卷子答案网-一个不只有答案的网站第二章达标检测
时间：120分钟 分数：150分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是( )
A．B．C．1 D．
2．抛物线y2＋4x＝0上的点P到直线x＝2的距离等于4，则P到焦点F的距离|PF|等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴的对称点为Q，且·＝2，则点P的轨迹方程为( )
A．x2＋y2＝2 B．x2－y2＝2 C．x＋y2＝2 D．x－y2＝2
4．“2
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若∠PF1F2＝30°，则椭圆C的离心率为( )
A．B．C．D．
6．如图为一个抛物线形拱桥，当水面经过抛物线的焦点时，水面的宽度为36 m，则此时欲经过桥洞的一艘宽12 m的货船，其船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过( )
A．6 mB．6.5 mC．7.5 mD．8 m
7．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆上异于长轴端点的一点，△MF1F2的内心为I，直线MI交x轴于点E.若＝2，则椭圆C的离心率是( )
A．B．C．D．
8．已知中心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点(左、右焦点分别为F1，F2)，它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．C．D．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．已知曲线C的方程为－＝1(k∈R)，则下列结论正确的是( )
A．当k＝8时，曲线C为椭圆，其焦距为4
B．当k＝2时，曲线C为双曲线，其离心率为
C．存在实数k使得曲线C为焦点在y轴上的双曲线
D．当k＝－3时，曲线C为双曲线，其渐近线与圆(x－4)2＋y2＝9相切
10．已知点P在双曲线C：－＝1上，F1，F2是双曲线C的左、右焦点．若△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的有( )
A．点P到x轴的距离为 B．|PF1|＋|PF2|＝
C．△PF1F2为钝角三角形 D．∠F1PF2＝
11．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线C的准线交于点D.若|AF|＝8，则以下结论正确的是( )
A．p＝4 B．＝C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝4
12．设椭圆的方程为＋＝1，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，下列结论正确的是( )
A．直线AB与OM垂直
B．若点M坐标为(1，1)，则直线方程为2x＋y－3＝0
C．若直线方程为y＝x＋1，则点M坐标为
D．若直线方程为y＝x＋2，则|AB|＝
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知椭圆C：x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m＝________.
14．若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线－＝1的右焦点重合，则实数p的值为________.
15．设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，过焦点的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足为C，D，若|AF|＝2|BF|，则三角形CDF的面积为________.
16．已知双曲线C：－＝1的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若2＝，则双曲线的渐近线方程为________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知椭圆的长轴长为10，两焦点F1，F2的坐标分别为(3，0)和(－3，0).
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若P为短轴的一个端点，求三角形F1PF2的面积．
18．(本小题满分12分)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)上一点M(m，4)到焦点的距离为5.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若过点M的双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个顶点为抛物线C的焦点，求该双曲线的渐近线方程．
19．(本小题满分12分)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的一边AB在x轴上，另一边CD在x轴上方，且AB＝8，BC＝6，其中A(－4，0)，B(4，0).
(1)若A，B为椭圆的焦点，且椭圆经过C，D两点，求该椭圆的方程；
(2)若A，B为双曲线的焦点，且双曲线经过C，D两点，求双曲线的方程．
20．(本小题满分12分)已知双曲线的方程为2x2－y2＝2.
(1)求以点A(2，1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程；
(2)过点B(1，1)能否作直线l，使l与所给双曲线交于Q1，Q2两点，且点B是弦Q1Q2的中点？如果存在这样的直线l，求出它的方程；如果不存在，请说明理由．
21．(本小题满分12分)如图，设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，|F1F2|＝4，长轴长为6，点A，B分别是椭圆C上位于x轴上方的两点，且满足＝2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求直线AF1的方程；
(3)求四边形ABF2F1的面积．
22．(本小题满分12分)如图，设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|－1.
(1)求p的值；
(2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围．
第二章达标检测
1．解析：抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，到双曲线x2－＝1的渐近线x－y＝0的距离为＝，故选B.
答案：B
2．解析：抛物线y2＋4x＝0的准线为x＝1，
因为抛物线y2＋4x＝0上的点P到直线x＝2的距离等于4，
所以抛物线y2＋4x＝0上的P到准线x＝1的距离为3，
根据抛物线的定义知，P到焦点F的距离|PF|＝3.故选C.
答案：C
3．解析：设P(x，y)，Q(x，－y)，则·＝(x，y)·(x，－y)＝x2－y2＝2，故选B.
答案：B
4．解析：若＋＝1表示椭圆，则有所以2
5．解析：设P的横坐标为x，F1(－c，0)，
∵线段PF1的中点在y轴上，∴－c＋x＝0，∴x＝c.
∴P与F2的横坐标相等，∴PF2⊥x轴，
∵∠PF1F2＝30°，∴|PF2|＝|PF1|，
∵|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF2|＝a，
tan∠PF1F2＝＝＝，
∴＝，∴e＝＝.故选A.
