1.1 集合的概念与表示 练习
一、单选题
1.下列三个关系式:①∈R;② Q;③0∈Z.其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.0
2.下列几组对象可以构成集合的是( )
A.充分接近π的实数的全体 B.善良的人
C.世界著名的科学家 D.某单位所有身高在1.7m以上的人
3.方程组的解集是( )
A. B. C. D.
4.已知集合,则( )
A. B. C. D.
5.以下说法中正确的个数是( )
①0与表示同一个集合;
②集合与表示同一个集合;
③方程的所有解的集合可表示为;
④集合不能用列举法表示.
A.0 B.1 C.2 D.3
6.若整数集的子集满足条件:对任何,,都有,就称是封闭集.下列命题中错误的是
A.若是封闭集且,则一定是无限集
B.对任意整数,,是封闭集
C.若是封闭集,则存在整数,使得中任何元素都是的整数倍
D.存在非零整数,和封闭集,使得,,但,的最大公约数
7.下列关系中,正确的有( )
①;②;③;④.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.用表示非空集合中元素个数,定义,则,,且,则实数的值范围是( )
A.或 B.或
C.或 D.或
二、多选题
9.对于非空数集,定义表示该集合中所有元素的和.给定集合,定义集合,则下列说法正确的是( )
A. B.
C.集合中有个元素 D.集合中有个元素
10.下列关系中正确的是
A. B. C.
D. E.
11.定义集合运算:,设,,则( )
A.当,时,
B.可取两个值,可取两个值,有4个式子
C.中有4个元素
D.的真子集有7个
12.下列各组对象可以组成集合的是( )
A.数学必修第一册课本中所有的难题
B.小于8的所有质数
C.直角坐标平面内第一象限的一些点
D.周长为10 cm的三角形
三、填空题
13.已知,求实数x的值 .
14.给出下列说法:
①平面直角坐标系中,第一象限内的点组成的集合为;
②方程的解集为;
③集合与是不相等的.
其中正确的是 (填序号).
15.用列举法表示方程组的解集为 .
16.给出下列关系:①;②;③;④.其中正确的序号是 .
四、解答题
17.已知集合.
(1)若中没有元素,求实数的取值集合;
(2)若中只有一个元素,求实数的取值集合.
18.已知集合A含有两个元素a-3和2a-1,a∈R.
(1)若-3∈A,试求实数a的值;
(2)若a∈A,试求实数a的值.
19.设,点,但.求的值.
20.设非空集合,求集合A中所有元素的和.
21.已知由实数组成的集合,,又满足:若,则.
(1)能否是仅含一个元素的单元素集,试说明理由;
(2)中含元素个数一定是个吗?若是,给出证明,若不是,说明理由.
22.已知集合.
(1)若中只有一个元素,求的值,并把这个元素写出来;
(2)若中至多只有一个元素,求的取值范围.
参考答案:
1.B
【分析】根据常用数集分别的表示整数集,有理数集,实数集,判断关系式是否正确.
【详解】由表示实数集,∈R,故①正确;
由表示有理数集,则,故②错误;
由表示有整数集,则,故③正确.
故正确的个数为2个.
故选:B
【点睛】本题考查了常用数集的表示,识记常用数集表示所用的大写字母是解题的关键,属于基础题.
2.D
【分析】研究是否能组成集合,只需观察描述的对象没有一个明确的标准,再逐一检验即可.
【详解】解:选项,,所描述的对象没有一个明确的标准,故不能构成一个集合,
选项的标准唯一,故能组成集合.
故选:D.
【点睛】本题考查了集合的概念,属于基础题.
3.C
【分析】由得:,代入,解得:.再代入,解得:.
【详解】由得:,代入,
化简得:,解得:.
再代入解得:.
故选:C
【点睛】本题主要考查二元一次方程组,属于简单题.
4.D
【分析】先化简集合,根据元素与集合的关系可得答案.
【详解】因为,所以.
故选:D.
5.B
【分析】根据集合的表示方法,以及集合中元素的特征,即可判定,得到答案.
【详解】由题意,可知①中,0不是一个集合,所以0与集合表示同一个集合是不正确的;
②中,集合是表示含有两个元素的集合,而集合表示仅含有一个运算的集合,所以集合表示不同的集合,所以不正确;
③中,方程的解构成的集合为,所以不正确;
④中,集合表示一个无限数集,所以不能用列举法表示,所以是正确的,
故选B.
