卷子答案网-一个不只有答案的网站第2课时 空间中的距离问题
必备知识基础练
知识点一点到平面的距离
1.在空间直角坐标系中，点P(0，0，1)为平面ABC外一点，其中A(1，1，0)，B(0，2，3).若平面ABC的一个法向量为(1，m，1)，则点P到平面ABC的距离为( )
A．2 B． C． D．
2．如图所示，在直二面角D－AB－E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，则点D到平面ACE的距离为________.
3.
在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F，E分别为AD，PC的中点．
(1)证明：DE∥平面PFB；
(2)求点E到平面PFB的距离．
知识点二 点到直线的距离
4.已知直线l过定点A(2，3，1)，且n＝(0，1，1)为其一个方向向量，则点P(4，3，2)到直线l的距离为( )
A． B． C． D．
知识点三直线到平面的距离、平面到平面的距离
5.如图，若正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则平面AB1D1与平面BDC1间的距离为( )
A． B． C． D．
6.
如图，在底面是直角梯形的四棱锥P－ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，求AD到平面PBC的距离．
关键能力综合练
一、选择题
1．已知A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，则点A到直线BC的距离为( )
A． B．1C． D．2
2．已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2，1)，点A(x，3，0)在平面α内，且点P(－2，1，4)到平面α的距离为，则实数x的值为( )
A．－1 B．－11C．－1或－11 D．－21
3．如图所示，在空间直角坐标系中有长方体ABCD－A1B1C1D1，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则点B到直线A1C的距离为( )
A． B．C． D．1
4．已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别是AB，AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，则点B到平面EFG的距离为( )
A． B．C． D．3
5．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝2，点E为CC1的中点，则直线AC1到平面BED的距离为( )
A．2 B．C． D．1
6．[探究题]在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长与侧棱长均等于2，且E为CC1的中点，则点C1到平面AB1E的距离为( )
A． B．C． D．
二、填空题
7．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则点D1到GF的距离为________.
8．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，E，F分别是BB1，CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为________.
9．[探究题]如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1距离的最小值为________.
三、解答题
10．如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．
(1)求点D到平面PEF的距离；
(2)求直线AC到平面PEF的距离．
学科素养升级练
1．[多选题]在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝4，CC1＝2，则下列结论正确的是( )
A．平面A1BC1与平面ACD1的距离为
B．平面A1BC1与平面ACD1的距离为
C．点B1到平面A1BC1的距离为
D．点B1到平面A1BC1的距离为
2．如图所示，在直平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，BD⊥DC，BD＝DC＝1，点E在AA1上，且AE＝AA1＝，DC1⊥BE，则点B到平面EDC1的距离为________.
3.
[学科素养——直观想象与数学运算]如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD＝CD＝1，∠BAD＝120°，∠ACB＝90°.
(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)若二面角D－PC－A的余弦值为，求点A到平面PBC的距离．
第2课时 空间中的距离问题
必备知识基础练
1．解析：在空间直角坐标系中，A(1，1，0)，B(0，2，3)，所以＝(－1，1，3)，而平面ABC的一个法向量为n＝(1，m，1)，所以·n＝0，即－1＋m＋3＝0，解得m＝－2，所以n＝(1，－2，1).因为点P(0，0，1)，所以＝(－1，－1，1)，则点P到平面ABC的距离d＝＝＝，故选B.
答案：B
2．解析：取AB的中点O，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，－1，0)，E(1，0，0)，D(0，－1，2)，C(0，1，2)，从而＝(0，0，2)，＝(1，1，0)，＝(0，2，2).设平面ACE的法向量为n＝(x，y，z)，则，即，令y＝1，则x＝－1，z＝－1，
∴n＝(－1，1，－1)为平面ACE的一个法向量．故点D到平面ACE的距离d＝||＝||＝.
答案：
3.
解析：(1)证明：以点D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则P(0，0，2)，F(1，0，0)，B(2，2，0)，E(0，1，1).
＝(－1，0，2)，＝(1，2，0)，＝(0，1，1).
∴＝＋.∴∥平面PFB.
又∵DE 平面PFB，∴DE∥平面PFB.
(2)设平面PFB的法向量为n＝(x，y，z)，
则
令x＝2，则∴n＝(2，－1，1).
又∵＝(0，1，－1)，
∴d＝＝＝.
∴点E到平面PFB的距离为.
4．解析：＝(－2，0，－1)，||＝，＝，则点P到直线l的距离d＝＝＝.
答案：A
5．解析：以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，C1(1，1，1)，B1(1，0，1)，D1(0，1，1)，∴＝(1，0，1)，＝(0，1，1)，＝(－1，1，0)，＝(0，1，1)，＝(1，0，0).设平面AB1D1的法向量为n＝(x，y，z)，则，∴，令z＝－1，则n＝(1，1，－1)，显然n·＝0，n·＝0，∴n也是平面BDC1的一个法向量，∴平面AB1D1∥平面BDC1，∴所求距离为＝.
答案：D
6．解析：
分析知AB，AD，AP两两互相垂直，∴可建立以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系(如图所示)，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)，＝(2，0，－2)，＝(0，2，0)，设平面PBC的法向量为n＝(a，b，c)，则，即，取a＝1，则b＝0，c＝1，则n＝(1，0，1)是平面PBC的一个法向量．又＝(2，0，0)，AD∥平面PBC，∴所求距离为＝.
关键能力综合练
1．解析：∵A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，∴＝(1，0，0)，＝(－1，2，－2)，cos〈，〉＝＝－，
∴点A到直线BC的距离为d＝||＝1×＝.
答案：A
2．解析：由题意得＝(x＋2，2，－4)，而d＝＝，即＝，解得x＝－1或－11.故选C.
答案：C
3．解析：过点B作BE⊥A1C，垂足为E，设点E的坐标为(x，y，z)，
由题意知A1(0，0，3)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，
故＝(1，2，－3)，＝(x，y，z－3)，
＝(x－1，y，z)，易知
所以解得所以＝(－，，)，
所以点B到直线A1C的距离为||＝，故选B.
答案：B
4．解析：如图所示，建立空间直角坐标系C－xyz，
则B(4，0，0)，E(4，2，0)，F(2，4，0)，G(0，0，2)，
∴＝(－2，2，0)，＝(－4，－2，2).
设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)，
则
令x＝1，得平面EFG的一个法向量n＝(1，1，3)，
∴|n|＝，·n＝2，
∴点B到平面EFG的距离为＝.
答案：B
5．解析：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，E(0，2，)，易知AC1∥平面BDE.
设n＝(x，y，z)是平面BDE的法向量．
则
取y＝1，则n＝(－1，1，－)为平面BDE的一个法向量．
又因为＝(2，0，0)，
所以点A到平面BDE的距离
d＝＝＝1.
故直线AC1到平面BED的距离为1.
答案：D
6．解析：如图所示，以A为坐标原点，，的方向分别为x轴，z轴的正方向，y轴⊥平面A1ACC1建立空间直角坐标系，可知A(0，0，0)，C(2，0，0)，C1(2，0，2)，B(1，，0)，B1(1，，2).
∵E为CC1的中点，∴E(2，0，1)，
∴＝(1，，2)，＝(2，0，1).
设平面AB1E的法向量为n＝(x，y，z)，由得
令x＝1，可得平面AB1E的一个法向量为n＝(1，，－2).
又＝(2，0，2)，
∴点C1到平面AB1E的距离为d＝|·|＝.
答案：D
7．解析：连接D1G.以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则D1(0，0，2)，F(1，1，0)，G(0，2，1)，于是有＝(1，－1，－1)，＝(0，－2，1)，所以＝＝，||＝，
所以点D1到GF的距离d＝＝＝.
答案：
8．解析：建立空间直角坐标系，如图所示，则A1(a，0，a)，D1(0，0，a)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，B1(a，a，a)，E(a，a，)，F(0，，0).设平面A1D1E的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则
即
∴∴令z＝2，得n＝(0，1，2).
又∵＝(0，－，a)，∴点F到平面A1D1E的距离d＝＝＝a.
答案：a
9．解析：点P到直线CC1距离的最小值就是异面直线D1E与CC1的距离．以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D1(0，0，2)，E(1，2，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，∴＝(1，2，－2)，＝(0，0，2).
设n⊥，n⊥，n＝(x，y，z)，则n·＝x＋2y－2z＝0，n·＝2z＝0，∴z＝0，取y＝－1，则x＝2，∴n＝(2，－1，0).又∵＝(1，0，0)，∴异面直线D1E与CC1间的距离d＝＝.
答案：
10．解析：(1)连接DE.以D为坐标原点，DA，DC，DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
则D(0，0，0)，P(0，0，1)，E(1，，0)，
F(，1，0)，所以＝(－，，0)，
＝(1，，－1)，＝(1，，0).
设平面PEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则，所以，
令x＝2，则y＝2，z＝3，所以n＝(2，2，3)为平面PEF的一个法向量，所以点D到平面PEF的距离为＝＝.
(2)由(1)，知A(1，0，0)，所以＝(0，，0)，
所以点A到平面PEF的距离为＝＝.
因为AC∥平面PEF，所以直线AC到平面PEF的距离为.
学科素养升级练
1．解析：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
∵AB＝3，BC＝4，CC1＝2，
∴A(4，0，0)，A1(4，0，2)，B(4，3，0)，B1(4，3，2)，C(0，3，0)，C1(0，3，2)，D1(0，0，2).
∴＝(－4，3，0)，＝(－4，0，2)，
＝(－4，3，0)，＝(－4，0，2)，
∴＝，＝，
设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，
则有即令z＝6，得x＝3，y＝4，
则平面A1BC1的一个法向量为n＝(3，4，6)，
∴点A到平面A1BC1的距离为
d1＝||＝||＝.
故平面A1BC1与平面ACD1的距离为，故A正确；
点B1到平面A1BC1的距离为
d2＝＝||＝.故C正确．故选AC.
答案：AC
2．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(1，－1，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，C1(0，1，2)，E(1，－1，)，
∴＝(0，1，2)，＝(1，－1，).
设平面EDC1的一个法向量为n＝(x，y，1)，
解得
∴n＝(－，－2，1).
∴点B到平面EDC1的距离d＝＝＝.
答案：
3．解析：(1)证明：∵PA⊥底面ABCD，BC 平面ABCD，∴PA⊥BC，
∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.
(2)设AP＝h，取CD的中点E，则AE⊥CD，
∴AE⊥AB.∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AE.
建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，P(0，0，h)，C(，，0)，D(，－，0)，B(0，2，0)，
则＝(0，0，h)，＝(，，0)，＝(，，－h)，
＝(，－，－h).
设平面PAC的一个法向量为n1＝(x，y，z)，
则即
令x＝h(h＞0)，得n1＝(h，－h，0).
