卷子答案网-一个不只有答案的网站专题17 机械能守恒定律及其应用
题型 选择题、解答题 命题趋势和备考策略
高考考点 机械能守恒定律的理解与判断；解决单个物体的机械能守恒问题；解决多个物体机械能守恒问题（包括轻绳模型、轻杆模型和轻弹簧模型）； 【命题规律】 近3年新高考卷对于运动的描述考查共计13次，主要考查：1. 机械能守恒定律的理解和判断； 2. 单个物体的机械能守恒问题的理解和计算； 3. 多个物体关联的机械能守恒问题的理解和计算 【备考策略】 理解并掌握机械能的概念，理解机械能的守恒条件；理解多物体构成速度关联问题并解决系统机械能守恒问题。 【命题预测】 本节内容是新高考各省命题的常考知识点之一，容易考察机械能的概念，机械能守恒条件的理解以及机械能守恒条件的运用。本节内容在高考题中一般会以中等及以上的题型出现，压轴题出现的概念会偏大，2024年考生需要强化模型概念，理解速度关联问题，建立守恒概念。
新高考 2023 上海卷3题、全国甲卷14题、全国甲卷14题、湖南卷8题
2022 河北卷9题、上海卷19题、江苏卷10题、湖北卷5题、湖北卷16题、
2021 重庆卷5题、河北卷6题、海南卷2题、浙江春招卷22题
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知识梳理
一、机械能 2
二、机械能守恒定律 2
考点突破
考点一 机械能守恒的判断 3
考点二 单个物体的机械能守恒 5
考点三 用机械能守恒定律解决连接体问题 8
考点四 含弹簧类机械能守恒问题 11
考点五 含轻杆类模型机械能守恒 15
考点过关
【素质基础练】 20
【能力提高练】 27
【高考通关练】 37
一、机械能
1．重力做功与重力势能
(1)重力做功的特点
重力做功与路径无关，只与初、末位置的高度差有关．
(2)重力做功与重力势能变化的关系
①定性关系：重力对物体做正功，重力势能就减少；重力对物体做负功，重力势能就增加．
②定量关系：物体从位置A到位置B时，重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量，即WG＝－ΔEp.
③重力势能的变化量是绝对的，与参考面的选取无关．
2．弹性势能
(1)定义
发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能．
(2)弹力做功与弹性势能变化的关系
①弹力做功与弹性势能变化的关系类似于重力做功与重力势能变化的关系．
②对于弹性势能，一般物体的弹性形变量越大，弹性势能越大．
[深度思考] 同一根弹簧伸长量和压缩量相同时，弹簧的弹性势能相同吗？
答案 相同．
二、机械能守恒定律
1．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变．
2．表达式：mgh1＋mv12＝mgh2＋mv22.
3．机械能守恒的条件
(1)系统只受重力或弹簧弹力的作用，不受其他外力．
(2)系统除受重力或弹簧弹力作用外，还受其他内力和外力，但这些力对系统不做功．
(3)系统内除重力或弹簧弹力做功外，还有其他内力和外力做功，但这些力做功的代数和为零．
(4)系统跟外界没有发生机械能的传递，系统内外也没有机械能与其他形式的能发生转化．
[深度思考] 处理连接体的机械能守恒问题时，一般应用哪个公式较方便？
答案 ΔEp＝－ΔEk.
考点一 机械能守恒的判断
1．做功判断法：若物体系统内只有重力和弹簧弹力做功，其他力均不做功或其他力做功的代数和为零，则系统的机械能守恒．
2．能量转化判断法：若只有系统内物体间动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转变成其他形式的能(如没有内能增加)，则系统的机械能守恒．
3．利用机械能的定义判断：
若物体在水平面上匀速运动，则其动能、势能均不变，机械能守恒．若一个物体沿斜面匀速下滑，则其动能不变，重力势能减少，机械能减少．
【典例1】（2023·全国·统考高考真题）一同学将铅球水平推出，不计空气阻力和转动的影响，铅球在平抛运动过程中（ ）
A．机械能一直增加 B．加速度保持不变 C．速度大小保持不变 D．被推出后瞬间动能最大
【答案】B
【详解】A．铅球做平抛运动，仅受重力，故机械能守恒，A错误；
B．铅球的加速度恒为重力加速度保持不变，B正确；
CD．铅球做平抛运动，水平方向速度不变，竖直方向做匀加速直线运动，根据运动的合成可知铅球速度变大，则动能越来越大，CD错误。
故选B。
【变式1】（2023·河南开封·统考一模）如图所示，一内外侧均光滑的半圆柱槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一竖直墙壁。现让一小球（可认为质点）自左端槽口A点的正上方从静止开始下落，与半圆槽相切并从A点入槽内。则下列说法正确的（ ）
A．小球在槽内运动的全过程中机械能守恒
B．小球第二次经过槽最低点时，槽的速度最大
C．小球在槽内运动的全过程中，只有重力对小球做功
D．小球在槽内运动的全过程中，小球与槽组成的系统机械能守恒、动量守恒
【答案】B
【详解】AD．小球从下落到最低点的过程中，槽没有动，与竖直墙之间存在挤压，小球的动量不守恒，小球与槽组成的系统动量也不守恒，小球的机械能守恒，小球与槽组成的系统机械能也守恒；小球经过最低点往上运动的过程中，斜槽与竖直墙分离，小球与槽组成的系统动量水平方向动量守恒，竖直方向动量不守恒；该过程小球的机械能不守恒，但是小球与槽组成的系统机械能守恒，选项AD错误；
B．小球第一次到达最低点时槽开始向右运动离开墙壁，此后小球对槽有斜向右下的压力使得槽向右加速运动，直到小球第二次经过槽最低点时，槽的速度最大，此后小球滑到槽的左侧时对槽有斜向左下的压力槽做减速运动，选项B正确；
C．小球经过最低点往上运动的过程中，斜槽往右运动，除重力对小球做功之外还有斜槽对小球的支持力对小球做负功，选项C错误。
故选B。
【变式2】（2023·河北唐山·开滦第一中学校考模拟预测）天津之眼（TheTientsinEye）是世界上唯一建在桥上的摩天轮，直径为110米，摩天轮旋转一周所需时间约为30分钟。现假设摩天轮正绕中间的固定轴做匀速圆周运动，则对于坐在轮椅上观光的游客来说，正确的说法是（ ）
A．因为摩天轮做匀速转动，所以游客受到的合力为零
B．当摩天轮转到最低点时，游客处于失重状态
C．因为摩天轮做匀速转动，所以游客的机械能守恒
D．当摩天轮转到最高点时，座椅对游客的支持力小于所受的重力
【答案】D
【详解】A．游客随摩天轮做匀速转动，游客受到的合力不为零，合力提供所需的向心力，故A错误；
B．当摩天轮转到最低点时，游客的加速度方向向上，游客受到的重力与支持力的合力的方向向上，指向圆心，所以游客处于超重状态，故B错误；
C．摩天轮做匀速转动，所以游客的动能不变而重力势能是变化的，所以机械能不守恒，故C错误；
D．游客随摩天轮做匀速圆周运动，当摩天轮转到最高点时，游客的加速度方向向下，游客受到的重力与支持力的合力的方向向下，指向圆心，所以座椅对游客的支持力小于所受的重力，故D正确。
故选D。
考点二 单个物体的机械能守恒
机械能守恒定律的表达式
【典例2】（多选）（2023·湖南·统考高考真题）如图，固定在竖直面内的光滑轨道ABC由直线段AB和圆弧段BC组成，两段相切于B点，AB段与水平面夹角为θ，BC段圆心为O，最高点为C、A与C的高度差等于圆弧轨道的直径2R。小球从A点以初速度v0冲上轨道，能沿轨道运动恰好到达C点，下列说法正确的是（ ）
A．小球从B到C的过程中，对轨道的压力逐渐增大
B．小球从A到C的过程中，重力的功率始终保持不变
C．小球的初速度
D．若小球初速度v0增大，小球有可能从B点脱离轨道
【答案】AD
【详解】A．由题知，小球能沿轨道运动恰好到达C点，则小球在C点的速度为vC = 0
则小球从C到B的过程中，有，
联立有FN= 3mgcosα－2mg
则从C到B的过程中α由0增大到θ，则cosα逐渐减小，故FN逐渐减小，而小球从B到C的过程中，对轨道的压力逐渐增大，A正确；
由于A到B的过程中小球的速度逐渐减小，则A到B的过程中重力的功率为
P = －mgvsinθ
则A到B的过程中小球重力的功率始终减小，则B错误；
C．从A到C的过程中有
解得，C错误；
D．小球在B点恰好脱离轨道有，则
则若小球初速度v0增大，小球在B点的速度有可能为，故小球有可能从B点脱离轨道，D正确。
故选AD。
1．在处理单个物体机械能守恒问题时通常应用守恒观点和转化观点，转化观点不用选取零势能面．
2．在处理连接体问题时，通常应用转化观点和转移观点，都不用选取零势能面．
【变式1】（2023·江苏盐城·统考三模）现体从离地高H处的M点开始做自由落体运动，下落至离地高度为处的N点，下列能量条形图表示了物体在M和N处的动能虽和重力势能E的相对大小关系，可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】A．由题意可知，物体重力势能变为原来的，A错误；
BC．由于机械能守恒，动能与重力势能之和应等于释放时的机械能，BC错误；
D．设释放位置所在平面为零势能面，则机械能为零，D正确。
故选D。
【变式2】（2023·四川成都·四川省成都列五中学校考三模）一质量为可视为质点的小球，系于长为的轻绳一端，绳的另一端固定在点，假定绳不可伸长，柔软且无弹性。现将小球从点的正上方距离点的点以水平速度抛出，如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．轻绳即将伸直时，绳与竖直方向的夹角为
B．轻绳从释放到绷直所需时间为
C．轻绳绷直后瞬间，小球的速度大小为
