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【题型归纳】 线段的和差 能力提升大突破
【知识梳理】
知识点01：线段的和差
1、线段的和与差：
如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。
2、线段的中点：
把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：
要点诠释：
①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点.
②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点.
【题型突破】
题型01 线段的和与差
1．如图，，，若点E在直线上，，则的长为（ ）
A．6 B．8 C．6或8 D．8或10
【答案】C
【分析】本题考查了线段的和，差，分类计算，分点E在点A的左侧和右侧，两种情形计算即可．
【详解】∵，，
∴，
当点E在点A右侧时，，，
∴；
当点E在点A左侧时，，，
∴；
故选C．
2．延长线段到，使，反向延长到，使，若，则 ．
【答案】
【分析】根据题意作图，再由线段的和差倍分的数量关系即可求解。
【详解】由题意，可得
∵，
∴，
∴
∴，
∴。
故答案为：
【点睛】本题考查线段的和、差、倍、分的数量关系，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是解题的关键．
3．如图，点D是线段的中点，E是线段 的中点，且
(1)若，求的长
(2)若，求的长
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了线段的和差，中点的定义等知识．
（1）先求出，即有，根据点D是线段的中点，可得即可；
（2）根据E是线段 的中点，，可得，进而可得，随之可得．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵点D是线段的中点，
∴；
（2）∵E是线段 的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
题型02 线段中点的有关计算
1．下列说法正确的个数有（ ）
①若，则点是中点； ②两点确定一条直线；
③射线与射线是同一条射线 ④线段就是点到点之间的距离；
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题考查的是线段的中点的含义，直线的性质，射线的含义，两点之间的距离，熟记基本概念是解本题的关键．
【详解】解：若，且，，三点共线，则点是中点；故①不符合题意；
两点确定一条直线；故②符合题意；
射线与射线不是同一条射线；故③不符合题意；
线段的长度就是点到点之间的距离，故④不符合题意；
故选A
2．如图，图中数轴的单位长度为1，如果点表示的数是，那么点A表示的数是 ，如果点、所表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是 ．
【答案】
【分析】由点表示的数是，点A、C相距9个单位，即可得出点A表示的数，如果点B、C表示的数的绝对值相等，那么的中点即为坐标原点，依此可求点A表示的数．
【详解】解：点表示的数是，点A、C相距9个单位，点A在点C左边，
点A表示的数是，
点B、C表示的数的绝对值相等，
的中点即为坐标原点，
点B，C相距5个单位，且点B、C表示的数的绝对值相等，
点表示的数是，
点A，C相距9个单位，点A在点C左边，
点A表示的数是．
故答案为：，．
【点睛】此题考查了数轴有关内容，体现了数形结合的优点，确定数轴的原点是解决本题的关键．
3．如图，线段，点N、C把线段分成三部分，其比是，M是的中点．
(1)求线段的长；
(2)求线段的长．
【答案】(1)线段的长
(2)线段的长
【分析】本题考查两点之间的距离，一元一次方程的应用，
（1）设，，，根据列方程求解即可；
（2）根据线段中点的概念得到，然后利用线段的和差求解即可．
掌握中点定义的应用，其中用方程的思想解决此题是解题关键．
【详解】（1）∵点N、C把线段分成三部分，其比是，
∴设，，，
∵线段，
∴
∴
∴；
（2）∵M是的中点．
∴，
由（1）可得，，
∴．
题型03 线段n等分点的有关计算
1．如图，是中点，点在线段上，且，若，则线段的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据线段的中点以及线段的比例关系找出线段之间的数量关系即可得到的长度．
【详解】解：∵是中点，，
∴，
∵，
∴，，
∴．
故选．
【点睛】本题考查了线段的中点定义，线段的和差倍计算，找出各线段之间的数量关系是解题的关键．
2．点 是线段 上的三等分点， 是线段 的中点， 是线段 的中点，若 ， 则 的长为 ．
【答案】或/或
【分析】根据点是线段上的三等分点，分两种情况画图进行计算即可．
【详解】解：如图，
是线段的中点，，
，
点是线段上的三等分点，
，
，
如图，
点是线段上的三等分点，
，
是线段的中点，，
，
；
故答案为：或．