同理得平面PDC的一个法向量为n2＝(h，0，).
∵cos〈n1，n2〉＝＝，∴h＝.
又可求得平面PBC的一个法向量为n3＝(3，，2)，
故点A到平面PBC的距离d＝||＝.第1课时 空间中的角
必备知识基础练
知识点一两条直线所成的角
1.已知直线l1的方向向量s1＝(1，0，1)与直线l2的方向向量s2＝(－1，2，－2)，则l1和l2所成角的余弦值为( )
A．－ B． C． D．
2．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，且∠BCA＝90°，点D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，若BC＝CA＝CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是________.
3．如图，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，∠PAD＝90°，且PA＝AD＝2，E，F分别是线段PA，CD的中点，求异面直线EF与BD所成角的余弦值．
知识点二直线与平面所成的角
4.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CC1的中点，则直线A1B与平面BDE所成的角为( )
A.B．C．D．π
5．如图，正三角形ABC与正三角形BCD所在的平面互相垂直，则直线CD与平面ABD所成角的正弦值为________.
6．如图，已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．
(1)证明：CM⊥SN；
(2)求SN与平面CMN所成角的大小．
知识点三两个平面所成的角
7.已知二面角α－l－β中，平面α的一个法向量为n1＝(，－，－)，平面β的一个法向量n2＝，则二面角α－l－β的大小为________.
8.
如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE＝AD，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO＝DO.
(1)证明；PA⊥平面PBC；
(2)求二面角B－PC－E的余弦值．
关键能力综合练
一、选择题
1．设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n.若〈a，n〉＝，则l与α的夹角为( )
A． B． C． D．
2．在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1，3)，(2，2，4)，则这个二面角的余弦值为( )
A． B．－ C． D．±
3．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1和BB1的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为( )
A． B． C． D．
4．已知长方ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，E为线段AB上一点，且AE＝AB，则DC1与平面D1EC所成角的正弦值为( )
A． B． C． D．
5．如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF＝AD＝a，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成的角的正弦值为( )
A． B． C． D．
6．[易错题]如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC的中点，则二面角C－BF－D的正切值为( )
A． B． C． D．
二、填空题
7．在空间直角坐标系O－xyz中，已知A(1，－2，0)，B(2，1，)，则向量与平面xOz法向量夹角的正弦值为________.
8．如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成角的大小是________.
9．在正四棱锥S－ABCD中，O为顶点S在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC的夹角是________.
三、解答题
10．[探究题]如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点．
(1)证明：B1C1⊥CE；
(2)求二面角B1－CE－C1的正弦值；
(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长．
学科素养升级练
1．[多选题]已知四边形ABCD为正方形，GD⊥平面ABCD，四边形DGEA与四边形DGFC也都为正方形，连接EF，FB，BE，H为BF的中点，则下列结论正确的是( )
A．DE⊥BF
B．EF与CH所成角为
C．EC⊥平面DBF
D．BF与平面ACFE所成角为
2．如图，等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C－AB－D的余弦值为，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成的角的余弦值为________.
3．[学科素养——直观想象与数学运算]如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，M为线段AB的中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到三棱锥D－ABC，如图2所示．
(1)求证：BC⊥平面ACD；
(2)求二面角A－CD－M的余弦值．
第1课时 空间中的角
必备知识基础练
1．解析：因为s1＝(1，0，1)，s2＝(－1，2，－2)，所以cos〈s1，s2〉＝＝＝－.又两直线所成角的取值范围为[0，]，所以l1和l2夹角的余弦值为.
答案：C
2．解析：易得向量，，两两互相垂直，以C为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系．设BC＝CA＝CC1＝2，则A(2，0，0)，F1(1，0，2)，B(0，2，0)，D1(1，1，2)，∴＝(1，－1，2)，＝(－1，0，2)，∴cos〈，〉＝＝.
答案：
3．解析：以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则E(0，0，1)，F(1，2，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0).＝(1，2，－1)，＝(－2，2，0)，故cos〈，〉＝＝＝，即异面直线EF与BD所成角的余弦值为.
4．解析：以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(1，1，0)，E(0，1，)，A1(1，0，1).可得平面BDE的一个法向量为n＝(1，－1，2).又＝(0，－1，1)，∴cos〈n，〉＝＝，
∴〈n，〉＝.
∴直线A1B与平面BDE所成的角为.
答案：B
5．解析：取BC的中点O，连接AO，DO，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.
设BC＝1，则A(0，0，)，B(0，－，0)，
C(0，，0)，D(，0，0)，
所以＝(0，，)，＝(，，0)，＝(，－，0).
设平面ABD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则，所以
取x＝1，则y＝－，z＝1，所以n＝(1，－，1)，
所以cos〈n，〉＝，因此直线CD与平面ABD所成角的正弦值为.
答案：
6．解析：(1)设PA＝1，以A为坐标原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
则C(0，1，0)，M(1，0，)，N(，0，0)，S(1，，0)，
所以＝(1，－1，)，＝(－，－，0)，
因为·＝－＋＋0＝0，所以CM⊥SN.
(2)由(1)，知＝(－，1，0).
设a＝(x，y，z)为平面CMN的法向量，则，即，
令x＝2，则y＝1，z＝－2，得a＝(2，1，－2)为平面CMN的一个法向量．
因为|cos〈a，〉|＝||＝，
所以SN与平面CMN所成角的大小为45°.
7．解析：设所求二面角的大小为θ，则|cosθ|＝＝，所以θ＝30°或150°.
答案：30°或150°
8．解析：(1)设DO＝a，由题设可知PO＝a，AO＝a，AB＝a，
PA＝PB＝PC＝a.
因此PA2＋PB2＝AB2，从而PA⊥PB.
又PA2＋PC2＝AC2，故PA⊥PC.
又PB∩PC＝P，PB，PC 平面PBC，
所以PA⊥平面PBC.
(2)以O为坐标原点，的方向为y轴正方向，||为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.
由题设可得E(0，1，0)，A(0，－1，0)，C(－，，0)，P(0，0，).
所以＝(－，－，0)，＝(0，－1，).
设m＝(x，y，z)是平面PCE的法向量，则
即可取m＝(－，1，).
由(1)知＝(0，1，)是平面PCB的一个法向量，记n＝，
则cos〈n，m〉＝＝.
所以二面角B－PC－E的余弦值为.
关键能力综合练
1．解析：如图所示，直线l与平面α的夹角θ＝－＝.
答案：C
2．解析：∵＝，∴这个二面角的余弦值为或－.
答案：D
3．解析：如图，建立空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，M(1，，1)，C(0，1，0)，N(1，1，).
∴＝(0，，1)，＝(1，0，).
∴AM·＝，||＝||＝.
∴cos〈，〉＝＝.
答案：D
4．解析：以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则C(0，3，0)，E(1，1，0)，D1(0，0，1)，C1(0，3，1)，D(0，0，0)，＝(0，3，1)，＝(1，1，－1)，＝(0，3，－1)，设平面D1EC的法向量n＝(x，y，z)，则可得平面D1EC的一个法向量为n＝(2，1，3)，所以DC1与平面D1EC所成角的正弦值为＝＝.故选A.
答案：A
5．解析：以点A为坐标原点，直线AF为x轴，直线AB为y轴，直线AD为z轴，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，2a，0)，C(0，2a，2a)，G(a，a，0)，F(a，0，0)，＝(a，a，0)，＝(0，2a，2a).
设平面AGC的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则即
取z＝1，则x＝1，y＝－1，∴n＝(1，－1，1).
设GB与平面AGC所成的角为α.
易得＝(－a，a，0)，∴sinα＝＝.
答案：C
6．解析：如图，连接BD交AC于点O，连接OF，∵四边形ABCD为菱形，∴O为AC的中点，AC⊥BD.∵F为PC的中点，∴OF∥PA.∵PA⊥平面ABCD，∴OF⊥平面ABCD.以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O－xyz，设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，
∴B(，0，0)，F(0，0，)，C(0，，0)，D(－，0，0)，结合图形可知，＝(0，，0)，且为平面BDF的一个法向量．由＝(－，，0)，＝(，0，－)，可求得平面BCF的一个法向量n＝(1，，).
∴cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝，∴tan〈n，〉＝.
答案：D
7．解析：设平面xOz的一个法向量为n＝(0，t，0)(t≠0).∵＝(1，3，)，∴cos〈n，〉＝＝.∵〈n，〉∈[0，π]，
∴sin〈n，〉＝＝.
答案：
8．解析：
建立如图所示的空间直角坐标系，
设正三棱柱ABC－A1B1C1的棱长为1，则A(0，0，0)，B(，－，0)，M(，，)，B1(，－，1).
∴＝(，－，1)，＝(0，1，).设异面直线AB1与BM所成的角为θ，则cosθ＝|cos〈，〉|＝||＝0，∴θ＝90°.
答案：90°
9．解析：如图，以O为原点建立空间直角坐标系O－xyz.
设OD＝OS＝OA＝OB＝OC＝a，则A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(－a，0，0)，P(0，－，).∴＝(2a，0，0)，＝(－a，－，)，＝(a，a，0).设平面PAC的一个法向量为n＝(x，y，z).由得n＝(0，1，1)，∴cos〈n，〉＝＝，∴〈n，〉＝60°，∴直线BC与平面PAC的夹角为90°－60°＝30°.
答案：30°
10．解析：
(1)如图，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0，0，0)，B(0，0，2)，C(1，0，1)，B1(0，2，2)，C1(1，2，1)，E(0，1，0).
易得＝(1，0，－1)，＝(－1，1，－1)，于是·＝0，
所以B1C1⊥CE.
(2)易得＝(1，－2，－1).
设平面B1CE的法向量为m＝(x，y，z)，
则，即，消去x，得y＋2z＝0，
令z＝1，可得m＝(－3，－2，1).
由(1)知，B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，所以B1C1⊥平面CEC1，
故＝(1，0，－1)为平面CEC1的一个法向量．
于是cos〈m，〉＝＝＝－，
从而sin〈m，〉＝.
所以二面角B1－CE－C1的正弦值为.
(3)易得＝(0，1，0)，＝(1，1，1).
设＝λ＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，
则＝＋＝(λ，λ＋1，λ).
易知平面ADD1A1的一个法向量为＝(0，0，2).
设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，
则sinθ＝|cos〈，〉|＝
＝＝＝，解得λ＝，
所以AM＝.
学科素养升级练
1．解析：由题意得，所得几何体可以补形成一个正方体，如图所示．
以D为原点，DA，DC，DG所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
设AD＝DC＝DG＝2，
则D(0，0，0)，C(0，2，0)，E(2，0，2)，F(0，2，2)，B(2，2，0)，H(1，2，1).
