卷子答案网-一个不只有答案的网站福州市六校2023-2024学年高二上学期期中联考
数 学 参 考 答 案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1-4:BDAD 5-8：CBAD
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.AC 10.AD 11.ACD 12.ABD
三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.; 14.; 15.，或; 16. ,;（第一个空2分，第二个空3分.）
四、解答题（本题共6小题，第17题10分，第18－22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（10分）菱形中，边所在直线过点
（1）求边所在直线的方程；
（2）求对角线所在直线的方程．
解：（1）kBC==2，.......................2分
∵AD∥BC，∴kAD=2， .......................3分
∴直线AD方程为y-7=2（x+4），.......................4分
即2x-y+15=0．.......................5分（备注：方程有整理即可，形式不限.）
（2）kAC== ，.......................6分
∵菱形对角线互相垂直，∴BD⊥AC，∴kBD=，.......................7分
而AC中点（-1，2），也是BD的中点，.......................8分
∴直线BD的方程为y-2=（x+1）， .......................9分
即3x-5y+13=0． .......................10分（备注：方程有整理即可，形式不限.）
说明：其他解法参照对应步骤相应给分。
18.（12分）已知圆：，直线：，．
（1）判断直线与圆的位置关系，并说明理由；
（2）直线与圆交于，两点，求弦的中点的轨迹方程．
解：（1）直线：，即，故直线恒过点，..........2分
又，.......................3分
故点在圆的内部，.......................4分
所以直线与圆相交．.......................5分
（2）设点坐标为，，
因为直线：恒过定点，由可得，............6分
即点在以为直径的圆上，.......................7分
以为直径的圆的方程为，.......................9分
当直线的斜率不存在时，直线为，此时中点，.......................10分
由直线：可知直线的斜率存在，故点不满足题意，..................11分
所以弦的中点的轨迹方程为， .......................12分
说明：其他解法参照对应步骤相应给分。
19.（12分）如图所示，直四棱柱的底面是边长为2的菱形，且，E为棱AD的中点，．
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面所成的角．
解：（1）连结EB，过点E作底面ABCD的垂线交A1D1于F，以E为坐标原点，分别以EA、EB、EF为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系
则,.............1分
则.................2分
因为,所以,............4分
又,故平面；.................5分
(2)已知平面，所以...............6分
则,则 .................7分
设平面的法向量为 ，则 ,即 ，.................8分
取 ，则，.................9分
设平面与平面所成的角为，则 ，.................10分
故 ，.................11分
平面与平面所成的角为.................12分
说明：其他解法参照对应步骤相应给分。
20.（12分）如图，在长方体中，E，M，N分别是，，的中点，，.
(1)求证：∥平面；
(2)试确定直线与平面的交点F的位置，并求的长.
解：（1）如图，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，.............1分
所以............2分
由题意知是平面的一个法向量，..................3分
因为.................4分
所以 ..................5分
因为平面，所以∥平面..................6分
（2）由已知，得点F在直线上，
因为直线与z轴平行，可设，，.................7分
又点F在平面内，所以存在实数，，使得，.................8分
即，整理得，所以，..........9分
解得，所以，.................10分
故F是棱上靠近点B的一个三等分点，.................11分
且..................12分
说明：其他解法参照对应步骤相应给分。
21.（12分）如图，已知平面四边形存在外接圆，且，，．
(1)求的面积；
(2)求的周长的最大值．
解：（1）因为平面四边形存在外接圆，
所以，，...............2分
又，所以，..............3分
所以的面积．..................5分
（2）解法一：在中，由余弦定理得，..................6分
解得．..................7分
在中，由余弦定理得，..................8分
即
．..................10分
由此得，当且仅当时，等号成立，
所以，..................11分
故的周长．其最大值为...................12分
解法二：在中，由余弦定理得：，..................6分
解得．..................7分
因为，所以.
