卷子答案网-一个不只有答案的网站鄂州市部分高中教科研协作体2023-2024学年高二上学期11月期中考试
数学试卷
考试试卷：2023年11月16日上午 试卷满分：150分
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色．墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：人教A版必修第二册第十章，选择性必修第一册第一章～第二章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知点在直线上，则直线的倾斜角的大小为（ ）
A． B． C． D．
2．若，则（ ）
A． B． C．22 D．29
3．若圆的半径为2，则实数的值为（ ）
A． B． C．9 D．8
4．如图所示，在平行六面体中，为与的交点，为的中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为和，另一组对边所在的直线方程分别为和，则（ ）
A．4 B． C．2 D．
6．已知圆经过点，且圆心在直线上，若为圆上的动点，则线段（为坐标原点）长度的最大值为（ ）
A． B． C．10 D．
7．已知木盒中有围棋棋子15枚（形状大小完全相同，其中黑色10枚，白色5枚），小明有放回地从盒中取两次，每次取出1枚棋子，则这两枚棋子恰好不同色的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．已知圆和点，若点在圆上，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知是空间中三个向量，则下列说法错误的是（ ）
A．对于空间中的任意一个向量，总存在实数，使得
B．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
C．若，则
D．若所在直线两两共面，则共面
10．从1，2，3，…9中任取两个数，其中：①恰有一个偶数和两个都是奇数；②至少有一个偶数和两个都是偶数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是互斥事件的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
11．已知直线过点，若与轴的正半轴围成的三角形的面积为，则的值可以是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
12．如图，在正四棱锥中，分别是的中点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．直线和所成角的余弦值是
C．点到直线的距离是 D．点到平面的距离是2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在用随机数（整数）模拟“有5个男生和5个女生，从中抽选4人，求选出2个男生2个女生的概率”时，可让计算机产生的随机整数，并且代表男生，用代表女生．因为是选出4个，所以每4个随机数作为一组．通过模拟试验产生了20组随机数：
6830 3215 7056 6431 7840 4523 7834 2604 5346 0952
6837 9816 5734 4725 6578 5924 9768 6051 9138 6754
由此估计“选出2个男生2个女生”的概率为______．
14．已知直线，当时，的值为______．
15．自动驾驶汽车又称无人驾驶汽车，依靠人工智能、视觉计算、雷达、监控装置和全球定位系统协同合作，让电脑可以在没有任何人类主动的操作下，自动安全地操作机动车辆．某自动驾驶汽车在车前点处安装了一个雷达，此雷达的探测范围是扇形区域．如图所示，在平面直角坐标系中，，直线的方程分别是，，现有一个圆形物体的圆心为，半径为，圆与分别相切于点，则______．
16．在棱长为4的正方体中，点分别为棱的中点，分别为线段上的动点（不包括端点），且，则线段的长度的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）
已知的三个顶点分别为．
（1）求边上的高所在直线的方程；
（2）求边上的中线所在直线的方程．
18．（本小题满分12分）
第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举办，为做好本次亚运会的服务工作，从某高校选拔志愿者，现对该校踊跃报名的100名学生进行综合素质考核，根据学生考核成绩分为四个等级，最终的考核情况如下表：
等级
人数 10 40 40 10
（1）将频率视为概率，从报名的100名学生中随机抽取1名，求其成绩等级为或的概率；
（2）已知等级视为成绩合格，从成绩合格的学生中，根据考核情况利用比例分配的分层随机抽样法抽取5名学生，再从这5名学生中选取2人进行座谈会，求这2人中有等级的概率．
19．（本小题满分12分）
已知半径为4的圆与直线相切，圆心在轴的负半轴上．
（1）求圆的方程；
（2）已知直线与圆相交于两点，且的面积为8，求直线的方程．
20．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，分别为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
21．（本小题满分12分）
一题多解是由多种途径获得同一数学问题的最终结论，一题多解不但达到了解题的目标要求，而且让学生的思维得以拓展，不受固定思维模式的束缚．学生多角度、多方位地去思考解题的方案，让解题增添了新颖性和趣味性，并在解题中解放了解题思维模式，使得枯燥的数学解题更加丰富而多彩．假设某题共存在4种常规解法，已知小红使用解法一、二、三、四答对的概率分别为，且各种方法能否答对互不影响，小红使用四种解法全部答对的概率为．
（1）求的值；
（2）求小红不能正确解答本题的概率；
（3）求小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对的概率．
22．（本小题满分12分）
如图，在三棱台中，是等边三角形，，侧棱平面，点是棱的中点，点是棱上的动点（不含端点）．
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值的最小值．
鄂州市部分高中教科研协作体2023-2024学年高二上学期11月期中考试