∵＝(2，0，2)，＝(－2，0，2)，∴·＝－4＋0＋4＝0，
∴⊥，∴DE⊥BF，故A正确；
∵＝(－2，2，0)，＝(1，0，1).设EF与CH所成的角为θ，
θ∈(0，]，
∴cosθ＝＝.∵θ∈(0，]，∴θ＝，故B正确；
∵＝(－2，2，－2)，＝(2，2，0)，＝(0，2，2).设n＝(x，y，z)是平面DBF的一个法向量，∴·n＝0，·n＝0，即取x＝1，∴n＝(1，－1，1).∵＝－2n，∴∥n，∴EC⊥平面DBF，故C正确；∵＝(－2，0，2)，由图象易得m＝(1，1，0)是平面ACFE的一个法向量，设BF与平面ACFE所成的角为θ，θ∈[0，]，∴sinθ＝|cos〈，m〉|＝＝，∴θ＝，故D不正确．故选ABC.
答案：ABC
2．解析：过点C作CO⊥平面ABDE，垂足为O，取AB的中点F，连接CF，OF，OA，OB，则∠CFO为二面角C－AB－D的平面角，
∴cos∠CFO＝.设AB＝1，则CF＝，OF＝，OC＝，
∴O为正方形ABDE的中心，∴OA⊥OB.
如图，建立空间直角坐标系．
则E(0，－，0)，A(，0，0)，M(，0，)，N(0，，)，
∴＝(，，)，＝(－，，)，
∴|cos〈，〉|＝＝.
故EM，AN所成角的余弦值为.
答案：
3．解析：(1)在题图1中，可得AC＝BC＝2，∴AC2＋BC2＝AB2，
∴AC⊥BC.
在题图2中，取AC的中点O，连接DO，则DO⊥AC.
又平面ACD⊥平面ABC，
平面ACD∩平面ABC＝AC，DO 平面ACD，
∴OD⊥平面ABC，∴OD⊥BC.
∵AC⊥BC，且AC∩DO＝O，
∴BC⊥平面ACD.
(2)连接OM，以O为坐标原点，OA，OM，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.
则M(0，，0)，C(－，0，0)，D(0，0，)，＝(，，0)，＝(，0，).
设n1＝(x，y，z)为平面CDM的法向量，则
即
令x＝－1，可得n1＝(－1，1，1)为平面CDM的一个法向量．
又易知n2＝(0，1，0)为平面ACD的一个法向量，
∴cos〈n1，n2〉＝＝＝.
由题图可知二面角A－CD－M为锐二面角．
∴二面角A－CD－M的余弦值为.4．2 用向量方法研究立体几何中的位置关系
必备知识基础练
知识点一平行关系的判定及应用
1.若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则可能使l∥α的是( )
A．a＝(1，0，0)，n＝(－2，0，0)
B．a＝(1，3，5)，n＝(1，0，1)
C．a＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1)
D．a＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1)
2．已知平面α的一个法向量为(1，－2，2)，平面β的一个法向量为(－2，4，k)，若α∥β，则实数k的值为( )
A．5 B．4C．－4 D．－5
3．已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点，利用向量法证明：
(1)MN∥平面CC1D1D；
(2)平面MNP∥平面CC1D1D.
知识点二垂直关系的判定及应用
4.已知平面α的法向量为a＝(1，2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k).若α⊥β，则k＝( )
A．4 B．－4
C．5 D．－5
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于( )
A．ACB．BD
C．A1D D．A1A
6．如图，底面ABCD是正方形，AS⊥平面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD.
知识点三平行与垂直关系的综合应用
7.如果直线l的方向向量是a＝(－2，0，1)，且直线l上有一点P不在平面α内，平面α的法向量是b＝(2，0，4)，那么( )
A．l⊥α B．l∥αC．l在平面α内 D．l与α斜交
8．如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，平面PAB⊥平面ABCD，PA＝PB＝AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别为AD，PC的中点．
求证：(1)EF∥平面PAB；
(2)EF⊥平面PBD.
关键能力综合练
一、选择题
1．u＝(2，－2，2)是平面α的一个法向量，ν＝(1，2，1)是平面β的一个法向量，则下列命题正确的是( )
A．α，β平行 B．α，β垂直
C．α，β重合 D．α，β不垂直
2．若a＝是平面α的一个法向量，且b＝(－1，2，1)，c＝与平面α都平行，则向量a等于( )
A． B．
C． D．
3．已知ν1，ν2分别为直线l1，l2的方向向量(l1，l2不重合)，n1，n2分别为平面α，β的法向量(α，β不重合)，则下列说法中：①ν1∥ν2 l1∥l2；②ν1⊥ν2 l1⊥l2；③n1∥n2 α∥β；④n1⊥n2 α⊥β，正确的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
4.
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线NO，AM的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面垂直 D．异面不垂直
5．已知直线l过点P(1，0，－1)，平行于向量a＝(2，1，1)，平面α过直线l与点M(1，2，3)，则平面α的法向量不可能是( )
A．(1，－4，2) B．(0，－1，1)C． D．
6.
[易错题]如图所示，已知正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则M点坐标为( )
A．(1，1，1) B．C． D．
二、填空题
7．若平面α的一个法向量为u1＝(－3，y，2)，平面β的一个法向量为u2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z＝________.
8．已知点A，B，C的坐标分别为(0，1，0)，(－1，0，－1)，(2，1，1)，点P的坐标为(x，0，z)，若PA⊥AB，PA⊥AC，则点P的坐标为________.
9．[探究题]如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一点Q满足PQ⊥QD，则实数a的值为________.
三、解答题
10.
如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1.问：在棱PD上是否存在一点E，使得CE∥平面PAB？若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由．
学科素养升级练
1．[多选题]如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则( )
A．EF至多与A1D，AC之一垂直
B．EF与A1D，AC都垂直
C．EF与BD1平行
D．EF与BD1异面
2．已知平面α，β是不重合的两个面，下列命题中，所有正确命题的序号是________.
①若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2 α∥β；
②若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β n1·n2＝0；
③若n是平面α的法向量，向量a在平面α内，则n·a＝0；
④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．
3.
[学科素养——数学运算与逻辑推理]如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．
(1)证明：PA∥平面BDE；
(2)在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？证明你的结论．
4．2 用向量方法研究立体几何中的位置关系
必备知识基础练
1．解析：直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则使l∥α，只需a·n＝0即可．四个选项中，只有D选项满足a·n＝0－3＋3＝0.故选D.
答案：D
2．解析：若α∥β，则向量(1，－2，2)与向量(－2，4，k)共线，∴存在实数λ使(－2，4，k)＝λ(1，－2，2)，∴∴λ＝－2，k＝－4，故选C.
答案：C
3．证明：(1)以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，并设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，M(1，0，1)，N(1，1，0)，P(1，2，1).
由正方体的性质，知AD⊥平面CC1D1D，
所以＝(2，0，0)为平面CC1D1D的一个法向量．
由于＝(0，1，－1)，则·＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，所以⊥.
又MN 平面CC1D1D，
所以MN∥平面CC1D1D.
(2)由于＝(0，2，0)，所以∥，所以MP∥DC.
由于MP 平面CC1D1D，所以MP∥平面CC1D1D.
又由(1)，知MN∥平面CC1D1D，MN∩MP＝M，
所以由两个平面平行的判定定理，知平面MNP∥平面CC1D1D.
4．解析：∵α⊥β，a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0，解得k＝－5.
答案：D
5．解析：
建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，E(，，1).
∴＝(，－，1)，＝(－1，1，0)，＝(－1，－1，0)，＝(－1，0，－1)，＝(0，0，－1).
∵·＝(，－，1)·(－1，－1，0)＝－＋＋0＝0，∴⊥，∴CE⊥BD.
答案：B
6．解析：
方法一：设AB＝BC＝CD＝DA＝AS＝1，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(0，1，0)，A(0，0，0)，S(0，0，1)，E(，，).
连接AC，设AC与BD相交于点O，连接OE，则点O的坐标为(，，0).
因为＝(0，0，1)，＝(0，0，)，
所以＝，所以OE∥AS.
又AS⊥平面ABCD，所以OE⊥平面ABCD.
又OE 平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.
方法二：设AB＝BC＝CD＝DA＝AS＝1，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(0，1，0)，A(0，0，0)，S(0，0，1)，E(，，).
设平面BDE的法向量为n1＝(x，y，z)，
因为＝(－1，1，0)，＝(－，，)，
则由得
令x＝1，可得平面BDE的一个法向量为n1＝(1，1，0).
因为AS⊥平面ABCD，
所以平面ABCD的一个法向量为n2＝＝(0，0，1)，
因为n1·n2＝0，所以平面BDE⊥平面ABCD.
7．解析：直线l的方向向量是a＝(－2，0，1)，平面α的法向量是b＝(2，0，4)，所以a·b＝－4＋0＋4＝0，所以直线l在平面α内或者与平面α平行．又直线l上有一点P不在平面α内，所以l∥α.故选B.
答案：B
8．证明：(1)在△ABD中，AD＝2AB，∠BAD＝60°，由余弦定理，知BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos60°＝AD2－AB2，
∴∠ABD＝90°，∴BD⊥AB.
∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，
BD⊥AB，
∴BD⊥平面PAB.
以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz，
令AB＝2，
则B(0，0，0)，A(2，0，0)，D(0，2，0)，P(1，0，)，C(－2，2，0)，
故E(1，，0)，F(－，，)，＝(－，0，)，
＝(0，2，0).
∵为平面PAB的一个法向量，且·＝0，EF 平面PAB，∴EF∥平面PAB.
(2)由(1)知＝(1，0，)，∴·＝0，∴EF⊥BP.
又EF⊥BD，BD∩BP＝B，∴EF⊥平面PBD.
关键能力综合练
1．解析：u·v＝2×1－2×2＋2×1＝0，∴u⊥v，
∴平面α与β垂直，故选B.
答案：B
2．解析：由题意，知a·b＝0，a·c＝0，
即解得所以a＝(－，，－).
答案：D
3．解析：∵v1，v2分别为直线l1，l2的方向向量(l1，l2不重合)，
∴v1∥v2 l1∥l2，v1⊥v2 l1⊥l2；∵n1，n2分别为平面α，β的法向量(α，β不重合)，∴n1∥n2 α∥β，n1⊥n2 α⊥β，故选D.
答案：D
4．解析：建立空间直角坐标系，如图所示．设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，M(0，0，1)，O(1，1，0)，N(2，1，2)，＝(－1，0，－2)，＝(－2，0，1).∵·＝0，∴直线NO，AM的位置关系是异面垂直．
答案：C
5．解析：＝(1，2，3)－(1，0，－1)＝(0，2，4)，由题意可知平面α的法向量应垂直和a，经验证选项B的向量不满足．故选B.