D．当小球到达点正下方时，绳对质点的拉力为
【答案】D
【详解】AB．小球水平抛出后，在绳子绷直之前做平抛运动，有，，解得，，故AB错误；
C．绳子绷直时，水平方向的速度突变为零，只剩下竖直方向的速度，故速度，故C错误；
D．小球在绳子绷直后运动到的正下方，机械能守恒，有
又在最低点，根据受力关系，解得，故D正确。
故选D。
考点三 用机械能守恒定律解决连接体问题
1．首先分析多个物体组成的系统所受的外力是否只有重力或弹力做功，内力是否造成了机械能与其他形式能的转化，从而判断系统机械能是否守恒．
2．若系统机械能守恒，则机械能从一个物体转移到另一个物体，ΔE1＝－ΔE2，一个物体机械能增加，则一定有另一个物体机械能减少．
【典例3】（2021·河北·高考真题）一半径为R的圆柱体水平固定，横截面如图所示，长度为、不可伸长的轻细绳，一端固定在圆柱体最高点P处，另一端系一个小球，小球位于P点右侧同一水平高度的Q点时，绳刚好拉直，将小球从Q点由静止释放，当与圆柱体未接触部分的细绳竖直时，小球的速度大小为（重力加速度为g，不计空气阻力）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】小球下落的高度为
h = πR - R + R = R
小球下落过程中，根据动能定理有
mgh = mv2
综上有
v =
故选A。
1．对连接体，一般用“转化法”和“转移法”来判断其机械能是否守恒．
2．注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系．
3．列机械能守恒方程时，可选用ΔEk＝－ΔEp的形式．
【变式1】（2023·黑龙江大庆·大庆中学校考一模）如图所示，一个倾角为θ=30°的光滑斜面固定在水平面上，不可伸长的轻绳一端固定在斜面上的O点，另一端系一个质量为m的小球（可视为质点），绳长为L，在O点沿斜面向下处的P点钉一枚与斜面垂直的钉子。现将小球拉起，使轻绳与斜面平行且在水平方向上伸直，由静止释放，小球绕O点转动90 时绳与钉子相碰。已知重力加速度大小为g，不计一切摩擦和空气阻力，下列说法中错误的是（ ）
A．绳碰到钉子前瞬间，小球的线速度为，且碰后瞬间线速度大小不变
B．绳碰到钉子前瞬间，小球受到的拉力为，且碰后瞬间绳的拉力突然增大
C．绳碰到钉子后，小球绕P点做圆周运动可恰好到达最高点O点
D．若将钉钉子的位置P点沿斜面向下移动，OP距离越大，绳碰到钉子后瞬间受到的拉力越大
【答案】C
【分析】考查圆周运动过程中半径突变的情况，由于斜面光滑，运用机械能守恒定律求出动能，即可对小球进行受力分析，合外力等于向心力。
【详解】AB．球从开始运动到碰到钉子前瞬间机械能守恒，
合外力提供向心力
碰后瞬间，速度不变，半径变小，所需向心力增大，绳上拉力变大，所以AB正确；
C．碰到钉子后，小球绕P点做圆周运动，O点是轨道的最高点，由于最高点小球所受合外力不可能为零，所以速度不能为零，根据机械能守恒，小球不能运动到O点，C错误；
D．OP距离越大，与钉子相碰后新的圆周运动的半径越小，由于速度不变，所以半径越小，所需向心力越大，绳上拉力越大，D正确；
本题选择错误的，故选C。
【变式2】（多选）（2023·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）如图所示，圆心在O点、半径为R的光滑圆弧轨道ABC竖直固定在水平桌面上，C端装有轻质定滑轮，OC与OA的夹角为60°，轨道最低点A与桌面相切，一足够长的轻绳两端分别系着质量为m1和m2的甲、乙两小球（均可视为质点），挂在圆弧轨道边缘C的定滑轮两边，开始时甲位于C点，然后从静止释放，不计一切摩擦，则（ ）
A．在甲由C点下滑到A点的过程中两球速度大小始终相等
B．在甲由C点下滑到A点的过程中重力对甲做功的功率先增大后减少
C．若甲恰好能沿圆弧下滑到A点，则m1=2m2
D．若甲恰好能沿圆弧下滑到A点，则m1=3m2
【答案】BC
【详解】A．甲沿圆弧运动，其速度方向为圆弧的切线方向，由于轻绳不可伸长，因此乙的速度大小应等于甲的速度沿绳方向的分量大小，甲的速度的另一个分量则为垂直于甲与C点连线（绳）方向，故A错误；
B．根据瞬时功率的表达式可知，甲的重力对甲做功的功率为P=m1gvy，其中vy是指甲的瞬时速度沿竖直方向的分量，在C点处两球速度都为零，即甲的重力对甲做功的功率为零，在A点时，甲的速度为水平方向，因此其竖直分量为零，即甲的重力对甲做功的功率也为零，而在C点到A点之间的任一位置，P≠0，先增大后减小，故B正确；
CD．在整个运动过程中，若甲恰好能沿圆弧下滑到A点，则当甲到达A点时，两球的速度都为零，故在A、C两点处，甲减少的重力势能等于乙增加的重力势能，有
m1gR（1–cos60°）–m2gR=0
解得
m1=2m2
故C正确，D错误。
故选BC。
考点四 含弹簧类机械能守恒问题
1．由于弹簧的形变会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒．
2．在相互作用过程特征方面，弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大．
3．如果系统每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，当弹簧为自然长度时，系统内弹簧某一端的物体具有最大速度(如绷紧的弹簧由静止释放)．
【典例4】（2023·全国·统考高考真题）如图，光滑水平桌面上有一轻质弹簧，其一端固定在墙上。用质量为m的小球压弹簧的另一端，使弹簧的弹性势能为。释放后，小球在弹簧作用下从静止开始在桌面上运动，与弹簧分离后，从桌面水平飞出。小球与水平地面碰撞后瞬间，其平行于地面的速度分量与碰撞前瞬间相等；垂直于地面的速度分量大小变为碰撞前瞬间的。小球与地面碰撞后，弹起的最大高度为h。重力加速度大小为g，忽略空气阻力。求
（1）小球离开桌面时的速度大小；
（2）小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）由小球和弹簧组成的系统机械能守恒可知
得小球离开桌面时速度大小为
（2）离开桌面后由平抛运动规律可得
第一次碰撞前速度的竖直分量为，由题可知
离开桌面后由平抛运动规律得，
解得小球第一次落地点距桌面上其飞出的水平距离为
【变式1】（多选）（2023·广东珠海·珠海市第一中学校考三模）如图甲所示，质量为m的物块静止在竖直放置的轻弹簧上（不相连），弹簧下端固定，劲度系数为k。t＝0时刻，对物块施加一竖直向上的外力F，使物块由静止向上运动，当弹簧第一次恢复原长时，撤去外力F。从0时刻到F撤去前，物块的加速度a随位移x的变化关系如图乙所示。重力加速度为g，忽略空气阻力，则在物块上升过程（ ）
A．外力F为恒力
B．物块的最大加速度大小为2g
C．外力F撤去后物块可以继续上升的最大高度为
D．弹簧最大弹性势能为
【答案】AC
【详解】A．根据图像可知，F撤去前瞬间，加速度为零，故
初始时
对物块有
即
根据图像可知，为图像的截距，为定值，所以为恒力，故A正确；
B．初始时刻加速度最大，为
故B错误；
C．从初始到物体脱离弹簧，根据速度位移公式
可知图像与横轴围成的面积表示，则有
从脱离弹力到最高点，根据动能定理有
联立解得外力F撤去后物块可以继续上升的最大高度为
故C正确；
D．从初始到物体脱离弹簧，根据功能关系有
解得弹簧最大弹性势能为
故D错误。
故选AC。
【变式2】（2023·海南·校联考一模）如图所示，一轻弹簧置于光滑水平面上，左端固定。在水平面的右侧，有一个四分之三光滑圆环轨道，圆环轨道半径为。用一质量为的小球（可视质点）压缩弹簧右端至点，小球释放后，刚好运动到轨道的最高点，已知重力加速度为，不计空气阻力。求：
（1）弹簧的弹性势能为多大？
（2）改变小球的质量，小球仍从点释放，要使小球在轨道上运动过程中不脱离轨道，小球的质量满足的条件是什么？
【答案】（1）；（2）见解析
【详解】（1）小球刚好运动到轨道的最高点，重力刚好提供向心力，则有
从小球释放至运动到最高点的过程，根据能量守恒可得
联立解得弹簧的弹性势能为
（2）要使小球在运动过程中不脱离轨道，有两种情况：
①小球能够通过最高点；应满足
从小球释放至运动到最高点的过程，根据能量守恒可得
解得
②小球运动的最高点不超过圆周；应满足
根据能量守恒可得
解得
考点五 含轻杆类模型机械能守恒
三大特点
①平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等．
②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒．
③对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒．
【典例5】（多选）（2023·吉林白山·统考一模）如图所示，可绕固定转轴O在竖直平面内无摩擦转动的刚性轻质支架两端分别固定质量为5m、6m的小球A、B。支架两条边的长度均为L，用手将B球托起至与转轴O等高，此时连接A球的细杆与竖直方向的夹角为θ，，重力加速度大小为g，现突然松手，两小球在摆动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．A球与转轴O等高时的动能为 B．B球下降的最大高度为
C．A球的最大动能为 D．B球的最大动能为
【答案】BCD
【详解】A．根据题意知A、B两球共轴转动，无论何时两球的角速度均相同，二者的转动半径相同则线速度大小也相等，设A球与转轴O等高时的速度为v，由动能定理有
解得
则A球与转轴O等高时的动能为
故A错误；
