卷子答案网-一个不只有答案的网站2023年吉林省长春市九台区中考数学一模试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图是由一个长方体和一个正方体组成的零件，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
2．2022年10月12日，“天空课堂”第三课顺利开讲，感受航天科技魅力，激发青少年探索宇宙的奥秘，其中水球变“懒”实验，当天在新华网上点击率约达到13000次，数据13000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．不等式的解集是（ ）．
A． B． C． D．
4．如图，数轴上A ，B两点表示的数分别为1和，点B是线段AC的中点则点C所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图是小夏同学家的衣架示意图．已知，，则衣架的宽为（ ）
A． B． C． D．
6．在△ABC中，∠BAC=90°，AB>AC，∠C≠60°，用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使AD=BD，下列作法正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，四边形内接于，，，则的半径为（ ）
A．4 B． C． D．
8．如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为6，则k的值是（ ）
A．6 B．﹣6 C．12 D．﹣12
二、填空题
9．因式分解：______．
10．关于x的方程有两个相等的实数根，则_____．
11．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三．问人数羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱．问人数、羊价各是多少？根据题意，可求得合伙买羊的是______人．
12．如图，Rt△ABC中，AB=AC，BC=2，以点C为圆心，CA长为半径画弧交BC于点D．则图中弧AD的长为____(结果保留π)．
13．如图，已知矩形，，，在其矩形内部有三个小矩形，则这三个小矩形的周长之和为______．
14．如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B(点A在点B左侧)，根据对称性△AMB恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB为直角三角形时，就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”．如图2，则抛物线y＝x的“完美三角形”斜边AB的长________．
三、解答题
15．先化简，再求值：，其中．
16．明明家客厅里装有一种开关（如图所示），从左到右依次分别控制着A（楼梯），B（客厅），C（走廊），D（洗手间〉四盏电灯，按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯．
(1)若明明任意按下一个开关，则下列说法中，正确的是_______（填字母）．
A．打开的一定是楼梯灯；B．打开的可能是卧室灯；C．打开的可能是客厅灯；D．打开走廊灯的概率是．
(2)若任意按下一个开关后，再按下另三个开关中的一个，则客厅灯和走廊灯亮的概率是多少？请用树状图法或列表法加以说明．
17．秋收时节，为确保小麦颗粒归仓，某农场安排A，B两种型号的收割机进行小麦收割作业．已知一台A型收割机比一台B型收割机平均每天多收割2公顷小麦，一台A型收割机收割15公顷小麦所用时间与一台B型收割机收割9公顷小麦所用时间相同．求一台A型收割机和一台B型收割机平均每天各收割小麦多少公顷．
18．如图是边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中画图，按步骤完成下列问题：
(1)在图1中，画出点，使得四边形是平行四边形；
(2)在图2中，在边上找点，使得的面积是面积的；
(3)在图3中，在边上找点，使得．
19．如图，在四边形中，，过点作的角平分线交于点，连接交于点，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，的周长为36，求菱形的面积．
20．国家航天局消息：北京时间2022年12月4日，神州十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神州十四号载人飞行任务取得圆满成功．某中学科技兴趣小组为了解本校学生对航天科技的关注程度，在该校内进行了随机调查统计，将调查结果分为不关注、关注、比较关注、非常关注四类，回收、整理好全部调查问卷后，得到下列不完整的统计图：
(1)此次调查中接受调查的人数为________人，扇形统计图中，“关注”对应扇形的圆心角为_________；
(2)补全条形统计图；
(3)该校共有900人，根据调查结果估计该校“关注”，“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数共多少人？
21．近年，净月潭公园将环潭公路改造为东北三省最长的人车分离彩色环保公路，平坦宽敞的路面分橙、黑两色，拓宽了原有的人行步道，成为市民健身的好去处，小明和爸爸参加了此公园举办的“亲子健身赛”，两人的行程y(千米)随时间x(时)变化的图象(全程)如图所示．
(1)两人出发后______小时相遇，此次“亲子健身赛”的全程是______千米．
(2)求出AB所在直线的函数关系式．
(3)若小明想和爸爸一起到达终点，则需在两人出发1.5小时后，将速度调整为______千米/时．
22．（1）用数学的眼光观察世界
操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，．根据以上操作，当点在上时，______°．
（2）用数学的思维分析世界
将矩形纸片换成正方形纸片，按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接．如图2，当点在上时，易得．