数学试卷
参考答案、提示及评分细则
1．C直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，因为，所以．故选C．
2．A由，得，所以．故选A．
3．D由，得，所以，解得．故选D．
4．B因为为与的交点，所以，故．故选B．
5．A直线与直线之间的距离，直线与直线之间的距离，又由正方形可知，即，解得．故选A．
6．D线段中点的坐标为，，所以线段的中垂线的斜率为，所以线段的中垂线的方程为，又圆心在直线上，所以解得所以圆心为．故选D．
7．B从盒中随机取出1枚棋子，“是黑棋子”记为事件，“是白棋子”记为事件，则，两枚棋子恰好不同色包含：第一次取出黑棋子，第二次取出白棋子；第一次取出白棋子，第二次取出黑棋子．这两个事件是互斥事件．第一次取出黑棋子，第二次取出白棋子相互独立，概率为；第一次取出白棋子，第二次取出黑棋子也相互独立，概率为．所以这两枚棋子恰好不同色的概率是．故选B．
8．C设，由，得，即点在圆上，圆心为，半径．圆的圆心为，半径，又点在圆上，故圆与圆有公共点，所以，解得，即的取值范围是．故选C．
9．ACD由空间向量基本定理，可知只有当不共面时，才能作为基底，才能得到，故A错误；若是空间的一个基底，则不共面，也不共面，所以也是空间的一个基底，故B正确；若，则不一定平行，故C错误；若所在直线两两共面，则不一定共面，故D错误．故选ACD．
10．AC 根据题意，从1，2，3，…，9中任取两数，其中可能的情况有“两个奇数”“两个偶数”“一个奇数与一个偶数”三种情况．依次分析所给的4个事件可得，①恰有一个偶数和两个都是奇数是互斥事件；②至少有一个偶数包括“两个偶数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，与两个都是偶数不是互斥事件；③至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，和“两个都是偶数”是互斥事件；④至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，至少有一个偶数包括“两个偶数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，不是互斥事件．故选AC．
11．CD 由题意知直线在轴上的截距存在且大于0，可设的方程为，由直线过点，得，所以，当且仅当，即时，等号成立，即，所以．故选CD．
12．ABC 连接交于点，连结，由题意，得平面，因为平面，所以，因为四边形是正方形，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以，故A正确；以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为，所以，所以，，所以，所以，所以直线和所成角的余弦值是，故B正确；，与同向的单位向量为，所以点到直线的距离，故C正确；设为平面的法向量，则即令，得，点到平面的距离，故D错误．故选ABC．
13． 在20组数中，6830，7840，7834，5346，0952，5734，4725，5924，6051，9138满足要求，共10个，由此估计“选出2个男生2个女生”的概率为．
14． 因为，所以，解得或．当时，，此时与重合，不符合题意；当时，，此时，符合题意．综上，的值为．
15． 连接，由题意可设，又圆与相切，则，解得，由题意可得，在中，，所以，同理，又，所以，即．
16． 以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示．所以，设，其中，则．又，所以，所以，又，所以，所以，所以，此时，即线段的长度的最小值为．
17．解：（1）直线的斜率．因为，所以直线的斜率．
因为直线过点，由点斜式方程可得边上的高所在直线的方程为，即．
（2）因为，所以的中点的坐标为．
因为，由两点式方程可得边上的中线所在直线的方程为，即．
18．解：（1）由题知，任意抽取1人，抽到的学生成绩等级为或的概率为．
（2）由题知，抽取的5名学生中成绕为等级的人数分别为1，4，
记这5人分别为，从中抽取2人的样本空间为，共10个样本点，其中有等级的样本点有，共4个，10分所以这2人中有等级的概率为．
19．解：（1）由已知可设圆心，则，解得或（舍），
所以圆的方程为．
（2）设圆心到直线的距离为，则，
即，解得，
又，所以，解得，
所以直线的方程为或．
20．（1）证明：取的中点，连接，
因为分别为的中点，所以，
又为的中点，，所以，所以四边形是平行四边形，所以．又平面平面，所以平面．
（2）解：在直三棱柱中，平面，又平面，所以，又，故以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示，则，所以，，．设平面的法向量为，则令，得，，所以平面的一个法向量为．
设直线与平面所成的角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
21．解：（1）记小红使用解法一、二、三、四答对分别为事件，则，因为各种解法能否答对互不影响，且全部答对的概率为，
所以，解得．
（2）若小红不能正确解答本题，则说明小红任何方法都不会，
所以小红不能正确解答本题的概率是．
（3）记事件为小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对，则，
所以小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对的概率为．
22．（1）证明：因为是等边三角形，点是棱的中点，所以，
又平面平面，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以平面平面．
（2）解：在平面中，过点作，所以，又平面平面，所以，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示．
因为是等边三角形，，所以，，因为，所以．
设，所以，所以．
设平面的法向量为，因为所以令，得，所以平面的一个法向量为，设平面的法向量为，
因为所以令，得，
所以平面的一个法向量为．
设平面与平面的夹角为，所以，
设，则，所以，
所以，
所以当，即时，取到最小值．
转载请注明出处卷子答案网-一个不只有答案的网站 » 湖北省鄂州市部分高中教科研协作体2023-2024高二上学期11月期中考试数学试题（含解析）