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【能力提升】 一元一次方程中的新定义问题集训
1．现规定一种运算法则※，对于任意两个有理数a，b，有a※b＝2a﹣ab，例如1※3＝2×1﹣1×3＝﹣1．
（1）计算﹣2※5；
（2）若（x﹣1）※4※x，求x的值．
【分析】（1）原式根据题中的新定义求出值即可；
（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值．
【解答】解：（1）根据题中的新定义得：
原式＝2×（﹣2）﹣（﹣2）×5＝﹣4+10＝6；
（2）已知等式利用题中的新定义得：
2（x﹣1）﹣4（x﹣1）＝2x，
去括号得：2x﹣2﹣4x+4＝1x，
移项合并得：x＝﹣1，
解得：x．
【点评】此题考查了解一元一次方程，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
2．用*定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定：a*b＝ab2﹣2ab，如：2*1＝2×12﹣2×2×1＝﹣2．
（1）求：（﹣2）*3；
（2）若（x+1）*3，求x的值．
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果；
（2）已知等式利用题中的新定义计算即可求出x的值．
【解答】解：（1）根据题中的新定义得：
原式＝﹣2×32﹣2×（﹣2）×3
＝﹣2×9+2×2×3
＝﹣18+12
＝﹣6；
（2）已知等式利用题中的新定义化简得：
（x+1）﹣2（x+1）3，
整理得：（x+1）＝3，即x+1＝﹣4，
解得：x＝﹣5．
【点评】此题考查了解一元一次方程，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
3．定义一种新运算a*b＝a2+2ab．
（1）试求（﹣5）*2的值；
（2）若（﹣3）*（x﹣7）＝6﹣x，求x的值．
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果；
（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值．
【解答】解：（1）根据题中的新定义得：
原式＝（﹣5）2+2×（﹣5）×2＝25﹣20＝5；
（2）（﹣3）*（x﹣7）＝6﹣x，
利用题中的新定义化简得：
（﹣3）2+2×（﹣3）（x﹣7）＝6﹣x，
整理得：9﹣6（x﹣7）＝6﹣x，
去括号得：9﹣6x+42＝6﹣x，
移项得：﹣6x+x＝6﹣9﹣42，
合并得：﹣5x＝﹣45，
解得：x＝9．
【点评】此题考查了解一元一次方程，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
4．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a※b＝a（a+b）．例如：1※2＝1×（1+2）＝1×3＝3．
（1）求（﹣3）※4的值；
（2）若（﹣2）※（3x﹣2）＝x+1，求x的值．
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果；
（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值．
【解答】解：（1）根据题中的新定义得：
原式＝（﹣3）×（﹣3+4）
＝﹣3×1
＝﹣3；
（2）已知等式利用题中的新定义化简得：
﹣2×（﹣2+3x﹣2）＝x+1，即﹣2（3x﹣4）＝x+1，
去括号得：﹣6x+8＝x+1，
移项合并得：﹣7x＝﹣7，
解得：x＝1．
【点评】此题考查了解一元一次方程，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
5．新规定的一种运算法则：a b＝a3+ab，例如3 （﹣2）＝33+3×（﹣2）＝21．
（1）求（﹣3） 5的值；
（2）若（﹣2） x＝6，求x的值；
（3）若3 （2 x）＝﹣4+x，求x的值．
【分析】（1）根据题目所给新定义代入数值求值即可；
（2）根据题目所给新定义代入数值得出方程求解即可；
（3）根据题目所给新定义代入数值得出方程求解即可．
【解答】解：（1）∵a b＝a3+ab，
∴（﹣3） 5＝（﹣3）3+（﹣3）×5＝﹣27﹣15＝﹣42；
（2）∵（﹣2） x＝6，
∴（﹣2）3+（﹣2）x＝6，
即﹣8﹣2x＝6，
解得：x＝﹣7；
（3）∵3 （2 x）＝﹣4+x，
∴3 （23+2x）＝﹣4+x，
∴33+3（23+2x）＝﹣4+x，
即27+24+6x＝﹣4+x，
解得：x＝﹣11．
【点评】本题考查了定义新运算以及解一元一次方程，读懂题意，理解题目中的新定义是解本题的关键．
6．定义一种新运算“※”，其规则为x※y＝xy﹣x+y．例如6※5＝6×5﹣6+5＝29．再如：（2a）※3＝（2a）×3﹣2a+3．
（1）计算5※6值为 ．
（2）若（2m）※3＝2※m，求m的值．
（3）有理数的加法和乘法运算都满足交换律，即a+b＝b+a，ab＝ba，“※”运算是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明．
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出m的值；
（3）“※”不满足交换律，举例即可．
【解答】解：（1）根据题中的新定义得：
原式＝5×6﹣5+6
＝30﹣5+6
＝31；
故答案为：31；
（2）根据题中的新定义化简得：
6m﹣2m+3＝2m﹣2+m，
解得：m＝﹣5；
（3）“※”运算不满足交换律，
例如：2※3＝6﹣2+3＝7，3※2＝6﹣3+2＝5，即2※3≠3※2．
【点评】此题考查了解一元一次方程，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
7．（2022秋 香坊区期末）已知m，n为有理数，且m≠0，若关于x的一元一次方程mx﹣n＝0的解恰为x＝2m+n，则此方程称为“合并式方程”．
例如：3x+9＝0∵x＝2×3+（﹣9）＝﹣3，且x＝﹣3是方程3x+9＝0的解∴此方程3x+9＝0为“合并式方程”，
请根据上述定义解答下列问题：
（1）一元一次方程0是否是“合并式方程”？并说明理由；
（2）关于x的一元一次方程6x﹣n＝0是“合并式方程”，求n的值．
【分析】（1）根据“合并式方程”的定义进行判断即可；
（2）根据“合并式方程”的定义可知x＝12+n，将x＝12+n代入方程6x﹣n＝0求解即可．
【解答】解：（1）一元一次方程0不是“合并式方程”，理由如下：
∵x1，且x＝1不是一元一次方程0的解，
∴一元一次方程0不是“合并式方程”；
（2）∵关于x的一元一次方程6x﹣n＝0是“合并式方程”，
∴x＝2×6+n＝12+n，且x＝12+n是方程6x﹣n＝0的解，
∴6（12+n）﹣n＝0，
