卷子答案网-一个不只有答案的网站沂水县2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题 2023.11
注意事项：
1．本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码．
3．作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑．
4．非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液．
5．考试结束后，考生上交答题卡．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
2．已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，是椭圆的左、右两个焦点，为椭圆上一点，且，则点到轴的距离为（ ）
A．1 B．2 C． D．
5．若直线与圆相切，则实数的值为（ ）
A． B．1或 C．或3 D．
6．已知空间四边形，其对角线、，、分别是边、的中点，点在线段上，且使，用向量，，表示向量的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知直三棱柱中，，，那么异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆在第二象限内的一点，且（为坐标原点），则（ ）
A．2 B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知直线与，下列选项正确的是（ ）
A．若，则或
B．若直线不经过第四象限，则
C．直线恒过点
D．若直线在轴上的截距为6，则直线的斜截式方程为
10．已知圆，圆，下列说法正确的是（ ）
A．若，则两圆相交弦所在直线为
B．圆与直线恒有两个交点，则
C．已知两圆有三条公切线，则
D．过作圆的切线，切点为，，则
11．如图所示，棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．直线与所成的角为60°
C．直线与平面所成的角为30°
D．平面与平面的夹角为45°
12．《文心雕龙》中说“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立”，意思是自然界的事物都是成双成对的．已知动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数．若某条直线上存在这样的点，则称该直线为“成双直线”．则下列结论正确的是（ ）
A．动点的轨迹方程为
B．直线为成双直线
C．若直线与点的轨迹相交于，两点，点为点的轨迹上不同于，的一点，且直线，的斜率分别为，，则
D．点为点的轨迹上的任意一点，，，则面积为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知过点，的直线的倾斜角为60°，则实数______．
14．已知向量与平行，则______．
15．已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为______．
16．椭圆与直线相交于，两点，过的中点与坐标原点的直线的斜率为2，则______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知直线，，且直线与垂直．
（1）求的值；
（2）若直线过直线与的交点，且原点到该直线的距离为3，求直线的方程．
18．（12分）
已知的顶点坐标分别是，，．
（1）求的外接圆的方程；
（2）若过点的直线截得圆的弦长，求直线的斜率的取值范围．
19．（12分）
如图，在长方体中，，点为的中点．
（1）证明：平面；
（2）设，求点到平面的距离．
20．（12分）
已知焦点在轴上，焦距为的椭圆经过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若倾斜角为135°的直线交椭圆于，两点，且，求直线的方程．
21．（12分）
如图，在四棱雉中，平面，底面为菱形，，，，分别为，的中点．
（1）求证：平面；
（2）已知二面角的大小为45°，求菱形的边长．
22．（12分）
一动圆与圆外切，同时与内切．
（1）求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线；
（2）设点，斜率不为0的直线与方程交于点，，与圆相切且切点为，为中点．求圆的半径的取值范围．
沂水县2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题参考答案及评分标准
2023.11
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．D 2．B 3．A 4．C 5．B 6．C 7．D 8．A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．CD 10．BD 11．BCD 12．BC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14． 15．6 16．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【解析】（1）由直线与垂直，得，
解得．
（2）由（1）得，直线的方程为，即，
解得，即点坐标为，
①当直线的斜率不存在时，其直线方程为，满足题意；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
原点到该直线的距离为3，
，
，
则直线的方程为．
综上所述，直线的方程为或．
18．【解析】（1）设圆的方程为，
由，，，
得解得
所以圆的方程为．
（2）由（1）得，圆的方程为，
设直线斜率为，则直线的方程为，即．
设圆心到直线的距离为，有，
因为，所以，即，
解得，
故的斜率的取值范围．
19．【解析】（1）在中，，，
，
又平面，平面，
，
平面，平面，与相交，
平面；
（2）由，得，
以为原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
当为的中点时，，，，
设平面的法向量是，，
由，，得
由点到平面的距离公式，得，
点到面的距离是．
20．【解析】（1）设椭圆的标准方程为，
则，且，
解得，，
故椭圆的标准方程为：．
（2）设直线方程为，点，，
由方程组，化简得：，
，可得．
，，
，
解得，
直线方程或．
21．【解析】（1）证明：取的中点，连接，，
，分别为，的中点，
是的中位线，
，且，
又为的中点，
，且，
，且，
四边形是平行四边形，
，平面，平面，
平面；
（2）平面，平面，
，
平面，平面，，与相交，
平面，
，又，
，
底面为菱形，为的中点．
，是等边三角形，
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设菱形的边长为，
则，，，，
设平面法向量为，
设平面法向量为，
又，，
则
取，则是平面的一个法向量，
二面角的大小为45°，
，
解得，
所以菱形的边长为．
22．【解析】（1）设动圆心为，半径为，
圆可化为，
可化为，
由题意可得，，
则，
所以，圆心的轨迹是焦点为，，长轴长为的椭圆，且，，得，
则动圆圆心的轨迹方程为．
（2）由题意知，
直线的斜率存在且不为0，
设直线方程为，，，
设圆的半径为，
，
，
，，
所以，
又因为为的中点，所以，
又因为圆与直线相切于点，所以，且，所以，
所以，解得，
所以，，
解得：，
所以，
所以，即，
所以圆的半径的取值范围为．
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