卷子答案网-一个不只有答案的网站2023—2024学年上期高2024届11月检测（一）
数学试题
总分：150分 考试时间：120分钟
一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.
1. 如图，已知矩形表示全集，，是的两个子集，则阴影部分表示不正确的为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，则（ ）.
A. B. C. 2 D. 1
3. “”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知数列满足，若，则实数k的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图，在三棱锥中，平面，，且，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
6. 某同学进行一项投篮测试，若该同学连续三次投篮成功，则通过测试；若出现连续两次失败，则不通过测试.已知该同学每次投篮成功率为，则该同学通过测试的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，点为双曲线C在第一象限的右支上一点，以A为切点作双曲线C的切线交x轴于点B，若，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D.
8. 实数分别满足，则的大小关系为（ ）
A B.
C. D.
二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分.
9. 已知变量，之间的经验回归方程为，且变量，的数据如图所示，则下列说法正确的是（ ）
2 3 5 9 11
12 10 7 3
A. 该回归直线必过
B. 变量，之间呈正相关关系
C. 当时，变量的值一定等于
D. 相应于的残差估计值为
10. 函数在区间上单调函数，且图象关于直线对称，则（ ）
A. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象关于y轴对称
B. 函数在上单调递减
C. 若函数在区间上没有最小值，则实数的取值范围是
D. 若函数在区间上有且仅有2个零点，则实数a的取值范围是
11. 为引导游客领略传统数学研究的精彩并传播中国传统文化，某景点推出了“解数学题获取名胜古迹入场码”的活动.活动规则如下：如图所示，将杨辉三角第行第个数记为，并从左腰上的各数出发，引一组平行的斜线，记第条斜线上所有数字之和为，入场码由两段数字组成，前段的数字是的值，后段的数字是的值，则（ ）
A. B.
C. D. 该景点入场码为
12. 已知抛物线的焦点为，定点和动点，都在抛物线上，且（其中为坐标原点）的面积为3，则下列说法正确的是（ ）
A. 抛物线的标准方程为
B. 设点是线段的中点，则点的轨迹方程为
C. 若（点在第一象限），则直线的倾斜角为
D. 若弦的中点的横坐标2，则弦长的最大值为7
三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.
13. 在中，，则______.
14. 已知，当取得最小值时，则的值为_______________．
15. 云南省大理州于2023年5月4日至10日成功举办了三月街民族节活动.在活动期间，有6名志愿者报名参加了三月街民族节志愿服务活动，活动结束后6名志愿者排成一排合影，则甲志愿者不在两边，乙、丙志愿者相邻的概率为______.
16. 已知椭圆的右焦点是，直线交椭圆于两点﹐直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为____________．
四、解答题：共70分.
17. 在数列中，，是的前n项和，且数列是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
18. 在平面四边形ABCD中，
（1）若，求；
（2）若求.
19. 如图，四棱台中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，上、下底面中心的连线NM垂直于上、下底面，且NM与侧面所成角的正切值为．
（1）求点A到平面的距离；
（2）求二面角的余弦值．
20. 某校20名学生的数学成绩和知识竞赛成绩如下表：
学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
数学成绩 100 99 96 93 90 88 85 83 80 77
知识竞赛成绩 290 160 220 200 65 70 90 100 60 270
学生编号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
数学成绩 75 74 72 70 68 66 60 50 39 35
知识竞赛成绩 45 35 40 50 25 30 20 15 10 5
计算可得数学成绩的平均值是，知识竞赛成绩的平均值是，并且，，．
（1）求这组学生数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数（精确到）．
（2）设，变量和变量的一组样本数据为，其中两两不相同，两两不相同．记在中的排名是第位，在中的排名是第位，．定义变量和变量的“斯皮尔曼相关系数”（记为）为变量的排名和变量的排名的样本相关系数．
（i）记，．证明：．
（ii）用（i）的公式求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”（精确到）．
（3）比较（1）和（2）（ii）的计算结果，简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势．
注：参考公式与参考数据．；；．
21. 动圆与圆：外切，与圆：内切.
