卷子答案网-一个不只有答案的网站四川省十校联盟2022-2023学年高三下学期4月信心卷（六）数学（文）试题
一、单选题
1．设i为虚数单位，复数z在复平面内对应的点为，则（ ）
A． B． C．2 D．3
2．已知集合，则满足条件的集合的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征．已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
4．折扇在我国已有三千多年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄 决胜千里 大智大勇的象征（如图1），图2为其结构简化图，设扇面A，B间的圆弧长为，A，B间的弦长为d，圆弧所对的圆心角为（为弧度角），则 d和所满足的恒等关系为（ ）
A． B．
C． D．
5．从正方体的面对角线中任取条，所在直线所成角为的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．某乡镇为推动乡村经济发展，优化产业结构，逐步打造高品质的农业生产，在某试验区种植了某农作物．为了解该品种农作物长势，在实验区随机选取了100株该农作物苗，经测量，其高度（单位：cm）均在区间内，按照，，，，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，记高度不低于16cm的为“优质苗”．则所选取的农作物样本苗中，“优质苗”株数为（ ）
A．20 B．40 C．60 D．88
8．过点 的直线与曲线交于两点，且满足，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数在上单调，则（ ）
A．的最小正周期是 B．的图象关于直线对称
C．的图象关于点对称 D．在上单调递增
10．已知实数，…，对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
12．若对任意，不等式恒成立，则实数a的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知向量，，且，则______．
14．已知圆，过原点的直线与圆C有公共点，则直线斜率的范围为______．
15．的内角，，所对的边分别为，，.已知，且，有下列结论：
①；
②；
③，时，的面积为；
④当时，为钝角三角形.
其中正确的是__________．（填写所有正确结论的编号）
16．已知圆柱的两个底面的圆周都在表面积为的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为__________．
三、解答题
17．为了纪念建党100周年，某班举行党史知识答题竞赛，其中，两组各6名同学的答题成绩的统计数据茎叶图如下，茎叶图中有一个数字记录模糊，无法辨认，用“”表示.
（1）若组同学的平均成绩大于组同学的平均成绩，分别求，两组同学成绩的中位数；
（2）若，两组同学的平均成绩相同，分别求出，两组同学成绩的方差和，并由此分析两组同学的成绩；
（3）若从组6名同学中，随机选取3名同学参加学校红歌合唱，求选取的3名同学中既有成绩在分，又有成绩在分的概率.
18．已知数列满足.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设，证明：.
19．如图，正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将，分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点P，过P作，垂足为H．
(1)证明：平面BFDE；
(2)若四棱锥的体积为12，求正方形的边长．
20．已知椭圆，其长轴长是焦距的2倍，短轴的一个端点到右顶点的距离为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点的直线l与椭圆C相交于M，N两点，点，若，求的面积．
21．已知函数，其中，．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若方程恰有两个不相等的实数根，求的取值范围．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆的交点为A（，），角终边与单位圆的交点为B（，）
(1)若，求的范围；
(2)若点B的横坐标为，求点A的纵坐标.
23．已知存在，使得成立，，.
(1)求的取值范围；
(2)求的最小值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】由坐标写出复数，结合复数运算化简求模即可.
【详解】由复数的几何意义得，所以．
故选：A.
2．C
【分析】先求出集合,再列举出集合得解.
【详解】解：由题得，
易知.
因为，所以根据子集的定义，集合必须含有元素1,2，
所以.
故选:C
3．A
【分析】根据图象过点可排除CD；再根据函数为奇函数可得答案.
【详解】由函数图象可知，而，故排除C；
而D中，故排除D；
其对应的函数的图象关于原点对称，所以为奇函数，
对于B，，，所以为偶函数，故B错误；
对于A，，，且，
故A正确；
故选：A.
4．A
【分析】先用表示出d和，进而求得的值.
【详解】过点O作于D，则，
则，
则
故选：A
5．D
【分析】计算出与成角的面对角线的条数，结合组合计数原理以及古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】正方体的面对角线共条，易知、均为等边三角形，
因为，，，，
所以，在正方体中，与成角的面对角线共条，
因此，所求概率为.
故选：D.
6．B
【分析】由条件结合商的关系可得，利用诱导公式和同角关系将所求表达式化为由表示的形式，代入条件即可求值.
【详解】由，显然，可得
因为，
所以，
所以，
故选：B.
