卷子答案网-一个不只有答案的网站2023-2024学年河南省环际大联考“逐梦计划”高二上学期期中考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.经过点，倾斜角为的直线方程为
( )
A. B. C. D.
2.在空间直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标是
( )
A. B. C. D.
3.已知中心在原点，焦点在轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为
( )
A. B. C. D.
4.已知直线与直线，若，则( )
A. B. C. 或 D.
5.已知直线的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是
( )
A. 的倾斜角等于 B. 在轴上的截距等于
C. 与直线垂直 D. 与直线平行
6.设和为椭圆的两个焦点，若，，是等边三角形的三个顶点，则椭圆的离心率为
( )
A. B. C. D.
7.已知动点在曲线上，则点与点连线的中点的轨迹方程是
( )
A. B. C. D.
8.若直线与曲线恰有交点，则实数的取值范围是
( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.设直线：，：，则
( )
A. 与平行 B. 与相交
C. 与的交点在圆上 D. 与的交点在圆外
10.圆与圆的交点为、，则
( )
A. 公共弦所在直线的方程为
B. 两圆圆心距
C. 线段中垂线的方程为
D. 公共弦的长为
11.变化时，方程表示的曲线的形状可以是
( )
A. 两条平行直线 B. 圆
C. 焦点在轴上的椭圆 D. 焦点在轴上的双曲线
12.白蛇传中的“雨中送伞”故事在中国民间流传甚广，今年杭州亚运会期间游客打纸伞逛西湖受到热捧油纸伞是中国传统工艺品，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端的距离为，阳光照射油纸丛在地面上形成了一个椭圆形的影子此时阳光照射方向与地面的夹角为，若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则
( )
A. 该椭圆的长轴为 B. 该椭圆的离心率为
C. 该椭圆的焦距为 D. 该椭圆的焦距为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.抛物线上的动点到焦点的距离的最小值为，则_______．
14.过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是_______．
15.椭圆与双曲线有相同的焦点，则双曲线方程是_______．
16.已知，，，则在上的投影向量为_______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知抛物线：过点．
求抛物线的方程，并求其准线方程；
求以为中点的抛物线的弦所在直线的方程．
18.本小题分
已知为等腰直角三角形，且，若，的坐标分别为，．
求点的坐标；
求过点与所在边平行的直线方程．
19.本小题分
如图所示，在棱长为的正方体中，，分别是棱，上的动点，且，其中，以为原点建立空间直角坐标系．
求证：；
若，求的值．
20.本小题分
已知圆经过点，，且与轴相切．
求圆的方程；
求过点的圆的切线方程．
21.本小题分
已知双曲线：的实轴长为．
若双曲线的渐近线方程为，求双曲线方程；
设、是的两个焦点，为上一点，且，的面积为，求的标准方程
22.本小题分
如图，椭圆：两焦点为，且经过点．
求椭圆的离心率与椭圆方程；
经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点，均异于点，求证：直线与的斜率之和为定值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】由倾斜角求斜率，再由点斜式方程可得．
解：直线倾斜角为 ，则斜率为 ，
又直线经过点 ，
则直线方程为 ，即 ．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】在空间直角坐标系中，由两点关于 轴对称得两点纵坐标相同，横坐标互为相反数，竖坐标也互为相反数可得所求．