（1）求动圆的圆心的轨迹方程；
（2）直线：与相交于两点，过上的点作轴的平行线交线段于点，直线的斜率为（O为坐标原点），若，判断是否为定值？并说明理由.
22. 设．
（1）当时，求在上最大值：
（2）若对任意恒成立，求的取值范围．2023—2024学年上期高2024届11月检测（一）
数学试题
总分：150分 考试时间：120分钟
一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.
1. 如图，已知矩形表示全集，，是两个子集，则阴影部分表示不正确的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合韦恩图及集合交、并、补的定义判断即可.
【详解】在阴影部分区域内任取一个元素，则且，即且，
所以，阴影部分可表示为，故A正确；
且，阴影部分可表示为；C正确
且，阴影部分可表示为，故D正确；
显然，阴影部分区域所表示的集合为的真子集，故B错误．
故选：B
2. 已知，则（ ）.
A. B. C. 2 D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】先根据复数乘法运算求出复数，再根据共轭复数的定义和复数的模的公司及即可得解.
【详解】由，得，
则，所以.
故选：C.
3. “”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】由推不出，如，但是，
即充分性不成立，
由也推不出，如，但是，即必要性也不成立，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D
4. 已知数列满足，若，则实数k的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据建立不等式，不等式转化为对一切恒成立，求出即可.
【详解】据题设知，对一切恒成立，
所以对一切恒成立，
即对一切恒成立．
又当时，，
所以，所以所求实数k的取值范围是．
故选:．
5. 如图，在三棱锥中，平面，，且，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】以为坐标原点，所在直线为建立空间直角坐标系,从而在方向上的投影向量，即在轴正方向上的投影向量.
【详解】∵平面,，
∴,,
故以为坐标原点，所在直线为建立空间直角坐标系，令.
则，
则，
∴在方向上的投影向量，即在轴正方向上的投影向量为.
故选：C.
6. 某同学进行一项投篮测试，若该同学连续三次投篮成功，则通过测试；若出现连续两次失败，则不通过测试.已知该同学每次投篮的成功率为，则该同学通过测试的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先设第一次投篮成功后，通过的概率为，再列出关于的等式，求后，再求解通过测试的概率.
【详解】设投篮只成功一次后通过，概率为，那么投篮只失败过一次后，下一次若投篮失败，则不通过，故投篮只失败过一次后通过概率为，
故，解得：，
故通过的概率为.
故选：D
【点睛】思路点睛：本题考查独立事件乘法的意义，本题的思路是不从第一次投篮的概率算起，而是计算投篮只成功一次后通过的概率.
7. 已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，点为双曲线C在第一象限的右支上一点，以A为切点作双曲线C的切线交x轴于点B，若，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意利用导数的几何意义求切线方程，进而可求得点，再结合双曲线的方程和定义求，利用余弦定理列式求解即可.
【详解】因为点A在第一象限，由，可得，
则，
点在双曲线上，则，即，
可得，
可得在点处的切线方程为，
令，解得，
又因为，则，
所以，
即点，
设双曲线C的半焦距为，则，，
因为，则，整理得，
则，
可得，
且点为双曲线C在第一象限的右支上一点，则，
可得，
在中，由余弦定理可得：，
即，整理得，
所以双曲线C的离心率.
故选：D.
【点睛】方法点睛：1．双曲线离心率(离心率范围)的求法
求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值；
2．焦点三角形的作用
在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．
8. 实数分别满足，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由，得, ,,,继而利用缩放可得,,则大小关系解决,构造函数,利用单调性可得,即,结合可比较大小,则大小关系可得.
【详解】因为，所以，则.
因为,所以.
令，则，
当时，则在上单调增；
当时，则在上单调减.
所以，即.
所以且，
则可得.