B．根据题意，当小球B下降到最低点时，小球A、B的速度为零，设小球B向下转动的角度为，则小球A向上转动的角度也为，如图所示
由系统的机械能守恒定律有
解得
则小球B下降的最大高度为
故B正确；
CD．根据题意，当小球B向下转动的角度为时，即小球A向上转动的角度也为，则由动能定理有
由数学知识解得，当时，小球A、B的动能之和有最大值为
由于小球A、B速度的大小相等，则有
，
故CD正确。
故选BCD。
【变式1】（2023·湖北·模拟预测）如图所示，不计质量的细杆两端分别通过铰链固定有可视为质点的小球A、B，质量均为m，杆的长度为l。开始时A、B均靠在光滑竖直墙面上并处于静止状态，A在光滑水平地面上。当有轻微扰动后，可能A球开始沿水平面向右滑动，B球随之下降，也可能B球先向右运动。两球始终在同一竖直平面内运动，细杆与水平方向的夹角为（），重力加速度大小为g。下列说法正确的是（ ）
A．不管A先向右运动还是B先向右运动，当时，A和B的动能都达到最大
B．不管A先向右运动还是B先向右运动，当时，都会离开竖直墙面
C．A先向右运动时，A球的机械能先增大后减小
D．B先向右运动时，B球的机械能先增大后减小
【答案】BC
【详解】B．若A先向右运动时，假设小球B能一直沿着墙面向下运动，设细杆与水平方向的夹角为时，两小球的速度大小分别为、，根据连接体关联速度之间的关系可得
即
则由动能定理有
整理结合数学知识可得
当 时取等号，说明小球A的动能先增大后减小，即杆中先存在挤压的内力，之后出现拉伸的内力，故此后B会离开墙面，直至B落地，B的重力始终对AB组成的系统做正功，因此B的动能始终增大；
若B先向右运动时，当杆与水平方向成角时，球B的速度大小为v，根据机械能守恒定律有
解得
对于小球B，由牛顿第二定律有
由上两式解得
当 时，即此时A离开墙面，此后AB及杆组成的系统机械能守恒，B的动能继续增大，但B的机械能减小，一部分机械能转化成了A的动能，故B正确；
A．根据以上分析可知，B的动能一直在增大，直至落地时动能达到最大，故A错误；
C．根据以上分析可知，杆对A的作用力对A先做正功后做负功，故A球的机械能先增大后减小，故C正确；
D．根据以上分析可知，当B先向右运动时，B球机械能先不变后减小，故D错误。
故选BC。
【变式2】（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）如图所示，一根轻杆长为，中点A和右端点B各固定一个小球，，左端O为光滑水平转轴．开始时杆静止在水平位置，释放后将向下摆动至竖直，在此过程中以下说法正确的是（ ）
A．A、B两球的机械能都守恒
B．A、B两球的机械能不守恒，但它们组成的系统机械能守恒
C．这一过程O、A间轻杆对球做正功
D．这一过程A、B间轻杆对球做正功
【答案】B
【详解】AB．两小球及轻杆组成的系统的机械能守恒，设摆到竖直时角速度为，，则有
解得
即A的动能为
B的动能为
可知A球的机械能减少，B球的机械能增加，故A错误，B正确；
CD．由于A、B两球组成的系统机械能守恒，则下摆的过程O、A间轻杆的弹力沿杆方向不做功；由于A球的机械能减少，则A、B之间轻杆对A球做负功，故CD错误。
故选B。
考点过关
【素质基础练】
1．（2023·北京·统考模拟预测）某同学将手中的弹簧笔竖直向下按压在水平桌面上，如图所示，当他突然松手后弹簧笔将竖直向上弹起，其上升过程中的Ek-h图像如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．弹簧原长为h1
B．弹簧最大弹性势能大小为Ekm
C．O到h3之间弹簧的弹力先增加再减小
D．h1到h2之间弹簧笔的弹性势能和动能之和减小
【答案】D
【详解】ABC．弹簧笔竖直向上弹起过程，所受重力保持不变，弹簧弹力减小，当二力平衡时，加速度为零，速度达到最大，动能最大。此时弹簧还有一定的形变量，不是原长，所以弹簧最大弹性势能大于Ekm。故ABC错误；
D．运动过程中，对系统来说，只有重力和弹簧弹力做功，所以系统机械能守恒，h1到h2之间弹簧笔的弹性势能和动能之和减小，重力势能增加。故D正确。
故选D。
2．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）如图所示，在倾角θ=30°的光滑固定斜面上，放有两个质量分别为1kg和2kg的可视为质点的小球a和b，两球之间用一根长为L=0.2m的轻杆相连，小球b距水平面的高度h=0.1m．两球由静止开始下滑到光滑水平面上，不计球与水平面碰撞时的机械能损失，取g=10m/s2，下面对系统下滑的整个过程说法正确的是（ ）
A．a球机械能守恒
B．b球机械能守恒
C．a球机械能的增加量为0.667J
D．b球机械能的增加量为0.667J
【答案】D
【详解】AB．在下滑的整个过程中，只有重力对系统做功，系统的机械能守恒，但在b在水平面滑行，而a在斜面滑行时，杆的弹力对a和b做功，所以a、b两球各自的机械能都不守恒．故AB错误；
CD．根据系统机械能守恒得：mag（h+Lsin30°）+mbgh=（ma+mb）v2，代入解得v=m/s
系统下滑的整个过程中b球机械能的增加量为△E=mbv2﹣mbgh=J=0.667J
则a球机械能的减小量为0.667J．故C错误，D正确．
故选D。
3．（2023·云南·校联考一模）如图所示，质量的物体P穿在一固定的光滑水平直杆上，直杆右端固定一光滑定滑轮。一绕过两光滑定滑轮的细线的一端与物体P相连，另一端与质量的物体Q相连。开始时物体P在外力作用下静止于A点，绳处于伸直状态，已知，取重力加速度大小，两物体均视为质点，不计空气阻力。某时刻撤去外力、同时给P一水平向左的速度v，物体P恰能运动到B点，则v的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】几何关系可得
则当P从A到B的过程中，Q的位移
由系统机械能守恒
解得，则速度为3m/s。
故选A。
4．（2022·贵州贵阳·统考模拟预测）如图所示，一条不可伸长的轻质软绳跨过定滑轮，绳的两端各系一个质量分别为、的小球a和b、用手按住a球静止于地面时，b球离地面的高度为h。两物体均可视为质点，定滑轮的质量及一切阻力均不计，重力加速度为g。释放a球，b球刚落地时的速度大小为。则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】小球a和b通过轻绳连接，在运动过程中两球的速度大小相等，机械能守恒，则有
解得，即，C正确，ABD错误。
故选C。
5．（多选）（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）如图所示，物体A、B通过细绳及轻质弹簧连接在轻滑轮两侧，物体A、B的质量分别为2m、m，开始时细绳伸直，用手托着物体A使弹簧处于原长且A与地面的距离为h，物体B静止在地面上，放手后物体A下落，与地面即将接触时速度大小为v，此时物体B对地面恰好无压力，不计一切摩擦及空气阻力，重力加速度大小为g，则下列说法中正确的是( )
A．物体A下落过程中，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒 B．弹簧的劲度系数为
C．物体A着地时的加速度大小为 D．物体A着地时弹簧的弹性势能为2mgh
【答案】AC
【详解】A.由题可知，物体A下落过程中，B一直静止不动，对于物体A和弹簧组成的系统，只有重力和弹力做功，则物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，故A正确；
B.A即将触地时，物体B对地面的压力恰好为零，故弹簧的拉力为T＝mg，开始时弹簧处于原长，由胡克定律知：
得弹簧的劲度系数为，故B错误；
C.物体A着地时，细绳对A的拉力等于mg，对A受力分析，根据牛顿第二定律得，得，故C正确；
D.物体A与弹簧组成的系统机械能守恒，有：
所以，故D错误。
故选AC。
6．（2023·北京房山·统考一模）一个单摆在竖直平面内沿圆弧做往复运动。某时刻摆球由A点从静止开始摆动，如图所示摆线与竖直方向的夹角为，O点为摆动的最低点，则下列说法正确的是（ ）
A．摆球在O点受重力、拉力、向心力
B．摆球摆动到O点时所受合外力为零
C．摆球从A点摆动到O点的过程中，拉力不做功，动能增加
D．摆球经过P点时摆角小于，则摆球所受拉力与重力的合外力充当回复力
【答案】C
【详解】A．摆球在O点受重力、拉力，A错误；
B．摆球摆动到O点时所受合外力提供向心力，合外力不为零，B错误；
C．摆球从A点摆动到O点的过程中，拉力不做功，重力做正功，合外力做正功，由动能定理可知，动能增加，C正确；
D．摆球经过P点时摆角小于，则摆球重力沿切线方向的分力充当回复力，D错误。
故选C。
7．（2023·上海普陀·统考二模）如图，将一质量为m的小球从a点以初速度v斜向上抛出（不计空气阻力），小球先后经过b、c两点。已知a、c之间的高度差和b、c之间的高度差均为h，重力加速度为g，取a点所在的水平面为零势能面，则小球在（ ）
A．b点的机械能为2mgh B．b点的动能为
C．c点的机械能为mgh D．c点的动能为
【答案】D
【详解】A．b点不是最高点，根据机械能守恒，b点机械能为
同理，c点机械能大于mgh ，AC错误；
B．根据机械能守恒，b点的动能为，B错误；
D．根据机械能守恒
c点的动能为，D正确。
故选D。
8．（2023·北京海淀·统考一模）如图所示，轻弹簧下端连接一重物，用手托住重物并使弹簧处于压缩状态。然后手与重物一同缓慢下降，直至重物与手分离并保持静止。在此过程中，下列说法正确的是（ ）
A．弹簧的弹性势能与物体的重力势能之和先减少再增加
B．弹簧对重物做的功等于重物机械能的变化量