解得n．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，新定义，理解新定义是解题的关键．
8．对任意4个有理数a，b，c，d，定义新运算：ad﹣bc．
（1）计算：已知 ；
（2）若35，求x的值；
（3）若，求x的值．
【分析】（1）根据题意计算即可；
（2）将35转化为一元一次方程解答；
（3）中将两边同时化成一元一次方程，然后通过去括号、移项、系数化为1等过程，求得x的值．
【解答】解：（1）1×5﹣3×4＝5﹣12＝﹣7，
故答案为：﹣7；
（2）∵35，
∴1×3x﹣2x＝35，
x＝35；
（3）∵，
∴2x﹣3×4x＝1×2x﹣2×5，
∴2x﹣12x＝2x﹣10，
∴﹣12x＝﹣10，
∴x．
【点评】此题定义新运算，实际考查解一元一次方程的解法，解题的关键是掌握解一元一次方程的方法．
9．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如：方程2x＝4和3x+6＝0为“兄弟方程”．
（1）若关于x的方程5x+m＝0与方程2x﹣4＝6是“兄弟方程”，求m的值；
（2）若某“兄弟方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值．
【分析】（1）关于x的方程5x+m＝0与方程2x﹣4＝6 是“兄弟方程”，方程5x+m＝0的解为x＝﹣5，x＝﹣5满足方程5x+m＝0；
（2）n＝4或﹣4．
【解答】解：（1）2x﹣4＝6，得x＝5，
∵关于x的方程5x+m＝0与方程2x﹣4＝6 是“兄弟方程”，
∴方程5x+m＝0的解为x＝﹣5，
∴5×（﹣5）+m＝0，
﹣25+m＝0，
∴m＝25．
（2）“兄弟方程”的另一个解为﹣n．
∵两个解的差为8，
∴n﹣（﹣n）＝8或﹣n﹣n＝8，
∴n＝4或﹣4．
【点评】本题考查有关解一元一次方程、一元一次方程的解，解题的关键是知道解一元一次方程的方法．
10．用“#”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a#b＝ab2﹣2ab+a．
如：1#2＝1×22﹣2×1×2+1＝1．
（1）求（﹣2）#3的值；
（2）若（#3）#（﹣2）＝9，求a的值；
（3）若（﹣2）#x＝m，（x）#5＝n（其中x为有理数），试比较m，n的大小．
【分析】（1）根据新运算列出算式是计算；
（2）根据新运算列出方程，解一元一次方程；
（3）先新运算列出算式，合并同类项，把m、n化为最简的式子，求出它们的差，进行比较大小．
【解答】解：（1）（﹣2）#3
＝（﹣2）×32﹣2×（﹣2）×3+（﹣2）
＝（﹣2）×9﹣（﹣12）﹣2
＝﹣18+12﹣2
＝﹣8；
（2）∵（#3）#（﹣2）＝9，
∴（32﹣2×3）#（﹣2）＝9，
∴2a#（﹣2）＝9，
∴2a×（﹣2）2﹣2×（﹣2）×2a+2a＝9，
∴8a+8a+2a＝9，
解得a；
（3）∵（﹣2）#x＝m，
∴（﹣2）x2﹣2（﹣2）x+（﹣2）＝m，
∴﹣2x2+4x﹣2＝m，
∵（x）#5＝n，
∴x×52﹣2×5xx＝n，
∴xxx＝n，
∴4x＝n，
n﹣m＝4x+2x2﹣4x+2
＝2x2+2，
∵2x2≥0，
∴2x2+2＞0，
∴n＞m．
【点评】本题主要考查了解一元一次方程、有理数混合运算，掌握混合运算顺序及解一元一次方程的步骤，对新运算的理解是列式的关键，比较m、n大小，关键是通过化简后最简代数式差的正负情况来判断．
11．规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b+a，则称该方程为“和解方程”．例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“和解方程”．
请根据上述规定解答下列问题：
（1）已知关于x的一元一次方程﹣3x＝t是“和解方程”，求t的值；
（2）已知关于x的一元一次方程4x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n（n≠0），求m，n的值．
【分析】（1）根据和解方程的定义即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）根据和解方程的定义即可得出关于m、n的二元二次方程组，解之即可得出m、n的值．
【解答】解：（1）∵﹣3x＝t，
∴x．
又∵关于x的一元一次方程﹣3x＝t 是“和解方程”，
∴x＝t+（﹣3），即x＝t﹣3，
t﹣3，
解得t．
答：t的值是．
（2）∵4x＝nm+nx＝n（n≠0），
∴把x＝n（n≠0）代入4x＝mn+n，
得4n＝mn+n，
∵n≠0，
∴两边都除以n，得4＝m+1，
∴解得m＝3，
把m＝3代入n＝mn+n+4，
解得n，
答：m的值是3，n的值是．
【点评】本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程，解题的关键是：根据“和解方程“的定义列出关于m的一元一次方程求解．
12．（2023春 浦东新区期末）我们规定，若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b﹣a，则称该方程为“奇异方程”．例如：2x＝4 的解为x＝2＝4﹣2，则该方程2x＝4是“奇异方程”．请根据上述规定解答下列问题：
（1）判断方程5x＝﹣8 （回答“是”或“不是”）“奇异方程”；
（2）若a＝3，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求b的值；若没有，请说明理由．
【分析】（1）解方程，并计算对应b﹣a的值与方程的解不相等，所以不是奇异方程；
（2）根据奇异方程的定义即可得出关于b的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵5x＝﹣8，
解得x，
∵﹣8﹣5＝﹣13，
﹣13，
∴5x＝﹣8不是奇异方程．
故答案为：不是．
（2）∵a＝3，
∴x＝b﹣3，
∴b﹣3，
∴b，
即b时有符合要求的“奇异方程”．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，读懂题意，理解奇异方程的概念并根据概念列出方程是解题的关键．
13．对于有理数a，b，定义两种新运算“※”与“◎”，规定：
a※b＝a2+2ab，a◎b＝|a+b|﹣|a﹣b|，例如，2※（﹣1）＝22+2×2×（﹣1）＝0，（﹣2）※3＝|﹣2+3|﹣|﹣2﹣3|＝﹣4．
（1）计算（﹣3）※2的值；
（2）若a，b在数轴上的位置如图所示，化简a◎b；
（3）若（﹣2）※x＝2◎（﹣4）+3x，求x的值；
（4）对于任意有理数m，n，请你定义一种新运算“★”，使得（﹣3）★5＝4，直接写出你定义的运算：m★n＝ （用含m，n的式子表示）．
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）原式利用题中的新定义化简，根据绝对值的代数意义得到结果即可；
（3）原式利用题中的新定义化简；