因为,所以
令,则,
当时, ,所以在单调减,
所以可得,即,
又,所以,
所以.
故选:B.
【点睛】方法点睛:比较大小的常用方法有作差法,作商法,构建函数利用单调性法,利用不等式的放缩法.
二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分.
9. 已知变量，之间的经验回归方程为，且变量，的数据如图所示，则下列说法正确的是（ ）
2 3 5 9 11
12 10 7 3
A. 该回归直线必过
B. 变量，之间呈正相关关系
C. 当时，变量的值一定等于
D. 相应于的残差估计值为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据回归直线一定经过样本中心点，及残差概念等来逐项判断.
【详解】对于A，由表格数据得，，，所以该回归直线必过，故A正确；
对于B，因为回归直线方程为，，当变量增加，变量相应值减少两个变量之间呈负相关关系，故B错误；
对于C，当时，，变量的值可能为，故C错误；
对于D，由残差定义知，观测值减去预测值为残差，当时，得预测值，则相应于的残差估计值为，故D正确.
故选：AD.
10. 函数在区间上单调函数，且图象关于直线对称，则（ ）
A. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象关于y轴对称
B. 函数在上单调递减
C. 若函数在区间上没有最小值，则实数的取值范围是
D. 若函数在区间上有且仅有2个零点，则实数a的取值范围是
【答案】AB
【解析】
【分析】根据函数单调性及对称轴求出函数解析式，由函数的平移判断A，根据单调性判断B，由函数的图象与性质可判断CD.
【详解】由题意且，
可得，，
故当时，，.
对A，函数的图象向右平移个单位长度可得，故函数图象关于y轴对称，故A正确；
对B，当时，，所以函数单调递减，故B正确；
对C，当时，，函数在区间上没有最小值，则需，即，故C错误；
对D，由C，函数在区间上有且仅有2个零点，则，即
，故D错误.
故选：AB
11. 为引导游客领略传统数学研究的精彩并传播中国传统文化，某景点推出了“解数学题获取名胜古迹入场码”的活动.活动规则如下：如图所示，将杨辉三角第行第个数记为，并从左腰上的各数出发，引一组平行的斜线，记第条斜线上所有数字之和为，入场码由两段数字组成，前段的数字是的值，后段的数字是的值，则（ ）
A. B.
C. D. 该景点入场码为
【答案】BCD
【解析】
【分析】分析可得，利用组合数公式可判断A选项；利用二项式定理可判断B选项；归纳得出，逐项计算可得的值，可判断C选项；计算出的值，结合B选项可判断D选项.
【详解】由题意得，
对于A：即为第行第个数，则，故A错误；
对于B：展开式的通项为，
其中，，，，
所以，，故B正确；
对于C：，，，，，
归纳可得，即，
所以，，，，
，故C正确；
对于D：，
故，该景点入场码为，故D正确.
故选：BCD.
12. 已知抛物线的焦点为，定点和动点，都在抛物线上，且（其中为坐标原点）的面积为3，则下列说法正确的是（ ）
A. 抛物线的标准方程为
B. 设点是线段的中点，则点的轨迹方程为
C. 若（点在第一象限），则直线的倾斜角为
D. 若弦的中点的横坐标2，则弦长的最大值为7
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据三角形的面积求得，从而求得抛物线的标准方程，利用相关点代入法、焦半径、弦长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A．，抛物线的标准方程为，故A错误；
B．抛物线的焦点为，
，，则，，
代入，得，整理得，
所以点的轨迹方程为，B正确；
C．由于，所以三点共线，设直线的倾斜角为，
，，解得，
同理可得，依题意，即，
，所以为锐角，所以，C正确；
D．设直线的方程为，
由消去并化简得，
设，则 ，
，则，
，
所以当时，，，
满足.
所以D正确．
故选：BCD
三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.