C．重物对手的压力随下降的距离均匀变化
D．手对重物做的功一定等于重物重力势能的变化量
【答案】C
【详解】A．由题可知，重物的动能变化量为零，由于手对重物的作用力一直竖直向上，将弹簧与重物视作一个整体，故手对整体一直做负功，故弹簧的弹性势能与物体的重力势能之和一直在减少，故A错误；
B．弹簧和手对重物的功等于重物机械能的变化量，故B错误；
C．由题可知，当弹簧的弹力与重物的重力相等时，手与重物间的弹力为零，则两者分离，设此时弹簧的形变量为，则有
当弹簧处于压缩状态下重物静止缓慢向下，设重物向下降的距离为，则有，联立解得，故C正确；
D．物体重力做的功等于重物重力势能的变化量，故D错误。
故选C。
9．（多选）（2023·辽宁鞍山·统考二模）如图所示，重的滑块在倾角为的斜面上从a点由静止开始下滑，到b点接触到一个轻弹簧，滑块压缩弹簧到c点，开始弹回，返回b点离开弹簧，最后又回到a点，已知，。那么，下列说法正确的是（ ）
A．整个过程中滑块动能的最大值为6J
B．整个过程中弹簧弹性势能的最大值为6J
C．从c点运动到b点的过程中弹簧弹力对滑块做6J功
D．整个过程中弹簧、滑块与地球组成的系统机械能守恒
【答案】BCD
【详解】A．根据题意可知，当滑块所受合力为零时，速度最大，滑块的动能最大，由于点为最低点，则速度最大之处在之间，设该位置为点，此时的动能为，克服弹簧做功为，由动能定理有
由于
则有，故A错误；
B．根据题意可知，点为最低点，此时弹簧的弹性势能最大，从过程中，设此过程克服弹簧做功为，由动能定理有
解得，则弹簧的最大弹性势能为，故B正确；
C．从c点运动到b点的过程中，弹簧对滑块做功，弹簧的弹性势能全部转化为滑块的机械能，则从c点运动到b点的过程中弹簧弹力对滑块做6J功，故C正确；
D．从出发最后可以回到点，说明整个过程中弹簧、滑块与地球组成的系统机械能守恒，故D正确。
故选BCD。
10．（2023·湖北·模拟预测）如图所示，O为固定在水平面的转轴，小球A、B的质量均为m，A与B、O间通过铰链用轻杆连接，杆长均为L，B球置于水平地面上，B、O之间用一轻质弹簧连接。现给A施加一竖直向上的力F，此时两杆夹角=60°，弹簧处于原长。改变F使A球缓慢运动，当 =106°时力F恰好为零。A、B始终在同一竖直平面，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，sin53°=0.8，cos53°=0.6，重力加速度为g。
（1）求弹簧的劲度系数k。
（2）若A球自由释放时加速度为，此时AB球间杆的弹力多大？
（3）在（2）情况下当=90°时，B的速度大小为v，求此时弹簧的弹性势能。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）对A球受力分析如图所示
有
对B球受力分析如图所示
有
其中
且F1=F，解得
（2）自由释放时A的加速度方向垂直于AO杆，由牛顿第二定律得，得
（3）当= 90°时，
对系统由机械能能守恒定律得
解得
【能力提高练】
1．（多选）（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考三模）如图所示，轻弹簧上端固定，另一端连在置于水平地面点的小滑块上，弹簧处于伸长状态，小滑块恰好能静止。现将外力作用在小滑块上使其刚好能运动到点并撤去，弹簧此时处于压缩状态且与小滑块在点时形变量相同、则下列说法正确的是（ ）
A．撤去外力后，物块在点时对地面的压力等于在点时对地面的压力
B．撤去外力后，物块在点处一定能静止
C．在点时弹簧弹性势能等于在点时弹簧弹性势能
D．外力做的功大于摩擦生热
【答案】BC
【详解】AB．受力分析如图所示，
可得，
弹簧在处的水平分力比处的小，物块在处恰好不动，则撤去外力后，物块可以静止在处，选项A错误，B正确；
C．弹簧在处和处的形变量相同，则弹性势能也相等，选项C正确；
D．从到，根据动能定理，F做的功等于摩擦生热，选项D错误。
故选BC。
2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）如图所示，倾角为θ = 30°的斜面体c固定在水平地面上，质量为M = 2m的物体b置于光滑的斜面上，通过细绳跨过光滑的定滑轮与质量为m的物体a连接，连接b的一段细绳与斜面平行，连接a的一段细绳竖直，a连接在竖直固定在地面的弹簧上，用手托住物体b使物体a和b保持静止不动，此时细绳伸直且拉力为零，弹簧的压缩量为x0。现在松开手，在物体b下滑2x0距离时，则下列说法中正确的是（ ）
A．物体a与弹簧组成的系统机械能守恒 B．物体b的重力势能减少mgx0
C．细绳对物体a做的功为2mgx0 D．物体b的速度大小为
【答案】C
【详解】A．绳拉力对a物体做正功，物体a与弹簧组成的系统机械能增加，故A错误；
B．2x0是下滑距离，物体b重力势能减少Mgx0= 2mgx0，故B错误；
D．弹簧的压缩量和伸长量相等，所以弹性势能不变。由能量守恒定律得，物体a和物体b的动能和等于，解得v = 0，故D错误；
C．由功能关系可知，拉力做的功等于物体a与弹簧组成的系统机械能增加量，物体a的动能为0，则拉力做的功等于2mgx0，故C正确。
故选C。
3．（2023·江苏镇江·统考三模）如图所示，轻质弹簧一端连接在固定斜面底端的挡板上，另一端与物块A连接，物块A静止在斜面上，弹簧恰好处于原长，A与斜面间动摩擦因数μ = tanθ，t = 0时刻给A一沿斜面向下的瞬时冲量，物块A在运动过程中，加速度a、动能Ek、弹性势能Ep与路程s及运动时间t的变化关系可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】以弹簧恰好处于原长的位置为坐标原点且取向下为正，则记物块A运动的位移为x，则滑块A下滑过程中有x = s，上滑过程中s = 2s0－x，故加速度a、动能Ek、弹性势能Ep与路程s的关系图线与关于位移x的关系图线形状相同。
AB．由于刚开始时物块A静止在斜面上，弹簧恰好处于原长，A与斜面间动摩擦因数μ = tanθ，则物块A下滑过程中有kx = ma
则物块A下滑过程中a—x图线是一条过原点的直线，当A下滑的到最低点后上滑过程中有kx－2mgsinθ = ma
则A上滑过程中a—x图线应是一条下倾的直线，且最大加速度要比上滑的最大加速度要小，但物块A不是做匀变速直线运动，则a与t的关系不可能是直线，A错误、B正确；
C．根据以上分析可知，滑块下滑过程中重力和摩擦力抵消，则滑块的合外力为弹力，根据动能定理有
则下滑过程中Ek—x图线应该是一条开口向下的抛物线，当滑块上滑过程有
则上滑过程中Ek—x图线也应该是一条开口向下的抛物线，但根据牛顿第二定律可知上滑过程中在到达x = 0（即路程2s0）前某位置有A的合外力为零，此位置动能最大，此后A就开始做减速运动，动能将减小，C错误；
D．物体A下滑过程中Ep与下滑位移x的关系为
则物块A下滑过程中Ep—x图线应该是一条开口向上的抛物线，当滑块上滑过程有
则物块A上滑过程中Ep—x图线应该是一条开口向下的抛物线，D错误。
故选B。
4．（2023·湖北荆州·沙市中学校考模拟预测）如图所示，两端开口的圆管竖直固定在水平地面上，内有两只可视为质点的小球A、B，质量均为m，它们用劲度系数为k、原长为L0的轻质弹簧相连，用外力将A、B提至管中某处并处于静止状态，此时B距离地面高度为h.设圆管管径略大于小球的直径，且不计小球与圆管间的摩擦.重力加速度为g（ ）
A．此时外力F的大小为2mg
B．此时A距离地面的高度L0+
C．求撤去外力瞬间物块A的加速度大小为3g
D．撤去外力后，由于阻力作用，A、B和弹簧组成的系统最终静止于水平地面上.求此过程中系统损失的机械能mg
【答案】A
【详解】A．对系统应用物体平衡条件得F=2mg
对小球B由物体平衡条件得弹簧弹力FN=mg，故A正确；
B．由胡克定律得F=kx
弹簧的伸长量x=
则A距离地面的高度hA=h+L0+，故B错误；
C．撤去外力F的瞬间，A所受的合力大小为FA合=2mg
A的加速度大小aA=2g，故C错误；
D．由题意可知，刚开始时弹簧的伸长量和最终静止时弹簧的压缩量是相等的，即初终态时弹簧的弹性势能相等.根据能量转化和守恒得系统损失的机械能|ΔE|=|ΔEpA+ΔEpB|
代入数据得|ΔE|=mgh+mg(h+)=2mg(h+)，故D错误；
故选A。
5．（2023·四川成都·校考二模）如图甲所示，航天员在半径为R的某星球表面将一轻弹簧竖直固定在水平面上，把质量为m的小球P（可看作质点）从弹簧上端h处（h不为0）由静止释放，小球落到弹簧上后继续向下运动直到最低点。从接触弹簧开始的小球加速度a与弹簧压缩量x间的关系如图乙所示，其中a0、h和x0为已知量，空气阻力不计。下列说法正确的是（ ）
A．星球的第一宇宙速度 B．该弹簧劲度系数k的大小
C．小球在最低点处加速度大于a0 D．弹簧的最大弹性势能为
【答案】C
【详解】A．根据图像可知小球接触弹簧时的加速度为a0，所以星球表面的重力加速度为
所以第一宇宙速度为 ，故A错误；
B．当压缩量为x0时加速度为0，故
所以，故B错误；
C．根据
可知，若小球从弹簧原长处释放到最底部时小球的加速度为
在h>0情况下，小球到最低点的加速度大于a0，故C正确；
D．小球下降到最低点的高度差
根据机械能守恒弹性势能最大值大于，故D错误。
故选C。