（4）根据题意只要写出一个符合要求的式子即可，这是一道开放性题目，答案不唯一．
【解答】解：（1）根据题中的新定义得：原式＝（﹣3）2+2×（﹣3）×2＝9﹣12＝﹣3；
（2）由a，b在数轴上位置，可得a+b＜0，a﹣b＜0，
则a◎b＝|a+b|﹣|a﹣b|＝﹣a﹣b+a﹣b＝﹣2b；
（3）∵（﹣2）※x＝2◎（﹣4）+3x，
∴22﹣4x＝2﹣6+3x，
解得：x；
（4）∵（﹣3）★5＝4，
∴m★n＝m2﹣n，
故答案为：m2﹣n．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．阅读材料：规定一种新的运算a☆b☆c＝a+b﹣ac．例如3☆2☆1＝3+2﹣3×1＝2．
（1）按照这个规定，计算1☆2☆3的结果为 ；
（2）按照这个规定，化简（x﹣1）☆（x2﹣2）☆3；
（3）按照这个规定，当2☆x☆3＝4☆1☆x时，x的值为 ；
（4）按照这个规定，若（1﹣x）☆（2x+1）☆（﹣2）＝m，☆m☆（m﹣1）＝2，则x的值为 2 ．
【分析】（1）直接利用已知运算法则列式计算即可；
（2）直接利用已知运算法则列式计算即可；
（3）直接利用已知运算法则列方程解答即可；
（4）直接利用已知运算法则列方程解答即可．
【解答】解：（1）由题意可得：1☆2☆3＝1+2﹣1×3＝3﹣3＝0，
故答案为：0；
（2）由题意可得：
（x﹣1）☆（x2﹣2）☆3
＝（x﹣1）+（x2﹣2）﹣3（x﹣1）
＝x﹣1+x2﹣2﹣3x+3
＝x2﹣2x；
（3）由题意可得：2+x﹣6＝4+1﹣4x，
移项，得x+4x＝4+1+6﹣2，
合并同类项，得5x＝9，
系数化为1，得x；
故答案为：；
（4）由题意可得：1﹣x+2x+1+2（1﹣x）＝m，
解得m＝4﹣x，
∴☆m☆（m﹣1）＝2可化为☆（4﹣x）☆（3﹣x）＝2，
即4﹣x（3﹣x）＝2，
整理，得，
解得x＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的解法以及有理数的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
15．（2023春 秦州区校级期中）【定义】如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“关联方程”．例如：方程2x＝4和方程3x+6＝0为“关联方程”．
（1）若关于x的方程5x+m＝0与方程2x﹣4＝x+1是“关联方程”，求m的值．
（2）若关于x的方程2x+3m﹣2＝0和方程3x﹣5m+4＝0是关联方程，求出m的值．
【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤，可用m表示出方程5x+m＝0的解，再解出方程2x﹣4＝x+1的解，最后结合“关联方程”的定义和相反数的定义，可得出关于m的方程，解出m的值即可；
（2）根据解一元一次方程的步骤，可用m表示出两个方程的解，结合“关联方程”的定义和相反数的定义，可得出关于m的方程，解出m的值即可．
【解答】解：（1）5x+m＝0，
移项，得：5x＝﹣m，
系数化为“1”，得：；2x﹣4＝x+1，
移项，合并同类项，得：x＝5．
∵方程5x+m＝0与方程2x﹣4＝x+1是“关联方程”，
∴，
解得：m＝25；
（2）2x+3m﹣2＝0，
移项，得：2x＝2﹣3m，
系数化为“1”，得：；3x﹣5m+4＝0，
移项，得：3x＝5m﹣4，
系数化为“1”，得：．
∵方程2x+3m﹣2＝0和方程3x﹣5m+4＝0是“关联方程”，
∴，
去分母，得：3（2﹣3m）+2（5m﹣4）＝0，
去括号，得：6﹣9m+10m﹣8＝0，
移项，合并同类项，得：m＝2．
【点评】本题考查解一元一次方程的步骤，相反数的定义，也考查对题意的理解能力．掌握“关联方程”
的定义是解题关键．
16．（2022秋 朔州月考）定义：如果两个一元一次方程的解之和为0、我们就称这两个方程为“互补方程”．例如：方程2x+5＝﹣1和1为“互补方程”．
（1）方程3x﹣7＝8与方程1＝﹣3 “互补方程”．（请填入“是”或“不是”）
（2）若关于x的方程m＝2与方程3x﹣2＝x+6是“互补方程”，求m的值．
（3）若关于x的方程2x﹣1＝4k﹣3与是“互补方程”，求k的值．及关于y的方程7k+3的解．
【分析】（1）分别求得两个方程的解，再利用“互补方程”的定义进行判断即可；
（2）分别求得两个方程的解，利用“互补方程”的定义列出关于m 的方程解答即可；
（3）分别求得两个方程的解，利用“互补方程”的定义列出关于k的方程，求得k的值，代入方程7k+3，然后解关于y的方程即可．
【解答】解：（1）由3x﹣7＝8，解得x＝5；
由1＝﹣3，解得x＝﹣5．
∵﹣5+5＝0，
∴方程3x﹣7＝8与方程1＝﹣3是“互补方程”．
故答案为：是；
（2）由m＝2，解得x＝4﹣2m；
由3x﹣2＝x+6解得x＝4．
∵关于x的方程m＝2与方程3x﹣2＝x+6是“互补方程”，
∴4﹣2m+4＝0，
解得m＝4．
（3）由2x﹣1＝4k﹣3，解得x＝2k﹣1；
由，解得x；
∵关于x的方程2x﹣1＝4k﹣3与是“互补方程”，
∴2k﹣10，
解得k，
∴关于y的方程为2+3，
解得y＝2022．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用互补方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键．
17．（2023秋 香坊区校级月考）阅读下列材料：
我们规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b+a，则称该方程为“和解方程”．例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“和解方程”．请根据上述规定解答下列问题：
（1）下列关于x的一元一次方程是“和解方程”的有 ．
①
②﹣3x
③5x＝﹣2
（2）若关于x的一元一次方程3x＝2a﹣10是“和解方程”，求a的值．
【分析】（1）求出方程的解，再根据和解方程的意义得出即可；
（2）先解方程得出方程的解，再根据和解方程的含义建立方程即可求得答案．
【解答】解：（1）①的解是x＝﹣1，
∵，
∴①不是“和解方程”；
②﹣3x的解是x，
∵，
∴②是“和解方程”；
③5x＝﹣2的解是x，
∵，
∴③不是“和解方程”；
故答案为：②．
（2）∵3x＝2a﹣10，
∴x，
∵3x＝2a﹣10是“和解方程”，
∴3+2a﹣10，
∴a．
【点评】本题考查了一元一次方程的解的应用，新定义运算，求解代数式的值，正确理解新定义再建立新的方程求解是解题的关键．
18．（2022秋 郴州期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“集团方程”，例如：方程4x＝8和x+1＝0为“集团方程”．
（1）若关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣1＝x+8是“集团方程”，求m的值；
