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九年级 数学测试卷
(时间:120 分钟 满分:150 分)
一、选择题:以下每小题均有 A,B,C,D 四个选项,其中只有一个选项正确,每小题 3分,共 36 分.
1.下列函数的图象,经过原点的是( )
2 2 2
A.y=5x -3x B.y=x -1 C.y= D.y=2x-5
2
2.二次函数 y=x +2x+2 的图象的对称轴是( )
A.x=-1 B.x=-2 C.x=1 D.x=2
2 2
3.将二次函数 y=x -8x+6 化为 y=(x-h) +k 的形式,结果为( )
2 2 2 2
A.y=(x+4) -10 B.y=(x-3) -1 C.y=(x-4) +6 D.y=(x-4) -10
2
4. 已 知 二 次 函 数 y=x -2x-3 的 自 变 量 x1,x2,x3 对 应 的 函 数 值 分 别 为 y1,y2,y3. 当
-1
A.y1
5.已知二次函数y=x +ax+b(a,b为常数).命题①:该函数的图象经过点(1,0);命题②:该函数的
图象经过点(3,0);命题③:该函数的图象与 x轴的交点位于 y 轴的两侧;命题④:该函数的图象
的对称轴为直线 x=1.如果这四个命题中只有一个命题是假命题,则这个假命题是( )
A.命题① B.命题② C.命题③ D.命题④
5 2
6.某种新型礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)之间的关系式为h=- t +20t+1,若这种礼炮在
2
点火升空到最高点时引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为( )
A.6 s B.5 s C.4 s D.3 s
2
7.若二次函数 y=x +2x+m 的图象与坐标轴有 3个交点,则 m的取值范围是( )
A.m>1 B.m<1 C.m>1 且 m≠0 D.m<1 且 m≠0
2
8.已知抛物线 y=ax +bx+c 上的部分点的横坐标 x与纵坐标 y的对应值如表:
x … -1 0 1 2 3 …
y … 3 0 -1 m 3 …
以下结论正确的是( )
2
A.抛物线 y=ax +bx+c 的开口向下 B.当 x<3 时,y 随 x 增大而增大
2
C.方程 ax +bx+c=0 的根为 0和 2 D.当 y>0 时,x 的取值范围是 0
9.抛物线 y=x +bx+3 的对称轴为直线 x=1.若关于 x的一元二次方程 x +bx+3-t=0(t 为实数)在
-1
10.一次函数 y=ax+b 与反比例函数 y= 的图象如图所示,则二次函数 y=ax +bx+c 的大致图象是
( )
第 10 题图
2
11.二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象的一部分如图所示.已知图象经过点(-1,0),其对称轴为
直线x=1.则下列结论:①abc<0;②4a+2b+c<0;③8a+c<0;④若抛物线经过点(-3,n),则关于x的
2
一元二次方程 ax +bx+c-n=0(a≠0)的两根分别为-3,5.其中正确的有( )
第 11 题图
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
12.如图所示,在△ABC 中,∠B=90°,AB=6 cm,BC=12 cm,动点 P从点 A开始沿边 AB 向 B 点以 1
cm/s 的速度移动(不与点 B重合),动点 Q从点 B开始沿边 BC 向 C 点以 2 cm/s 的速度移动(不
与点C重合).如果P,Q分别从A,B同时出发,经过t s时△PBQ与△ABC相似,那么t的值为( )
第 12 题图
5
A.1.2 B.2 C.1.2 或 3 D.2 或
6
二、填空题:每小题 4分,共 16 分.
13.函数 y=(m-1) 2+1-2mx+1 的图象是抛物线,则 m= .
2
14.将二次函数y=(x-2) +3 的图象向右平移 3个单位长度,再向下平移 2个单位长度,所得二次
函数的表达式为 .
2
15.在平面直角坐标系中,抛物线y=x -4x+5与 y轴交于点C,则该抛物线关于点C成中心对称的
抛物线的表达式为 .
16.有一座抛物线形拱桥,正常水位时桥下水面宽为 20 m,拱顶距水面 4 m,在如图所示的平面直
角坐标系中,该抛物线的表达式为 .
三、解答题:本大题 9小题,共 98 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
2
17.(本题满分 12 分)如图所示,已知二次函数 y=x +ax+3 的图象经过点 P(-2,3).
(1)求 a 的值和图象的顶点坐标;
(2)点 Q(m,n)在该二次函数图象上,
①当 m=2 时,求 n 的值;
②若点 Q到 y轴的距离小于 2,请根据图象直接写出 n的取值范围.
18.(本题满分 10 分)
已知关于 x的二次函数的图象的顶点坐标为 (-1,2),且图象过点(1,-3).