6．（多选）（2023·安徽·统考三模）如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上，已知A的质量为5m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计．现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行，开始时整个系统处于静止状态．释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时C恰好离开地面，关于此过程，下列说法正确的是（ ）
A．斜面倾角α＝37°
B．C刚离开地面时，B的加速度为0
C．A获得最大速度为
D．A、B两小球组成的系统机械能守恒
【答案】BC
【详解】AB、A的速度最大时，A所受的合力为零，此时绳的拉力T＝5mgsinα．此时C恰好离开地面，故弹簧的拉力为mg，对B受力分析可得绳对B的拉力为 T＝2mg，可得 sinα＝0.4，α≠37°．故A错误．
B、物体C刚离开地面时，B的合外力为0，加速度为0，故B正确．
C、初始时系统静止，且线上无拉力，对B有 kx1＝mg．C刚好离开地面时，有kx2＝mg，可知x1＝x2，则从释放至C刚离开地面的过程中，弹簧弹性势能变化量为零，此过程中，A、B、C组成的系统机械能守恒，即5mg（x1+x2）sinα＝mg（x1+x2）+ （5m+m）vAm2以上方程联立可解得：A获得最大速度为，故C正确．
D、从释放A到C刚离开地面的过程中，根据A、B和弹簧组成的系统机械能守恒，但是A、B两小球组成的系统机械能不守恒，故D错误．
7．（多选）（2019·湖南长沙·校联考一模）有一款蹿红的微信小游戏“跳一跳”，游戏要求操作者通过控制棋子(质量为m，可视为质点)脱离平台时的速度，使其能从同一水平面上的平台跳到旁边的另一平台上。如图所示的抛物线为棋子在某次跳跃过程中的运动轨迹，轨迹的最高点距平台上表面高度为h，不计空气阻力，重力加速度为g，则（ ）
A．棋子从离开平台至运动到最高点的过程中，重力势能增加mgh
B．棋子从离开平台至运动到最高点的过程中，机械能增加mgh
C．棋子离开平台后距平台面高度为时动能为
D．棋子落到另一平台上时的速度大于
【答案】AD
【详解】A.重力势能增加量等于克服重力做功的值，所以：，A正确
B.棋子从离开平台至运动到最高点的过程中，只有重力做功，动能和重力势能相互转化，总的机械能保持不变，所以机械能守恒，B错误
C.从初态到最高点时，设水平速度为，设初动能为，有：，当到达高度为时有：，解得：，C错误
D.从最高点到落另一平台，竖直方向自由落体：，即：，所以落到另一平台速度，D正确
8．（多选）（2023·天津宝坻·天津市宝坻区第一中学校联考二模）如图所示，两个小球a、b（视为质点）质量均为m，a球套在固定倾斜直细杆上，倾斜直杆与水平面的夹角为45°，b球套在水平细杆上，两杆不接触，且两杆间的距离忽略不计。a、b通过铰链用长度为L的刚性轻杆连接，初始连接小球a、b轻杆与水平面的夹角30°。现将小球a、b静止释放，不计一切摩擦，已知重力加速度为g。在此后的运动过程中，下列说法中正确的是（ ）
A．a球达到与b球同一水平面时，a球速度为
B．b球的速度为零时，a球的加速度大小为
C．b球达到最右端时，a球速度为
D．b球的最大速度为
【答案】BD
【详解】根据题意，、组成的系统只有重力做功，系统机械能守恒
A．从开始到a球达到与b球同一水平面的过程，由系统的机械能守恒得，又有，解得，故A错误；
BC．根据题意可知，球和球沿铰链的速度相等，则当铰链与斜杆垂直时，b球达到最右端，此时b球的速度为零，对球，由牛顿第二定律有
解得
由系统的机械能守恒有
解得，故C错误，B正确；
D．根据题意可知，当轻杆与水平杆垂直时，球的速度最大，此时球的速度为零，由系统的机械能守恒得，解得，故D正确。
故选BD。
9．（多选）（2021·四川德阳·统考二模）如图所示，小滑块P、Q的质量均为m，P套在固定光滑竖直杆上，Q放在光滑水平面上。P、Q间通过铰链用长为L的轻杆连接，轻杆与竖直杆的夹角为α，一水平轻弹簧左端与Q相连，右端固定在竖直杆上。当α=30°时，弹簧处于原长。P由静止释放，下降到最低点时α变为60°。整个运动过程中，P、Q始终在同一竖直平面内，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为g。则P下降过程中（ ）
A．弹簧弹性势能最大值为
B．滑块P的动能达到最大前，P的机械能先增大后减小
C．滑块P的动能达到最大时，Q受到地面的支持力等于2mg
D．滑块P的动能达到最大时，Q受到地面的支持力大于2mg
【答案】AC
【详解】A．P下降到最低点时α变为60°，弹性势能达到最大，由能量守恒可得，A正确；
B．滑块P的动能达到最大前，P、Q及弹簧组成的系统机械能守恒，由于Q的动能及弹簧的弹性势能均增大，故P的机械能一直减小，B错误；
CD．滑块P的动能达到最大时，P、Q及弹簧组成的整体在竖直方向加速度为零，受到整体的重力及地面支持力作用而平衡，故Q受到地面的支持力等于2mg，C正确，D错误。
故选AC。
10．（2022·黑龙江大庆·大庆市第二十三中学校考模拟预测）如图所示．在竖直平面内有轨道ABCDE，其中BC是半径为R的四分之一圆弧轨道，AB（AB＞R）是竖直轨道，CE是水平轨道，CD＞R，AB与BC相切于B点，BC与CE相切于C点，轨道的AD段光滑，DE段粗糙且足够长。一根长为R的轻杆两端分别固定着两个质量均为m的相同小球P、Q（视为质点），将轻杆锁定在图示位置，并使Q与B等高．现解除锁定释放轻杆，轻杆将沿轨道下滑，重力加速度为g．
（1）Q球经过D点后，继续滑行距离s停下（s＞R），求小球与DE段之间的动摩擦因数；
（2）求Q球到达C点时的速度大小。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）分析滑行过程如图所示
由能量守恒得
解得
（2）轻杆由释放到Q球到达C点时，系统的机械能守恒，设P、Q两球的速度大小分别为vP，vQ，则有
又
联立解得
【高考通关练】
1．（多选）（2023·湖南·统考高考真题）如图，固定在竖直面内的光滑轨道ABC由直线段AB和圆弧段BC组成，两段相切于B点，AB段与水平面夹角为θ，BC段圆心为O，最高点为C、A与C的高度差等于圆弧轨道的直径2R。小球从A点以初速度v0冲上轨道，能沿轨道运动恰好到达C点，下列说法正确的是（ ）
A．小球从B到C的过程中，对轨道的压力逐渐增大
B．小球从A到C的过程中，重力的功率始终保持不变
C．小球的初速度
D．若小球初速度v0增大，小球有可能从B点脱离轨道
【答案】AD
【详解】A．由题知，小球能沿轨道运动恰好到达C点，则小球在C点的速度为vC = 0
则小球从C到B的过程中，有，
联立有FN= 3mgcosα－2mg
则从C到B的过程中α由0增大到θ，则cosα逐渐减小，故FN逐渐减小，而小球从B到C的过程中，对轨道的压力逐渐增大，A正确；
由于A到B的过程中小球的速度逐渐减小，则A到B的过程中重力的功率为
P = －mgvsinθ
则A到B的过程中小球重力的功率始终减小，则B错误；
C．从A到C的过程中有，解得，C错误；
D．小球在B点恰好脱离轨道有
则
则若小球初速度v0增大，小球在B点的速度有可能为，故小球有可能从B点脱离轨道，D正确。
故选AD。
2．（2022·全国·统考高考真题）固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个小环，小环从大圆环顶端P点由静止开始自由下滑，在下滑过程中，小环的速率正比于（ ）
A．它滑过的弧长
B．它下降的高度
C．它到P点的距离
D．它与P点的连线扫过的面积
【答案】C
【详解】如图所示
设圆环下降的高度为，圆环的半径为，它到P点的距离为，根据机械能守恒定律得
由几何关系可得，，联立可得，可得，故C正确，ABD错误。
故选C。
3．（2022·全国·统考高考真题）北京2022年冬奥会首钢滑雪大跳台局部示意图如图所示。运动员从a处由静止自由滑下，到b处起跳，c点为a、b之间的最低点，a、c两处的高度差为h。要求运动员经过c点时对滑雪板的压力不大于自身所受重力的k倍，运动过程中将运动员视为质点并忽略所有阻力，则c点处这一段圆弧雪道的半径不应小于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】运动员从a到c根据动能定理有
在c点有，FNc ≤ kmg，联立有
故选D。
4．（2021·重庆·高考真题）如图所示，竖直平面内有两个半径为R，而内壁光滑的圆弧轨道，固定在竖直平面内，地面水平，、O'为两圆弧的圆心，两圆弧相切于N点。一小物块从左侧圆弧最高处静止释放，当通过N点时，速度大小为（重力加速度为g）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】图中连线与水平方向的夹角，由几何关系可得
可得
设小物块通过N点时速度为v，小物块从左侧圆弧最高点静止释放，由机械能守恒定律可知，解得，故D正确，ABC错误。
故选D。
5．（2021·浙江·统考高考真题）如图所示，竖直平面内由倾角α=60°的斜面轨道AB、半径均为R的半圆形细圆管轨道BCDE和圆周细圆管轨道EFG构成一游戏装置固定于地面，B、E两处轨道平滑连接，轨道所在平面与竖直墙面垂直。轨道出口处G和圆心O2的连线，以及O2、E、O1和B等四点连成的直线与水平线间的夹角均为θ=30°，G点与竖直墙面的距离。现将质量为m的小球从斜面的某高度h处静止释放。小球只有与竖直墙面间的碰撞可视为弹性碰撞，不计小球大小和所受阻力。
(1)若释放处高度h=h0，当小球第一次运动到圆管最低点C时，求速度大小vc及在此过程中所受合力的冲量的大小和方向；
(2)求小球在圆管内与圆心O1点等高的D点所受弹力FN与h的关系式；