【点睛】本题主要考查了集合表示的方法,以及集合中元素的特征,其中解答中熟记集合的表示方法和元素的特征是解答的关键,着重考查了推理与论证能力,属于基础题.
6.D
【分析】根据所给定义一一判断即可.
【详解】解:由封闭集定义可得,
若非零整数,则即,
进一步得和,
从而,,,都在中
可知A正确,
对于B,由,,
可得,
可知B正确,
对于D,设、,与为互质的整数,显然由B知,故D错误,C正确;
故选:D
7.D
【分析】根据元素与集合之间的关系判断可得答案.
【详解】是实数,是无理数,是非负整数,2是有理数.
因此,①②③④正确,
故选:D .
8.D
【解析】先由方程,根据判别式判定;再由题中条件,得到或4,再由时,方程一定有根,推出集合中的方程有4个不同的根,得出方程以及必须都有两不同的根,进而可求出结果.
【详解】集合中的方程,其,
所以
因为定义,且,
所以或4,
即集合中的方程,有0个根或者4个根,
而当时,方程一定有根,
所以集合中的方程,有4个不同的根,
则需方程以及必须都有两不同的根,
从而得到,
所以或.
故选:D.
【点睛】本题主要考查集合的新定义问题,考查由集合中元素个数求参数的问题,属于中档题型.
9.AC
【分析】列举出集合,求出对应的的值,可得出集合,即可得出合适的选项.
【详解】且.
①当为单元素集合时,集合可取、、、,可取、、、;
②当中的元素个数为时,集合可取、、、、、,
可取、、、、;
③当中的元素个数为时,集合可取、、、,可取、、、;
④当时,.
综上所述,,AC选项正确,BD选项错误.
故选:AC.
10.ACD
【分析】利用元素与集合的关系、集合与集合的关系直接判断即可.
【详解】A项中集合中有1这个元素,所以A正确;
因为集合是集合的真子集,不能用“ ”来表示,所以B错误;
因为任何集合都是它本身的子集,所以C正确;
因为集合中的元素具有无序性,所以D正确;
因为集合表示数集,它有两个元素,而集合表示点集,它有一个元素,所以E错误.
综上可得ACD正确.
故选:ACD.
【点睛】本题考查元素与集合的关系、集合与集合的关系,考查学生对基本知识掌握的情况,属于基础题.
11.BD
【分析】根据集合的定义可求出,从而可判断各项的正误.
【详解】,
故中有3个元素,其真子集的个数为,故C错误,D正确.
当,时,,故A错误.
可取两个值,可取两个值,共有4个算式,
分别为:
,,
故B正确.
故选:BD.
【点睛】本题考查新定义背景下集合的计算、集合子集个数的计算,注意不同的算式可以有相同的计算结果,另外,注意集合中元素的互异性对于集合表示的影响,本题属于基础题.
12.BD
【分析】根据集合的定义和集合元素的特征逐个分析判断.
【详解】对于A,“难题”的标准不确定,因而不能构成集合,所以A错误,
对于B,小于8的所有质数能构成集合,所以B正确,
对于C,“一些点”无明确的标准,对于某个点是否在“一些点”中无法确定,因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合,所以C错误,
对于D,周长为10 cm的三角形具有确定性,能构成集合,所以D正确,
故选:BD
13.
【分析】根据集合元素的互异性,以及元素与集合的关系,建立方程,可得答案.
【详解】由题意可知:,,
令,解得;令,解得或,不符合题意.
故答案为:.
14.①③
【分析】根据题意,结合集合的表示方法,逐项判定,即可求解,得到答案.
【详解】对于①中,在平面直角坐标系中,第一象限内的点的横、纵坐标均大于0,且集合中的代表元素为点,所以①正确;
对于②中,方程的解为,解集为或,所以②不正确;
对于③中,集合,集合,这两个集合不相等,所以③正确.
【点睛】本题主要考查了集合的表示方法及其应用,其中解答中熟记集合的表示方法——列举法、描述法,以及集合表示方法的改写是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.
15.
【解析】解方程组,并用列举法表示点的集合.
【详解】解:解方程组得,故方程组解的集合为:.
故答案为:
16.①③④
【分析】根据元素与集合间的关系和特殊集合:有理数集,自然数集,整数集,实数集所含的元素可得选项.