答案：B
6．解析：∵M在EF上，不妨设ME的长度为x，则M(x，x，1)，
∵A(，，0)，D(，0，0)，E(0，0，1)，B(0，，0)，
∴＝(，0，－1)，＝(0，，－1).
＝(x－，x－，1).
设平面DEB的法向量为n＝(a，b，c)，
易求其中一个法向量为n＝(1，1，).
∴有n·＝0，即x－＋x－＋＝0.
∴x＝.∴x＝1.∴M(，，1).
故选C.
答案：C
7．解析：∵α∥β，∴u1∥u2.∴＝＝，解得y＝1，z＝－4，
∴y＋z＝－3.
答案：－3
8．解析：由已知，得＝(－1，－1，－1)，＝(2，0，1)，＝(－x，1，－z)，
由得解得故P(－1，0，2).
答案：(－1，0，2)
9．解析：
以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，a，0)，C(1，a，0)，设Q(1，y，0)，P(0，0，z)，则＝(1，y，－z)，＝(－1，a－y，0).由·＝0，得－1＋y(a－y)＝0，即y2－ay＋1＝0.当Δ＝a2－4＝0，即a＝2时，只有一个点Q满足PQ⊥QD.
答案：2
10．解析：
分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，则P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0).假设在棱PD上存在符合题意的点E，设E(0，y，z)，则＝(0，y，z－1)，＝(0，2，－1).∵∥，∴y(－1)－2(z－1)＝0①
∵＝(0，2，0)是平面PAB的法向量，＝(－1，y－1，z)
∴由CE∥平面PAB，可得⊥.∴(－1，y－1，z)·(0，2，0)＝2(y－1)＝0.
∴y＝1，代入①式得z＝.∴E是PD的中点，即当E为PD的中点时，CE∥平面PAB.
关键能力综合练
1．解析：以D为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系D－xyz，设正方体的棱长为3，则D(0，0，0)，A(3，0，0)，C(0，3，0)，A1(3，0，3)，E(1，0，1)，F(2，1，0)，B(3，3，0)，D1(0，0，3)，∴＝(－3，0，－3)，＝(－3，3，0)，＝(1，1，－1)，∴·＝0，·＝0，即A1D⊥，⊥，即A1D⊥EF，AC⊥EF.又＝(－3，－3，3)，∴＝－3，∴BD1∥EF.故选BC.
答案：BC
2．解析：对于①，因为平面α，β是不重合的两个面，所以由n1∥n2 α∥β，α∥β n1∥n2，正确；对于②，α⊥β n1·n2＝0，正确；对于③，因为a在平面内，所以平面的法向量n与a垂直，即n·a＝0，正确；对于④，若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直，正确．故正确命题的序号是①②③④.
答案：①②③④
3．解析：(1)以D为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设PD＝DC＝2，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)，B(2，2，0)，∴＝(2，0，－2)，＝(0，1，1)，＝(2，2，0).
设n＝(x，y，z)是平面BDE的法向量，则由得取y＝－1，得n＝(1，－1，1)为平面BDE的一个法向量．
∵·n＝2－2＝0，∴⊥n，又PA 平面BDE，∴PA∥平面BDE.
(2)∵＝(2，2，－2)，＝(0，1，1)，
∴·＝0＋2－2＝0，∴PB⊥DE.
假设棱PB上存在点F，使PB⊥平面DEF，设＝λ(0<λ<1)，
则＝(2λ，2λ，－2λ)，＝＋＝(2λ，2λ，2－2λ)，
由·＝0得4λ＋4λ－2(2－2λ)＝0，
解得λ＝∈(0，1)，此时PF＝PB，
即在棱PB上存在点F，且PF＝PB，使得PB⊥平面DEF.4．1 直线的方向向量与平面的法向量
必备知识基础练
知识点一直线的方向向量与直线的向量表示
1．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，分别以长方体的两个顶点为起点和终点的向量中，直线AB的方向向量有________个．
2．已知A(1，2，－1)，B(2，0，1)，求直线AB的一个方向向量．
知识点二平面的法向量
3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ACC1A1的法向量是( )
A． B．C． D．
4．下列有关平面法向量的说法中，正确的是________.(填写相应序号)
①平面α的法向量垂直于与平面α平行的所有向量；②一个平面的所有法向量互相平行；③如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直；④如果a，b与平面α平行，且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量．
5．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝，点D是A1B1的中点．求证：是平面AA1B1B的一个法向量．
知识点三平面的法向量的应用
6.如图，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD为正方形，VA⊥平面ABCD，以这五个顶点为起点和终点的向量中，
(1)求直线AB的方向向量；
(2)求证：BD⊥平面VAC，并确定平面VAC的法向量．
关键能力综合练
一、选择题
1．已知向量a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则( )
A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝
2．若＝(1，2，3)，＝(－1，3，4)，则以下向量中是平面OAB的一个法向量的是( )
A．(1，7，5)
B．(1，－7，5)
C．(－1，－7，5)
D．(1，－7，－5)
3．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，以三棱柱的顶点为起点和终点的向量中，平面BB1C1C的法向量有( )
A．0个 B．2个
C．3个 D．4个
4．如图，在正四面体ABCD中，E为CD的中点，F为BC的中点，则下面不是平面AEB的法向量的为( )
A． B．
C． D．
5．在空间直角坐标系中，已知点P1(0，，3)，P2(0，1，－1)，点P在x轴上，若PP1＝2PP2，则点P的坐标为( )
A．(1，0，0)或(－1，0，0)
B．(，0，0)或(－，0，0)
C．(2，0，0)或(－2，0，0)
D．(，0，0)或(－，0，0)
6．[易错题]已知平面α内有一点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量为n＝(2，－1，2)，则下列各点在平面α内的是( )
A．(－4，4，0) B．(2，0，1)
C．(2，3，3) D．(3，－3，4)
二、填空题
7．已知直线l过点A(1，2，3)，B(2，5，8)，且a＝(－2，m，n)是直线l的方向向量，则m＋n＝________.
8．已知＝(2，2，1)，＝(4，5，3)，写出平面ABC的一个单位法向量为________.
9．[探究题]已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z的值分别为________.
三、解答题
10．如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD＝AD，E，F，M分别是PC，PB，AD的中点．证明：
(1)是直线DE的一个方向向量；
(2)是平面PBC的一个法向量．
学科素养升级练
1．[多选题]在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，下列说不正确的是( )
A．是平面ABCD的法向量
B．＝
C．〈，〉＝π
D．与不是共面向量
2．已知P是平面ABCD外一点，四边形ABCD是平行四边形，＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)，则直线PA与平面ABCD的位置关系是________.
3．[学科素养——逻辑推理]已知正方形ADEF和等腰梯形ABCD垂直，已知BC＝2AD＝4，∠ABC＝60°，BA⊥AC.在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC⊥平面BCEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
4．1 直线的方向向量与平面的法向量
必备知识基础练
1．解析：直线AB的方向向量有：，，，，，，，，共8个．
答案：8
2．解析：即直线AB的一个方向向量，＝(2，0，1)－(1，2，－1)＝(1，－2，2).
3．解析：∵BD⊥AC，BD⊥AA1，AC∩AA1＝A，∴BD⊥平面ACC1A1，∴为平面ACC1A1的法向量．
答案：A
4．解析：由平面法向量的定义知①②③正确，对于④，当a与b共线时，n就不一定是平面α的法向量，故④错误．
答案：①②③
5．证明：∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，
∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.
又点D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1.
∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D 平面A1B1C1，
∴AA1⊥C1D.
又A1B1∩AA1＝A1，∴C1D⊥平面AA1B1B，
∴是平面AA1B1B的一个法向量．
6．解析：(1)由已知得，在以四棱锥V－ABCD的五个顶点为起点和终点的向量中，直线AB的方向向量有，，，，共4个．
(2)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD.
又∵VA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，∴BD⊥VA.
又∵AC∩VA＝A，∴BD⊥平面VAC.
∴平面VAC的法向量有，，共2个．
关键能力综合练
1．解析：由题意可知a∥b，∴＝＝，∴x＝6，y＝.
答案：D
2．解析：因为(－1，－7，5)·(1，2，3)＝－1－14＋15＝0，(－1，－7，5)·(－1，3，4)＝1－21＋20＝0，所以向量(－1，－7，5)是平面OAB的一个法向量，易验证其余三个均不是平面OAB的法向量．
答案：C
3．解析：由于三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，且∠ACB＝90°，∴A1C1⊥平面BB1C1C，AC⊥平面BB1C1C，∴平面BB1C1C的法向量有：，，，，共4个．
答案：D
4．解析：∵正四面体ABCD的各面均为正三角形，AE⊥CD，BE⊥CD，又AE∩BE＝E，
∴直线CD⊥平面ABE.
∴直线CD的方向向量均为平面ABE的法向量．四个选项中只有不是平面ABE的法向量．故选C.
答案：C
5．解析：设P(a，0，0)，∵点P1(0，，3)，P2(0，1，－1)，PP1＝2PP2，
∴＝2，
解得a＝1或a＝－1，
∴点P的坐标为(1，0，0)或(－1，0，0).
答案：A
6．解析：若点P在平面α内，则n·＝0，设P(x，y，z)，则2(x－1)－(y＋1)＋2(z－2)＝0，经过验证只有点(2，3，3)满足，故选C.
答案：C
7．解析：∵＝(1，3，5)，a∥，∴＝＝，∴m＝－6，n＝－10，∴m＋n＝－16.
答案：－16
8．解析：设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，
则有取x＝1，则y＝－2，z＝2.
所以n＝(1，－2，2)，由于|n|＝3，
所以平面ABC的一个单位法向量可以是(－，，－).
答案：(－，，－)(答案不唯一)
9．解析：∵⊥，∴·＝0，即3＋5－2z＝0，解得z＝4，∴＝(3，1，4)，又BP⊥平面ABC，∴BP⊥AB，BP⊥BC，则解得
答案：，－，4
10．解析：(1)∵E，F分别是PC，PB的中点，∴EF∥BC，EF＝BC.又BC∥AD，BC＝AD，∴EF∥AD，EF＝AD，又M是AD中点，∴EF∥DM，EF＝DM，∴四边形DEFM是平行四边形，∴FM∥DE，∴是直线DE的一个方向向量．
(2)∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，又BC⊥CD，PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PCD，又DE 平面PCD，∴BC⊥DE.∵PD＝CD，E是PC的中点，∴DE⊥PC，又PC∩BC＝C，∴DE⊥平面PBC，∴是平面PBC的一个法向量．由(1)知＝，∴是平面PBC的一个法向量．
学科素养升级练
1．解析：∵AB∥C1D1，且向量与向量方向相反，
∴〈，〉＝π，易得A，B，D均不正确．故选ABD.