(3)若小球释放后能从原路返回到出发点，高度h应该满足什么条件？
【答案】(1)，，水平向左；(2)（h≥R）；(3)或
【详解】(1)机械能守恒，解得
动量定理，方向水平向左
(2)机械能守恒
牛顿第二定律
解得
满足的条件
(3)第1种情况:不滑离轨道原路返回，条件是
第2种情况：与墙面垂直碰撞后原路返回，在进入G之前是平抛运动
其中，，则
得
机械能守恒
h满足的条件
()专题17 机械能守恒定律及其应用
题型 选择题、解答题 命题趋势和备考策略
高考考点 机械能守恒定律的理解与判断；解决单个物体的机械能守恒问题；解决多个物体机械能守恒问题（包括轻绳模型、轻杆模型和轻弹簧模型）； 【命题规律】 近3年新高考卷对于运动的描述考查共计13次，主要考查：1. 机械能守恒定律的理解和判断； 2. 单个物体的机械能守恒问题的理解和计算； 3. 多个物体关联的机械能守恒问题的理解和计算 【备考策略】 理解并掌握机械能的概念，理解机械能的守恒条件；理解多物体构成速度关联问题并解决系统机械能守恒问题。 【命题预测】 本节内容是新高考各省命题的常考知识点之一，容易考察机械能的概念，机械能守恒条件的理解以及机械能守恒条件的运用。本节内容在高考题中一般会以中等及以上的题型出现，压轴题出现的概念会偏大，2024年考生需要强化模型概念，理解速度关联问题，建立守恒概念。
新高考 2023 上海卷3题、全国甲卷14题、全国甲卷14题、湖南卷8题
2022 河北卷9题、上海卷19题、江苏卷10题、湖北卷5题、湖北卷16题、
2021 重庆卷5题、河北卷6题、海南卷2题、浙江春招卷22题
【导航窗口】
知识梳理
一、机械能 2
二、机械能守恒定律 2
考点突破
考点一 机械能守恒的判断 3
考点二 单个物体的机械能守恒 4
考点三 用机械能守恒定律解决连接体问题 6
考点四 含弹簧类机械能守恒问题 8
考点五 含轻杆类模型机械能守恒 10
考点过关
【素质基础练】 11
【能力提高练】 16
【高考通关练】 20
一、机械能
1．重力做功与重力势能
(1)重力做功的特点
重力做功与 无关，只与初、末位置的 有关．
(2)重力做功与重力势能变化的关系
①定性关系：重力对物体做正功，重力势能就 ；重力对物体做负功，重力势能就
②定量关系：物体从位置A到位置B时，重力对物体做的功等于物体重力势能的 ，即WG＝ .
③重力势能的变化量是绝对的，与参考面的选取
2．弹性势能
(1)定义
发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能．
(2)弹力做功与弹性势能变化的关系
①弹力做功与弹性势能变化的关系类似于重力做功与重力势能变化的关系．
②对于弹性势能，一般物体的弹性形变量越大，弹性势能
【深度思考】同一根弹簧伸长量和压缩量相同时，弹簧的弹性势能相同吗？
二、机械能守恒定律
1．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内， 与 可以互相转化，而总的机械能
2．表达式：mgh1＋mv12＝mgh2＋mv22.
3．机械能守恒的条件
(1)系统只受重力或弹簧弹力的作用，不受其他外力．
(2)系统除受重力或弹簧弹力作用外，还受其他内力和外力，但这些力对系统
(3)系统内除重力或弹簧弹力做功外，还有其他内力和外力做功，但这些力做功的代数和
(4)系统跟外界没有发生机械能的传递，系统内外也没有机械能与其他形式的能发生转化．
【深度思考】处理连接体的机械能守恒问题时，一般应用哪个公式较方便？
考点一 机械能守恒的判断
1．做功判断法：若物体系统内只有重力和弹簧弹力做功，其他力均不做功或其他力做功的代数和为零，则系统的机械能守恒．
2．能量转化判断法：若只有系统内物体间动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转变成其他形式的能(如没有内能增加)，则系统的机械能守恒．
3．利用机械能的定义判断：
若物体在水平面上匀速运动，则其动能、势能均不变，机械能守恒．若一个物体沿斜面匀速下滑，则其动能不变，重力势能减少，机械能减少．
【典例1】（2023·全国·统考高考真题）一同学将铅球水平推出，不计空气阻力和转动的影响，铅球在平抛运动过程中（ ）
A．机械能一直增加 B．加速度保持不变 C．速度大小保持不变 D．被推出后瞬间动能最大
【变式1】（2023·河南开封·统考一模）如图所示，一内外侧均光滑的半圆柱槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一竖直墙壁。现让一小球（可认为质点）自左端槽口A点的正上方从静止开始下落，与半圆槽相切并从A点入槽内。则下列说法正确的（ ）
A．小球在槽内运动的全过程中机械能守恒
B．小球第二次经过槽最低点时，槽的速度最大
C．小球在槽内运动的全过程中，只有重力对小球做功
D．小球在槽内运动的全过程中，小球与槽组成的系统机械能守恒、动量守恒
【变式2】（2023·河北唐山·开滦第一中学校考模拟预测）天津之眼（TheTientsinEye）是世界上唯一建在桥上的摩天轮，直径为110米，摩天轮旋转一周所需时间约为30分钟。现假设摩天轮正绕中间的固定轴做匀速圆周运动，则对于坐在轮椅上观光的游客来说，正确的说法是（ ）
A．因为摩天轮做匀速转动，所以游客受到的合力为零
B．当摩天轮转到最低点时，游客处于失重状态
C．因为摩天轮做匀速转动，所以游客的机械能守恒
D．当摩天轮转到最高点时，座椅对游客的支持力小于所受的重力
考点二 单个物体的机械能守恒
机械能守恒定律的表达式
【典例2】（多选）（2023·湖南·统考高考真题）如图，固定在竖直面内的光滑轨道ABC由直线段AB和圆弧段BC组成，两段相切于B点，AB段与水平面夹角为θ，BC段圆心为O，最高点为C、A与C的高度差等于圆弧轨道的直径2R。小球从A点以初速度v0冲上轨道，能沿轨道运动恰好到达C点，下列说法正确的是（ ）
A．小球从B到C的过程中，对轨道的压力逐渐增大
B．小球从A到C的过程中，重力的功率始终保持不变
C．小球的初速度
D．若小球初速度v0增大，小球有可能从B点脱离轨道
1．在处理单个物体机械能守恒问题时通常应用守恒观点和转化观点，转化观点不用选取零势能面．
2．在处理连接体问题时，通常应用转化观点和转移观点，都不用选取零势能面．
【变式1】（2023·江苏盐城·统考三模）现体从离地高H处的M点开始做自由落体运动，下落至离地高度为处的N点，下列能量条形图表示了物体在M和N处的动能虽和重力势能E的相对大小关系，可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2023·四川成都·四川省成都列五中学校考三模）一质量为可视为质点的小球，系于长为的轻绳一端，绳的另一端固定在点，假定绳不可伸长，柔软且无弹性。现将小球从点的正上方距离点的点以水平速度抛出，如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．轻绳即将伸直时，绳与竖直方向的夹角为
B．轻绳从释放到绷直所需时间为
C．轻绳绷直后瞬间，小球的速度大小为
D．当小球到达点正下方时，绳对质点的拉力为
考点三 用机械能守恒定律解决连接体问题
1．首先分析多个物体组成的系统所受的外力是否只有重力或弹力做功，内力是否造成了机械能与其他形式能的转化，从而判断系统机械能是否守恒．
2．若系统机械能守恒，则机械能从一个物体转移到另一个物体，ΔE1＝－ΔE2，一个物体机械能增加，则一定有另一个物体机械能减少．
【典例3】（2021·河北·高考真题）一半径为R的圆柱体水平固定，横截面如图所示，长度为、不可伸长的轻细绳，一端固定在圆柱体最高点P处，另一端系一个小球，小球位于P点右侧同一水平高度的Q点时，绳刚好拉直，将小球从Q点由静止释放，当与圆柱体未接触部分的细绳竖直时，小球的速度大小为（重力加速度为g，不计空气阻力）（ ）
A． B． C． D．
1．对连接体，一般用“转化法”和“转移法”来判断其机械能是否守恒．
2．注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系．
3．列机械能守恒方程时，可选用ΔEk＝－ΔEp的形式．
【变式1】（2023·黑龙江大庆·大庆中学校考一模）如图所示，一个倾角为θ=30°的光滑斜面固定在水平面上，不可伸长的轻绳一端固定在斜面上的O点，另一端系一个质量为m的小球（可视为质点），绳长为L，在O点沿斜面向下处的P点钉一枚与斜面垂直的钉子。现将小球拉起，使轻绳与斜面平行且在水平方向上伸直，由静止释放，小球绕O点转动90 时绳与钉子相碰。已知重力加速度大小为g，不计一切摩擦和空气阻力，下列说法中错误的是（ ）
A．绳碰到钉子前瞬间，小球的线速度为，且碰后瞬间线速度大小不变
B．绳碰到钉子前瞬间，小球受到的拉力为，且碰后瞬间绳的拉力突然增大
C．绳碰到钉子后，小球绕P点做圆周运动可恰好到达最高点O点
D．若将钉钉子的位置P点沿斜面向下移动，OP距离越大，绳碰到钉子后瞬间受到的拉力越大
【变式2】（多选）（2023·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）如图所示，圆心在O点、半径为R的光滑圆弧轨道ABC竖直固定在水平桌面上，C端装有轻质定滑轮，OC与OA的夹角为60°，轨道最低点A与桌面相切，一足够长的轻绳两端分别系着质量为m1和m2的甲、乙两小球（均可视为质点），挂在圆弧轨道边缘C的定滑轮两边，开始时甲位于C点，然后从静止释放，不计一切摩擦，则（ ）
A．在甲由C点下滑到A点的过程中两球速度大小始终相等
B．在甲由C点下滑到A点的过程中重力对甲做功的功率先增大后减少