13. 在中，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】由正弦定理化角为边后，利用余弦定理求解．
【详解】因为，由正弦定理得，
变形得，所以，
又，所以，
故答案为：．
14. 已知，当取得最小值时，则的值为_______________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用基本不等式求得最值，根据等号成立条件可得，即可求出结果.
【详解】由可得，则
；
当且仅当，即时，
等号成立，取得最小值为，此时.
故答案为：
15. 云南省大理州于2023年5月4日至10日成功举办了三月街民族节活动.在活动期间，有6名志愿者报名参加了三月街民族节志愿服务活动，活动结束后6名志愿者排成一排合影，则甲志愿者不在两边，乙、丙志愿者相邻的概率为______.
【答案】##
【解析】
【分析】先根据全排列求出所有的基本事件个数，然后利用特殊元素优先考虑结合相邻元素捆绑法求解满足题意的基本事件个数，利用古典概型概率公式求解即可.
【详解】6名志愿者排成一排合影共有中排法，
而乙、丙志愿者相邻，甲志愿者不在两边的排法有种排法，
故甲志愿者不在两边，乙、丙志愿者相邻的概率为.
故答案为：
16. 已知椭圆的右焦点是，直线交椭圆于两点﹐直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为____________．
【答案】##
【解析】
【分析】设椭圆的左焦点为，利用已知条件结合椭圆的对称性可得四边形为矩形，再利用勾股定理方程组求解即可.
【详解】设椭圆的左焦点为，连接，，，，
由直线交椭圆于两点﹐及，
结合椭圆的对称性可得，
所以，，均为直角三角形，所以四边形为矩形，
设，则，，，
所以在直角中，即①，
在直角中，即②，
由②解得，
将代入①得，即，
所以，
故答案为：
四、解答题：共70分.
17. 在数列中，，是的前n项和，且数列是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先应用等差数列求，再应用计算通项公式；
（2）应用错位相减法求和即可．
【小问1详解】
由已知得，，
所以，①
当时，，②
，得，
也符合该式，
所以．
【小问2详解】
由（1）得，
所以，③
，④
，得
．
故．
18. 在平面四边形ABCD中，
（1）若，求；
（2）若求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先结合已知条件、数量积的定义求出，再在三角形运用余弦定理即可求解.
（2）画出图形，设，先得出，，再在中，运用正弦定理，由此即可得解.
【小问1详解】
在中，，
所以，
所以，
在中，由余弦定理得.
因为，解得.
【小问2详解】
如图所示：
设，则，
在中，因为，所以，
在中，，
由正弦定理，得，即，
所以，即，
整理得，
所以，即.
19. 如图，四棱台中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，上、下底面中心的连线NM垂直于上、下底面，且NM与侧面所成角的正切值为．
（1）求点A到平面的距离；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）取的中点，的中点K，连接，根据已知求得，构建空间直角坐标系，向量法求点面距离即可；
（2）根据（1）所得坐标系，应用向量法求二面角余弦值.