答案：ABD
2．解析：因为·＝(－1，2，－1)·(2，－1，－4)＝－2－2＋4＝0，·＝(－1，2，－1)·(4，2，0)＝－4＋4＋0＝0，所以⊥，⊥，即AP⊥AB，AP⊥AD，又AB∩AD＝A，AB 平面ABCD，AD 平面ABCD，故PA⊥平面ABCD.
答案：垂直
3．解析：
存在．如图所示，以A为坐标原点，AB，AC，AF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(－1，，0)，F(0，0，2)，E(－1，，2).
若P为线段BE上的一点，且＝λ(λ＞0)(点P与点B重合时不满足平面PAC⊥平面BCEF)，则＝λ＝λ(－3，，2)＝(－3λ，λ，2λ)，∴P(－3λ＋2，λ，2λ).
设平面PAC和平面BCEF的法向量分别为m＝(x，y，z)，n＝(a，b，c)，
易知＝(－3λ＋2，λ，2λ)，＝(0，2，0)，
则令x＝1，得m＝(1，0，)为平面PAC的一个法向量，
同理可求得n＝(1，，1)为平面BCEF的一个法向量．
当m·n＝1＋0＋＝0，即λ＝时，平面PAC⊥平面BCEF，
∴存在点P使得平面PAC⊥平面BCEF，此时＝.第2课时 空间向量运算的坐标表示的应用
必备知识基础练
知识点一空间向量的平行与垂直
1.下列各组向量中不平行的是( )
A．a＝(1，2，－2)，b＝(－2，－4，4)
B．c＝(1，0，0)，d＝(－3，0，0)
C．e＝(2，3，0)，f＝(0，0，0)
D．g＝(－2，3，5)，h＝(16，24，40)
2．已知向量a＝(－2，x，2)，b＝(2，1，2)，c＝(4，－2，1)，若a⊥(b－c)，则x的值为( )
A．－2 B．2C．3 D．－3
3．已知a＝(1，5，－1)，b＝(－2，3，5).
(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k的值；
(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k的值．
知识点二空间向量的长度与夹角的坐标表示
4.若向量a＝(1，－1，2)，b＝(2，1，－3)，则|a＋b|＝( )
A． B．2C．3 D．
5．已知空间向量a＝(1，0，1)，b＝(1，1，n)，a·b＝3，则向量a与λb(λ≠0)的夹角为( )
A． B．或
C． D．或
6．已知a＝(2，－1，2)，b＝(2，2，1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为________.
知识点三空间向量坐标表示的综合应用
7.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为DD1，BD，BB1的中点．
(1)求cos 〈，〉；
(2)求CE的长；
(3)求证：⊥.
关键能力综合练
一、选择题
1．已知a＝(2，－3，1)，则下列向量中与a平行的是( )
A．(1，1，1) B．(－2，－3，5)
C．(2，－3，5) D．(－4，6，－2)
2．向量a＝(2，4，x)，b＝(2，y，2).若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值为( )
A．－3 B．1
C．3或1 D．－3或1
3．已知a＝(1－t，2t－1，0)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值为( )
A． B．
C． D．
4．已知a＝(1，2，y)，b＝(x，1，2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则xy的值为( )
A． B．2C．－ D．－1
5．已知A(1，0，0)，B(0，－1，1).若＋λ与(O为坐标原点)的夹角为120°，则λ的值为( )
A． B．－C．± D．±
6．[易错题]已知a＝(x，2，0)，b＝(3，2－x，x)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是( )
A．(－∞，－4) B．(－4，0)C．(0，4) D．(4，＋∞)
二、填空题
7．已知向量a＝(0，－1，1)，b＝(4，1，0)，|λa＋b|＝，且λ>0，则λ＝________.
8．若＝(－4，6，－1)，＝(4，3，－2)，|a|＝1，且a⊥，a⊥，则a＝________.
9．已知空间三点A(1，1，1)，B(－1，0，4)，C(2，－2，3)，则与的夹角的大小为________.
三、解答题
10．[探究题]已知向量a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2).
(1)求|2a＋b|；
(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b？(O为原点)
学科素养升级练
1．[多选题]如果三点A(1，5，－2)，B(2，4，1)，C(a，3，b＋2)在同一条直线上，则( )
A．a＝3 B．a＝6
C．b＝－3 D．b＝2
2．已知P(3cos α，3sin α，1)和Q(2cos β，2sin β，1)，则||的取值范围是________.
3．[学科素养——数学运算]如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝，点M在棱CC1上，且MD1⊥MA，求当△MAD1的面积最小时，棱CC1的长．
第2课时 空间向量运算的坐标表示的应用
必备知识基础练
1．解析：对于A，b＝－2a a∥b；对于B，d＝－3c d∥c；对于C，零向量与任何向量都平行 e∥f；易知D中的g与h不平行．
答案：D
2．解析：b－c＝(－2，3，1)，∴a·(b－c)＝4＋3x＋2＝0，∴x＝－2.
答案：A
3．解析：ka＋b＝(k－2，5k＋3，－k＋5)，
a－3b＝(1＋3×2，5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16).
(1)因为(ka＋b)∥(a－3b)，
所以＝＝，解得k＝－.
(2)因为(ka＋b)⊥(a－3b)，
所以(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝0，
解得k＝.
4．解析：由题意，知a＋b＝(3，0，－1)，则|a＋b|＝＝.
答案：D
5．解析：由a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝1＋n＝3，得n＝2，×cos〈a，b〉＝3，从而cos〈a，b〉＝，又向量夹角的范围为[0，π]，故a，b的夹角为，则当λ＞0时，a与λb的夹角为；当λ＜0时，a与λb的夹角为.故选B.
答案：B
6．解析：设a，b的夹角为θ，则cosθ＝＝.
∴sinθ＝，
∴以a，b为邻边的平行四边形的面积S＝2××3×3×＝.
答案：
7．解析：
如图，以D点为坐标原点，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，E(0，0，)，C(0，1，0)，F(，，0)，G(1，1，).
∴＝(，，－)，＝(，－，0)，
＝(1，0，)，＝(0，－1，).
(1)∵·＝×1＋×0＋(－)×＝，
||＝＝，
||＝＝，
∴cos〈，〉＝＝＝.
(2)||＝＝，
即CE的长为.
(3)∵＝(－1，1，0)，
∴·＝(－1)×＋1×＋0×(－)＝0.
∴⊥.
关键能力综合练
1．解析：若b＝(－4，6，－2)，则b＝－2(2，－3，1)＝－2a，所以a∥b.
答案：D
2．解析：因为a·b＝2×2＋4×y＋2×x＝2x＋4y＋4＝0，又|a|＝＝＝6，所以联立解得或所以x＋y＝1或x＋y＝－3，故选D.
答案：D
3．解析：∵a＝(1－t，2t－1，0)，b＝(2，t，t)，∴|b－a|＝＝≥.故当t＝0时，|b－a|取得最小值.
答案：C
4．解析：因为a＝(1，2，y)，b＝(x，1，2)，所以a＋2b＝(1＋2x，4，y＋4)，2a－b＝(2－x，3，2y－2).又因为(a＋2b)∥(2a－b)，所以＝＝，解得x＝，y＝4，所以xy＝2.故选B.
答案：B
5．解析：∵＋λ＝(1，－λ，λ)，＝(0，－1，1)，
∴cos120°＝＝＝－，可得λ＜0，解得λ＝－.故选B.
答案：B
6．解析：∵a，b的夹角为钝角，∴a·b＜0，即3x＋2(2－x)＋0·x＝4＋x＜0，∴x＜－4.又当a，b的夹角为π时，存在λ＜0，使b＝λa，
∴此方程组无解．综上，x＜－4.故选A.
答案：A
7．解析：∵a＝(0，－1，1)，b＝(4，1，0)，∴λa＋b＝(4，1－λ，λ).
∵|λa＋b|＝，∴16＋(1－λ)2＋λ2＝29.
∴λ2－λ－6＝0，解得λ＝3或λ＝－2.∵λ＞0，∴λ＝3.
答案：3
8．解析：设a＝(x，y，z)，
由题意，得代入坐标可解得或
答案：(，，)或(－，－，－)
9．解析：因为＝(－2，－1，3)，＝(－1，3，－2)，
所以cos〈，〉＝＝
＝＝－.
又因为0°≤〈，〉≤180°，所以〈，〉＝120°.
答案：120°
10．解析：(1)由已知可得2a＋b＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)＝(0，－5，5)，
故|2a＋b|＝＝5.
(2)存在．设＝t.由已知可得＝(－3，－1，4)，＝(1，－1，－2)，则＝＋＝＋t＝(－3，－1，4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t，4－2t)，若⊥b，则·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝，因此存在点E，使得⊥b，且E点坐标为(－，－，).
学科素养升级练
1．解析：因为A，B，C三点共线，所以向量，共线．又因为＝(1，－1，3)，＝(a－1，－2，b＋4)，所以＝＝，解得a＝3，b＝2.故选AD.
答案：AD
2．解析：∵P(3cosα，3sinα，1)和Q(2cosβ，2sinβ，1)，
∴||＝
＝
＝.
∵cos (α－β)∈[－1，1]，∴||的取值范围是[1，5].
答案：[1，5]
3．解析：
以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则A(，0，0).设M(0，1，t)，D1(0，0，z)(z≥t≥0)，
则＝(0，－1，z－t)，＝(－，1，t).∵MD1⊥MA，∴t≠0，·＝－1＋t(z－t)＝0，即z－t＝，∴＝||||＝××＝××＝＝≥＝，当且仅当t＝，z＝时取等号，∴CC1＝z＝.第1课时 空间向量基本定理 空间向量运算的坐标表示
必备知识基础练
知识点一空间向量基本定理
1.在以下三个命题中，真命题的个数是( )
①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基，则a，b，c共面；②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基，则a，b共线；③若a，b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基．
A．0 B．1
C．2 D．3
2．设{a，b，c}是空间的一个基，则一定可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成空间的另一个基的向量是( )
A．a B．b
C．c D．a或b
3．如图，四棱锥P－OABC的底面为一矩形，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示，，，.
知识点二空间向量的坐标表示
4.已知A(3，－2，4)，B(0，5，－1).若＝(O为坐标原点)，则C的坐标是( )
A．B．
C． D．
5．如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，B1E1＝A1B1，则＝________.
知识点三空间向量的坐标运算
6.已知a＝(1，－2，1)，a－b＝(－1，2，－1)，则b＝( )
A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2)
C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3)
7．已知向量a＝(－3，2，5)，b＝(1，x，－1)，且a·b＝2，则x的值为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
8．向量a＝(2，0，5)，b＝(3，1，－2)，c＝(－1，4，0)，则a＋6b－8c＝________.