（2）若“集团方程”的两个解的差为6，其中一个较大的解为n，求n的值；
（3）若关于x的一元一次方程和是“集团方程”，求关于y的一元一次方程的解．
【分析】（1）先表示两个方程的解，再求值．
（2）根据条件建立关于n的方程，再求值．
（3）先求k，再解方程．
【解答】解：（1）∵3x+m＝0，
∴．
∵4x﹣1＝x+8，
∴x＝3．
∵关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣1＝x+8是“集团方程”，
∴，
∴m＝6；
（2）∵“集团方程”的两个解和为1，
∴另一个方程的解是1﹣n，
∵两个解的差是6，且n为较大的解，
∴n﹣（1﹣n）＝6，
∴．
（3）∵，
∴x＝﹣2022．
∵关于x的一元一次方程和是“集团方程”，
∴关于x的一元一次方程的解为：x＝1﹣（﹣2022）＝2023．
∵关于y的一元一次方程可化为：，令y+1＝x＝2023，
∴y＝2022．
【点评】本题考查一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是求解本题的关键．
19．（2023秋 道里区校级月考）规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b+a，则称该方程为“和解方程”．例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“和解方程”．
请根据上述规定解答下列问题：
（1）已知关于x的一元一次方程﹣3x＝t是“和解方程”，求t的值；
（2）已知关于x的一元一次方程4x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n（n≠0），求m，n的值．
【分析】（1）根据和解方程的定义即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）根据和解方程的定义即可得出关于m、n的二元二次方程组，解之即可得出m、n的值．
【解答】解：（1）∵﹣3x＝t，
∴x．
又∵关于x的一元一次方程﹣3x＝t 是“和解方程”，
∴x＝t+（﹣3），即x＝t﹣3，
t﹣3，
解得t．
答：t的值是．
（2）∵4x＝nm+nx＝n（n≠0），
∴把x＝n（n≠0）代入4x＝mn+n，
得4n＝mn+n，
∵n≠0，
∴两边都除以n，得4＝m+1，
∴解得m＝3，
把m＝3代入n＝mn+n+4，
解得n，
答：m的值是3，n的值是．
【点评】本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程，解题的关键是：根据“和解方程“的定义列出关于m的一元一次方程求解．
20．（2023秋 东台市期中）阅读下列材料，并完成相应的任务．
定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．
例如：方程4x＝8与方程y+1＝0为“美好方程”．
（1）请判断方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是否为“美好方程”，请说明理由；
（2）若关于x的方程3x+m＝0与方程4y﹣2＝y+10是“关好方程”，求m的值；
（3）若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值．
【分析】（1）分别求得两个方程的解，利用“美好方程”的定义判断即可；
（2）分别求得两个方程的解，利用“美好方程”的定义列出关于m的方程，解答即可；
（3）分别求得两个方程的解，利用“美好方程”的定义列出关于n的方程解答即可．
【解答】解：（1）方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3互为“美好方程”，理由如下：
解方程4x﹣（x+5）＝1得x＝2，
解方程﹣2y﹣y＝3得y＝﹣1，
∵x+y＝2+（﹣1）＝1，
∴方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3互为“美好方程”；
（2）关于x的方程3x+m＝0的解为：x，
方程4y﹣2＝y+10的解为：y＝4，
∵关于x的方程3x+m＝0与方程4y﹣2＝y+10是“关好方程”，
∴4＝1，
∴m＝9；
（3）∵“美好方程”的两个解的和为1，
∴另一个方程的解为：1﹣n，
∵两个解的差为8，
∴1﹣n﹣n＝8或n﹣（1﹣n）＝8，
∴n或．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键．
21．（2023秋 南岗区校级期中）定义一种新运算“▲”，其运算方式如下：
2▲1＝4×2﹣3×1＝5
1▲（﹣3）＝4×1﹣3×（﹣3）＝13
（﹣5）▲（﹣2）＝4×（﹣5）﹣3×（﹣2）＝﹣14…
观察式子的运算方式，请解决下列问题：
（1）这种运算方式是：m▲n＝ （用含m，n的式子表示）；
（2）解方程3▲（2▲x）＝2▲x；
（3）若关于x的方程3▲（ax﹣1）＝6的解为整数，求整数a的值；
【分析】（1）根据给定的新运算的法则，进行计算即可；
（2）根据新运算的法则，列出方程进行求解即可；
（3）根据新运算的法则，列出方程进行求解，根据解为整数，求出a的值即可．
【解答】解：（1）由题意，得：m▲n＝4m﹣3n；
故答案为：4m﹣3n；
（2）2▲x＝4×2﹣3x＝8﹣3x，
∴3▲（2▲x）＝3▲（8﹣3x）＝4×3﹣3 （8﹣3x）＝9x﹣12，
∵3▲（2▲x）＝2▲x，
即：9x﹣12＝8﹣3x，
解得：；
（3）3▲（ax﹣1）＝6，
即：4×3﹣3（ax﹣1）＝6，解得：，
∵方程的解为整数，
∴为整数，
又a为整数，
∴a＝﹣3，﹣1，1，3．
【点评】本题考查定义新运算，一元一次方程的应用．解题的关键是理解并掌握新运算的法则，正确的列出一元一次方程．
22．若关于x的一元一次方程ax＝b的解满足x＝b+a，则称该方程为“友好方程”，例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“友好方程”．
请根据“友好方程”定义，解决下列问题：
（1）①﹣2x，②x＝﹣1两个方程中为“友好方程”的是 （填写序号）；
（2）若关于x的一元一次方程3x＝b是“友好方程”，求b的值．
【分析】（1）利用题中的新定义判断即可；
（2）根据题中的新定义列出有关b的方程，求出方程的解即可得到b的值．
【解答】解：（1）①﹣2x，
解得：x，
而2，是“友好方程”；
②x＝﹣1，
解得：x＝﹣2，
﹣2≠﹣1，不是“友好方程”；
故答案为：①；
（2）方程3x＝b的解为x．
所以3+b．
解得b．
【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
23．我们规定：若关于x的一元一次方程a+x＝b（a≠0）的解为x＝ab，则称该方程为“乘解方程”．例如：2+x＝﹣2的解为x＝﹣4，且x＝2×（﹣2）＝﹣4，则方程2+x＝﹣2是“乘解方程”．请回答下列问题：
