长l=l'+r,振动周期T=2π=2π,化简后有l=T2,l'=T2-r,可见l'与T2是直线关系,l'-T2图线在纵轴上的截距表示-r,据此可求出r,进而可求出摆长,选项A错误,B正确;l'与T2是直线关系,在理论上,l'-T2直线的斜率与l-T2直线的斜率相同,均是,选项C正确,D错误。
3.实验小组的同学用如图所示的装置做用单摆测重力加速度的实验。
(1)实验室有如下器材可供选用。
A.长约1 m的细线
B.长约1 m的橡皮绳
C.直径约2 cm的铁球
D.直径约2 cm的塑料球
E.米尺
F.时钟
G.停表
实验时需要从上述器材中选择 (填写器材前面的字母)。
(2)在挑选合适的器材制成单摆后他们开始实验,操作步骤如下。
①将单摆上端固定在铁架台上。
②测得摆线长度,作为单摆的摆长。
③在偏角较小的位置将小球由静止释放。
④记录小球完成n次全振动所用的总时间t,得到单摆振动周期T=。
⑤根据单摆周期公式计算重力加速度的大小。
其中操作不妥当的一处是 (填写操作步骤前面的序号)。
(3)发现(2)中操作步骤的不妥之处后,他们做了如下改进:让单摆在不同摆线长度的情况下做简谐运动,测量其中两次实验时摆线的长度l1、l2和对应的周期T1、T2,通过计算也能得到重力加速度大小的测量值。请你写出该测量值的表达式,g= 。
答案(1)ACEG (2)② (3)
解析(1)单摆的摆长不可伸长,为减小空气阻力的影响和实验误差,应选用长约1m的细线,直径约2cm的铁球;同时实验中要用米尺测量摆长,停表测量周期。故实验时需要从上述器材中选择ACEG。
(2)操作不妥当的是②,单摆的摆长应等于摆线长度加摆球的半径。
(3)根据单摆的周期公式得T1=2π,T2=2π,解得g=。
4.某实验小组在做用单摆测定重力加速度的实验。
甲
乙
(1)用游标卡尺测量摆球直径的情况如图甲所示,读出摆球直径为 cm;
(2)测单摆周期时,当摆球经过 时开始计时并计1次,测出经过该位置n次所用时间为t,则单摆周期为 。
(3)若测量出多组周期T、摆长l数值后,画出T2-l图像如图乙所示,则此图线的斜率k= 。
答案(1)2.07 (2)最低点 (3)
解析(1)由题图甲可知,摆球直径为20mm+7×0.1mm=20.7mm=2.07cm。
(2)选最低点时开始计时,是因为单摆经过最低点时速度最快,相对来说引起的时间误差会很小,这样测量单摆周期更精确。测单摆周期时,当摆球经过最低点时开始计时并计1次,测出经过该位置n次所用时间为t,则单摆周期为T=。
(3)由单摆周期公式T=2π可知T2=l,则T2-l图线斜率k=。
5.某同学利用单摆测量重力加速度的大小。
(1)安装好实验装置后,先用游标卡尺测量摆球直径d,测量的示数如图所示,则摆球直径d= cm,再测量摆线长l0,则单摆摆长l= (用d、l0表示)。
(2)摆球摆动稳定后,当它到达 (选填“最低点”或“最高点”)时启动停表开始计时,并记录此后摆球再次经过最低点的次数n(n=1,2,3,…),当n=60时停止计时,停表读数为67.5 s,该单摆的周期为T= s(保留三位有效数字)。
(3)计算重力加速度测量值的表达式为g= (用T、l表示),如果测量值小于真实值,可能原因是 。
A.将摆球经过最低点的次数n计少了
B.计时开始时,停表启动稍晚
C.将摆线长当成了摆长
D.将摆线长和球的直径之和当成了摆长
(4)正确测量不同摆长l及相应的单摆周期T,并在坐标纸上画出T2与l的关系图线,如图所示。由图线算出重力加速度的大小g= m/s2(保留3位有效数字,计算时π2取9.86)。
答案(1)1.84 +l0
(2)最低点 2.25
(3) AC
(4)9.86
解析(1)由题图可知,游标卡尺的主尺读数为1.8cm,副尺的读数为4×0.1mm=0.4mm,因此游标卡尺的读数为1.8cm+0.4mm=1.84cm;单摆的摆长为摆线长l0与摆球半径之和,即l=l0+。
(2)测量周期时,为了减小误差,计时起点必须选在最低点;单摆的周期为T==2.25s。
(3)由单摆周期公式T=2π 得g=。测周期时,将摆球经过最低点的次数计少了,所测周期偏大,因此g偏小,选项A正确;计时开始时,停表启动稍晚,则总时间偏小,周期偏小,则g偏大,选项B错误;将摆线长当成了摆长,所测摆长偏小,则g偏小,选项C正确;将摆线长加小球直径作为摆长,所测摆长偏大,则g偏大,选项D错误。
(4)由单摆周期公式T=2π 得T2=l,则T2-l图像的斜率为k=,由图线得k=4.0s2/m,所以g=m/s2=9.86m/s2。
