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数学试卷
一.仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．射击运动员射击一次，命中10环
B．在一个只装有白球的袋中摸出红球
C．a是实数，|a|≥0
D．一个三角形的三个内角的和大于180°
2．（3分）已知点P到圆心O的距离为5，若点P在圆内，则⊙O的半径可能为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（3分）已知2a＝3b，则下列比例式错误的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
4．（3分）把二次函数y＝﹣x2的图象向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的图象对应的二次函数的关系式为（ ）
A．y＝﹣（x+1）2+3 B．y＝﹣（x+1）2﹣3
C．y＝﹣（x﹣1）2﹣3 D．y＝﹣（x﹣1）2+3
5．（3分）如图，在四边形ABCD中，已知∠ADC＝∠BAC，那么补充下列条件后不能判定△ADC和△BAC相似的是（ ）
A．CA平分∠BCD B．∠DAC＝∠ABC
C．AC2＝BC CD D．
6．（3分）如图，DE∥BC，BD：CE＝4：3，AD＝12，则AE的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
7．（3分）如图，OA是⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D，则AD与BD的大小关系（ ）
A．AD＞BD B．AD＝BD C．AD＜BD D．无法判断
8．（3分）小凯在画一个开口向下的二次函数图象时，列出如下表格：
x … ﹣1 0 1 2 …
y … 3 2 3 3 …
发现有一对对应值计算有误，则错误的那一对对应值所对的坐标是（ ）
A．（﹣1，3） B．（0，2） C．（1，3） D．（2，3）
9．（3分）如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．若点D与圆心O不重合，∠BAC＝24°，则∠DCA的度数为（ ）
A．40° B．41° C．42° D．43°
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A（x1，y1），B（1﹣m，n），C（x2，y2），D（m+5，n），若|x1﹣3|≥|x2﹣3|，则下列表达式正确的是（ ）
A．对于任意a（a≠0），a（y1﹣y2）≥0恒成立
B．不存在实数a，使得y1﹣y2＞0成立
C．存在实数a，使得a（y1﹣y2）＜0成立
D．对于任意a（a≠0），y1﹣y2≥0恒成立
二.认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）欢欢将杭州高新实验学校的二维码打印在面积为900cm2的正方形纸上，如图所示，为了估计图中黑色部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的面积约为 cm2．
12．（4分）抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点坐标 ．
13．（4分）如图是一个圆柱形的玻璃保温水杯，将其横放，截面是个半径为5cm的圆，杯内水面AB＝8cm，则水的最大深度CD是 cm．
14．（4分）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为8cm，那么AP的长度为 cm．
15．（4分）如图，图1是由若干个相同的图2组成的图案，在图2中，已知半径OA＝18cm，∠AOB＝150°，则图2的周长为 cm（结果保留π）．
16．（4分）如图，正方形ABCD和等边△AEF都内接于圆O，EF与BC，CD别相交于点G，H．若AE＝6，则⊙O的半径长为 ；EG的长为 ．
三.全面答一答（本题有8个小题，共66分）
17．（6分）如图，在直径60mm的圆铁片上切下一块高为15mm的弓形铁片．
（1）用直尺和圆规作出弧AB的中点D．
（2）求这块弓形铁片的面积．
18．（6分）一个不透明的口袋中有4个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数﹣1，2，﹣3，4．摇匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的3个球中任意摸出1个球．
（1）用列表或画树状图的方法表示两次摸球的情况；
（2）求乒乓球球面上的数之和是正数的概率．
19．（6分）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹．
（1）在图①中以线段AD为边画一个三角形，使它与△ABC相似；
（2）在图②中画一个三角形，使它与△ABC相似（不全等）；
（3）在图③中的线段AB上画一个点P，使．
20．（6分）如图，在矩形ABCD中，E是边BC的中点，DF⊥AE于点E．
（1）求证：；
（2）若AB＝4，BC＝6，求AF的长．
21．（8分）如图1，已知AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，AB＝10，点D是⊙O一动点（点D不与点A，B重合）．
（1）若BC＝CD，连结AD，CD，OC，求证：OC∥AD；
（2）如图2，若CD平分∠ACB，连结AD，求AD的长．
22．（12分）在平面直角坐标系中．设函数y＝（x﹣a）（x﹣a﹣5）+4，其中a为常数，且a≠0．
（1）当x＝3，y＝4时，求a的值．
（2）若函数的图象同时经过点（b，m）、（4﹣b，m），求a的值．
（3）已知点（1，y1）和（2，y2）在函数的图象上，且y1＜y2，求a的取值范围．
23．（10分）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计警戒线之间的宽度？
素材1 图1为某公园的抛物线型拱桥，图2是其横截面示意图，测得水面宽度AB＝24米，拱顶离水面的距离为CD＝4米．
素材2 拟在公园里投放游船供游客乘坐，载重最少时，游船的横截面如图3所示，漏出水面的船身为矩形，船顶为等腰三角形．如图3，测得相关数据如下：EF＝EK＝1.7米，FK＝3米，GH＝IJ＝1.26米，FG＝JK＝0.4米．
素材3 为确保安全，拟在石拱桥下面的P，Q两处设置航行警戒线，要求如下：①游船底部HI在P，Q之间通行；②当载重最少通过时，游船顶部E与拱桥的竖直距离至少为0.5米．
问题解决
任务1 确定拱桥形状 在图2中建立合适的直角坐标系，并求这条抛物线的函数表达式．
任务2 设计警戒线之间的宽度 求PQ的最大值．
24．（12分）如图，点P是等边三角形ABC中AC边上的动点（0°＜∠ABP＜30°），作△BCP的外接圆交AB于点D．点E是圆上一点，且，连接DE交BP于点F．
（1）求证：BE＝BC；
（2）当点P运动变化时，∠BFD的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求∠BFD的度数．
（3）探究线段BF、CE、EF之间的数量关系，并证明．
2023-2024学年江苏省苏州市高新实验中学九年级（上）期中
数学试卷
参考答案
一.仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．C； 2．D； 3．D； 4．A； 5．C； 6．D； 7．B； 8．A； 9．C； 10．A；
二.认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．540； 12．（1，4）； 13．2； 14．（4﹣4）； 15．30π； 16．2； 3﹣；
三.全面答一答（本题有8个小题，共66分）
17．（1）见解答；
（2）（300π﹣225）mm2．； 18．（1）见解析；
（2）．； 19．（1）见解答．
（2）见解答．
（3）见解答．； 20．（1）证明见解答过程；
（2）AF＝．； 21．（1）证明见解析；
（2）5．； 22．（1）函数y的表达式y＝x2﹣x﹣2或y＝x2﹣11x+28；（2）a＝﹣；（3）a的取值范围a＜﹣1．； 23．任务1：y＝﹣x2+4；
任务2：PQ的最大值为16.6米．； 24．（1）见解答过程；
（2）∠BFD＝60°；
（3）见解答过程．；
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