9．已知A，B，C三点的坐标分别是(2，－1，2)，(4，5，－1)，(－2，2，3)，＝(－)，则点P的坐标是________.
关键能力综合练
一、选择题
1．若{a，b，c}是空间的一个基，则下列各组中不能构成空间的一个基的是( )
A．a，2b，3c
B．a＋b，b＋c，c＋a
C．a＋b＋c，b＋c，c
D．a＋2b，2b＋3c，3a－9c
2．在空间四点O，A，B，C中，若{，，}是空间的一个基，则下列命题不正确的是( )
A．O，A，B，C四点不共线
B．O，A，B，C四点共面，但不共线
C．O，A，B，C四点不共面
D．O，A，B，C四点中任意三点不共线
3．已知点A在基{a，b，c}下的坐标为(8，6，4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基{i，j，k}下的坐标为( )
A．(12，14，10) B．(10，12，14)
C．(14，10，12) D．(4，2，3)
4．已知向量a＝(3，5，1)，b＝(2，2，3)，c＝(4，－1，－3)，则向量2a－3b＋4c的坐标为( )
A．(4，－5，－10) B．(2，－1，1)
C．(16，0，－19) D．(－16，0，19)
5．已知点A的坐标为(1，1，0)，向量＝(4，0，2)，则点B的坐标为( )
A．(7，－1，4) B．(9，1，4)
C．(3，1，1) D．(1，－1，1)
6．[易错题]在四面体OABC中，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则x，y，z分别为( )
A．，， B．，，
C．，， D．，，
二、填空题
7．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，若＝x＋2y＋3z，则x＋y＋z＝________.
8．已知向量a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1，4)，则2a·(－b)＝________，(a＋b)·(a－b)＝________.
9．[探究题]已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，2)，c＝(－3，5，λ).若a，b，c三向量共面，则实数λ＝_________________________________________________________.
三、解答题
10．已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点O满足＝＋＋.
(1)判断，，三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内．
学科素养升级练
1．[多选题]已知A，B，C，D，E是空间五点，且任何三点不共线．若，，与，，均不能构成空间的一个基，则下列结论正确的是( )
A．，，不能构成空间的一个基
B．，，不能构成空间的一个基
C．，，不能构成空间的一个基
D．，，能构成空间的一个基
2．已知a＝(3，4，5)，e1＝(2，－1，1)，e2＝(1，1，－1)，e3＝(0，3，3)，若a＝xe1＋ye2＋ze3，则实数x，y，z的值分别为________.
3．[学科素养——数学运算]已知e1，e2，e3为空间的一个基，且＝2e1－e2＋3e3，＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3.
(1)判断P，A，B，C四点是否共面．
(2)能否以，，作为空间的一个基？若能，试以这一基表示；若不能，请说明理由．
第1课时 空间向量基本定理、空间向量运算的坐标表示
必备知识基础练
1．解析：①正确，作为基的向量必须不共面；②正确；③错误，a，b不共线，当c＝λa＋μb时，a，b，c共面．故只有①②正确．
答案：C
2．解析：因为{a，b，c}是空间的一个基，所以向量a，b，c不共面，而向量p＝a＋b，q＝a－b与a或b共面，故排除选项A，B，D.故选C.
答案：C
3．解析：连接OB.
＝＝(＋)＝(－＋)＝(－－＋)＝－a－b＋c.
＝＋＝－＋＝－a＋(＋)＝－a＋(－＋)＝－a－b＋c.
＝＋＝＋＋(＋)＝－a＋c＋(－c＋b)＝－a＋b＋c.
＝＝＝a.
4．解析：∵＝(－3，7，－5)，∴＝(－3，7，－5)＝(－2，，－).故选B.
答案：B
5．解析：由于B(1，1，0)，E1(1，，1)，所以＝(0，－，1).
答案：(0，－，1)
6．解析：因为a－(a－b)＝b，所以b＝(1，－2，1)－(－1，2，－1)＝(2，－4，2)，故选A.
答案：A
7．解析：由a＝(－3，2，5)，b＝(1，x，－1)，得a·b＝－3＋2x－5＝2，解得x＝5.
答案：B
8．解析：∵a＝(2，0，5)，b＝(3，1，－2)，c＝(－1，4，0)，∴a＋6b－8c＝(28，－26，－7).
答案：(28，－26，－7)
9．解析：易知＝(6，3，－4)，设P(a，b，c)，
则＝(a－2，b＋1，c－2)＝＝(3，，－2)，
∴a＝5，b＝，c＝0，∴P(5，，0)
答案：(5，，0)
关键能力综合练
1．解析：因为{a，b，c}是空间的一个基，所以a，b，c不共面．对于A，B，C选项，每组都是不共面的向量，能构成空间的一个基；对于D：a＋2b，2b＋3c，3a－9c满足3a－9c＝3[(a＋2b)－(2b＋3c)]，所以这三个向量是共面向量，故不能构成空间的一个基．故选D.
答案：D
2．解析：选项A对应的命题是正确的，若四点共线，则向量，，共面，构不成基；选项B对应的命题是错误的，若四点共面，则，，共面，构不成基；选项C对应的命题是正确的，若四点共面，则，，构不成基；选项D对应的命题是正确的，若有三点共线，则这四点共面，向量，，构不成基．
答案：B
3．解析：∵点A在基{a，b，c}下的坐标为(8，6，4)，∴＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k，
∴点A在基{i，j，k}下的坐标为(12，14，10).
答案：A
4．解析：由于a＝(3，5，1)，b＝(2，2，3)，c＝(4，－1，－3)，则2a－3b＋4c＝2(3，5，1)－3(2，2，3)＋4(4，－1，－3)＝(16，0，－19).
答案：C
5．解析：设B(x，y，z)，则(x－1，y－1，z)＝(4，0，2)，
∴解得故点B的坐标为(9，1，4).
答案：B
6．解析：∵＝＝(＋)＝＋×[(＋)]＝＋[(－)＋(－)]＝＋＋，而＝x＋y＋z，∴x＝，y＝，z＝.故选A.
答案：A
7．解析：∵＝＋＋，又＝x＋2y＋3z，
∴x＝1，2y＝1，3z＝－1，即x＝1，y＝，z＝－，故x＋y＋z＝1＋－＝.
答案：
8．解析：2a·(－b)＝2(2，－1，－2)·[－(0，－1，4)]
＝(4，－2，－4)·(0，1，－4)
＝4×0＋(－2)×1＋(－4)×(－4)
＝14.
(a＋b)·(a－b)＝a·a－b·b
＝(2，－1，－2)·(2，－1，－2)－(0，－1，4)·(0，－1，4)＝9－17＝－8.
答案：14 －8
9．解析：由题意可知存在实数m，n满足c＝ma＋nb，所以可得方程组解得故答案为－1.
答案：－1
10．解析：(1)∵＋＋＝3，∴－＝(－)＋(－)＝＋，即＝＋＝－－，故向量，，共面．
(2)由(1)知向量，，共面，且它们有共同的起点M.又A，B，C三点不共线，故点M，A，B，C共面，即点M在平面ABC内．
学科素养升级练
1．解析：由题意知，空间五点A，B，C，D，E共面，故A，B，C正确．
答案：ABC
2．解析：由a＝xe1＋ye2＋ze3，可得(3，4，5)＝(2x＋y，－x＋y＋3z，x－y＋3z)，
所以解得
答案：，，
3．解析：(1)假设P，A，B，C四点共面，
则存在实数x，y，z，使＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1，
即2e1－e2＋3e3＝x(e1＋2e2－e3)＋y(－3e1＋e2＋2e3)＋z(e1＋e2－e3)＝(x－3y＋z)e1＋(2x＋y＋z)e2＋(－x＋2y－z)e3.
比较对应的系数，得到关于x，y，z的方程组
解得与x＋y＋z＝1矛盾，
故P，A，B，C四点不共面．
(2)若，，共面，则存在实数m，n，使＝m＋n，
同(1)可证，，，不共面，
因此，，可以作为空间的一个基，令＝a，＝b，＝c，
由得，
所以＝2e1－e2＋3e3＝2(3a－b－5c)－(a－c)＋3(4a－b－7c)＝17a－5b－30c＝17－5－30.第2课时 空间向量的数量积
必备知识基础练
知识点一两个向量的夹角的概念
1．在如图所示的正三棱柱ABC－A1B1C1中，与〈，〉相等的是( )
A．〈，〉
B．〈，〉
C．〈，〉
D．〈，〉
2．在正四面体S－ABC中，E，F分别为SB，AB的中点，则〈，〉＝________.
知识点二两个向量的数量积的概念及运算
3.设a，b，c是任意的非零空间向量，且它们互不共线，下列命题：①(a·b)c－(c·a)b＝0；②|a|＝；③a2b＝b2a；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正确的有( )
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
4．在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是棱BC，AD的中点，则·＝( )
A．0 B．－2 C．2 D．－3
5．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，则·＝________.
知识点三数量积的应用
6.已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝e1＋e2与b＝e1－2e2的夹角是( )
A．60° B．120° C．30° D．90°
7．已知空间向量a，b，|a|＝3，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，则λ＝________.
8．已知在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝4，AA′＝5，∠BAD＝120°，∠BAA′＝60°，∠DAA′＝90°，则AC′的长为________.
知识点四投影向量与投影数量的概念
9.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知|AB|＝|BC|＝1，|AA1|＝2.
(1)指出分别在，方向上的投影向量；
(2)求向量在方向上的投影数量；
(3)求向量在方向上的投影数量．
关键能力综合练
一、选择题
1．在正四面体ABCD中，与的夹角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
2．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则·的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
3．如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，则·＝( )
A． B．C． D．
4．已知空间向量a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，则cos 〈a，b〉＝( )
A． B． C．－ D．
5．已知向量i，j，k是一组单位向量，且两两垂直．若m＝8j＋3k，n＝－i＋5j－4k，则m·n的值为( )
A．7 B．－20 C．28 D．11
6．[易错题]已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝AD＝1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60°，则AC1的长为( )
A．6 B． C．3 D．
二、填空题
7．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则·＝________.
8．已知空间向量a，b，c中每两个的夹角都是，且|a|＝4，|b|＝6，|c|＝2，则|a＋b＋c|＝________.
9．已知空间向量m，n，设|m|＝1，|n|＝2，2m＋n与m－3n垂直，a＝4m－n，b＝7m＋2n，则〈a，b〉＝________.
三、解答题
10．[探究题]如图，已知正四面体ABCD的各棱长都是a，E，F，G分别是AB，AD，DC上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝CG∶GD＝1∶2，求下列向量的数量积．
(1)·；
(2)·；
(3)·.
学科素养升级练
1．[多选题]已知长方体ABCD－A1B1C1D1，则下列向量的数量积可能为0的是( )
A．· B．·
C．·D．·
2.如图所示，在一个直二面角α－AB－β的棱上有两点A，B，AC，BD分别是这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，且AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD的长为________.