（1）判断4+x是不是“乘解方程”，并说明理由．
（2）若关于x的一元一次方程5+x＝a﹣3是“乘解方程”，求a的值．
【分析】（1）求出方程的解是x，再进行判断即可；
（2）先求出方程的解，再根据题意得出关于a的方程，最后求出方程的解即可．
【解答】解：（1）4+x，
x，
而，
所以4+x是“乘解方程”；
（2）5+x＝a﹣3，
x＝a﹣8，
∵关于x的一元一次方程5+x＝a﹣3是“乘解方程”，
∴a﹣8＝5（a﹣3），
解得a．
【点评】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能熟记方程的解的定义（使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解）是解此题的关键．
24．（2022秋 于都县期末）我们规定关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b﹣a，则称该方程是“差解方程”，例如：3x＝4.5的解为x＝4.5﹣3＝1.5，则该方程3x＝4.5就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题：
【定义理解】
（1）判断：方程2x＝4 差解方程；（填“是”或“不是”）
（2）若关于x的一元一次方程4x＝m是“差解方程”，求m的值；
【知识应用】
（3）已知关于x的一元一次方程4x＝ab+a是“差解方程”，则3（ab+a）＝ ．
（4）已知关于x的一元一次方程4x＝mn+m和﹣2x＝mn+m都是“差解方程”，求代数式3（mn+m）﹣9（mn+n）2的值．
【分析】（1）根据差解方程的定义判断即可；
（2）根据差解方程的定义即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）根据差解方程的定义即可得出关于a、b的二元二次方程，整理即可得出；
（4）根据差解方程的概念列式得到关于m、n的两个方程，联立求解得到m、n的关系，得出3（mn+m）＝16，9（mn+n）2＝16，然后代入代数式进行计算即可求解．
【解答】解：（1）∵方程2x＝4的解为x＝2＝4﹣2，
∴方程2x＝4是差解方程．
故答案为：是；
（2）由题意可知x＝m﹣4，由一元一次方程可知，
∴，
解得；
（3）∵方程4x＝ab+a是“差解方程”，
∴x＝ab+a﹣4，
解方程4x＝ab+a，得，
∴，
∴3ab+3a＝16，即3（ab+a）＝16．
故答案为：16；
（4）∵一元一次方程4x＝mn+m是“差解方程”，
∴x＝mn+m﹣4，
解方程一元一次方程4x＝mn+m得
∴，
整理得3（mn+m）＝16，
∵一元一次方程﹣2x＝mm+m是“差解方程”，
∴x＝mn+m+2，
解方程一元一次方程﹣2x＝mm+m得
∴，
整理得9（mn+n）2＝16，
∴3（mn+m）﹣9（mm+n）2
＝16﹣16
＝0．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，解题的关键是读懂题意，理解差解方程的概念并根据概念列出方程．
25．（2023春 鲤城区校级期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程2x﹣1＝3和x+1＝0为“美好方程”．
（1）请判断方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是否互为“美好方程”；
（2）若关于x方程与是“美好方程”，求关于y的方程的解．
【分析】（1）分别求得两个方程的解，在利用“美好方程”的定义进行判断即可．
（2）求得方程的解，利用“美好方程”的定义得到方程的解，将关于y的方程变形，利用同解方程的定义即可求得（y+2）的值，从而求得方程的解．
【解答】解：（1）方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3互为“美好方程”，理由如下：
解方程4x﹣（x+5）＝1得x＝2，
解方程﹣2y﹣y＝3得y＝﹣1，
∵x+y＝2+（﹣1）＝1，
∴方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3互为“美好方程”．
（2）解方程得x＝2023，
∵关于x方程与是“美好方程”，
∴方程的解为x＝﹣2022，
将变形为，
∴y+2＝﹣2022，
∴y＝﹣2024，
∴方程的解为﹣2024．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义是解答本题的关键，本题属于新定义型题，理解并熟练运用新定义解答也是本题的关键．
26．（2023秋 南岗区校级期中）如果两个方程的解相差k，且k为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“k的后移方程”．
例如：方程x﹣3＝0的解是x＝3，方程x﹣1＝0的解是x＝1．
所以：方程x﹣3＝0是方程x﹣1＝0的“2的后移方程”．
（1）判断方程2x﹣3＝0是否为方程2x﹣1＝0的k的后移方程 （填“是”或“否”）；
（2）若关于x的方程2x+m+n＝0是关于x的方程2x+m＝0的“2的后移方程”，求n的值；
（3）若关于x的方程5x+b＝1是关于x的方程5x+c＝1的“3的后移方程”，求2b﹣2（c+3）的值．
【分析】（1）求出两个方程的解，利用“后移方程”的定义判断即可；
（2）分别表示出两个方程的解，根据“后移方程”的定义列出关于n的方程，求出方程的解即可得到n的值；
（3）分别表示出两个方程的解，根据“后移方程”的定义列出关系式即可．
【解答】解：（1）解方程2x﹣3＝0，得x，
解方程2x﹣1＝0，得x，
∵1，
∴方程2x﹣3＝0是方程2x﹣1＝0的k的后移方程；
故答案为：是；
（2）解方程2x+m+n＝0，x，
解方程2x+m＝0，x，
∵关于x的方程2x+m+n＝0是关于x的方程2x+m＝0的“2的后移方程”，
∴2，
∴n＝﹣4；
（3）解方程5x+b＝1得x，
解方程5x+c＝1得x，
∵方程5x+b＝1是方程5x+c＝1的“3的后移方程”，
∴3，
∴b﹣c＝﹣15，
∴2b﹣2（c+3）
＝2b﹣2c﹣6
＝2（b﹣c）﹣6
＝﹣30﹣6
＝﹣36．
【点评】此题考查了一元一次方程的解，弄清题中“后移方程”的定义是解本题的关键．
27．（2022秋 平谷区期末）如果两个方程的解相差k，且k为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“k—后移方程”．
例如：方程x﹣3＝0的解是x＝3，方程x﹣1＝0的解是x＝1．
所以：方程x﹣3＝0是方程x﹣1＝0的“2—后移方程”．
（1）判断方程2x﹣3＝0是否为方程2x﹣1＝0的k—后移方程 （填“是”或“否”）；
（2）若关于x的方程2x+m+n＝0是关于x的方程2x+m＝0的“2—后移方程”，求n的值；
（3）当a≠0时，如果方程ax+b＝1是方程ax+c＝1的“3—后移方程”求代数式6a+2b﹣2（c+3）的值．