【点睛】本题考查了两点间的距离，以及三等分点、中点的定义，解决本题的关键是分两种情况画图计算．
3．如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点，，，，其中，且．
(1)则的长为 ；
(2)若以为原点，写出点，，所对应的数，并求出它们所对应数的和．
【答案】(1)
(2)点，，所对应的数分别为，，，和为
【分析】（1）根据，且，可得，即可求解；
（2）根据数轴上两点的距离，可得点，，所对应的数分别为，，，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵，且
∴，
故答案为：．
（2）因为，，
所以
若以为原点，则点，，所对应的数分别为，，，
所以点，，所对应的数的和为．
【点睛】本题考查了线段的和差计算，数轴上的两点距离，数形结合是解题的关键．
题型04 线段之间的数量关系
1．两点的距离是20，有一点，如果，那么下列结论正确的是（ ）
A．点必在线段上 B．点必在直线上
C．点必在直线外 D．点可能在直线外，也可能在直线上
【答案】D
【分析】根据点P的位置分情况讨论即可得到答案．
【详解】解：A．∵的长度是20,
∴当点P在线段上时，则有,
故选项错误，不符合题意；
B．当点P在直线外时， 是有可能的，故选项错误，不符合题意；
C．当点P不在线段上但在直线上时， 是有可能的，故选项错误，不符合题意；
D．点可能在直线外，也可能在直线上，故选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了线段之间的关系，分情况讨论是解题的关键．
2．为了比较线段和线段的长短，把线段移到线段上，使点与点A重合．（填“>”“=”或“<”）
（1）当点落在线段上时， ；
（2）当点与点重合时， ；
（3）当点落在线段的延长线上时， ．
【答案】 > = <
【分析】（1）正确画出图形，根据图形求解即可；
（2）正确画出图形，根据图形求解即可；
（3）正确画出图形，根据图形求解即可．
【详解】解：（1）如图，
当点落在线段上时，；
（2）如图，
当点与点重合时，；
（3）如图，
当点落在线段的延长线上时，．
故答案为：，，
【点睛】本题主要考查了线段比较长短，正确理解题意并画出图形是解题的关键．
3．应用题：如图，已知线段，点为线段上的一个动点，点、分别是和的中点．
(1)若，求的长；
(2)若为的中点，则与的数量关系是______；
(3)试着说明，不论点在线段上如何运动，只要不与点和重合，那么的长不变．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】此题考查了线段的和差计算，线段中点的计算，解题的关键是熟练掌握线段之间的数量关系．
（1）首先根据线段的和差关系求出，然后根据线段中点的概念求出，，进而求和可解；
（2）根据线段中点的概念求解即可；
（3）根据线段中点的概念求解即可．
【详解】（1），
，
点是的中点，
，
点是的中点，
，
()；
（2）为的中点，
，
点是的中点，
；
（3）点是的中点，
，
点是的中点，
，
()，
的长不变．
题型05 与线段有关的动点问题
1．如图，线段的长为，点为上一动点（不与，重合），为中点，为中点，随着点的运动，线段的长度（ ）
A．随之变化 B．不改变，且为
C．不改变，且为 D．不改变，且为
【答案】D
【分析】把DE的长度转化为DC与CE的长度之和，转化为AB的长度即可求解．
【详解】∵为中点，为中点，
∴DC= AC，CE= BC
∴DE=DC+CE
=AC+BC
=AB
=m
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是线段动点问题以及线段中点的定义，熟练掌握线段中点的定义是解答本题的关键．
2．如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线l，在直线上有A，B，C，D四点，且AB＝BC＝CD．点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有 个．
【答案】5
【分析】点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点，据此解答即可．
【详解】解：根据题意可知：
当点P经过任意一条线段中点时会发出报警，
∵图中共有线段DC、DB、DA、CB、CA、BA，
∵BC和AD中点是同一个，
∴发出警报的点P最多有5个．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了线段的中点，利用总体思想去思考线段的总条数是解决问题最巧妙的办法，可以减去不必要的讨论与分类．
3．线段AB＝16，C，D是线段AB上的两个动点（点C在点D的左侧），且CD＝2，E为BC的中点．
(1)如图1，当AC＝4时，求DE的长．
(2)如图2，F为AD的中点．点C，D在线段AB上移动的过程中，线段EF的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请求出EF的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先根据题意求出BC的长度，然后由E为BC的中点求出BE的长度，最后即可求出DE的长；