若改变点在上的位置（点不与点，重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由．
（3）用数学的语言描述世界
在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，的长为______．
23．如图，在中，，，，点D为边的中点．动点Р从点A出发，沿折线向点C运动，点P在AB上以每秒1个单位长度的速度运动，在上以每秒个单位长度的速度运动，在点P运动过程中，连接，将沿翻折得到．设点P的运动时间为t秒．
(1)的长为__________．
(2)用含t的代数式表示线段的长；
(3)当最短时，求的面积．
(4)当四边形为中心对称图形时，直接写出的值．
24．在平面直角坐标系中，抛物线（b、c是常数）经过点，点．点A在抛物线上，且点A的横坐标为．以点A为中心，构造正方形，，且轴．
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)若点B是抛物线上一点，且在抛物线对称轴右侧．过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连结．当时，求点B的坐标；
(3)若，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，求m的取值范围；
(4)当抛物线与正方形的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为时，直接写出m的值．
参考答案：
1．B
【分析】根据主视图的定义即可得．
【详解】解：从正面看，下面长方体的主视图是一个长方行，上面正方体的主视图是一个正方形，且正方形位于长方形的右侧，
观察四个选项可知，只有选项B符合，
故选：B．
【点睛】本题考查了主视图，熟练掌握定义是解题关键．
2．B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【详解】解：．
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键．
3．D
【分析】直接移项、合并同类项、不等号两边同时除以4即可求解．
【详解】解：4x 1<0
移项、合并同类项得：4x<1
不等号两边同时除以4，得：x<
故选：D．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，掌握不等式的基本性质是解题的关键．
4．C
【分析】先求出，根据中点的性质得到，然后求出点C到原点的距离，即可得到点C表示的数；
【详解】∵数轴上A ，B两点表示的数分别为1和，
∴，
∵点B是线段AC的中点，
∴，
∴，
∴点C表示的数为；
故选C．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴的关系，数轴上两点之间的距离计算，准确计算是解题的关键．
5．B
【分析】如图，过点作于点，根据等腰三角形三线合一的性质，得，再根据余弦值的定义，，进而解决此题．
【详解】过点作于点，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：B
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、余弦值的定义，熟练掌握等腰三角形的性质、余弦值的定义是解决本题的关键．
6．D
【分析】根据“要在BC边上找一点D，使AD=BD”知点D应该是线段AB垂直平分线与BC的交点，据此求解即可．
【详解】解：A、由作图知，AD⊥BC，不能得到AD=BD，故该选项不符合题意；
B、由作图知，AD平分∠BAC，不能得到AD=BD，故该选项不符合题意；
C、由作图知，CA=CD，不能得到AD=BD，故该选项不符合题意；
D、由作图知，点D是线段AB垂直平分线与BC的交点，根据直角三角形斜边中线的性质知AD=BD，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查作图—基本作图，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的尺规作图和性质．
7．B
【分析】先根据圆内接四边形对角互补得出，由圆周角定理得出，根据可得出答案．
【详解】连接，，
∵四边形内接于，
∴
∴
由勾股定理得：
∵，
∴
∴的半径为：
故选：B．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角与圆心角的关系，解题的关键是熟练运用相关定理．
8．D
【分析】根据三角形面积公式求出k的值即可．
【详解】∵△ABC的面积为6
∴
解得
故答案为：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何问题，掌握反比例函数的解析式、三角形面积公式是解题的关键．
9．y（x+2）（x-2）
【分析】先提取公因式y，再利用平方差公式分解因式即可
【详解】解：x2y﹣4y=y（x2﹣4）=y（x﹣2）（x+2）．
故答案为：y（x﹣2）（x+2）．
【点睛】题目主要考查提公因式法与公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．
10．
【分析】根据一元二次方程有两个相等实数根的条件得判别式等于零即，得关于m的方程，从而求解之．
【详解】解：将关于x的方程变形，
得：，
上述方程有两个相等的实数根，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解此题的关键．
11．24
【分析】设合伙买羊的是x人，根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱”，即可得出关于x的方程，此题得解．
【详解】解：合伙买羊的是x人，
，
移项，得：，
合并，得：，
化系数为1，得：，
故答案为：24．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．
12．．
【分析】先根据等腰直角三角形的性质可得∠C=45°和AC=2，然后再根据弧长公式计算即可．