在中，由正弦定理得：...............8分
所以
所以
..................9分
.......10分
..................11分
故的周长最大值为...................12分
说明：其他解法参照对应步骤相应给分。
22.（12分）已知圆C经过点，，且圆心在直线上.
（1）求圆C的方程.
（2）过点的直线与圆C交于A，B两点，问：在直线上是否存在定点N，使得（，分别为直线AN，BN的斜率）恒成立？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）由题可知线段EF的中点为，EF的垂直平分线的斜率为5，
的垂直平分线的方程为 ...................1分
EF的垂直平分线与直线l的交点即为圆心C，
由，解得，即...................2分
又，...................3分
圆C的方程为...................4分
（2）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的斜率为k，则过点的直线AB的方程为，由，消去y整理得....................5分
设，，，.（*）...................6分
设，则，
，，....................7分
，即，...................8分
将（*）式代入得，解得故点N的坐标为...................9分
当直线AB的斜率不存在时，
直线AB的方程为，，，显然点N可使成立...................11分
在直线上存在定点使得恒成立...................12分
说明：其他解法参照对应步骤相应给分。福州市六校2023-2024学年高二上学期期中联考
数 学 试 卷
（满分：150分，完卷时间：120分钟）
班级 座号 姓名 准考证号
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知直线过点，，则直线的斜率为
A． B． C． D．
2.已知三棱锥，点M，N分别为，的中点，且，，，用，，表示，则等于
A． B．
C． D．
3.已知圆心为的圆过点，则该圆的标准方程是
A． B．
C． D．
4.已知，，是空间直角坐标系中轴、轴、轴正方向上的单位向量，且，，则点的坐标为
A．，， B．，1， C．，， D．，1，
5.在三棱柱中，，，，则这个三棱柱的高
A．1 B． C． D．
6.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面BCD，，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为
B． C． D．
7.已知正方体的棱长为，球是正方体的内切球，是球的直径，点是正方体表面上的一个动点，则的取值范围为
A． B． C． D．
8.在平面直角坐标系中，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最大值为
B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知向量，，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
10.已知圆，圆心在直线上，且圆心在第二象限，半径为，则
A． B． C． D．
11.如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是
A． B．向量与的夹角是60°
C．平面 D．直线与AC所成角的余弦值为
12.已知直线l：和圆C：，则下列说法正确的是
A．直线l过定点
B．对于λ∈R，直线l与圆C相交
C．对于λ∈R，圆C上恒有4个点到直线的距离为1
D．若，直线l与圆C交于A，B两点，则的最大值为4
三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若直线与直线平行，则这两平行线间距离为 .
14.已知，，，则点A到直线BC的距离为 .
15.设圆，直线经过原点且将圆分成两部分，则直线的方程为 .
16.已知正方体的棱长为2，点M是棱BC的中点.
（1）若点N为棱的中点，则平面AMN截正方体的截面的面积为 ；
（2）若点N是棱上的一个动点，则点到平面AMN的距离的最小值为 .（第一个空2分，第二个空3分.）
四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
菱形中，边所在直线过点
（1）求边所在直线的方程；
（2）求对角线所在直线的方程．
18.（12分）
已知圆：，直线：，．
（1）判断直线与圆的位置关系，并说明理由；
（2）直线与圆交于，两点，求弦的中点的轨迹方程．
19.（12分）
如图，直四棱柱的底面是边长为2的菱形，且，E为棱AD的中点，．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成的角．
20.（12分）
如图，在长方体中，E，M，N分别是，，的中点，，.
（1）求证：∥平面；
（2）试确定直线与平面的交点F的位置，并求的长.
21.（12分）
如图，已知平面四边形存在外接圆，且，，．
（1）求的面积；
（2）求的周长的最大值．
22.（12分）
已知圆C经过点，，且圆心在直线上.
（1）求圆C的方程.
（2）过点的直线与圆C交于A，B两点，问：在直线上是否存在定点N，使得（，分别为直线AN，BN的斜率）恒成立？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
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