解：在空间直角坐标系中，点 关于 轴对称点的坐标为 ，
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】分析由离心率可得出 、 的等量关系，由此可得出该双曲线的渐近线方程．
解：设双曲线的标准方程为 ，则该双曲线的渐近线方程为 ，
因为双曲线的离心率为 ，则 ，则 ，
因此，该双曲线的渐近线方程为 ．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线的平行，属于基础题利用两条直线平行的性质列式计算即可．
【解答】
解：若，则，所以或．
当时，，重合当时，符合题意．
5.【答案】
【解析】【分析】项，由方向向量求斜率则可得倾斜角；项，由点斜式方程可求出直线方程，令 ，可求在轴上的截距；项，由斜率关系可判断；项，由斜率相等，截距不同可得两直线平行．
解：选项A，因为直线的方向向量为 ，
则直线的斜率 ，倾斜角为 ，故A项错误；
选项B，由直线经过点 ，则直线方程为 ，
即 ，
令 ，解得 ，即直线在轴上的截距为 ，故B错误；
选项C，因为直线 的斜率为 ，
由两直线斜率乘积 ，故两直线不垂直，故C错误；
选项D，直线 ，方程可化为 ，
直线 的方程为 ，
因为两直线斜率相等，且在 轴的截距不相等，故两直线平行，故D正确．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】由三角形 是等边三角形，得到、的齐次式，即可求出离心率．
解：设椭圆是焦距为．
因为 ， ， 是等边三角形的三个顶点，
所以 ，有 ，则 ．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】设 的中点为 ，根据中点坐标公式可得 ，进而将 点的坐标代入曲线方程即可求解．
解：设 的中点为 ，
因为 ，则 ，
因为点在曲线 上，
所以将 代入曲线 ，
则 ，即 ，
所以 的中点的轨迹方程是 ．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】由直线过定点，曲线为半圆弧，数形结合求解直线斜率的范围即可．
解：直线 过定点 ，
曲线方程 变形得 ，
即曲线为以原点 为圆心， 为半径的右半圆弧，
过点 与曲线相切的直线有两条，
设切线斜率为 ，则可设方程为 ，
即 ，
由直线与圆相切，则圆心 到直线的距离 ，
解得 或 ，
由图可知，要使直线与曲线恰有交点，
由题意，直线 斜率为 ，则 ．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】由两直线斜率判断，解出两直线的交点判断．
解：由题意，直线 ，
两直线斜率分别为 ， ，
故两直线相交，选项A错误，B正确；
联立 ，解得 ，故两直线交点为 ，
由 ，得交点在圆 上故C正确，D错误．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆的公共弦、公切线、圆与圆的位置关系、点到直线的距离、直线与圆的交点坐标、弦长，属于一般题．
将两圆方程作差可得相交弦所在直线的方程，可判断选项；求出两圆圆心距，可判断选项；利用等腰三角形的几何性质可判断选项；利用勾股定理求出，可判断选项．
【解答】
解：对于选项，将两圆方程作差可得，即，
所以公共弦所在直线的方程为，故A对；
对于选项，圆的圆心为，半径为，
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
两圆圆心距为，故B对；
对于选项，连接、、、、，
如图所示：
因为，所以线段的垂直平分线即为的底边的高所在的直线，
且直线的方程为，
故线段的垂直平分线所在直线方程为，即，故C对；
对于选项，圆心到直线的距离为，
所以，故D错．
故选ABC．
11.【答案】
【解析】【分析】根据 符号，对角 分五类进行讨论，由圆、椭圆和双曲线的标准方程判断对应曲线的具体形状即可．
解：当 时， ，方程 ，得 表示与 轴平行的两条直线故A正确；
当 时， ，方程 表示圆心在原点的单位圆故B正确；
当 时， ，方程 表示中心在原点，焦点在 轴上的椭圆故C错误；
当 时， ，方程 表示焦点在 轴上的双曲线故D正确；
当 时， ，方程 表示焦点在 轴上的等轴双曲线．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】先求得 ，结合椭圆的知识以及正弦定理求得 、 ，进而求得椭圆的离心率和焦距．
