卷子答案网-一个不只有答案的网站2023-2024学年安徽省池州市贵池区高一上学期期中教学质量检测数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，有实数解”的否定形式是
( )
A. ，无实数解 B. ，有实数解
C. ，无实数解 D. ，无实数解
3.已知幂函数经过，则( )
A. 是偶函数，且在上是增函数
B. 是偶函数，且在上是减函数
C. 是奇函数，且在上是减函数
D. 是非奇非偶函数，且在上是增函数
4.王安石在游褒禅山记中说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”。从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的( )
A. 充分不必要条件 B. 既不充分也不必要条件
C. 充要条件 D. 必要不充分条件
5.下列函数中最小值为的是
( )
A. B. ，
C. 当时， D.
6.若，则下列不等式一定成立的是
( )
A. B. C. D.
7.关于的不等式在上恒成立，则的最大值为
( )
A. B. C. D.
8.已知函数满足对任意，当时，恒成立，，则不等式的解集为
( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列命题为假命题的是( )
A. 命题“函数，是偶函数”
B. “”是“”的充分必要条件
C. 二次函数的零点为和
D. “”是“”的既不充分也不必要条件
10.下列说法正确的有( )
A. 式子可表示自变量为、因变量为的函数
B. 已知，则的最小值为
C. 已知，则当时，单调递减
D. 与是同一函数
11.已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列说法一定正确的是
( )
A. 函数为偶函数 B. 函数的图象关于对称
C. D. 函数的图象关于对称
12.若关于的不等式的解集为，则的值可以是
( )
A. B. C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知函数的定义域为，则的定义域为__________ ．
14.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则_________．
15.已知，若，则的最小值为____________．
16.设函数的定义域为，满足，当时，，则 ；若对任意，都有，则的最大值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知集合，．
若，求
若，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知，且，证明：；
若，，是三角形的三边，证明：．
19.本小题分
已知：实数满足，：实数满足其中
若，且和至少有一个为真，求实数的取值范围；
若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
20.本小题分
已知函数是定义域为上的奇函数，且．
求的值，并用定义证明：函数在上是增函数；
若实数满足，求实数的范围．
21.本小题分
某地区为积极推进生态文明建设，决定利用该地特有条件将该地区打造成“生态水果特色地区”经调研发现：某珍惜果树的单株产量单位：千克与施用肥料单位：千克满足如下关系：肥料成本投入为元，其它成本投入元．已知这种水果的市场售价大约元千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为单位：元
写单株利润元关于施用肥料千克的关系式；
当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？
22.本小题分
；
．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了交集的定义及运算，属于基础题．
进行交集的运算即可．
【解答】
解：，，
．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查存在量词的题的否定，比较基础．
根据存在量词命题的否定即可得到结论．
【解答】解：因为存在量词命题的否定是全称量词命题，
所以“，有实数解”的否定是“，无实数解 ”．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了求幂函数的解析式，考查函数的奇偶性和单调性问题，是一道基础题．
设出幂函数的解析式，求出自变量的指数，从而求出函数的性质即可．
【解答】
解：设幂函数的解析式为：，将代入解析式得：
，解得，
，
则是偶函数，且在上是增函数．
4.【答案】
【解析】【分析】本题考查了充分，必要条件的定义，属于基础题．
根据充分，必要条件的定义以及题意判断“有志”与“能至”的关系，由此即可判断．
【解答】解：由题意可得“有志”不一定“能至”，
但是“能至”一定“有志”，
所以“有志”是“能至”的必要不充分条件，
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了基本不等式的性质以及特殊值法的应用，属于中档题．
由可判断，由基本不等式可判断，由特殊值可判断．
【解答】解：：，当时，，故A不正确
：当时，，当且仅当，即时取等号，的最小值为，B正确
：当时，，故C错误；
：，当且仅当 ，
即时取等号，不存在，D错误，
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了不等式性质，比较大小，属于基础题．
结合不等式性质对每个选项分析即可得到答案．
【解答】解：由题意，，
则，故A错误；
取，，则，，此时，故B错误；
因为，则，故，故C正确；
取，，可得，，此时，故D错误．
故选C．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查不等式恒成立问题及求最值问题及不等式的性质，属于中档题．
设，由已知可得，再令，易得，，即可求解的最大值．
【解答】
解：设，
因为不等式在上恒成立，
所以，
令，
则，
解得，，
所以，
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查抽象函数的单调性判断以及应用，属于中档题．
根据题意，设，，分析可得在上单调递减，则原不等式变形可得，结合的单调性分析可得答案．
【解答】
解：依题意对任意，当时，恒成立，
即对任意，，当时，恒成立，
设函数，可得，在上单调递减，
因为，所以等价于，
则，即．
故选D．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查判断命题的真假，涉及偶函数、充分、必要条件的判断和函数的零点，属于基础题．