【分析】（1）求出两个方程的解，利用“后移方程”的定义判断即可；
（2）分别表示出两个方程的解，根据“后移方程”的定义列出关于n的方程，求出方程的解即可得到n的值；
（3）分别表示出两个方程的解，根据“后移方程”的定义列出关系式即可．
【解答】解：（1）解方程2x﹣3＝0，得x，
解方程2x+1＝0，得x，
∵（）＝2，
∴方程2x﹣3＝0是方程2x﹣1＝0的k—后移方程；
故答案为：是；
（2）解方程2x+m+n＝0，，
解方程2x+m＝0，，
∵关于x的方程2x+m+n＝0是关于x的方程2x+m＝0的“2—后移方程”，
∴，
∴n＝﹣4；
（3）解方程ax+b＝1得，
解方程ax+c＝1得，
∵方程ax+b＝1是方程ax+c＝1的“3—后移方程”，
∴，
∴c＝3a+b，
把c＝3a+b代入6a+2b﹣2（c+3），
原式＝2c﹣2c﹣6＝﹣6．
【点评】此题考查了一元一次方程的解，弄清题中“后移方程”的定义是解本题的关键．
28．（2022秋 九龙坡区期末）若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与关于y的方程cy+d＝0（c≠0）的解满足|x﹣y|＝m（m为正数），则称方程αx+b＝0（a≠0）与方程cy+d＝0（c≠0）是“差m方程”．例如：方程2x﹣3＝1的解是x＝2，方程y﹣4＝0的解是y＝4，∵|x﹣y|＝|2﹣4|＝2，∴方程2x﹣3＝1与方程y﹣4＝0是“差2方程”．
（1）请判断方程x﹣2＝3﹣x与方程y+2＝3（y+1）是不是“差3方程”，并说明理由；
（2）若无论k取任何有理数，关于x的方程b＝2k﹣1，（a，b为常数）与关于y的方程3y+5＝y﹣1都是“差1方程”，求a+b的值．
【分析】（1）分别求出x﹣2＝3﹣x的解为x，y+2＝3（y+1）的解为y，再由定义判断即可；
（2）根据可得|x+3|＝1，求出x＝﹣2或x＝﹣4，当x＝0时（a﹣4）k＝2b+4，根据题意求出a＝4，b＝﹣2，则a+b＝2；当x＝﹣4时，（a﹣4）k＝10+2b，根据题意求出a＝4，b＝﹣5，则a+b＝﹣1．
【解答】解：（1）x﹣2＝3﹣x的解为x，
y+2＝3（y+1）的解为y，
∵|（）|＝3，
∴方程x﹣2＝3﹣x与方程y+2＝3（y+1）是“差3方程”；
（2）3y+5＝y﹣1的解为y＝﹣3，
∵关于x的方程b＝2k﹣1，（a，b为常数）与关于y的方程3y+5＝y﹣1都是“差1方程”，
∴|x+3|＝1，
解得x＝﹣2或x＝﹣4，
当x＝﹣2时，﹣3b＝2k﹣1，
∴（a﹣4）k＝4+2b，
∵k取任何有理数，
∴a＝4，b＝﹣2，
∴a+b＝2；
当x＝﹣4时，﹣6b＝2k﹣1，
∴（a﹣4）k＝10+2b，
∵k取任何有理数，
∴a＝4，b＝﹣5，
∴a+b＝﹣1；
综上所述：a+b＝2或a+b＝﹣1．
【点评】本题考查解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法，绝对值的运算，弄清定义是解题的关键．
29．（2022秋 余干县期末）我们规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b+a，则称该方程为“和解方程”．例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“和解方程”．
请根据上述规定解答下列问题：
（1）已知关于x的一元一次方程3x＝m是“和解方程”，求m的值；
（2）已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n，求m，n的值．
【分析】（1）根据和解方程的定义即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）根据和解方程的定义即可得出关于m、n的二元二次方程组，解之即可得出m、n的值．
【解答】解：（1）∵方程3x＝m是和解方程，
∴m+3，
解得：m．
（2）∵关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n，
∴﹣2n＝mn+n，且mn+n﹣2＝n，
解得m＝﹣3，n．
【点评】本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程以及二元二次方程组，解题的关键是：根据“和解方程“的定义列出关于m的一元一次方程；根据和解方程的定义列出关于m、n的二元二次方程组．
30．（2022秋 雨花区校级月考）如果两个方程的解相差a，a为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“a﹣稻香方程”，例如：方程x﹣2＝0是方程x+3＝0的“5﹣稻香方程”．
（1）若方程2x＝5x﹣12是方程3（x﹣1）＝x+1的“a﹣稻香方程”，则a＝ ；
（2）若关于x的方程xn﹣1是关于x的方程2（x﹣2mn）﹣m＝3n﹣3的“m﹣稻香方程”（m＞0），求n的值；
（3）当a≠0时，如果关于x方程ax+b＝1是方程ax+c﹣1＝0的“3﹣稻香方程”，求代数式6x+2b﹣2（c+3）的值．
【分析】（1）先分别解方程2x＝5x﹣12、3（x﹣1）＝x+1，再根据“a﹣稻香方程”的定义即可求解；
（2）解关于x方程xn﹣1，再根据“m﹣稻香方程”的定义进行计算可以得解；
（3）依据题意，先解方程ax+b＝1和ax+c﹣1＝0，再根据“3﹣稻香方程”的定义，求出x，b，c，即可求解．
【解答】（1）解：2x＝5x﹣12，
∴﹣3x＝﹣12．
∴x＝4．
又3（x﹣1）＝x+1，
∴x＝2．
∵方程2x＝5x﹣12是方程3（x﹣1）＝x+1的“a﹣稻香方程”，
∴a＝4﹣2＝2．
故答案为：2．
（2）解：解关于x方程xn﹣1，得x，
解关于x的方程2（x﹣2mn）﹣m＝3n﹣3，得x，
关于x的方程xn﹣1是关于x的方程2（x﹣2mn）﹣m＝3n﹣3的“m﹣稻香方程”（m＞0），
∴m．
整理得﹣4mn＝5m，
又m＞0，
∴﹣4n＝5．
∴n．
（3）解：∵a≠0，
∴关于x方程ax+b＝1的解是x，关于x方程ax+c﹣1＝0的解是x，
∵关于x方程ax+b＝1是方程ax+c﹣1＝0的“3﹣稻香方程”，
∴3．
∴3a+b＝c．
∴6a+2b﹣2（c+3）＝2（3a+b）﹣2c﹣6＝2c﹣2c﹣6＝﹣6．
【点评】本题为新定义问题，考查了一元一次方程的解法，理解新定义，熟练解一元一次方程是解题关键．
【能力提升】 一元一次方程中的新定义问题集训
1．现规定一种运算法则※，对于任意两个有理数a，b，有a※b＝2a﹣ab，例如1※3＝2×1﹣1×3＝﹣1．
（1）计算﹣2※5；
（2）若（x﹣1）※4※x，求x的值．
2．用*定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定：a*b＝ab2﹣2ab，如：2*1＝2×12﹣2×2×1＝﹣2．
（1）求：（﹣2）*3；
（2）若（x+1）*3，求x的值．
3．定义一种新运算a*b＝a2+2ab．
（1）试求（﹣5）*2的值；
