卷子答案网-一个不只有答案的网站洛阳市2023-2024学年高二上学期11月期中考试
数学试卷
本试卷共4页，共150分.考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名 考号填写在答题卡上.
2.考试结束，将答题卡交回.
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线的一个方向向量是（ ）
A. B. C. D.
2.在正方体中，为上底面的中心，若，则实数的值分别为（ ）
A. B.
C. D.
3.“”是“直线与直线垂直”成立的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.如图，一座圆拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽12米，则当水面下降1米后，水面宽为（ ）
A.米 B.米 C.米 D.米
5.若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
6.已知直线，则的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.已知直线分别与轴交于两点，若直线上存在一点，使最小，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，二面角的棱上有两点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，则二面角的大小为（ ）
A. B. C. D.
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.在正方体中，分别是侧面，底面的中心，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.平面
C.异面直线与所成的角为
D.直线与平面所成的角为
10.直线与曲线恰有一个交点，则实数可以为（ ）
A.1 B.-1 C. D.
11.已知点为圆上的动点，且，若圆上存在点，使得，则的值可以是（ ）
A. B. C. D.
12.已知圆心为的圆与圆心为的圆相交于两点，则下列说法正确的是（ ）
A.直线的方程为
B.四个点在同一个圆上
C.四边形的面积为.
D.圆与圆围成的公共部分的面积为
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若圆关于直线对称，则__________.
14.已知直线在轴上的截距相等，则__________.
15.在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱，则的长为__________.
16.如图，四边形和均为正方形，且，平面平面分别为的中点，为线段上的动点，则异面直线与所成角的余弦值最大时，__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知直线和直线交于点，求满足下列条件的直线的方程.
（1）直线经过点，点；
（2），且与两坐标轴围成的三角形的面积为4.
18.（12分）
在棱长为2的正四面体ABCD中，
（1）设用，，表示；
（2）若求λ.
19.（12分）
已知的三个顶点分别是，圆是的外接圆.
（1）求圆的方程；
（2）求过点且与圆相切的直线的方程.
20.（12分）
在四棱柱中，底面，底面为平行四边形，.
（1）证明：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值.
21.（12分）
已知动点与两定点的距离之比为
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点作两条直线分别与轨迹相交于两点，若直线与的斜率之积为1，试问线段的中点是否在定直线上，若在定直线上，请求出直线的方程；若不在定直线上，请说明理由.
22.（12分）
在正方体中，点分别为底面内一动点，为的中点.
（1）如图1，若为的中点，求平面与平面的夹角的余弦值；
（2）如图2，若平面，求证：平面.
洛阳市2023-2024学年高二上学期11月期中考试
数学试卷参考答案
一 单选题
1-4BBCD 5-8ACAC
二 多选题
9.ABC 10.BC 11.AB 12.ABD
三 填空题
13.4 14.-2或1 15. 16.
四 解答题
17.解：（1）因为点在直线和直线上，
所以，解得.
故所求直线经过点，点，
其斜率为，点斜式方程为，
即所求直线的方程为.
（2）由（1）知，直线的方程为，
的直线方程可设为，
令，可得，令，可得，
则直线与两坐标轴的交点分别为
因为直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，所以，解得，
所求直线的方程为或.
18.解：因为，
所以，
则，
故.
（2）因为，所以，
在棱长为2的正四面体中，，
所以，
解得：.
19.解：（1）设圆的方程为，
因为在圆上，所以它们的坐标都满足圆的方程.
由，解得，
则圆的方程为.
（2）由（1）知圆的标准方程为，
故圆心坐标为，半径为5，
当直线斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离，此时直线和圆相切，
当直线斜率存在时，设切线方程为，即，
则圆心到直线的距离，平方整理得，
此时切线方程为，
综上，过点且与圆相切的直线方程为或.
20.解：（1）证明：平行四边形中，
，
则.
在中，.
由余弦定理知，
则，即.
又因为底面底面，所以，
又，所以平面.
（2）因为底面底面，
所以，
由（1）知，
以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立如图所示空间直角坐标系Dxyz.
则，
，
因此，
设平面的法向量为，
则，所以，
所以，取，则，
于是平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，
则，
即与平面所成的角的正弦值为.
21.解：（1）设点的坐标为，由题意知，
即，
平方整理得，
即动点的轨迹的方程为.
（2）设直线的方程为：，代入，
整理得，
因为点都在圆上，
所以，即，
此时.
因为直线与的斜率之积为1，
同理可得，
.
设的中点为，此时，则.
故线段的中点在定直线上.
22.解：（1）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.设正方体棱长为，则，
因为为的中点，所以.
则.
设平面的法向量为，则，
所以，
所以，取，则.
于是平面的一个法向量为.
因为，则平面，
所以平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则.
（2）设，由知，
，解得.
即，此时.
则.
由知，是共面向量，
又平面，则平面.
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