【详解】对于①: 是分数,所有的分数都是实数,故①正确;
对于②:是无理数,不是有理数,故②错误;
对于③:是自然数,故③正确;
对于④:0是整数,故④正确;所以①③④正确,
故选①③④.
【点睛】本题考查特殊集合:有理数集,自然数集,整数集,实数集所含的元素和元素与集合的关系,属于基础题.
17.(1);(2).
【分析】(1)分和两种情况讨论,当时,由一元二次方程中根的判别式建立不等式解之可得答案.
(2)分和两种情况讨论,当时,由一元二次方程中根的判别式建立方程解之可求得实数的取值集合.
【详解】(1)对于方程,若,则,不合题意,故,此时方程是关于的一元二次方程.
集合中没有元素,则,即.
所以实数的取值集合为.
(2)对于方程,若,则,符合题意;
若,方程是关于的一元二次方程.中只有一个元素,即,即.
综上,实数的取值集合为.
18.(1)0或-1; (2)1 .
【分析】(1)由,得或,再利用集合中元素的互异性能求出满足题意的实数的值;
(2)由,得或,再利用集合中元素的互异性能求出满足题意的实数的值.
【详解】(1)因为-3∈A,
所以-3=a-3或-3=2a-1.
若-3=a-3,则a=0.
此时集合A含有两个元素-3,-1,符合题意.
若-3=2a-1,则a=-1.
此时集合A含有两个元素-4,-3,符合题意.
综上所述,满足题意的实数a的值为0或-1.
(2)因为a∈A,所以a=a-3或a=2a-1.
当a=a-3时,有0=-3,不成立;
当a=2a-1时,有a=1,此时A中有两个元素-2,1,
符合题意.
综上所述,满足题意的实数a的值为1.
【点睛】该题考查的是有关元素与集合的关系,根据元素属于集合,列出等量关系式,求出参数的值,需要注意的是需要检验是否满足集合中元素的互异性.
19.
【分析】根据元素与集合的关系,由,但, ,建立的关系式,然后求解.
【详解】因为点,①
因为点,②
因为点,③
由①②得,解得;类似地由①③得.
.
,.
当时,由①得,由②得,由③得,所以.
因为,所以.
故答案为.
20.答案见解析
【分析】分一元二次方程有相等实根与两个不相等实根讨论,当有相等实根时,直接求解,当有不相等实根时由根与系数关系求解.
【详解】当时,解得,,所以A中所有元素之和为,
当时,,
方程有两个不等的实根,
由根与系数的关系知,
即A中所有元素之和为,
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根,分类讨论的思想,集合的描述法,属于中档题.
21.(1)A不可能是单元素集合,理由见解析;
(2)A中所含元素个数一定是,证明见解析.
【分析】(1)由x与都在集合A中,结合集合A只含有一个元素,得,再判断方程有无实数根,若有解则存在,若无解则不存在;
(2)A中所含元素个数一定是个.由,则,得到,然后推导出互不相等即可证明A中所含元素个数一定是个.
【详解】(1)假设A中仅含一个元素,不妨设为a,则,有,
又A中只有一个元素,,即,
但此方程,即方程无实数根,
∴不存在这样的实数a,故A不可能是单元素集合.
(2)中所含元素个数一定是个.
证明:,则,,而,
且,当时,,
,方程无解,;
当时,,,方程无解,;
当时,,,方程无解,,
中所含元素个数一定是个.
22.(1)当时,;当时,①当时,;②当时,;(2).
【详解】试题分析:(1)因题目中没有说明a是否等于零,所以分和讨论.显然当时,易解得集合有一个元素符合题意;当时,由一元二次方程有一个解知,判别式等于零求解即可;(2)集合至多有一个元素即集合为空集或只有一个元素,因此分两种情况求解.当集合为空集时,即判别式等于零;当有一个元素时,同(1),最后总结结论即可.
试题解析:(1)当时,.
当时,,即,解得.
当时,;当时,.
(2)中没有元素时,,解得且;
中只有一个元素时,由(1)得或.
所以,综合得:.
考点:已知含参数的一元二次方程的解的个数求参数范围.
转载请注明出处卷子答案网-一个不只有答案的网站 » 苏教版(2019)必修 第一册 1.1 集合的概念与表示 练习(含解析)