（2）若（﹣3）*（x﹣7）＝6﹣x，求x的值．
4．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a※b＝a（a+b）．例如：1※2＝1×（1+2）＝1×3＝3．
（1）求（﹣3）※4的值；
（2）若（﹣2）※（3x﹣2）＝x+1，求x的值．
5．新规定的一种运算法则：a b＝a3+ab，例如3 （﹣2）＝33+3×（﹣2）＝21．
（1）求（﹣3） 5的值；
（2）若（﹣2） x＝6，求x的值；
（3）若3 （2 x）＝﹣4+x，求x的值．
6．定义一种新运算“※”，其规则为x※y＝xy﹣x+y．例如6※5＝6×5﹣6+5＝29．再如：（2a）※3＝（2a）×3﹣2a+3．
（1）计算5※6值为 ．
（2）若（2m）※3＝2※m，求m的值．
（3）有理数的加法和乘法运算都满足交换律，即a+b＝b+a，ab＝ba，“※”运算是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明．
7．（2022秋 香坊区期末）已知m，n为有理数，且m≠0，若关于x的一元一次方程mx﹣n＝0的解恰为x＝2m+n，则此方程称为“合并式方程”．
例如：3x+9＝0∵x＝2×3+（﹣9）＝﹣3，且x＝﹣3是方程3x+9＝0的解∴此方程3x+9＝0为“合并式方程”，
请根据上述定义解答下列问题：
（1）一元一次方程0是否是“合并式方程”？并说明理由；
（2）关于x的一元一次方程6x﹣n＝0是“合并式方程”，求n的值．
8．对任意4个有理数a，b，c，d，定义新运算：ad﹣bc．
（1）计算：已知 ；
（2）若35，求x的值；
（3）若，求x的值．
9．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如：方程2x＝4和3x+6＝0为“兄弟方程”．
（1）若关于x的方程5x+m＝0与方程2x﹣4＝6是“兄弟方程”，求m的值；
（2）若某“兄弟方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值．
10．用“#”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a#b＝ab2﹣2ab+a．
如：1#2＝1×22﹣2×1×2+1＝1．
（1）求（﹣2）#3的值；
（2）若（#3）#（﹣2）＝9，求a的值；
（3）若（﹣2）#x＝m，（x）#5＝n（其中x为有理数），试比较m，n的大小．
11．规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b+a，则称该方程为“和解方程”．例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“和解方程”．
请根据上述规定解答下列问题：
（1）已知关于x的一元一次方程﹣3x＝t是“和解方程”，求t的值；
（2）已知关于x的一元一次方程4x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n（n≠0），求m，n的值．
12．（2023春 浦东新区期末）我们规定，若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b﹣a，则称该方程为“奇异方程”．例如：2x＝4 的解为x＝2＝4﹣2，则该方程2x＝4是“奇异方程”．请根据上述规定解答下列问题：
（1）判断方程5x＝﹣8 （回答“是”或“不是”）“奇异方程”；
（2）若a＝3，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求b的值；若没有，请说明理由．
13．对于有理数a，b，定义两种新运算“※”与“◎”，规定：
a※b＝a2+2ab，a◎b＝|a+b|﹣|a﹣b|，例如，2※（﹣1）＝22+2×2×（﹣1）＝0，（﹣2）※3＝|﹣2+3|﹣|﹣2﹣3|＝﹣4．
（1）计算（﹣3）※2的值；
（2）若a，b在数轴上的位置如图所示，化简a◎b；
（3）若（﹣2）※x＝2◎（﹣4）+3x，求x的值；
（4）对于任意有理数m，n，请你定义一种新运算“★”，使得（﹣3）★5＝4，直接写出你定义的运算：m★n＝ （用含m，n的式子表示）．
14．阅读材料：规定一种新的运算a☆b☆c＝a+b﹣ac．例如3☆2☆1＝3+2﹣3×1＝2．
（1）按照这个规定，计算1☆2☆3的结果为 ；
（2）按照这个规定，化简（x﹣1）☆（x2﹣2）☆3；
（3）按照这个规定，当2☆x☆3＝4☆1☆x时，x的值为 ；
（4）按照这个规定，若（1﹣x）☆（2x+1）☆（﹣2）＝m，☆m☆（m﹣1）＝2，则x的值为 2 ．
15．（2023春 秦州区校级期中）【定义】如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“关联方程”．例如：方程2x＝4和方程3x+6＝0为“关联方程”．
（1）若关于x的方程5x+m＝0与方程2x﹣4＝x+1是“关联方程”，求m的值．
（2）若关于x的方程2x+3m﹣2＝0和方程3x﹣5m+4＝0是关联方程，求出m的值．
16．（2022秋 朔州月考）定义：如果两个一元一次方程的解之和为0、我们就称这两个方程为“互补方程”．例如：方程2x+5＝﹣1和1为“互补方程”．
（1）方程3x﹣7＝8与方程1＝﹣3 “互补方程”．（请填入“是”或“不是”）
（2）若关于x的方程m＝2与方程3x﹣2＝x+6是“互补方程”，求m的值．
（3）若关于x的方程2x﹣1＝4k﹣3与是“互补方程”，求k的值．及关于y的方程7k+3的解．
17．（2023秋 香坊区校级月考）阅读下列材料：
我们规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b+a，则称该方程为“和解方程”．例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“和解方程”．请根据上述规定解答下列问题：
（1）下列关于x的一元一次方程是“和解方程”的有 ．
①
②﹣3x
③5x＝﹣2
（2）若关于x的一元一次方程3x＝2a﹣10是“和解方程”，求a的值．
18．（2022秋 郴州期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“集团方程”，例如：方程4x＝8和x+1＝0为“集团方程”．
（1）若关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣1＝x+8是“集团方程”，求m的值；
（2）若“集团方程”的两个解的差为6，其中一个较大的解为n，求n的值；
（3）若关于x的一元一次方程和是“集团方程”，求关于y的一元一次方程的解．
19．（2023秋 道里区校级月考）规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b+a，则称该方程为“和解方程”．例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“和解方程”．