C．若甲恰好能沿圆弧下滑到A点，则m1=2m2
D．若甲恰好能沿圆弧下滑到A点，则m1=3m2
考点四 含弹簧类机械能守恒问题
1．由于弹簧的形变会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒．
2．在相互作用过程特征方面，弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大．
3．如果系统每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，当弹簧为自然长度时，系统内弹簧某一端的物体具有最大速度(如绷紧的弹簧由静止释放)．
【典例4】（2023·全国·统考高考真题）如图，光滑水平桌面上有一轻质弹簧，其一端固定在墙上。用质量为m的小球压弹簧的另一端，使弹簧的弹性势能为。释放后，小球在弹簧作用下从静止开始在桌面上运动，与弹簧分离后，从桌面水平飞出。小球与水平地面碰撞后瞬间，其平行于地面的速度分量与碰撞前瞬间相等；垂直于地面的速度分量大小变为碰撞前瞬间的。小球与地面碰撞后，弹起的最大高度为h。重力加速度大小为g，忽略空气阻力。求
（1）小球离开桌面时的速度大小；
（2）小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离。
【变式1】（多选）（2023·广东珠海·珠海市第一中学校考三模）如图甲所示，质量为m的物块静止在竖直放置的轻弹簧上（不相连），弹簧下端固定，劲度系数为k。t＝0时刻，对物块施加一竖直向上的外力F，使物块由静止向上运动，当弹簧第一次恢复原长时，撤去外力F。从0时刻到F撤去前，物块的加速度a随位移x的变化关系如图乙所示。重力加速度为g，忽略空气阻力，则在物块上升过程（ ）
A．外力F为恒力
B．物块的最大加速度大小为2g
C．外力F撤去后物块可以继续上升的最大高度为
D．弹簧最大弹性势能为
【变式2】（2023·海南·校联考一模）如图所示，一轻弹簧置于光滑水平面上，左端固定。在水平面的右侧，有一个四分之三光滑圆环轨道，圆环轨道半径为。用一质量为的小球（可视质点）压缩弹簧右端至点，小球释放后，刚好运动到轨道的最高点，已知重力加速度为，不计空气阻力。求：
（1）弹簧的弹性势能为多大？
（2）改变小球的质量，小球仍从点释放，要使小球在轨道上运动过程中不脱离轨道，小球的质量满足的条件是什么？
考点五 含轻杆类模型机械能守恒
三大特点
①平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等．
②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒．
③对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒．
【典例5】（多选）（2023·吉林白山·统考一模）如图所示，可绕固定转轴O在竖直平面内无摩擦转动的刚性轻质支架两端分别固定质量为5m、6m的小球A、B。支架两条边的长度均为L，用手将B球托起至与转轴O等高，此时连接A球的细杆与竖直方向的夹角为θ，，重力加速度大小为g，现突然松手，两小球在摆动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．A球与转轴O等高时的动能为 B．B球下降的最大高度为
C．A球的最大动能为 D．B球的最大动能为
【变式1】（多选）（2023·湖北·模拟预测）如图所示，不计质量的细杆两端分别通过铰链固定有可视为质点的小球A、B，质量均为m，杆的长度为l。开始时A、B均靠在光滑竖直墙面上并处于静止状态，A在光滑水平地面上。当有轻微扰动后，可能A球开始沿水平面向右滑动，B球随之下降，也可能B球先向右运动。两球始终在同一竖直平面内运动，细杆与水平方向的夹角为（），重力加速度大小为g。下列说法正确的是（ ）
A．不管A先向右运动还是B先向右运动，当时，A和B的动能都达到最大
B．不管A先向右运动还是B先向右运动，当时，都会离开竖直墙面
C．A先向右运动时，A球的机械能先增大后减小
D．B先向右运动时，B球的机械能先增大后减小
【变式2】（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）如图所示，一根轻杆长为，中点A和右端点B各固定一个小球，，左端O为光滑水平转轴．开始时杆静止在水平位置，释放后将向下摆动至竖直，在此过程中以下说法正确的是（ ）
A．A、B两球的机械能都守恒
B．A、B两球的机械能不守恒，但它们组成的系统机械能守恒
C．这一过程O、A间轻杆对球做正功
D．这一过程A、B间轻杆对球做正功
考点过关
【素质基础练】
1．（2023·北京·统考模拟预测）某同学将手中的弹簧笔竖直向下按压在水平桌面上，如图所示，当他突然松手后弹簧笔将竖直向上弹起，其上升过程中的Ek-h图像如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．弹簧原长为h1
B．弹簧最大弹性势能大小为Ekm
C．O到h3之间弹簧的弹力先增加再减小
D．h1到h2之间弹簧笔的弹性势能和动能之和减小
2．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）如图所示，在倾角θ=30°的光滑固定斜面上，放有两个质量分别为1kg和2kg的可视为质点的小球a和b，两球之间用一根长为L=0.2m的轻杆相连，小球b距水平面的高度h=0.1m．两球由静止开始下滑到光滑水平面上，不计球与水平面碰撞时的机械能损失，取g=10m/s2，下面对系统下滑的整个过程说法正确的是（ ）
A．a球机械能守恒
B．b球机械能守恒
C．a球机械能的增加量为0.667J
D．b球机械能的增加量为0.667J
3．（2023·云南·校联考一模）如图所示，质量的物体P穿在一固定的光滑水平直杆上，直杆右端固定一光滑定滑轮。一绕过两光滑定滑轮的细线的一端与物体P相连，另一端与质量的物体Q相连。开始时物体P在外力作用下静止于A点，绳处于伸直状态，已知，取重力加速度大小，两物体均视为质点，不计空气阻力。某时刻撤去外力、同时给P一水平向左的速度v，物体P恰能运动到B点，则v的大小为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·贵州贵阳·统考模拟预测）如图所示，一条不可伸长的轻质软绳跨过定滑轮，绳的两端各系一个质量分别为、的小球a和b、用手按住a球静止于地面时，b球离地面的高度为h。两物体均可视为质点，定滑轮的质量及一切阻力均不计，重力加速度为g。释放a球，b球刚落地时的速度大小为。则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．（多选）（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）如图所示，物体A、B通过细绳及轻质弹簧连接在轻滑轮两侧，物体A、B的质量分别为2m、m，开始时细绳伸直，用手托着物体A使弹簧处于原长且A与地面的距离为h，物体B静止在地面上，放手后物体A下落，与地面即将接触时速度大小为v，此时物体B对地面恰好无压力，不计一切摩擦及空气阻力，重力加速度大小为g，则下列说法中正确的是( )
A．物体A下落过程中，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒 B．弹簧的劲度系数为
C．物体A着地时的加速度大小为 D．物体A着地时弹簧的弹性势能为2mgh
6．（2023·北京房山·统考一模）一个单摆在竖直平面内沿圆弧做往复运动。某时刻摆球由A点从静止开始摆动，如图所示摆线与竖直方向的夹角为，O点为摆动的最低点，则下列说法正确的是（ ）
A．摆球在O点受重力、拉力、向心力
B．摆球摆动到O点时所受合外力为零
C．摆球从A点摆动到O点的过程中，拉力不做功，动能增加
D．摆球经过P点时摆角小于，则摆球所受拉力与重力的合外力充当回复力
7．（2023·上海普陀·统考二模）如图，将一质量为m的小球从a点以初速度v斜向上抛出（不计空气阻力），小球先后经过b、c两点。已知a、c之间的高度差和b、c之间的高度差均为h，重力加速度为g，取a点所在的水平面为零势能面，则小球在（ ）
A．b点的机械能为2mgh B．b点的动能为
C．c点的机械能为mgh D．c点的动能为
8．（2023·北京海淀·统考一模）如图所示，轻弹簧下端连接一重物，用手托住重物并使弹簧处于压缩状态。然后手与重物一同缓慢下降，直至重物与手分离并保持静止。在此过程中，下列说法正确的是（ ）
A．弹簧的弹性势能与物体的重力势能之和先减少再增加
B．弹簧对重物做的功等于重物机械能的变化量
C．重物对手的压力随下降的距离均匀变化
D．手对重物做的功一定等于重物重力势能的变化量
9．（多选）（2023·辽宁鞍山·统考二模）如图所示，重的滑块在倾角为的斜面上从a点由静止开始下滑，到b点接触到一个轻弹簧，滑块压缩弹簧到c点，开始弹回，返回b点离开弹簧，最后又回到a点，已知，。那么，下列说法正确的是（ ）
A．整个过程中滑块动能的最大值为6J
B．整个过程中弹簧弹性势能的最大值为6J
C．从c点运动到b点的过程中弹簧弹力对滑块做6J功
D．整个过程中弹簧、滑块与地球组成的系统机械能守恒
10．（2023·湖北·模拟预测）如图所示，O为固定在水平面的转轴，小球A、B的质量均为m，A与B、O间通过铰链用轻杆连接，杆长均为L，B球置于水平地面上，B、O之间用一轻质弹簧连接。现给A施加一竖直向上的力F，此时两杆夹角=60°，弹簧处于原长。改变F使A球缓慢运动，当 =106°时力F恰好为零。A、B始终在同一竖直平面，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，sin53°=0.8，cos53°=0.6，重力加速度为g。