对选项逐个判断即可．
【解答】
解：对于、定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数，故A是假命题；
对于、当时，也成立，故B是假命题；
对于、二次函数的零点为 和，故C是假命题；
对于、由推不出，如，，
反之，由也推不出，如，，
故“”是“”的既不充分也不必要条件，故 D是真命题
10.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查的是函数的概念，利用不等式性质求取值范围，函数的单调性，判断两个函数是否为同一函数，属于中档题．
利用函数的概念判断，利用不等式的性质求范围判断，利用函数的单调性判断，利用相等函数的概念判断．
【解答】解：对于，显然对于任意，都有唯一的，确定的与之对应，故式子可表示自变量为、因变量为的函数， A正确；
对于，由，则，
当且仅当，即，或，时，等号成立．
故的最小值为，B正确；
对于，当时，则，为常函数，C错误；
对于，与的定义域为，且解析式相同，则与是同一函数， D正确．
故选ABD．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数的奇偶性、周期性的应用，属于中档题．
根据题意结合函数性质，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
【解答】
解：由得，
所以，即函数的一个周期为，
由是偶函数得，
所以函数关于对称，
由得，
所以函数关于对称，B正确，D错误
由得，
所以函数为偶函数，A正确
由，令得，
又，所以，故C正确，
故选ABC．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查一元二次不等式的解集与对应二次方程根的关系，属于中档题．
由题意二次方程的两根为，，且的，求得，，的关系式，代入得解．
【解答】
解：因为关于的不等式的解集为，
所以二次方程的两根为，，且的，
由根与系数的关系可知
结合选项，的值可以是和．
故选BC．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查抽象函数的定义域，属于基础题．
根据题意得出，且，由此即可求出结果．
【解答】
解：函数的定义域为，
则对于函数，
应有，且，解得，
所以的定义域为．
故答案为．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用函数的奇偶性求函数值，属于基础题．
根据题意，求出的值，利用函数的奇偶性求出、的值，计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，当时，，
则，
又由为奇函数，
则，，
故．
故答案为．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查由基本不等式求最值或取值范围，属于基础题．
由，得出，利用基本不等式，即可求出结果．
【解答】
解：因为，，
，
当且仅当，即，时取“”，
所以的最小值为．
故答案为．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查求函数值、画具体函数图象、求具体函数的解析式，属于较难题．
根据已知条件，可得，即可求得的值同时根据已知条件可以依次得到，时对应函数的解析式，然后按照规律画出函数的图象，可根据不等式恒成立结合函数的图象即可求得的最大值．
【解答】
解：因为，
所以，
同时由可得，
又当时，，
当时，，
，
当时，，
，
当时，由，解得或，
当时，，
，
显然，当时，，如图：
对任意，都有，必有，
所以的最大值是．
故答案为；．
17.【答案】解：，
，
．
，
，
当时，，；
当时，
，
综上所述：．
【解析】本题考查集合的并集运算，考查了集合关系中的参数取值问题．
时，可求出，然后进行并集运算即可；
根据可得出，从而可讨论是否为空集：时，；时，，解出的范围即可．
18.【答案】证明：因为，则，
所以，
当且仅当，即，时，取等号，
所以成立；
证明：，，是三角形的三边，，，，．
．．
．
．．
．
同理可得，．
将三个不等式相加，得
．
．
．
【解析】本题考查不等式的证明，属于中档题．
利用基本不等式求最值进行证明即可；
本题考查不等式的证明，属于中档题．
根据三角形两边之和大于第三边，再结合不等式的性质进行证明即可；
19.【答案】解：当时，解不等式，得，则命题，
解不等式，得，则命题，
因为和至少有一个为真，于是或，即，所以实数的取值范围是．
由知，命题，
因为，由解得：，即命题，
因为是的充分不必要条件，
因此，即或，解得或，所以实数的取值范围是
【解析】本题考查了复合命题的真假，考查了充分必要条件，属于中档题．
将代入，求出关于，的范围，从而求出和至少有一个为真的范围；
由题意，是的充分不必要条件，可得不等式组，解出即可．
20.【答案】解：函数是定义域为上的奇函数，
，则，
，，
任取，，且，
，
，，
，，，，
函数在上是增函数．
，则，
函数是定义域为上的奇函数，且．
，
函数在上是增函数，
，解得．
故实数的范围是
【解析】本题考查函数单调性的证明，考查实数的取值范围的求法，考查运算求解能力，是中档题．由函数是定义域为上的奇函数，求出，从而，利用定义法能证明函数在上是增函数；
推导出，由函数在上是增函数，列出不等式组，由此能求出实数的范围．
21.【答案】解：由题意可得，
．
当时，，开口向上，对称轴为，
则在上单调递减，在上单调递增，
在上的最大值为；
当时，
当且仅当时，即时等号成立．
因为，所以当时，．
故当施肥量为千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为元．
【解析】本题考查了分段函数模型的应用和基本不等式在实际中的应用，属于中档题用销售额减去成本投入得出利润的解析式；
分段判断的单调性，利用基本不等式求出在时最大值即可．
．
22.【答案】解：由题意，，
，不等式即，
，
，不等式即，；
综上，．
函数大致图象如图，
当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，
若，满足，则，
由图象知，
若，则显然；
若，要证明，则要证，
注意到，，且在递减，
则可证明，
，则可证明，
构造函数，，则，
，，
，，，，，
，在上单调递减，
，时，，即，
，从而得证．
【解析】本题考查分段函数与不等式，函数图象的应用，函数的单调性，不等式的证明，属于中档题．
分段讨论的取值范围，化简，分别解一元二次不等式，即可得答案；
作出函数大致图象，结合图像确定的范围，讨论当，成立；时，转化为证明，则可构造函数，，利用其单调性证明结论．
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