解： ，
如图， 、 分别是椭圆的左、右顶点， 是椭圆的左焦点， 是圆的直径， 为该圆的圆心．
因为 ， ，所以 ，
设椭圆的长轴长为 ，焦距为 ，则 ．
因为 ， ， ， ，
由正弦定理得 ，
解得 ，所以 ，
所以 ， ．
所以，椭圆的长轴长为 ，离心率为 ，焦距为 ．
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】利用抛物线定义，结合抛物线范围求解即得．
解：抛物线 的准线方程为 ，设 ，显然 ，当且仅当 时取等号，
则点 到焦点的距离 ，当且仅当 时取等号，因此 ，
所以 ．
故答案为：
14.【答案】
【解析】【分析】联立方程求交点，再根据直线垂直的斜率关系求斜率，然后点斜式可得．
解：解方程组 得 ，
因为直线 的斜率为 ，
所以，所求直线的斜率为 ，
由点斜式得 ，即 ．
故答案为：
15.【答案】
【解析】【分析】由椭圆与双曲线有相同的焦点，判断焦点位置再由焦距相同建立关于 的方程求解即可．
解：由方程 表示双曲线可知 ，则焦点在 轴上，
由椭圆 与双曲线 有相同的焦点，
则椭圆焦点也在 轴上，且焦距相同，设它们的半焦距为 ，
故 ，解得 舍，或 ，
故双曲线方程为 ，
故答案为： ．
16.【答案】
【解析】【分析】根据空间投影向量的定义求解即可．
解：因为 ， ， ，
所以 ， ，
则 ， ，
所以 ，
则 在 上的投影向量为 ．
故答案为： ．
17.【答案】解：根据抛物线： 过点 ，
可得 ，解得 ．
从而抛物线的方程为 ，准线方程为 ；
设弦的两端点分别为 ， ，设点 为 ，
当直线 垂直于 轴时，
由对称性可知， 的中点在 轴上，则不为 的中点，不符合题意，
故直线 垂直于 轴，即 ，
则
由得， ，
由点 是 的中点， ，代入上式得，
，
故直线 的斜率 ，且直线过 ，
所以弦所在直线的方程为 ，即 ．
【解析】【分析】由点 在抛物线上，代入方程待定系数 即可；
已知弦的中点，由点差法可求弦所在直线斜率，再由点斜式方程可求．
18.【答案】解：（1）设B点坐标为 ，根据题意可得
即
解得 或 所以 或 .
（2）由题知 ；
当 时，直线为： ，即 .
当 时，直线为： ，即 .
故所求直线为 或 .
【解析】【分析】（1）由题意得点 满足 ，设点 坐标，根据斜率关系与两点间距离公式列方程组求解即可；
（2）由点斜式方程可得.
19.【答案】解：由已知可得， ，
所以 ， ， ， ，
则 ， ，
，
，即 ．
当 时， ， ， ，
则 ， ，
所以
．
故： ．
【解析】【分析】求出 的坐标，计算得出 ，即可得出证明；
求出 的坐标，根据空间向量的数量积运算，即可得出答案．
20.【答案】解：设圆的方程为 ，
由题意可得 ，解得 ，
则圆的方程为 ；
因为 ，所以点在圆外，
若直线斜率不存在，直线方程为 ，
圆心 到直线 的距离为，满足题意；
若直线斜率存在，设切线的斜率为，
则切线方程为 ，即 ，
由圆的方程为 可得圆心 ，半径为，
所以圆心到切线的距离 ，解得 ，
所以切线方程为 ；
综上所述，过点 的圆的切线方程为 或 ．
【解析】【分析】设圆的标准方程，根据条件列方程组求解即可；
分切线斜率存在和不存在分类讨论，利用圆心到直线距离等于半径建立方程求解即可．
21.【答案】解：因为双曲线： 的实轴长为，
即 ，则 ，
又因为双曲线一条渐近线方程为 ，即 ，可得 ，
所以双曲线方程为 ．
双曲线定义可得： ，
由 知 ，且 的面积为，
则 ，即 ，
又因为 ，
可得 ，即 ，
所以 ，因此 ，
故双曲线的标准方程为： ．
【解析】【分析】根据题意结合双曲线的渐近线方程求 ，即可得方程；
根据题意结合双曲线的定义求 ，即可得方程；
22.【答案】解：由题意知 ， ，由 由解得 ．
所以， ，则椭圆的方程为 ．
由题设知，直线 的方程为 且 ，
代入 ，得 ，
由已知 ，设 ， ， ．
则 ， ，
从而直线 与 的斜率之和
故：直线 与 的斜率之和为定值．
【解析】【分析】由题意知 ， ，从而求得 ，进而可求解；
由题设知，直线 的方程为 且 ，设 ， ，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理，求得斜率，把韦达公式代入化简即可求解．
第1页，共15页
转载请注明出处卷子答案网-一个不只有答案的网站 » 2023-2024河南省环际大联考“逐梦计划”高二上学期期中考试数学试题(含解析 )