【小问1详解】
取的中点，的中点K，连接．
因为平面，线面垂直的性质知，，．
易得，且，即四边形MNKI为矩形．
所以，易得为与侧面所成的一个角．
因为MN与侧面所成角的正切值为，所以．
以点M为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，．
所以，．
设平面MHG的法向量为，则，
令，则平面MHG的一个法向量为，而，
所以点A到平面MHG的距离．
【小问2详解】
因为，设面MEH的法向量为，则，
令，则面MEH的一个法向量为．
所以，易知二面角的平面角为钝角，
所以二面角的余弦值为．
20. 某校20名学生的数学成绩和知识竞赛成绩如下表：
学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
数学成绩 100 99 96 93 90 88 85 83 80 77
知识竞赛成绩 290 160 220 200 65 70 90 100 60 270
学生编号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
数学成绩 75 74 72 70 68 66 60 50 39 35
知识竞赛成绩 45 35 40 50 25 30 20 15 10 5
计算可得数学成绩的平均值是，知识竞赛成绩的平均值是，并且，，．
（1）求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数（精确到）．
（2）设，变量和变量的一组样本数据为，其中两两不相同，两两不相同．记在中的排名是第位，在中的排名是第位，．定义变量和变量的“斯皮尔曼相关系数”（记为）为变量的排名和变量的排名的样本相关系数．
（i）记，．证明：．
（ii）用（i）的公式求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”（精确到）．
（3）比较（1）和（2）（ii）的计算结果，简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势．
注：参考公式与参考数据．；；．
【答案】（1）0.70
（2）（i）证明见解析；（ii）
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用相关系数的公式进行计算即可；
（2）（i）根据题意即相关系数的公式进行计算即可证明；（ii）利用表格写出对应的与 得值，然后用“斯皮尔曼相关系数”的公式进行计算即可；
（3）只要能说出斯皮尔曼相关系数与一般的样本相关系数相比的优势即可
【小问1详解】
由题意，这组学生数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数为
【小问2详解】
（i）证明：因为和都是1，2，，的一个排列，所以
，
，
从而和的平均数都是．
因此，，
同理可得，
由于，
所以；
（ii）由题目数据，可写出与的值如下：
同学编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
数学成绩排名 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
知识竞赛成绩排名 1 5 3 4 9 8 7 6 10 2
同学编号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
数学成绩排名 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
知识竞赛成绩排名 12 14 13 11 16 15 17 18 19 20
所以，并且．
因此这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的斯皮尔曼相关系数是
【小问3详解】
答案①：斯皮尔曼相关系数对于异常值不太敏感，如果数据中有明显的异常值，那么用斯皮尔曼相关系数比用样本相关系数更能刻画某种线性关系；
答案②：斯皮尔曼相关系数刻画的是样本数据排名的样本相关系数，与具体的数值无关，只与排名有关．如果一组数据有异常值，但排名依然符合一定的线性关系，则可以采用斯皮尔曼相关系数刻画线性关系．
【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
21. 动圆与圆：外切，与圆：内切.
（1）求动圆的圆心的轨迹方程；
（2）直线：与相交于两点，过上的点作轴的平行线交线段于点，直线的斜率为（O为坐标原点），若，判断是否为定值？并说明理由.
【答案】（1）；
（2）为定值，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）设动圆的半径为，由题可知，，结合椭圆的定义即可得解；
（2）由题意可得，联立直线：与椭圆方程，得到两根之和、两根之积，代入化简得，又因为在椭圆上，所以，代入化简得，从而得，，从而得结论.
【小问1详解】
解：设动圆的半径为，由题可知，，
从而，
所以圆心的轨迹是以为焦点的椭圆，轨迹方程为；
【小问2详解】
由可知平分，直线的斜率互为相反数，即，
设，
由得，，
由韦达定理可得：，，
而，
则，
即
，
于是
，
化简得： ，
且又因为在椭圆上，即 ，
即，，
从而，，
又因为不在直线上，则有，
即 ，
所以为定值，且.
【点睛】方法点睛：定值问题常见方法：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
(2)直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
22. 设．
（1）当时，求在上的最大值：
（2）若对任意恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用导数求出函数在上的最大值.
（2）对给定不等式作恒等变形，由可得，令，再利用导数证明恒成立即可.
【小问1详解】
当时，，求导得，显然函数在上递增，
而，则存在，使得，
当时，，函数递减，当时，，递增，
又，所以.
【小问2详解】
不等式对任意恒成立，即
对任意恒成立，当时，有，
令，即有，原不等式等价于，
令，当时，，当时，，
于是函数在上递增，在上递减，
①当时，恒成立，则恒成立，
②当时，在上递增，，
于是只需成立，即成立，
令，
求导得，，当时，，
则，
而，则，
因此在上单调递减，恒成立，即成立，
当时，令，求导得，函数在上递增，
有，即有，
，
因此在上单调递增，恒成立，即成立
从而当时，对任意恒成立，
所以的取值范围是.
【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.
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