3．[学科素养——数学运算]如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是边长为的正三角形，且侧棱AA1⊥底面ABC.试利用向量的方法解决下列问题：
(1)设侧棱长为1，求·；
(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱长．
第2课时 空间向量的数量积
必备知识基础练
1．解析：∵＝，∴〈，〉＝〈，〉＝〈，〉＝60°，故选D.
答案：D
2．解析：如图所示，∵E，F分别为SB，AB的中点，
∴EF∥SA.∵△SAC为正三角形，∴∠SAC＝，∴〈，〉＝.
答案：
3．解析：由于数量积不满足结合律，故①不正确；由数量积的性质知②正确；③中，可化为|a|2·b＝|b|2·a，该式不一定成立；④运算正确．
答案：D
4．解析：如图所示．
在棱长为2的正四面体ABCD中，因为E，F分别是棱BC，AD的中点，所以·＝(＋)·(＋)＝(·＋·＋·＋·)＝(2×2×cos120°＋2×2×cos90°＋2×2×cos180°＋2×2×cos120°)＝－2.故选B.
答案：B
5．解析：由题意得AC1·＝(＋＋)·＝·＋·＋AA1·＝||2＝1.
答案：1
6．解析：∵a·b＝(e1＋e2)·(e1－2e2)＝e－e1·e2－2e＝1－1×1×－2＝－，
|a|＝＝＝＝＝，
|b|＝＝＝＝＝，
∴cos〈a，b〉＝＝＝－，∴〈a，b〉＝120°.
答案：B
7．解析：由m⊥n得(a＋b)·(a＋λb)＝0，即a2＋(1＋λ)·a·b＋λb2＝0，所以18＋(λ＋1)×3×4×cos135°＋16λ＝0，即4λ＋6＝0，解得λ＝－.
答案：－
8．解析：在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，因为＝＋＋，所以||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝9＋16＋25＋2×3×4×cos120°＋2×3×5×cos60°＝50－12＋15＝53，
所以||＝.
答案：
9．解析：(1)根据正四棱柱的性质及投影向量的定义，在，方向上的投影向量分别为，.
(2)因为〈，〉＝∠C1AD，所以向量在方向上的投影数量为|AC1|cos∠C1AD＝||·＝||＝1.
(3)因为〈，〉＝π－∠C1AB，所以向量在方向上的投影数量为||cos (π－∠C1AB)＝－||·＝－||＝－1.
关键能力综合练
1．解析：〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°.
答案：C
2．解析：＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)，＝＋，则·＝(||2＋||2)＝1，故选C.
答案：C
3．解析：由题意得＝，所以·＝·＝×1×1×cos60°＝.故选B.
答案：B
4．解析：∵a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|c|2，∴a·b＝，∴cos〈a，b〉＝＝.
答案：D
5．解析：向量i，j，k是一组单位向量，且两两垂直，所以|i|＝|j|＝|k|＝1且i·j＝j·k＝i·k＝0.因为m＝8j＋3k，n＝－i＋5j－4k，所以m·n＝(8j＋3k)·(－i＋5j－4k)＝40－12＝28.故选C.
答案：C
6．解析：设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，
且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
因此a·b＝b·c＝c·a＝.
由＝a＋b＋c得
||2＝2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝6.
∴||＝，故选B.
答案：B
7．解析：连接A1D，则·＝·＝||·||·cos〈，〉＝a×a×cos60°＝a2.
答案：a2
8．解析：∵|a|＝4，|b|＝6，|c|＝2，且〈a，b〉＝〈a，c〉＝〈b，c〉＝，
∴|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)·(a＋b＋c)＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2|a|·|b|·cos〈a，b〉＋2|a|·|c|·cos〈a，c〉＋2|b|·|c|·cos〈b，c〉＝42＋62＋22＋4×6＋4×2＋6×2＝100，∴|a＋b＋c|＝10.
答案：10
9．解析：∵(2m＋n)⊥(m－3n)，∴(2m＋n)·(m－3n)＝0，化简得m·n＝－2.
又∵|a|＝＝＝＝6，
|b|＝＝＝＝3，
a·b＝(4m－n)·(7m＋2n)＝28|m|2－2|n|2＋m·n＝18，
∴cos〈a，b〉＝＝＝1，∴〈a，b〉＝0°.
答案：0°
10．解析：(1)因为＝－，
所以·＝·(－)
＝·－·.
又||＝a，||＝a，||＝a，〈，〉＝〈，〉＝60°，
所以·＝a2－a2＝0.
(2)因为F，G分别是AD，DC上的点，
且AF∶FD＝CG∶GD＝1∶2，
所以＝＝－，
所以·＝－2.
因为2＝a2，所以·＝－a2.
(3)因为E，F分别是AB，AD上的点，
且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶2，
所以＝，所以·＝·.
又〈，〉＝60°，
所以·＝·
＝×a×a×cos60°＝a2.
学科素养升级练
1．解析：对于选项A，当四边形ADD1A1为正方形时，可得AD1⊥A1D，而A1D∥B1C，可得AD1⊥B1C，此时有·＝0；对于选项B，当四边形ABCD为正方形时，AC⊥BD，易得AC⊥平面BB1D1D，故有AC⊥BD1，此时有·＝0；对于选项C，由长方体的性质，可得AB⊥平面ADD1A1，可得AB⊥AD1，此时必有·＝0；对于选项D，由长方体的性质，可得BC⊥平面CDD1C1，可得BC⊥CD1，△BCD1为直角三角形，∠BCD1为直角，故BC与BD1不可能垂直，即·≠0.故选ABC.
答案：ABC
2．解析：∵＝＋＋＝－＋，
∴2＝(－＋)2
＝2＋2＋2－2·＋2·－2·＝16＋36＋64＝116，
∴||＝2.
答案：2
3．解析：(1)＝＋，＝＋.
∵BB1⊥平面ABC，∴·＝0，·＝0.
又△ABC为正三角形，
∴〈·〉＝π－〈·〉＝π－＝.
∴·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋2＋·
＝||·||·cos〈，〉＋2
＝－1＋1
＝0.
(2)结合(1)，知·＝||·||·cos〈，〉＋2＝2－1.
又||＝＝＝||，
∴|cos〈，〉|＝＝，
∴||＝2，即侧棱长为2.第1课时 空间向量的概念、空间向量的加减法及数乘运算
必备知识基础练
知识点一空间向量的基本概念
1.给出下列命题：
①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；
②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；
③若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；
④空间中任意两个单位向量必相等；
⑤零向量没有方向．
其中假命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下面关于空间向量的说法正确的是( )
A．若向量a，b平行，则a，b所在直线平行
B．若向量a，b所在直线是异面直线，则a，b不共面
C．若A，B，C，D四点不共面，则向量，不共面
D．若A，B，C，D四点不共面，则向量，，不共面
3．如图，在长、宽、高分别为AB＝4，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD－A1B1C1D1中，以八个顶点中的两点分别为起点和终点的向量中．
(1)单位向量共有多少个？
(2)写出模为的所有向量．
(3)试写出的相反向量．
知识点二空间向量的加减法
4.已知空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则等于( )
A．a＋b－c B．c－a－b
C．c＋a－b D．c＋a＋b
5．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，用向量，，表示向量的结果为( )
6．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，设＝a，＝b，＝c，则|a＋b＋c|等于________．
知识点三空间向量的数乘运算
7.已知λ，μ∈R，给出以下命题：
①λ<0，a≠0时，λa与a的方向一定相反；
②λ≠0，a≠0时，λa与a是共线向量；
③λμ>0，a≠0时，λa与μa的方向一定相同；
④λμ<0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反．
其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
8．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的是( )
A．－a＋b＋c B．a＋b＋c
C．－a－b＋c D．a－b＋c
关键能力综合练
一、选择题
1．已知空间任意两个非零向量a，b，则“|a|＝|b|，且a∥b”是“a＝b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．空间两向量a，b互为相反向量，已知向量|b|＝3，则下列结论正确的是( )
A．a＝b
B．a＋b为实数0
C．a与b方向相同
D．|a|＝3
3．空间中任意四个点A，B，C，D，则＋－＝( )
A． B．
C． D．
4．在空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的中点，则下列各式中成立的是( )
A．＋＋＋＝0
B．＋＋＋＝0
C．＋＋＋＝0
D．＋＋＋＝0
5．如图，在空间四边形ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点，则＋(－)＝( )
A． B．
C． D．
6．[探究题]已知空间四边形ABCO中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则＝( )
A．a－b＋cB．－a＋b＋c
C．a＋b－cD．a＋b－c
二、填空题
7.如图，在四棱柱ABCD－A′B′C′D′中，底面ABCD为矩形，则＋－＋－＝________；
－＋－＝________.
8．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点．若＝a，＝b，＝c，则＝________.
9．[易错题]下列命题中正确的是________.
①空间向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是＝；
⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件．
三、解答题
10．如图，设O为 ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若＝＋x＋y，求x，y的值．
学科素养升级练
1．[多选题]下列命题中错误的是( )
A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B．向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面
C．若两个非零空间向量与满足＋＝0，则∥
D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb
2．在空间四边形ABCD中，连接AC，BD.若△BCD是正三角形，且E为其中心，则＋－－的化简结果为________.
3．[学科素养——逻辑推理]如图，已知空间四边形ABCD，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝.用向量法求证：四边形EFGH是梯形．
第1课时 空间向量的概念、空间向量的加减法及数乘运算
必备知识基础练
1．解析：命题①是假命题．将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时，它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆．
命题②是假命题．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a与b的方向不一定相同．
命题③是真命题．向量的相等满足递推规律．
命题④是假命题．空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，所以不一定相等．
命题⑤是假命题．零向量的方向是任意的．
答案：D
2．解析：我们可以通过平移将空间任意两个向量平移到一个平面内，因此空间任意两个向量都是共面的，故B，C都不正确．由向量平行与直线平行的区别，可知A不正确．因为AB，AC，AD是空间中共端点但不共面的三条线段，所以向量，，不共面．
答案：D
3．解析：
(1)因为长方体的高为1，所以长方体四条高所对应的向量，，，，，，，，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．
(2)因为长方体的左、右两侧面的对角线长为，所以模为的向量有，，，，，，，．
(3)向量的相反向量为，，，，共4个．
4．解析：＝＋＋＝－－＋＝－a－b＋c＝c－a－b.
答案：B
5．解析：＝＋＋＝－＋＋.故选B.
答案：B
6．解析：利用向量加法的平行四边形法则求解，|a＋b＋c|＝2||＝2.
答案：2
7．解析：由数乘的定义及性质可知①②③④均正确．
答案：D
8．解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝－a＋b＋c.