【详解】∵Rt△ABC中，AB=AC，
∴∠C=45°．
∵BC=2，
∴AC=BC×cos∠ACB==2，
∴弧AD的长为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查弧长公式，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
13．
【分析】根据平移的性质，可知三个矩形的周长等于矩形的周长．
【详解】如图所示：
三个小矩形的周长等于矩形的周长
∴三个小矩形的周长等于
故答案为：．
【点睛】本题考查生活中的平移现象，掌握平移的性质是正确解题的关键．
14．2．
【分析】过点B做BN⊥x轴于N，得到△BON是等腰直角三角形，设点B坐标为（n，n），根据点B在抛物线y＝x上，求出点B坐标为（1，1），点A坐标为（-1，1），问题得解．
【详解】解：过点B做BN⊥x轴于N，
由题意得△AOB为等腰直角三角形，
∴∠ABO=45°，
∵AB∥x轴，
∴∠BON=45°
∴△BON是等腰直角三角形，
设点B坐标为（n，n），
∵点B在抛物线y＝x上，
∴n=n
解得n=1，或n=0（不合题意，舍去），
∴点B坐标为（1，1），
∴点A坐标为（-1，1），
∴AB=2．
故答案为：2
【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，二次函数性质，理解“完美三角形”概念，根据题意得到△AOB为等腰直角三角形是解题关键．
15．，
【分析】利用平方差公式和完全平方公式，进行化简，再代入求值，即可求解．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查整式的化简求值，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
16．(1)C
(2)，见解析
【分析】（1）由题意，根据概率公式求解即可；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与正好客厅灯和走廊灯同时亮的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】（1）解：明明家客厅里装有一种开关（如图所示），从左到右依次分别控制着A（楼梯），B（客厅），C（走廊），D（洗手间〉四盏电灯，按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，
明明任意按下一个开关，打开楼梯灯、客厅灯、走廊灯、洗手间灯的概率均为，不可能打开卧室灯，
故答案为：C．
（2）解：画树状图得：
共有12个等可能的结果，客厅灯和走廊灯亮的结果有2个，
．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．熟记求随机事件的概率公式是解题的关键．
17．一台A型收割机平均每天收割小麦5公顷，则一台B型收割机平均每天收割小麦3公顷
【分析】设一台A型收割机平均每天收割小麦x公顷，则一台B型收割机平均每天收割小麦公顷，根据“一台A型收割机收割15公顷小麦所用时间与一台B型收割机收割9公顷小麦所用时间相同”，列出方程，即可求解．
【详解】解：设一台A型收割机平均每天收割小麦x公顷，则一台B型收割机平均每天收割小麦公顷，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：一台A型收割机平均每天收割小麦5公顷，则一台B型收割机平均每天收割小麦3公顷．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系，列出方程是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据平行四边形的判定画出图形即可．
（2）取格点，，连接交于点，连接，点即为所求．
（3）取格点，，，连接，交于点，连接交于点，点即为所求．
【详解】（1）解：如图1所示，平行四边形即为所求；
（2）解：如图2所示，点即为所求；
（3）解：如图3所示，点即为所求；
【点睛】本题考查了作图-应用与设计，平行四边形的判定，三角形的面积，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19．(1)见解析
(2)96
【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再证明即可；
（2）根据周长36求出的长，再根据勾股定理求出的长，然后根据菱形面积等于对角线乘积的一半计算即可．
【详解】（1）∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）如图，∵四边形是菱形，
∴，，，，
∵的周长为36，
∴，
即．
在中，，由勾股定理得，
∴，即，
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，以及菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键．
20．(1)50，
(2)见解析
(3)828人
【分析】（1）利用“频数÷频率=总数”，求得接受调查的总人数，圆心角等于乘以该部分所占总体的百分比；
（2）有（1）求得总人数，用总人数减去“不关注”、“关注”、“比较关注”的人数即“非常关注”的人数，进而补全条形统计图可；
（3）利用样本评估总体的方法即可求解．
【详解】（1）解：此次调查中接受调查的人数为（人），
“关注”对应扇形的圆心角为，
故答案为：50，；
（2）解：由（1）知总人数为50人，
“非常关注”的人数为（人），
补全条形统计图如下：
（3）解：由题意得：（人），
答：估计该校“关注”、“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数共828人．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图综合、求扇形的圆心角、利用样本估计总体，从条形统计图和扇形统计图中获取信息和数量间的关系，熟练利用样本评估总体的方法是解题的关键．
21．(1)1，20
(2)
(3)16