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)写出它的开口方向、对称轴.
19.(本题满分 10 分)
2
已知抛物线 y=-x +(m-1)x+m 与 y 轴交于(0,3).
(1)求 m 的值以及抛物线与 x轴的交点坐标和顶点坐标.
(2)当 x 取何值时,抛物线在 x轴上方
(3)当 x 取何值时,y 随 x 的增大而增大
20.(本题满分 10 分)如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,边长为 2的正方形 OABC 的顶点 A,C
2 2
分别在 x轴、y轴的正半轴上,二次函数 y=- x +bx+c 的图象经过 B,C 两点.
3
(1)求该二次函数的表达式;
(2)结合函数的图象探索:当 y>0 时,x 的取值范围.
21.(本题满分 10 分)欢欢家想利用房屋侧面的一面墙(假设墙足够长),再砌三面墙,围成一个
矩形羊圈(如图所示),一面墙的中间留出
1 m 宽的进出门(门使用另外的材料).现备有足够砌 11 m 长的围墙的材料,设羊圈与已有墙面
2
垂直的墙的长度为 x m,羊圈面积为 y m .
(1)写出 y关于 x的函数表达式.
2
(2)要使羊圈面积为 16 m ,如何设计三面围墙的长度.
2
(3)能否使羊圈面积为 20 m 说明理由.
(4)你能求出羊圈面积的最大值吗
2
22.(本题满分 10 分)如图所示,抛物线 y=-x +3x+4 交 x 轴于 A,B 两点(点 A在 B左边),交 y 轴
于点 C.
(1)求 A,B 两点的坐标;
(2)求直线 BC 的函数表达式;
(3)点 P 在抛物线的对称轴上,连接 PB,PC,若△PBC 的面积为 4,求点 P的坐标.
23.(本题满分 12 分)如图所示,在直角梯形 ABCD 中,AB∥DC,∠D= 0°,AC⊥BC,AB=10 cm,BC=6
cm,F 点以 2 cm/s 的速度在线段 AB 上由 A向 B匀速运动,E 点同时以 1 cm/s 的速度在线段 BC
上由 B向 C匀速运动,设运动时间为 t s(0
(2)求 DC 的长;
(3)设四边形 AFEC 的面积为 y,求 y 关于 t的函数关系式,并求出 y的最小值.
24.(本题满分 12 分)
某商家正在热销一种商品,其成本为 30 元/件,在销售过程中发现随着售价增加,销售量在减少.
商家决定当售价为60元/件时,改变销售策略,此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用
150元.该商品销售量 y(件) 与售价 x(元/件)满足如图所示的函数关系(其中40≤x≤70,且 x
为整数).
(1)求出 y与 x之间的函数关系式;
(2)当售价为多少时,商家所获利润最大,最大利润是多少
2
25.(本题满分 12 分)如图所示,抛物线 y=x +bx+c 与 x 轴相交于 A,B 两点,与 y轴相交于点 C,
对称轴为直线 x=2,顶点为 D,点 B 的坐标为(3,0).
(1)填空:点 A的坐标为 ,点 D的坐标为 ,抛物线的表达式
为 ;
2 5
(2)当二次函数 y=x +bx+c 的自变量 x满足 m≤x≤m+2 时,函数 y的最小值为 ,求 m的值;
4
(3)P 是抛物线对称轴上一动点,是否存在点 P,使△PAC 是以 AC 为斜边的直角三角形 若存在,
请求出点 P的坐标;若不存在,请说明理由.答案
1.(A)
2.(A)
3.(D)
4.(D)
5.(A)
6.(C)
7.(D)
8.(C)
9. (A)
10.(A)
11.(C)
12.(C)
13.则m= -1 .
14. y=(x-5)2+1 .
15. y=-x2-4x+5 .
16. y=-0.04(x-10)2+4 .
17.解:(1)把P(-2,3)代入y=x2+ax+3,得
3=(-2)2+a×(-2)+3,解得a=2.
∴y=x2+2x+3=(x+1)2+2.
∴顶点坐标为(-1,2).
(2)①把x=2代入y=x2+2x+3,得y=11.
∴当m=2时,n=11.
②当点Q到y轴的距离小于2时,即-2
∴n的取值范围为2≤n<11.
18.
解:(1)设函数表达式为y=a(x+1)2+2,
把点(1,-3)代入表达式,得a=-.
∴二次函数的表达式为y=-(x+1)2+2.
(2)由(1)的函数表达式可得,抛物线的开口向下,对称轴为直线x=-1.
19.
解:(1)由抛物线y=-x2+(m-1)x+m与y轴交于(0,3),得m=3.