答案：A
关键能力综合练
1．解析：a＝b |a|＝|b|，且a∥b，所以必要性成立；当b＝－a时，有|a|＝|b|且a∥b，但a≠b，所以充分性不成立．故选B.
答案：B
2．解析：∵a，b互为相反向量，∴a＝－b.又∵|b|＝3.∴|a|＝3.
答案：D
3．解析：如图，利用平面向量运算法则即可得出＋－＝＋＋＝＋＝.
答案：C
4．解析：∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的中点，∴四边形EFGH为平行四边形，∴＝，且＝.∵E，B，F，G四点构成一个封闭图形，∴首尾相接的向量的和为零向量，＋＋＋＝0，即有＋＋＋＝0.
答案：B
5．解析：因为－＝，(－)＝＝，所以＋(－)＝＋＝.故选C.
答案：C
6．解析：＝＋＝－＋(＋)＝－a＋b＋c.故选B.
答案：B
7．解析：＋－＋－＝＋＋－－＝.
－＋－＝＋－＝.
答案：
8．解析：＝(＋)＝－＋(＋)
＝－＋＋
＝－＋(－)＋(－)
＝－＋＋＝a－b＋c
答案：a－b＋c
9．解析：①不正确，共线向量即平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不要求两个向量，在同一条直线上．②不正确，单位向量的模均相等且为1，但方向并不一定相同．③不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的．④正确．⑤正确．
答案：④⑤
10．解析：∵＝＋＋
＝－＋－－
＝－＋
＝－＋(＋)
＝－＋(＋)
＝－＋＋(－)
＝－＋＋，
∴x＝，y＝－.
学科素养升级练
1．解析：若b＝0，则a与c不一定共线，故A错误；共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面，故B错误；∵＋＝0，∴＝－，∴与共线，所以∥，故C正确；若b＝0，a≠0，则不存在λ，使a＝λb，故D错误．故选ABD.
答案：ABD
2．解析：如图，取BC的中点F，连接DF，则＝.∴＋－－＝＋－＋＝＋＋＝0.
答案：0
3．解析：∵E，H分别是边AB，AD的中点，
∴＝，＝，
＝－＝－＝(－)
＝＝(－)
＝(－)＝(－)＝，
∴∥且||＝||≠||.
又F不在EH上，
∴四边形EFGH是梯形．1．1点在空间直角坐标系中的坐标1．2空间两点间的距离公式
必备知识基础练
知识点一空间点的坐标
1.在空间直角坐标系中，点M(3，0，2)位于( )
A．y轴上 B．x轴上
C．xOz平面内 D．yOz平面内
2．已知点A(－3，1，－4)，B(3，－5，10)，则线段AB中点M的坐标为( )
A．(0，－4，6) B．(0，－2，3)
C．(0，2，3) D．(0，－2，6)
3．如图，棱长为的正四面体ABCD的三个顶点A，B，C分别在空间直角坐标系的坐标轴Ox，Oy，Oz上，则顶点D的坐标为________.
知识点二空间中的对称问题
4.已知点A(－3，1，4)，则点A关于x轴对称的点的坐标为( )
A．(－3，－1，－4)
B．(－3，－1，4)
C．(3，1，4)
D．(3，－1，－4)
5．空间两点A，B的坐标分别为(x，－y，z)，(－x，－y，－z)，则A，B两点的位置关系是( )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于z轴对称 D．关于原点对称
6．已知两点P(3，1，a)，Q(3，b，2)关于坐标平面xOy对称，则a＋b＝________.
知识点三空间两点间的距离
7.已知空间中点A(x，1，2)和点B(2，3，4)，且|AB|＝2，则实数x的值是( )
A．6或－2 B．－6或2
C．3或－4 D．－3或4
8．在空间直角坐标系O xyz中，O为坐标原点，若点P(1，－2，3)在平面xOz上的射影为点B，则线段OB的长度为( )
A．B．
C． D．
9．若点A(－1，2，－3)关于y轴的对称点为B，则线段AB的长为________.
关键能力综合练
一、选择题
1．设A(1，－1，1)，B(3，1，5)，则AB中点在空间直角坐标系中的位置是在( )
A．y轴上 B．xOy面内
C．xOz面内 D．yOz面内
2．在空间直角坐标系中，已知M(－1，0，2)，N(3，2，－4)，则MN的中点Q到坐标原点O的距离为( )
A． B．C．2 D．3
3．结晶体的基本单位称为晶胞，如图所示的是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为的小正方体堆积成的正方体)，其中白点○代表钠原子，黑点●代表氯原子．建立空间直角坐标系O xyz后，图中最上层中心的钠原子所在位置的坐标是( )
A．(，，1) B．(0，0，1)
C．(1，，1) D．(1，，)
4.在空间直角坐标系中，点A(2，－2，4)与点B(－2，－2，－4)关于( )
A．原点对称 B．x轴对称
C．y轴对称 D．z轴对称
5．在空间直角坐标系中，所有点P(x，1，2)(x∈R)的集合表示( )
A．一条直线
B．一个平行于面xOz的平面
C．平行于面xOy的平面
D．两条直线
6．[探究题]若两点A(x，5－x，2x－1)，B(1，x＋2，2－x)，当|AB|取最小值时，x的值等于( )
A．19 B．－C． D．
二、填空题
7．在z轴上求一点A，使它到点B(1，1，2)的距离为3，则点A的坐标是________.
8．已知平行四边形ABCD中，A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C(3，7，－5)，则点D的坐标为________.
9．[易错题]在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A(3，－1，2)，其中心M的坐标为(0，1，2)，则该正方体的棱长等于________.
三、解答题
10．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2.点M在A1C1上，且|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上，且N为D1C的中点，求M，N两点间的距离．
学科素养升级练
1．[多选题]下列命题中正确的是( )
A．在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)
B．在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)
C．在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记作(0，0，c)
D．在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标是(a，0，c)
2．已知A(3，5，－7)，B(－2，4，3)，则线段AB在yOz平面上的投影长为________.
3．[学科素养——直观想象]已知直三棱柱ABC－A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M、N分别是A1B1、A1A的中点，求MN的长．
1．1 点在空间直角坐标系中的坐标
1．2 空间两点间的距离公式
必备知识基础练
1．解析：由x＝3，y＝0，z＝2可知点M位于xOz平面内．
答案：C
2．解析：根据线段的中点坐标公式可得线段AB中点的坐标是(，，)，即M(0，－2，3).故选B.
答案：B
3．解析：将正四面体ABCD放入正方体中，如图所示，
由已知AB＝BC＝AC＝，所以OA＝OB＝OC＝1，
所以点D的坐标为(1，1，1).
答案：(1，1，1)
4．解析：关于x轴对称的点，横坐标相同．纵坐标、竖坐标均互为相反数，所以A(－3，1，4)关于x轴对称的点的坐标为(－3，－1，－4).
答案：A
5．解析：由A，B两点的坐标可知A，B两点关于y轴对称．
答案：B
6．解析：∵两点P(3，1，a)，Q(3，b，2)关于坐标平面xOy对称，∴a＝－2，b＝1，∴a＋b＝－2＋1＝－1.
答案：－1
7．解析：已知点A(x，1，2)和点B(2，3，4)，且|AB|＝2，
∴＝2，
化简得(x－2)2＝16，解得x＝6或x＝－2，
∴实数x的值是6或－2.故选A.
答案：A
8．解析：由题意得点P(1，－2，3)在平面xOz上的射影为B(1，0，3)，则|OB|＝＝.故选B.
答案：B
9．解析：∵A(－1，2，－3)关于y轴的对称点为B(1，2，3)，
∴|AB|＝＝2.
答案：2
关键能力综合练
1．解析：因为A(1，－1，1)，B(3，1，5)，所以线段AB的中点坐标为(2，0，3)，该点在xOz面内．
答案：C
2．解析：∵M(－1，0，2)，N(3，2，－4)，∴MN的中点为Q(1，1，－1)，∴Q到坐标原点O的距离|QO|＝＝.
答案：A
3．解析：
设图中最上层中间的钠原子所在位置为B点，以O，B为相对顶点，作出长方体ABCD－EFGO，如图所示．∵平面BFGC经过点B且与x轴垂直，∴点B在x轴上的射影为G点，结合G(，0，0)得B的横坐标为；同理可得点B在y轴上的射影为E点，结合E(0，，0)得B的纵坐标为，点B在z轴上的射影为D点，结合D(0，0，1)得B的竖坐标为1，∴点B的坐标为(，，1).
答案：A
4．解析：因为点A(2，－2，4)与点B(－2，－2，－4)中，两个点的y值不变，x值与z值分别互为相反数，所以点A(2，－2，4)与点B(－2，－2，－4)关于y轴对称．
答案：C
5．解析：易知点P的集合为垂直于面yOz的一条直线．
答案：A
6．解析：∵A(x，5－x，2x－1)，B(1，x＋2，2－x)，
∴|AB|＝＝＝，∴当|AB|取最小值时，x的值等于.
答案：C
7．解析：设点A的坐标为(0，0，a)，代入空间两点间的距离公式得|AB|＝＝3，解得a＝－2或a＝6.所以点A的坐标为(0，0，6)或(0，0，－2).
答案：(0，0，6)或(0，0，－2)
8．解析：设平行四边形ABCD的两条对角线的交点为P，则点P为AC，BD的中点．由A(4，1，3)，C(3，7，－5)，得点P的坐标为(，4，－1).又点B(2，－5，1)，所以点D的坐标为(5，13，－3).
答案：(5，13，－3)
9．解析：∵|AM|＝＝，
∴体对角线长|AC1|＝2，设棱长为x，
则3x2＝(2)2，解得x＝，
所以该正方体的棱长为.
答案：
10．解析：如图，以A为坐标原点，分别以AB、AD、AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．
由题意可知C(3，3，0)，D(0，3，0)，
因为|DD1|＝|CC1|＝|AA1|＝2，所以C1(3，3，2)，D1(0，3，2)，
因为N为CD1的中点，所以N(，3，1)，
因为|MC1|＝2|A1M|，所以M(1，1，2).
由两点间的距离公式，得
|MN|＝＝.
学科素养升级练
1．解析：空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标是(a，0，0)，故A错误；B，C，D均正确．
答案：BCD
2．解析：点A(3，5，－7)，B(－2，4，3)在yOz平面上的投影分别为A′(0，5，－7)，B′(0，4，3)，所以线段AB在yOz平面上的投影长|A′B′|＝＝.
答案：
3．解析：如图，以C为坐标原点，以CA、CB、CC1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系C－xyz，因为CA＝CB＝1，AA1＝2，所以N(1，0，1)、M(，，2)，
由空间两点间的距离公式得
|MN|＝＝.
故MN的长为.
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