【分析】（1）观察图象，两个图象交点即为两人相遇，由图象即可得相遇的时间；由图象可求得爸爸到达终点的速度及时间，从而可求得全程；
（2）由图象知，直线AB过(0.5，8)及(1，10)两点，用待定系数法即可求得解析式；
（3）由（2）中的函数解析式可知行驶1.5小时后，小明所行驶的路程及离终点的距离，从而可求得小明应调整的速度．
【详解】（1）观察图象知，两人1小时后相遇，此时两人都行驶了10千米，则爸爸的速度为10÷1=10（千米/时），由图象知，爸爸全程行驶了2小时，则全程长为：10×2=20（千米）
故答案为：1，20
（2）设直线AB的解析式为
由图象知，直线AB过(0.5，8)及(1，10)两点，把这两点的坐标分别代入得：
解方程组得：
∴直线AB的解析式为
（3）当x=1.5时，
∴当小明1.5小时后行驶了12千米，此时离终点还有：20 12=8（千米）
由题意知，小明还要行驶2 1.5=0.5小时，才能和爸爸同时到达终点
∴小明的速度应为：8÷0.5=16（千米/时）
故答案为：16
【点睛】本题考查了函数图象，待定系数法求一次函数解析式，正确理解题意，并从函数图象中获取信息是解题的关键．
22．（1）30；（2），理由见解析；（3）或
【分析】（1）根据折叠的性质，得，解直角三角形得到 ，进而可得；
（2）只需要证明，即可证明；
（3）由（2）可得，分两种情况：当点Q在点F的下方时，当点Q在点F的上方时，设分别表示出PD，DQ，PQ，由勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）解：由折叠的性质可知，，
∴，
∵， ，
∴，
∵，
∴，
故答案为：30；
（2），理由如下；
∵四边形是正方形，
∴，
由折叠的性质可知，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）如图③所示，当点Q在F点下方时，
∵
∴，，
由（2）可知，，
∴，
设，则
∵，
即
解得：
∴；
如图④所示，当点Q在F上方时，
∵
，，
同理可得，
设，则
∵，
∴，
解得
∴．
综上所述，的长为或．
【点睛】本题主要考查矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、全等三角形的性质与判定，三角函数等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
23．(1)
(2)当时，；当时，；
(3)
(4)t的值为2或；
【分析】（1）利用勾股定理求解即可；
（2）分两种情形：点P在线段上，点P在线段上两种情形，分别求解即可；
（3）由题意得，点在以点O为圆心，为半径的圆上，利用勾股定理求得的长，得到是等腰直角三角形，据此即可求解；
（4）分两种情形：当点P与点B重合时，四边形是正方形，是中心对称图形，满足条件，此时．当四边形是菱形时，过点A作于点H．此时．利用勾股定理以及面积法求出，可得结论．
【详解】（1）解：在中，，，，
∴，
故答案为：；
（2）解：当时，；
当时，；
（3）解：如图，由题意得，点在以点O为圆心，为半径的圆上，
当点在线段上时，最短，
此时，，，
，
∴，
∴是等腰直角三角形，且，
的面积；
（4）解：如图中，当点P与点B重合时，四边形是正方形，是中心对称图形，满足条件，此时．
如图中，当四边形是菱形时，过点A作于点H．此时．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述，满足条件的t的值为2或．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了中心对称图形，翻折变换，勾股定理，点和圆的位置关系等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
24．(1)
(2)
(3)或
(4)，，
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求得抛物线对称轴为，由对称性求得，进而可求点坐标；
（3）由题意可得在轴上，则、的横坐标为，画出草图，易知当抛物线在正方形内部y随x增大而增大时，在对称轴的右侧，即；当抛物线在正方形内部y随x增大而减小时，在抛物线与轴的交点上方，即，；即可求解；
（4）分两种情况：（Ⅰ）当点在轴左侧时，（Ⅱ）当点在轴右侧时，根据交点个数，正方形的性质以及点的坐标位置，利用数学结合即可求解．
【详解】（1）解：∵过，
∴解得
∴；
（2）由题意可得：抛物线对称轴抛物线对称轴为，
又∵轴点B在抛物线对称轴右侧，
∴，
∴，
∴；
（3）作，，，
由正方形的性质可得：，，
∵，
∴，即，
∴在轴上，
∵，
∴、的横坐标为，
，
，
，
∵，当抛物线在正方形内部y随x增大而增大时，在对称轴的右侧，如图，
即：，
∴
当抛物线在正方形内部y随x增大而减小时，在抛物线与轴的交点上方，如图，
当时，，即
∴，
∴或（舍），
∴，
综上，或；
（4）（Ⅰ）当点在轴左侧时，即：，设正方形与抛物线的交点分别为，，
①当在抛物线与轴的交点上方，即当时，抛物线与正方形的边只有2个交点，
∵交点的纵坐标之差为，即：，
∴，
∵；
与矛盾，故不符合题意；
②当在抛物线与轴的交点下方，经过抛物线顶点上方时，抛物线与正方形的边有4个交点，故不符合题意；
③当经过抛物线顶点时，抛物线与正方形的边有3个交点，故不符合题意；
④当经过抛物线顶点下方，在抛物线与轴的交点上方，即：，亦即，此时抛物线与正方形的边只有2个交点,其中一个交点为；
则：，解得：或（舍去）
⑤当在抛物线与轴的交点下方，在抛物线的下方时，即：，即：，此时抛物线与正方形的边只有2个交点，
，，则，
则，即，解得：，
⑥当在抛物线与轴的交点下方，在抛物线的上方时，即：，即：，由①可知，两者矛盾，故不符合题意；
（Ⅱ）当点在轴右侧时，即：，设正方形与抛物线的交点分别为，，此时此时抛物线与正方形的边只有2个交点，
∵交点的纵坐标之差为，即：，
∴，
∵；
综上，，，．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，二次函数的对称性，正方形的性质，掌握二次函数图像的性质，运用数形结合的思想是解决问题的关键．
试卷第1页，共3页
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