答案：A
6．解析：根据题意，画出抛物线建立平面直角坐标系，如图所示：
设当水面的宽度为36m时与抛物线的交点分别为A，B.当水面的宽度为12m时与抛物线的交点为C，D，抛物线方程为x2＝－2py(p>0).因为当水面经过抛物线的焦点时，宽度为36m，所以由抛物线性质可知2p＝36，所以p＝18，则抛物线方程为x2＝－36y，则A(18，－9).当宽度为12m时，设C(6，a)，代入抛物线方程可得62＝－36a，解得a＝－1，所以直线AB与直线CD的距离为h＝(－1)－(－9)＝8，即船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过8m．故选D.
答案：D
7．解析：连接IF1和IF2，由△MF1F2的内心为I，可得IF1为∠MF1F2的平分线，即有＝，同理＝，所以＝＝＝2，所以＝＝2，即e＝，故选B.
答案：B
8．解析：设椭圆的长轴长为2a，双曲线的实轴长为2m，焦距为2c，则有得|PF2|＝a－m.又|PF2|＝|F1F2|＝2c，所以a－m＝2c.又由e1＝，e2＝，得a＝，m＝，从而有－＝2c，得e2＝，从而e1e2＝e1·＝.由e2>1，且e2＝，可得
答案：B
9．解析：对于选项A：当k＝8时，曲线C的方程为＋＝1，曲线C为椭圆，a2＝62，b2＝2，则c2＝a2－b2＝62－2＝60，即c＝2，所以其焦距为4，故A正确；对于选项B：当k＝2时，曲线C的方程为－＝1，曲线C为双曲线，a2＝2，b2＝4，则c2＝a2＋b2＝6，即c＝，所以其离心率为＝＝，故B正确；对于选项C：若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，则无解，所以不存在实数k，使得曲线C为焦点在y轴上的双曲线，故C错误；对于选项D：当k＝－3时，曲线C的方程为－＝1，曲线C为双曲线，a2＝7，b2＝9，则其渐近线方程为3x±y＝0.又圆(x－4)2＋y2＝9的圆心坐标为(4，0)，半径为3，所以圆心到渐近线的距离d＝＝3，故D正确．故选ABD.
答案：ABD
10．解析：因为双曲线C：－＝1，所以c＝＝5.又因为S△PF1F2＝·2c|yP|＝×10·|yP|＝20，所以|yP|＝4，故A错误；将|yP|＝4代入C：－＝1得|xP|＝.由双曲线的对称性，不妨取P的坐标为，可知|PF2|＝＝.由双曲线定义可知|PF1|＝|PF2|＋2a＝＋8＝，所以|PF1|＋|PF2|＝＋＝，故B正确；由双曲线的对称性，对于P，在△PF1F2中，|PF1|＝>2c＝10>|PF2|＝，且cos∠PF2F1＝＝－<0，则∠PF2F1为钝角，所以△PF1F2为钝角三角形，故C正确；由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝≠，所以∠F1PF2≠，故D错误．故选BC.
答案：BC
11．解析：如图所示，分别过点A，B作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点E，M，连接EF.设抛物线C的准线交x轴于点P，则|PF|＝p.∵直线l的斜率为，∴其倾斜角为60°.∵AE∥x轴，∴∠EAF＝60°，由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，则△AEF为等边三角形，∴∠EFP＝∠AEF＝60°，则∠PEF＝30°，∴|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4，故A正确；∵|AE|＝|EF|＝2|PF|，且PF∥AE，∴F为AD的中点，则＝，故B正确；∠DAE＝60°，∴∠ADE＝30°，∴|BD|＝2|BM|＝2|BF|，故C正确；∵|BD|＝2|BF|，
∴|BF|＝|DF|＝|AF|＝，故D错误．故选ABC.
答案：ABC
12．解析：依题意，设直线方程为y＝kx＋b(b≠0)，当k＝0时，直线AB与x轴平行，与OM垂直；当k≠0时，联立直线方程与椭圆方程得所以(k2＋2)x2＋2kbx＋b2－4＝0，Δ＝4k2b2－4(k2＋2)(b2－4)＝8(2k2－b2＋4)>0，
则有xA＋xB＝－，xAxB＝.
所以yA＋yB＝k(xA＋xB)＋2b＝＝.
故线段AB的中点M，即，
kOM＝－＝－≠－，直线AB与OM不垂直，A错误．
若M(1，1)，则xA＋xB＝－＝2，yA＋yB＝＝2，解得k＝－2，b＝3，故直线方程为y＝－2x＋3，B正确．
若y＝x＋1，则k＝b＝1，故＝－＝－，
＝＝，C错误．
若y＝x＋2，则k＝1，b＝2，|AB|＝＝×＝，D正确．故选BD.
答案：BD
13．解析：因为椭圆C：x2＋my2＝1的焦点在y轴上，
所以其标准方程为＋＝1，其中a＝，b＝1，
若长轴长是短轴长的两倍，则a＝2b，
则有＝2，解得m＝.
答案：
14．解析：∵双曲线的方程为－＝1，
∴a2＝4，b2＝5，可得c＝＝3，
因此双曲线－＝1的右焦点为F(3，0)，
∵抛物线y2＝2px的焦点与双曲线的右焦点重合，
∴＝3，解得p＝6.