7．C
【分析】根据频率分布直方图计算出“优质苗”的占比,再乘以100可得结果
【详解】由频率分布直方图可知，“优质苗”的占比为，
因此，所选取的农作物样本苗中，“优质苗”株数为.
故选：C.
8．B
【分析】根据曲线的解析式得到曲线为半圆，然后结合图象得到直线的斜率的范围，根据得到，然后列方程求解即可.
【详解】
曲线，可整理为，所以曲线为半圆，图象如上所示，，，直线与曲线有两个交点，所以直线的斜率，
取中点为，连接，，所以，
设直线的方程为，则，，，，
因为，所以，，解得或1（舍去）.
故选：B.
9．C
【分析】利用正弦型函数的单调性求出的值，结合正弦型函数的周期公式可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断BC选项；利用正弦型函数的单调性可判断D选项.
【详解】对于A选项，，当时，，
因为函数在上单调，则，解得，
，则，所以，，
故函数的最小正周期是，A错；
对于B选项，，故的图象不关于直线对称，B错；
对于C选项，，故的图象关于点对称，C对；
对于D选项，当时，，
所以，在上单调递减，D错.
故选：C.
10．A
【分析】将原不等式变化为，令，则在上单调递增，故有，即有，，令，求出令的最小值即可得答案.
【详解】解：因为，
所以，
即，
即，
所以，
令，
易知在上单调递增，
又因为，
所以，
所以，
所以，
令，
则，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，
所以，
解得.
故选：A
【点睛】方法点睛：对于恒成立问题常用的方法有：(1)分离常数法，只需求出分离后的函数的最值即可；(2)直接利用导数求出函数的最值；(3)构造适当的函数，利用导数确定所构造的函数单调性，从而达到求解的目的.
11．D
【分析】利用三角函数定义和诱导公式六得出点与角的关系，再利用诱导公式一即可计算出结果.
【详解】因为，得到点在第四象限，即为第四象限角，
由三角函数定义得，
所以，
所以.
故选：D.
12．D
【分析】构造函数，通过的单调性证明，进而可得 ，接下来构造函数，通过，说明能够取到等号，即可求解的最大值.
【详解】，不等式
，
令，，
当时，，,当时，，所以在上单调递增，在单调递减，故,即对,恒有成立，
因此，当时，，当且仅当时取“”，
令，，，当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，（1），，（4），
即，使得，，使得，即有解，
因此，不等式中能取到等号，
所以的最小值为1，即，解得，
所以实数的取值范围是．
故选：D
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和不等式恒成立问题，考查了转化思想和函数思想，将不等式恒等变形为是本题的关键，构造两个函数和，通过求解不等式，通过说明等号成立.
13．3
【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得，解可得的值，即可得答案.
【详解】根据题意，向量，，
若，则，解得.
故答案为：3
14．
【分析】根据直线与圆的位置关系列不等式即得.
【详解】由圆，可得，圆C的圆心为，半径，
设直线l的方程为，则，
即，解得，
即直线斜率的范围为.
故答案为：.
15．①②④
【详解】，∴，
故可设，，，.，∴，
则，当时，，故为钝角三角形.
面，
又，∴.
，∴，即，∴.当，时，的面积为，故四个结论中，只有③不正确.填①②④．
【点睛】解三角形中运用正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式进边角互换及运算是常见题形，要注意三角形内角和为来减少角的个数，及两边之和大于第三边，两边第差小于第三边来构造不等关系是常用处理技巧．
16．
【分析】先求出半径，根据条件列出圆柱底面半径和母线的关系，即可得到侧面积表达式，然后用基本不等式即可求解最大值.
【详解】解：设球的半径为R，圆柱的底面半径为r，母线为l，
由题意可知，，
又圆柱的两个底面的圆周都在球面上，则满足，
而圆柱的侧面积，，
因为，当且仅当，即，时等号成立，
所以，，
故答案为：
17．（1）组的中位数为91.5，组的中位数为90；（2），，分析见解析；（3）.
【分析】（1）先求出组的平均数，设模糊数字对应的分数为，求出的范围，然后利用中位数的定义求解即可；
（2）求出组和组的平均数以及方差，由平均数和方差的意义进行分析即可；
（3）先列举出所有基本事件，再找出符合条件的基本事件数，利用古典概型的概率公式求解即可．
【详解】（1）组的平均分，
设模糊数字对应的分数为，因为组的平均成绩大于组的平均成绩，
即，，
所以组的中位数为，组的中位数为.
（2）由组的平均分与组的平均分相等，则模糊数字为6，对应分数为96，
∴.