6.某同学设计了用沙摆测重力加速度的实验,装置如图甲所示,此装置可看成摆长为l的单摆,实验时,摆角小于5°,沿与摆动方向垂直方向匀速拉动木板,在木板上留下如图乙所示的图像。
甲
乙
(1)为了完成实验,除摆长l外,还需要测出的物理量有 。
A.沙摆做简谐运动的振幅lOA
B.沙摆的质量m
C.OB的长度lOB
(2)除上述给出的物理量以外,还需要测量 (写出物理量及对应符号)。
(3)根据以上物理量,写出重力加速度的表达式g= 。
(4)请写出一条减小系统误差的改进建议 。
答案(1)C
(2)木板速度v
(3)
(4)求周期用OD的距离除以3v
解析(1)由单摆周期公式T=2π可知,为了测得重力加速度,应测量单摆周期,由图可知,T=,即测量OB的长度lOB,故选项C正确。
(2)由(1)分析可知,还需要测量木板速度v。
(3)由单摆周期公式T=2π可知g=。
(4)为了减小测量误差,计算周期时可用OD的距离除以3v。
7.某同学在做利用单摆测重力加速度的实验,先测得摆线长为97.50 cm,摆球直径为2.00 cm,然后用停表记录了单摆全振动50次所用的时间,如图所示。
(1)该单摆摆长为 cm,停表所示读数为 s。
(2)如果测得的g值偏小,可能的原因是 。
A.测摆线长时摆线拉得过紧
B.摆线上端悬点未固定,振动中出现松动,使摆线长度增加了
C.开始计时时,停表过迟按下
D.实验中误将49次全振动计为50次
(3)为了提高实验精度,在实验中可改变几次摆长l并测出相应的周期T,从而得出一组对应的l与T的数据,再以l为横坐标、T2为纵坐标,将所得数据连成直线如图所示,并求得该直线的斜率为k,则重力加速度g= (用k表示)。
答案(1)98.50 75.2
(2)B
(3)
解析(1)单摆的摆长l=l线+=97.50cm+cm=98.50cm;停表示数t=60s+15.2s=75.2s。
(2)测摆线时摆线拉得过紧,则摆长的测量值偏大,则测得的重力加速度偏大,故选项A错误。摆线上端未牢固地系于悬点,振动中出现松动,使摆线长度增加了,而测得的摆长偏小,则测得的重力加速度偏小,故选项B正确。开始计时时,停表过迟按下,测得单摆的周期偏小,则测得的重力加速度偏大,故选项C错误。实验中误将49次全振动计为50次,测得周期偏小,则测得的重力加速度偏大,故选项D错误。
(3)由单摆的周期公式T=2π得T2=l,图线的斜率k=,解得g=。
8.根据单摆周期公式,可以通过实验测量当地的重力加速度。如图甲所示,将细线的上端固定在铁架台上,下端系一小钢球,就做成了单摆。
(1)用游标卡尺测量小钢球的直径,示数如图乙所示,读数为 mm。
甲
丙
乙
(2)以下是实验过程中的一些做法,其中正确的有 。(填字母代号)
a.摆线要选择细些的、伸缩性小些的,并且适当长一些
b.摆球尽量选择质量大些、体积小些的
c.为了使单摆的周期大一些,以方便测量,开始时拉开摆球,使摆线相距平衡位置有较大的角度
d.拉开摆球,使摆线偏离平衡位置大于5°,在释放摆球的同时开始计时,当摆球回到开始位置时停止计时,此时间间隔Δt即单摆周期T
e.拉开摆球,使摆线偏离平衡位置不大于5°,释放摆球,当摆球振动稳定后,从平衡位置开始计时,记下摆球做50次全振动所用的时间Δt,则单摆周期T=
(3)某同学测出不同摆长对应的周期T,作出T2-l图线,如图丙所示,再利用图线上任意两点A、B的坐标(x1,y1)、(x2,y2),可求得g= 。若该同学测摆长时漏加了摆球半径,而其他测量、计算均无误,也不考虑实验误差,则用上述方法算得的g值和真实的g值相比是 (选填“偏大”“偏小”或“相同”)的。
答案(1)18.6 (2)abe (3) 相同
解析(1)游标卡尺的主尺读数为18mm,游标尺读数为0.1×6mm=0.6mm,则最终读数为18.6mm。
(2)实验时摆线要选择细些的、伸缩性小些的,并且适当长一些,选项a正确;摆球选择质量大一些、体积小一些的,选项b正确;为了使单摆做简谐运动,摆角要小些,选项c错误;当摆球经过平衡位置时开始计时,误差较小,测量周期时需测量多次全振动的时间,求出周期,不能只测一次全振动的时间,这样误差较大,选项d错误,e正确。
(3)根据T=2π得T2=,可知图线的斜率k=,解得g=。若只是漏加了摆球半径,则作出的T2-l图线的斜率不变,用上述方法算得的g值和真实值相比是相同的。
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