答案：6
15．解析：如图，抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线l的方程为x＝－1，设AB所在直线方程为y＝k(x－1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程，得消去y，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
∴x1x2＝1， ①
∵|AF|＝2|BF|，∴x1＋1＝2(x2＋1)， ②
由①②，解得x1＝2，x2＝，或x1＝－1，x2＝－1(舍去)，
∴y1＝2，y2＝－，
∴|CD|＝y1－y2＝3，
又|FG|＝1＋1＝2，
∴S△CDF＝×|CD|×|FG|＝×3×2＝3.
答案：3
16．解析：由题意，设右焦点为F(c，0)，
设渐近线OM的方程为y＝x，
则渐近线ON的方程为y＝－x，
FM的方程为y＝－(x－c)，
由可得M的横坐标为，
由可得N的横坐标为.
由2＝，可得2＝－c，
即－c＝，
由e＝，可得－1＝，
即e4－5e2＋4＝0，解得e2＝4或e2＝1(舍去)，
所以e＝2，所以c＝2a，b＝a，
所以渐近线方程为y＝±x.
答案：y＝±x
17．解析：(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由题意可得所以，b＝＝4，因此椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)短轴的端点坐标为(0，4)和(0，－4)，则S△F1PF2＝×|F1F2|×b＝×6×4＝12.
18．解析：(1)由抛物线的定义可得4＋＝5，解得p＝2，
故抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)把M(m，4)的坐标代入x2＝4y，得m＝±4，
即M点的坐标为(±4，4).
又抛物线x2＝4y的焦点坐标为(0，1)，则a＝1，
所以双曲线的方程为y2－＝1(b>0)，
将点M(±4，4)的坐标代入双曲线的方程，得b2＝，即b＝，故双曲线的渐近线方程为y＝±x.
19．解析：连接AC，则|AC|＝＝＝10.
(1)∵A，B为椭圆的焦点，且椭圆经过C，D两点，
则根据椭圆的定义，得|CA|＋|CB|＝16＝2a，∴a＝8.
在椭圆中，b2＝a2－c2＝64－16＝48，故椭圆的方程为＋＝1.
(2)∵A，B为双曲线的焦点，且双曲线经过C，D两点，
根据双曲线的定义，得|CA|－|CB|＝4＝2a，∴a＝2.
在双曲线中，b2＝c2－a2＝16－4＝12，故双曲线的方程为－＝1.
20．解析：(1)设以点A(2，1)为中点的弦的两端点分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，x1≠x2.由点P1，P2在双曲线上，得2x－y＝2，2x－y＝2，两式相减，得2(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
则2×4(x1－x2)－2(y1－y2)＝0，即＝4，
故中点弦所在的直线方程为y－1＝4(x－2)，即4x－y－7＝0.
(2)不能．理由如下：
假设直线l存在，可利用(1)中的方法求出l的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
联立方程，得消去y，得2x2－4x＋3＝0，
根的判别式Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8<0，所以方程无实根，因此直线l与双曲线无交点．
故满足条件的直线l不存在．
21．解析：(1)由题意知，解得所以b2＝a2－c2＝5，所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)如图，延长AF1交椭圆于点A1，由已知条件并结合椭圆的中心对称性知，＝2．设A(x1，y1)，A1(x2，y2)，直线AA1的方程为y＝k(x＋2)，代入椭圆方程并消去x，得y2－y－25＝0(*)，
则y1＋y2＝ ①，
y1y2＝ ②.
由＝2，得y1＝－2y2 ③.
联立①②③，解得k2＝3，
依题意舍去k＝－，所以k＝.
所以直线AF1的方程为y＝(x＋2).
(3)由(2)知，k＝，代入方程(*)，得32y2－20y－75＝0，
则Δ＝(－20)2－4×32×(－75)＝10800.
由题易知，四边形ABF2F1为梯形，梯形的上、下底之和为
|AF1|＋|BF2|＝|AF1|＋|F1A1|＝|AA1|.
利用弦长公式易得|AA1|＝·|y1－y2|＝·＝.
梯形的高即焦点F2到直线AF1的距离d＝＝2.
所以四边形ABF2F1的面积S＝××2＝.
22．解析：
(1)由题意可得，抛物线上的点A到焦点F的距离等于点A到直线x＝－1的距离，由抛物线的定义得＝1，即p＝2.
(2)由(1)得，抛物线方程为y2＝4x，F(1，0)，可设A(t2，2t)，t≠0，t≠±1.
因为AF不垂直于y轴，可设直线AF：x＝sy＋1(s≠0)，由消去x得y2－4sy－4＝0，故y1y2＝－4，所以B.
又直线AB的斜率为，所以直线FN的斜率为－.
从而得直线FN：y＝－(x－1)，直线BN：y＝－，所以N.
设M(m，0)，由A，M，N三点共线得＝，
于是m＝.所以m<0或m>2.
经检验，m<0或m>2满足题意．
综上，点M的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞).
转载请注明出处卷子答案网-一个不只有答案的网站 » 北师大版选择性必修第一册高中数学第二章 圆锥曲线 达标检测（含解析）