∴抛物线为y=-x2+2x+3.
由-x2+2x+3=0,得x1=-1,x2=3.
∴抛物线与x轴的交点为(-1,0),(3,0).
∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴抛物线的顶点坐标为(1,4).
(2)函数的图象如图所示:
由图象,知当-1
20.
解:(1)∵正方形OABC的边长为2,
∴点B,C的坐标分别为(2,2),(0,2).
将点B,C的坐标分别代入y=-x2+bx+c,得
解得
∴该二次函数的表达式为y=-x2+x+2.
(2)令y=0,则-x2+x+2=0,
整理,得x2-2x-3=0.解得x1=-1,x2=3.
∴二次函数图象与x轴的交点坐标为(-1,0),(3,0).
∴当y>0时,二次函数图象在x轴的上方,x的取值范围是-1
解得x1=2,x2=4.
当x=2时,11-2x=7;当x=4时,11-2x=3.
∴有两种方案:垂直于已知墙面的墙的长为2 m时,平行于已知墙面的墙长为7 m;或垂直于已知墙面的墙长为4 m时,平行于已知墙面的墙长为3 m.
(3)不能.理由如下:
当y=20时,20=-2x2+12x,
即x2-6x+10=0.
∵Δ=(-6)2-4×10=-4<0,
∴方程无解.∴羊圈面积不能为20 m2.
(4)y=-2x2+12x=-2(x-3)2+18,
∵-2<0,
∴抛物线开口向下,有最大值.
∵0
即羊圈面积的最大值为18 m2.
22.
解:(1)令-x2+3x+4=0,
解得x1=-1,x2=4.
∴A,B两点坐标分别为(-1,0),(4,0).
(2)抛物线y=-x2+3x+4与y轴交点C的坐标为(0,4),由(1),得B(4,0).
设直线BC的函数表达式为y=kx+b(k≠0),
∴解得
∴直线BC的函数表达式为y=-x+4.
(3)抛物线y=-x2+3x+4的对称轴为直线x=,
如图所示,设对称轴与直线BC的交点记为D,则D点坐标为(,).
∵点P在抛物线的对称轴上,设点P的坐标为(,m),
∴PD=|m-|.
∴S△PBC=OB·PD=4.
∴×4×|m-|=4.
解得m1=,m2=.
∴点P的坐标为(,)或(,.
23.
(1)证明:∵CD∥AB,
∴∠BAC=∠DCA.
又∵AC⊥BC,∴∠ACB=90°,
∴∠D=∠ACB=90°.
∴△ACD∽△BAC.
(2)解:在Rt△ABC中,AC==8 cm,
∵△ACD∽△BAC,
∴=,
即=,解得DC=6.4 cm.
(3)解:如图所示,过点E作AB的垂线,垂足为G,
∵∠ACB=∠EGB=90°,∠B=∠B,
∴△ACB∽△EGB.
∴=,即=,故EG=t;
y=S△ABC-S△BEF
=×6×8-(10-2t)×t
=t2-4t+24
=(t-)2+19.
故当t=时,y取得最小值,y的最小值为19.
24.
解:(1)设线段AB的表达式为
y=kx+b(40≤x≤60),
将点(40,300),(60,100)代入上式,得
解得
∴AB段函数的表达式为
y=-10x+700(40≤x≤60).
设线段BC的表达式为y=mx+n(60
解得
∴BC段函数的表达式为
y=5x-200(60
y=
(2)设获得的利润为w元,
①当40≤x≤60时,w=(x-30)(-10x+700)=-10(x-50)2+4 000,
∵-10<0,
∴当x=50时,w有最大值,最大值为4 000元.
②当60
综上,当售价为70元/件时,该商家获得的利润最大,最大利润为
4 500元.
25.解:(1)(1,0) (2,-1) y=x2-4x+3
(2)当m+2<2时,即m<0,
此时当x=m+2时,y有最小值,
则(m+2)2-4(m+2)+3=,
解得m=±.
∵m<0,
∴m=-.
当m>2时,此时当x=m时,y有最小值,
则m2-4m+3=,
解得m1=,m2=.
∵m>2,
∴m=.
当0≤m≤2时,此时当x=2时,y有最小值为 -1,与题意不符;
综上所述,m的值为或-.
(3)存在,理由如下:
A(1,0),C(0,3),
∴AC=,AC的中点为E(,).
设P(2,t),
∵△PAC是以AC为斜边的直角三角形,
∴PE=AC.
∴=.
∴t1=2,t2=1.
∴P(2,2)或P(2,1).
∴使△PAC是以AC为斜边的直角三角形时,P点坐标为(2,2)或(2,1).
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