（2）由题意可得，由F为AD的中点和E为BC的中点表示出，代入，即可求出EF长．
【详解】（1）∵AB＝16，CD＝2，AC＝4，
∴，,
∵E为BC的中点，
∴，
∴；
（2）线段EF的长度不会发生变化，，
∵AB＝16，CD＝2，
∴，
∵F为AD的中点，E为BC的中点，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了线段的和差计算以及有关线段中点的计算问题，解题的关键是正确分析题目中线段之间的数量关系．
题型06 两点之间线段最短
1．下列生活、生产现象：
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；
②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；
③从A地到B地架设电线，尽可能沿直线架设；
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．
其中可用“两点确定一条直线”来解释的现象有（ ）
A．①② B．①②③ C．②④ D．③④
【答案】A
【分析】根据“两点确定一条直线”可直接进行排除选项．
【详解】①用两个钉子就可以把木条固定在墙上，符合题意；
②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，符合题意；
③从地到地架设电线，总是尽可能沿若直线架设，符合“两点之间，线段最短”，故不符合题意；
④把弯曲的公路改直，就能缩知路程，符合“两点之间，线段最短”，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查直线的概念，熟练掌握直线的相关定义是解题的关键．
2．下列四个生产生活现象，可以用基本事实“两点之间，线段最短”来解稀的是（ ）
A．用两个钉子就可以把木条固定在墙上
B．为了节省航行时间，把原来弯曲的河道改直
C．植树时，只要定出两颗树的位置，就能确定同一行树所在的直线
D．打靶的时候，眼睛要与枪上的准星、靶心在同一条直线上
【答案】B
【分析】根据“两点之间，线段最短”进行判断即可得解.
【详解】A、 用两颗钉子就可以把木条固定在墙上，体现的是“两点确定一条直线”；
B、为了节省航行时间，把原来弯曲的河道改直，体现的是“两点之间，线段最短”；
C、植树时定出两棵树的位置后确定同一行树所在的直线，体现的是“两点确定一条直线”；
D、打靶的时候，眼睛要与枪上的准星、靶心在同一条直线上，体现的是“两点确定一条直线”，
故选：B.
【点睛】本题主要考查了两点间线段最短的性质，熟练区分与两点确定一条直线的不同点是解决本题的关键.
3．如图，平地上A，B两点位分别位于一条排水沟的两旁，其上用钢梁覆盖，位于A处的蚂蚁从第 号钢梁上通过到达B处，才能使得全程路程最短．
【答案】4
【分析】将点A向右移动两个钢梁之间的距离长度，得到点，再连接，与哪个钢梁相交，就从哪个钢梁上通过．
【详解】解：将点A向右移动两个钢梁之间的距离长度，得到点，再连接，如下图：
线段与4号钢梁相交，则从4号钢梁上通过时，全程路程最短，
故答案为：4
【点睛】此题考查了两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握相关基础知识，先对A点进行平移．
题型07 两点间的距离
1．下列说法正确的个数有（ ）
①若，则点C是线段的中点；
②两点确定一条直线；
③射线与射线是同一条射线；
④线段就是点A到点B之间的距离；
⑤两点之间线段最短．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据射线的表示法以及两点之间的距离的定义即可作出判断．
【详解】①若，且A、B、C三点共线时，则点C是线段的中点，故原说法错误；
②两点确定一条直线，说法正确；
③射线与射线不是同一条射线，故原说法错误；
④线段的长度就是点A到点B之间的距离，故原说法错误；
⑤两点之间线段最短，说法正确．
即正确的有2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了射线、线段、直线的基础知识，掌握相关的定义是解答本题的关键．
2．在一条直线上顺次取，，，四点，使，如果，，则 cm．
【答案】5
【分析】根据题意画出图，由已知条件得到，设，则，得到，求出的值即可．
【详解】解：根据题意画出图如图，
，
，，
，
，
设，则，
，
解得：，
，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了两点间的距离，线段的和差，熟练掌握两点间的距离计算方法进行求解是解决本题的关键．
3．如图，已知线段，点为线段上一点，且．动点以的速度，从点
出发，沿方向运动，运动到点停止；点出发后，点以的速度，从点出发，沿方向运动，运动到点时，停留，按原速沿方向运动到点停止．设的运动时间为．
(1)___________，___________；
