卷子答案网-一个不只有答案的网站第十三章 轴对称 习题课 等腰直角三角形常见的解题模型
【模型先知】
模型1 等腰直角三角形＋斜边的中点→连接直角顶点和斜边中点
模型2 等腰直角三角形＋8字模型中有两直角，常用截长补短构造全等
模型2变式 等腰直角三角形及8字模型中只有一个直角，过等腰直角三角形的顶点作垂线构造直角
补充模型 三垂直模型
【同步练习】
类型1 等腰直角三角形＋斜边的中点→连接直角顶点和斜边中点
【模型展示】如图，在等腰直角三角形ABC中，D为斜边的中点，则连接AD AD＝BD＝DC，∠B＝∠DAF＝45°.常结合已知条件证△BDE≌△ADF或△ADE≌△CDF得出相关结论．
1．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是BC的中点，AE＝BF.求证：
(1)DE＝DF；
(2)△DEF是等腰直角三角形．
2．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC中点，E，F分别在AC，AB上，且DE⊥DF，试判断DE，DF的数量关系，并说明理由．
3．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．
(1)如图①，若E，F分别为AB，AC上的点，且DE⊥DF，试说明：BE＝AF；
(2)如图②，若E，F分别为AB，CA延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE＝AF还成立吗？
类型2 等腰直角三角形＋8字模型中有两直角，常用截长补短构造全等
【模型展示】如图，已知等腰直角三角形ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°.若BE⊥CE，则有∠1＝∠2.常通过在BE上取点F，使得BF＝CE △ABF≌△ACE.
4．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC上一点．若CE⊥BD于点E，连接AE.求证：∠AEB＝45°.
类型2变式 等腰直角三角形及8字模型中只有一个直角，过等腰直角三角形的顶点作垂线构造直角
【模型展示】如图，已知等腰直角三角形ABC，∠AEB＝45°，常过点A作AF⊥AE，则∠FAE＝90°，∠1＝∠2.
5．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC上一点．若∠AEB＝45°，求证：CE⊥BD.
补充模型 三垂直模型
【模型展示】如图，已知等腰直角三角形ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，BD⊥DE，CE⊥DE，则△ABD≌ △CAE.
6．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直线AE是经过点A的任一直线，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E，若BD＞CE，试解答：
(1)AD与CE的大小关系如何？请说明理由；
(2)若BD＝5，CE＝2，求DE的长．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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参考答案
【同步练习】
类型1 等腰直角三角形＋斜边的中点→连接直角顶点和斜边中点
【模型展示】如图，在等腰直角三角形ABC中，D为斜边的中点，则连接AD AD＝BD＝DC，∠B＝∠DAF＝45°.常结合已知条件证△BDE≌△ADF或△ADE≌△CDF得出相关结论．
1．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是BC的中点，AE＝BF.求证：
(1)DE＝DF；
(2)△DEF是等腰直角三角形．
证明：(1)连接AD.
∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°.
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴∠DAE＝∠BAD＝45°.
∴∠BAD＝∠B＝45°.
∴AD＝BD，∠ADB＝90°.
∵AE＝BF，∠DAE＝∠B＝45°，AD＝BD，
∴△DAE≌△DBF(SAS)．
∴DE＝DF.
(2)∵△DAE≌△DBF，
∴∠ADE＝∠BDF.
∵∠BDF＋∠ADF＝∠ADB＝90°，
∴∠ADE＋∠ADF＝90°.
∴△DEF为等腰直角三角形．
2．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC中点，E，F分别在AC，AB上，且DE⊥DF，试判断DE，DF的数量关系，并说明理由．
解：DE＝DF，理由如下：连接AD，∵∠A＝90°，AB＝AC，D为BC中点，∴CD＝AD，∠C＝∠DAF＝45°，AD⊥CD，∴∠CDE＋∠EDA＝∠ADF＋∠EDA＝90°，∴∠CDE＝∠ADF，在△CDE和△ADF中，∴△CDE≌△ADF(ASA)，∴DE＝DF
3．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．
(1)如图①，若E，F分别为AB，AC上的点，且DE⊥DF，试说明：BE＝AF；
(2)如图②，若E，F分别为AB，CA延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE＝AF还成立吗？
解：(1)证明：连接AD，如图①所示．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，AD＝BD＝CD，
∠B＝∠C＝∠DAF＝45°.
∵∠EDF＝∠BDA＝90°，∴∠BDE＝∠ADF.
在△BDE和△ADF中，
∴△BDE≌△ADF(ASA)．
∴BE＝AF.
(2)结论还成立．理由如下：
连接AD，如图②所示．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，AD＝BD＝CD，
∠B＝∠C＝∠DAC＝45°.
∴∠DBE＝∠DAF＝135°.
∵∠EDF＝∠BDA＝90°，∴∠BDE＝∠ADF.
在△BDE和△ADF中，
∴△BDE≌△ADF(ASA)．
∴BE＝AF.
类型2 等腰直角三角形＋8字模型中有两直角，常用截长补短构造全等
【模型展示】如图，已知等腰直角三角形ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°.若BE⊥CE，则有∠1＝∠2.常通过在BE上取点F，使得BF＝CE △ABF≌△ACE.
4．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC上一点．若CE⊥BD于点E，连接AE.求证：∠AEB＝45°.
证明：在BE上截取BF＝CE，连接AF.
易证∠ABF＝∠ACE，
△ABF≌△ACE(SAS)，
∴AF＝AE，∠BAF＝∠CAE.
∵∠BAC＝∠BAF＋∠FAD＝90°，
∴∠FAE＝∠FAD＋∠CAE＝90°，
∴△FAE为等腰直角三角形．∴∠AEB＝45°.
类型2变式 等腰直角三角形及8字模型中只有一个直角，过等腰直角三角形的顶点作垂线构造直角
【模型展示】如图，已知等腰直角三角形ABC，∠AEB＝45°，常过点A作AF⊥AE，则∠FAE＝90°，∠1＝∠2.
5．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC上一点．若∠AEB＝45°，求证：CE⊥BD.
证明：过点A作AF⊥AE交BE于点F，∴∠EAF＝∠BAC＝90°.
∴∠BAF＝∠CAE.∵∠AEB＝45°，∴∠AFE＝45°＝∠AEF.∴AE＝AF.又∵BA＝CA，∴△ABF≌△ACE(SAS).∴∠ABE＝∠ACE.又∵∠ADB＝∠EDC，∴∠BEC＝∠BAC＝90°，∴CE⊥BD
补充模型 三垂直模型
【模型展示】如图，已知等腰直角三角形ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，BD⊥DE，CE⊥DE，则△ABD≌ △CAE.
6．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直线AE是经过点A的任一直线，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E，若BD＞CE，试解答：
(1)AD与CE的大小关系如何？请说明理由；
(2)若BD＝5，CE＝2，求DE的长．
解：(1)AD＝CE.理由如下：
∵∠BAC＝90°，BD⊥AE，
∴∠ABD＝∠CAE.
在△ABD和△CAE中，
∴△ABD≌△CAE(AAS)，∴AD＝CE.
(2)∵△ABD≌△CAE，
∴BD＝AE＝5，AD＝CE＝2，
∴DE＝AE－AD＝BD－CE＝5－2＝3.