请根据上述规定解答下列问题：
（1）已知关于x的一元一次方程﹣3x＝t是“和解方程”，求t的值；
（2）已知关于x的一元一次方程4x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n（n≠0），求m，n的值．
20．（2023秋 东台市期中）阅读下列材料，并完成相应的任务．
定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．
例如：方程4x＝8与方程y+1＝0为“美好方程”．
（1）请判断方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是否为“美好方程”，请说明理由；
（2）若关于x的方程3x+m＝0与方程4y﹣2＝y+10是“关好方程”，求m的值；
（3）若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值．
21．（2023秋 南岗区校级期中）定义一种新运算“▲”，其运算方式如下：
2▲1＝4×2﹣3×1＝5
1▲（﹣3）＝4×1﹣3×（﹣3）＝13
（﹣5）▲（﹣2）＝4×（﹣5）﹣3×（﹣2）＝﹣14…
观察式子的运算方式，请解决下列问题：
（1）这种运算方式是：m▲n＝ （用含m，n的式子表示）；
（2）解方程3▲（2▲x）＝2▲x；
（3）若关于x的方程3▲（ax﹣1）＝6的解为整数，求整数a的值；
22．若关于x的一元一次方程ax＝b的解满足x＝b+a，则称该方程为“友好方程”，例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“友好方程”．
请根据“友好方程”定义，解决下列问题：
（1）①﹣2x，②x＝﹣1两个方程中为“友好方程”的是 （填写序号）；
（2）若关于x的一元一次方程3x＝b是“友好方程”，求b的值．
23．我们规定：若关于x的一元一次方程a+x＝b（a≠0）的解为x＝ab，则称该方程为“乘解方程”．例如：2+x＝﹣2的解为x＝﹣4，且x＝2×（﹣2）＝﹣4，则方程2+x＝﹣2是“乘解方程”．请回答下列问题：
（1）判断4+x是不是“乘解方程”，并说明理由．
（2）若关于x的一元一次方程5+x＝a﹣3是“乘解方程”，求a的值．
24．（2022秋 于都县期末）我们规定关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b﹣a，则称该方程是“差解方程”，例如：3x＝4.5的解为x＝4.5﹣3＝1.5，则该方程3x＝4.5就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题：
【定义理解】
（1）判断：方程2x＝4 差解方程；（填“是”或“不是”）
（2）若关于x的一元一次方程4x＝m是“差解方程”，求m的值；
【知识应用】
（3）已知关于x的一元一次方程4x＝ab+a是“差解方程”，则3（ab+a）＝ ．
（4）已知关于x的一元一次方程4x＝mn+m和﹣2x＝mn+m都是“差解方程”，求代数式3（mn+m）﹣9（mn+n）2的值．
25．（2023春 鲤城区校级期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程2x﹣1＝3和x+1＝0为“美好方程”．
（1）请判断方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是否互为“美好方程”；
（2）若关于x方程与是“美好方程”，求关于y的方程的解．
26．（2023秋 南岗区校级期中）如果两个方程的解相差k，且k为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“k的后移方程”．
例如：方程x﹣3＝0的解是x＝3，方程x﹣1＝0的解是x＝1．
所以：方程x﹣3＝0是方程x﹣1＝0的“2的后移方程”．
（1）判断方程2x﹣3＝0是否为方程2x﹣1＝0的k的后移方程 （填“是”或“否”）；
（2）若关于x的方程2x+m+n＝0是关于x的方程2x+m＝0的“2的后移方程”，求n的值；
（3）若关于x的方程5x+b＝1是关于x的方程5x+c＝1的“3的后移方程”，求2b﹣2（c+3）的值．
27．（2022秋 平谷区期末）如果两个方程的解相差k，且k为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“k—后移方程”．
例如：方程x﹣3＝0的解是x＝3，方程x﹣1＝0的解是x＝1．
所以：方程x﹣3＝0是方程x﹣1＝0的“2—后移方程”．
（1）判断方程2x﹣3＝0是否为方程2x﹣1＝0的k—后移方程 （填“是”或“否”）；
（2）若关于x的方程2x+m+n＝0是关于x的方程2x+m＝0的“2—后移方程”，求n的值；
（3）当a≠0时，如果方程ax+b＝1是方程ax+c＝1的“3—后移方程”求代数式6a+2b﹣2（c+3）的值．
28．（2022秋 九龙坡区期末）若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与关于y的方程cy+d＝0（c≠0）的解满足|x﹣y|＝m（m为正数），则称方程αx+b＝0（a≠0）与方程cy+d＝0（c≠0）是“差m方程”．例如：方程2x﹣3＝1的解是x＝2，方程y﹣4＝0的解是y＝4，∵|x﹣y|＝|2﹣4|＝2，∴方程2x﹣3＝1与方程y﹣4＝0是“差2方程”．
（1）请判断方程x﹣2＝3﹣x与方程y+2＝3（y+1）是不是“差3方程”，并说明理由；
（2）若无论k取任何有理数，关于x的方程b＝2k﹣1，（a，b为常数）与关于y的方程3y+5＝y﹣1都是“差1方程”，求a+b的值．
29．（2022秋 余干县期末）我们规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b+a，则称该方程为“和解方程”．例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“和解方程”．
请根据上述规定解答下列问题：
（1）已知关于x的一元一次方程3x＝m是“和解方程”，求m的值；
（2）已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n，求m，n的值．
30．（2022秋 雨花区校级月考）如果两个方程的解相差a，a为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“a﹣稻香方程”，例如：方程x﹣2＝0是方程x+3＝0的“5﹣稻香方程”．
（1）若方程2x＝5x﹣12是方程3（x﹣1）＝x+1的“a﹣稻香方程”，则a＝ ；
（2）若关于x的方程xn﹣1是关于x的方程2（x﹣2mn）﹣m＝3n﹣3的“m﹣稻香方程”（m＞0），求n的值；
（3）当a≠0时，如果关于x方程ax+b＝1是方程ax+c﹣1＝0的“3﹣稻香方程”，求代数式6x+2b﹣2（c+3）的值．