（1）求弹簧的劲度系数k。
（2）若A球自由释放时加速度为，此时AB球间杆的弹力多大？
（3）在（2）情况下当=90°时，B的速度大小为v，求此时弹簧的弹性势能。
【能力提高练】
1．（多选）（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考三模）如图所示，轻弹簧上端固定，另一端连在置于水平地面点的小滑块上，弹簧处于伸长状态，小滑块恰好能静止。现将外力作用在小滑块上使其刚好能运动到点并撤去，弹簧此时处于压缩状态且与小滑块在点时形变量相同、则下列说法正确的是（ ）
A．撤去外力后，物块在点时对地面的压力等于在点时对地面的压力
B．撤去外力后，物块在点处一定能静止
C．在点时弹簧弹性势能等于在点时弹簧弹性势能
D．外力做的功大于摩擦生热
2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）如图所示，倾角为θ = 30°的斜面体c固定在水平地面上，质量为M = 2m的物体b置于光滑的斜面上，通过细绳跨过光滑的定滑轮与质量为m的物体a连接，连接b的一段细绳与斜面平行，连接a的一段细绳竖直，a连接在竖直固定在地面的弹簧上，用手托住物体b使物体a和b保持静止不动，此时细绳伸直且拉力为零，弹簧的压缩量为x0。现在松开手，在物体b下滑2x0距离时，则下列说法中正确的是（ ）
A．物体a与弹簧组成的系统机械能守恒 B．物体b的重力势能减少mgx0
C．细绳对物体a做的功为2mgx0 D．物体b的速度大小为
3．（2023·江苏镇江·统考三模）如图所示，轻质弹簧一端连接在固定斜面底端的挡板上，另一端与物块A连接，物块A静止在斜面上，弹簧恰好处于原长，A与斜面间动摩擦因数μ = tanθ，t = 0时刻给A一沿斜面向下的瞬时冲量，物块A在运动过程中，加速度a、动能Ek、弹性势能Ep与路程s及运动时间t的变化关系可能正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·湖北荆州·沙市中学校考模拟预测）如图所示，两端开口的圆管竖直固定在水平地面上，内有两只可视为质点的小球A、B，质量均为m，它们用劲度系数为k、原长为L0的轻质弹簧相连，用外力将A、B提至管中某处并处于静止状态，此时B距离地面高度为h.设圆管管径略大于小球的直径，且不计小球与圆管间的摩擦.重力加速度为g（ ）
A．此时外力F的大小为2mg
B．此时A距离地面的高度L0+
C．求撤去外力瞬间物块A的加速度大小为3g
D．撤去外力后，由于阻力作用，A、B和弹簧组成的系统最终静止于水平地面上.求此过程中系统损失的机械能mg
5．（2023·四川成都·校考二模）如图甲所示，航天员在半径为R的某星球表面将一轻弹簧竖直固定在水平面上，把质量为m的小球P（可看作质点）从弹簧上端h处（h不为0）由静止释放，小球落到弹簧上后继续向下运动直到最低点。从接触弹簧开始的小球加速度a与弹簧压缩量x间的关系如图乙所示，其中a0、h和x0为已知量，空气阻力不计。下列说法正确的是（ ）
A．星球的第一宇宙速度 B．该弹簧劲度系数k的大小
C．小球在最低点处加速度大于a0 D．弹簧的最大弹性势能为
6．（多选）（2023·安徽·统考三模）如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上，已知A的质量为5m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计．现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行，开始时整个系统处于静止状态．释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时C恰好离开地面，关于此过程，下列说法正确的是（ ）
A．斜面倾角α＝37°
B．C刚离开地面时，B的加速度为0
C．A获得最大速度为
D．A、B两小球组成的系统机械能守恒
7．（多选）（2019·湖南长沙·校联考一模）有一款蹿红的微信小游戏“跳一跳”，游戏要求操作者通过控制棋子(质量为m，可视为质点)脱离平台时的速度，使其能从同一水平面上的平台跳到旁边的另一平台上。如图所示的抛物线为棋子在某次跳跃过程中的运动轨迹，轨迹的最高点距平台上表面高度为h，不计空气阻力，重力加速度为g，则（ ）
A．棋子从离开平台至运动到最高点的过程中，重力势能增加mgh
B．棋子从离开平台至运动到最高点的过程中，机械能增加mgh
C．棋子离开平台后距平台面高度为时动能为
D．棋子落到另一平台上时的速度大于
8．（多选）（2023·天津宝坻·天津市宝坻区第一中学校联考二模）如图所示，两个小球a、b（视为质点）质量均为m，a球套在固定倾斜直细杆上，倾斜直杆与水平面的夹角为45°，b球套在水平细杆上，两杆不接触，且两杆间的距离忽略不计。a、b通过铰链用长度为L的刚性轻杆连接，初始连接小球a、b轻杆与水平面的夹角30°。现将小球a、b静止释放，不计一切摩擦，已知重力加速度为g。在此后的运动过程中，下列说法中正确的是（ ）
A．a球达到与b球同一水平面时，a球速度为
B．b球的速度为零时，a球的加速度大小为
C．b球达到最右端时，a球速度为
D．b球的最大速度为
9．（多选）（2021·四川德阳·统考二模）如图所示，小滑块P、Q的质量均为m，P套在固定光滑竖直杆上，Q放在光滑水平面上。P、Q间通过铰链用长为L的轻杆连接，轻杆与竖直杆的夹角为α，一水平轻弹簧左端与Q相连，右端固定在竖直杆上。当α=30°时，弹簧处于原长。P由静止释放，下降到最低点时α变为60°。整个运动过程中，P、Q始终在同一竖直平面内，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为g。则P下降过程中（ ）
A．弹簧弹性势能最大值为
B．滑块P的动能达到最大前，P的机械能先增大后减小
C．滑块P的动能达到最大时，Q受到地面的支持力等于2mg
D．滑块P的动能达到最大时，Q受到地面的支持力大于2mg
10．（2022·黑龙江大庆·大庆市第二十三中学校考模拟预测）如图所示．在竖直平面内有轨道ABCDE，其中BC是半径为R的四分之一圆弧轨道，AB（AB＞R）是竖直轨道，CE是水平轨道，CD＞R，AB与BC相切于B点，BC与CE相切于C点，轨道的AD段光滑，DE段粗糙且足够长。一根长为R的轻杆两端分别固定着两个质量均为m的相同小球P、Q（视为质点），将轻杆锁定在图示位置，并使Q与B等高．现解除锁定释放轻杆，轻杆将沿轨道下滑，重力加速度为g．
（1）Q球经过D点后，继续滑行距离s停下（s＞R），求小球与DE段之间的动摩擦因数；
（2）求Q球到达C点时的速度大小。
【高考通关练】
1．（多选）（2023·湖南·统考高考真题）如图，固定在竖直面内的光滑轨道ABC由直线段AB和圆弧段BC组成，两段相切于B点，AB段与水平面夹角为θ，BC段圆心为O，最高点为C、A与C的高度差等于圆弧轨道的直径2R。小球从A点以初速度v0冲上轨道，能沿轨道运动恰好到达C点，下列说法正确的是（ ）
A．小球从B到C的过程中，对轨道的压力逐渐增大
B．小球从A到C的过程中，重力的功率始终保持不变
C．小球的初速度
D．若小球初速度v0增大，小球有可能从B点脱离轨道
2．（2022·全国·统考高考真题）固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个小环，小环从大圆环顶端P点由静止开始自由下滑，在下滑过程中，小环的速率正比于（ ）
A．它滑过的弧长 B．它下降的高度 C．它到P点的距离 D．它与P点的连线扫过的面积
3．（2022·全国·统考高考真题）北京2022年冬奥会首钢滑雪大跳台局部示意图如图所示。运动员从a处由静止自由滑下，到b处起跳，c点为a、b之间的最低点，a、c两处的高度差为h。要求运动员经过c点时对滑雪板的压力不大于自身所受重力的k倍，运动过程中将运动员视为质点并忽略所有阻力，则c点处这一段圆弧雪道的半径不应小于（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·重庆·高考真题）如图所示，竖直平面内有两个半径为R，而内壁光滑的圆弧轨道，固定在竖直平面内，地面水平，、O'为两圆弧的圆心，两圆弧相切于N点。一小物块从左侧圆弧最高处静止释放，当通过N点时，速度大小为（重力加速度为g）（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·浙江·统考高考真题）如图所示，竖直平面内由倾角α=60°的斜面轨道AB、半径均为R的半圆形细圆管轨道BCDE和圆周细圆管轨道EFG构成一游戏装置固定于地面，B、E两处轨道平滑连接，轨道所在平面与竖直墙面垂直。轨道出口处G和圆心O2的连线，以及O2、E、O1和B等四点连成的直线与水平线间的夹角均为θ=30°，G点与竖直墙面的距离。现将质量为m的小球从斜面的某高度h处静止释放。小球只有与竖直墙面间的碰撞可视为弹性碰撞，不计小球大小和所受阻力。
(1)若释放处高度h=h0，当小球第一次运动到圆管最低点C时，求速度大小vc及在此过程中所受合力的冲量的大小和方向；
(2)求小球在圆管内与圆心O1点等高的D点所受弹力FN与h的关系式；
(3)若小球释放后能从原路返回到出发点，高度h应该满足什么条件？
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