，.
由于，，所以组和组的成绩整体水平相当，但组的成绩更稳定一些.
（3）组成绩在分同学分别记为，，成绩在分同学分别记为，，，.
随机选取3名同学参加学校红歌合唱包含基本事件：
，，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，，
有20种，其中既有成绩在分，又有成绩在分的共16种.
故概率.
18．(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）将配凑得，从而可得，根据等比数列的定义证明；（2）由（1）可得，从而得，再利用等比数列的求和公式计算，即可证明.
【详解】（1）由得：.
由可得，
数列是以为首项，为公比的等比数列
（2）由（1）得：.
，当且仅当时取等号
.
即.
19．(1)证明见解析；
(2)6.
【分析】（1）利用给定条件，证明PD⊥平面PEF，进而证得EF⊥平面PBD，再利用线面垂直的性质、判定推理作答.
（2）设正方形ABCD的边长为，利用a表示四棱锥的体积，即可计算作答.
【详解】（1）在正方形ABCD中，有AC⊥BD，又E，F分别是AB，BC的中点，有，则EF⊥BD，
依题意，连接EF，PD⊥PE，PD⊥PF，平面PEF，于是PD⊥平面PEF，
又平面PEF，则PD⊥EF，而平面PBD，因此EF⊥平面PBD，
又平面PBD，则有EF⊥PH，又PH⊥BD，EF，平面BFDE，且EF与BD相交，
所以PH⊥平面BFDE.
（2）令，正方形ABCD的边长为，则四边形面积，
依题意，，，，，
显然，即有PE⊥PF，则，
由（1）知PD⊥PQ，在直角中，由PH⊥DQ得：，
又由（1）知：PH⊥平面BFDE，因此，解得a=3，
所以正方形的边长为6．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列式运算求解，即可得结果；
（2）根据题意结合韦达定理可求得，再利用弦长公式求面积，注意讨论直线l的斜率是否存在.
【详解】（1）因为椭圆的长轴长是焦距的2倍，所以，即，
又短轴的一个端点到右顶点的距离为，所以，
则，所以，
故椭圆C的方程为．
（2）由（1）知椭圆C的方程为，
①当直线l的斜率不存在时，M，N为短轴的端点，不妨设，，
所以，，此时，不合题意；
②当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为，，，
联立方程，消去y并整理得，
则，，，
，
因为，则，
所以
，
因为，则，整理得，解得，
此时直线l的方程为，
所以，
点P到直线l的距离，
所以．
综上所述：的面积为.
【点睛】方法定睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法
（1）涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解；
（2）面积问题常采用×底×高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解；
（3）在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用.
21．(1)单调递减区间为，单调递增区间为
(2)
【分析】（1）直接通过求导判断单调区间即可；
（2）先对原方程进行同构变形，将换元后的方程通过构造函数求导判断其有唯一零点，从而将原方程简化为方程有两个不相等的实数解，最后对取对变换化简后的方程再构造函数，根据零点个数求参数的取值范围.
【详解】（1）当时，．∴．
∵，∴当时，；当时，．
∴函数单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）∵，，，
令，则．
令，则．
∴当时，；当时，．
∴函数在上单调递增，在上单调递减．
∵，∴方程有唯一解．
∴方程有两个不等的实数解等价于方程有两个不相等的实数解．
等价于方程有两个不相等的实数解．
构造函数，则．
∵，∴当时，；当时，．
∴函数在上单调递增，在上单调递减．
∵，；，．
∴只需要，即．
构造函数，则．
∴当时，；当时，．
∴函数在上单调递减，在上单调递增．
∵，∴当时，恒成立．
∴的取值范围为．
【点睛】当原方程或不等式较为复杂，但同时含有指数式和对数式时，可以尝试对原方程或不等式进行同构变形并换元，再对其进行构造函数求导研究，可以将过程大大简化.
22．(1)
(2)
【分析】（1）由题可得，结合及正弦函数单调性可得答案.
（2）由题可得，则，据此可得答案.
【详解】（1）由题意.
则
.
由可得，又在上单调递增，在上单调递减，则，即的范围是；
（2）由题得.
则
==.
所以点.A的纵坐标为
23．(1)
(2)
【分析】（1）利用绝对值不等式即可；
（2）利用柯西不等式即可.
【详解】（1）由题意，知.
因为存在，使得，
所以只需，即的取值范围是.
（2）由柯西不等式，得，
当，时，取得最小值.
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