(2)当从向运动时，若，求的值．
【答案】(1)8，16
(2)2
【分析】（1）根据，即可解答；
（2）根据运动时间和运动速度可用含的代数式表示出和，再根据列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：线段，，
，
，
故答案为：8，16；
（2）设的运动时间为，
当从向运动时，，，
，
，
解得：，
当从向运动时，若，的值为2．
【点睛】本题主要考查列代数式、一元一次方程的应用、两点间的距离，解题关键是掌握两点间距离的表示方法．
题型08 最短路径问题
1．某市计划在公路l旁修建一个飞机场M，现有如下四种方案，则机场M到A、B两个城市之间的距离之和最短的方案是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】用轴对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两点之间的距离．
【详解】解：作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于M，
根据两点之间线段最短，可知机场M到A、B两个城市之间的距离之和最短．
故选：B．
【点睛】本题考查了最短路径的数学问题，这类问题的解答依据是两点之间，线段最短，由于所给条件的不同，解决方法和策略上有所差别．
2．如图，小明从处出发沿街道行走，先到处与小红会合，再一起到位于处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）条．
A．18 B．16 C．12 D．9
【答案】A
【分析】根据图形，找到从到的最短路径（两长两短），再找到从到的最短路径（两长一短），综合起来即可得到答案．
【详解】解：如图所示：
从到的最短路径有（两长两短）：，共计6条；
从到的最短路径有（两长一短）：，共计3条；
小明到老年公寓可以选择的最短路径条数，
故选：A．
【点睛】本题考查数学图形解决实际问题，用列举法找到各个最短路径是解决问题的关键．
3．如图，A、B两点在直线l的同侧，在l上求作一点M，使AM+BM最小．小明的做法是：作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点M，点M即为所求．
请你写出小明这样作图的依据： ．
【答案】两点之间线段最短．
【分析】根据轴对称变换点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点M，根据对称性质得出AM=A′M，进而得出AM+BM=A′M+BM=A′B，在直线l的取M′，连接A′M′，BM′，利用两点之间线段最短得出A′M′+ BM′≥A′B即可．
【详解】解：作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点M，
∴AM=A′M，
∴AM+BM=A′M+BM=A′B，
在直线l的取M′，连接A′M′，BM′，
则AM′=A′M′，
∴A′M′+ BM′≥A′B，
小明这样作图的依据：两点之间线段最短．
故答案为：两点之间线段最短．
【点睛】本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型．
【题型归纳】 线段的和差 能力提升大突破
知识梳理
知识点01：线段的和差
1、线段的和与差：
如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。
2、线段的中点：
把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：
要点诠释：
①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点.
②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点.
【题型突破】
题型01 线段的和与差
1．如图，，，若点E在直线上，，则的长为（ ）
A．6 B．8 C．6或8 D．8或10
2．延长线段到，使，反向延长到，使，若，则 ．
3．如图，点D是线段的中点，E是线段 的中点，且
(1)若，求的长
(2)若，求的长
题型02 线段中点的有关计算
1．下列说法正确的个数有（ ）
①若，则点是中点； ②两点确定一条直线；
③射线与射线是同一条射线 ④线段就是点到点之间的距离；
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，图中数轴的单位长度为1，如果点表示的数是，那么点A表示的数是 ，如果点、所表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是 ．
3．如图，线段，点N、C把线段分成三部分，其比是，M是的中点．
(1)求线段的长；
(2)求线段的长．
题型03 线段n等分点的有关计算
1．如图，是中点，点在线段上，且，若，则线段的长是（ ）
A． B． C． D．
2．点 是线段 上的三等分点， 是线段 的中点， 是线段 的中点，若 ， 则 的长为 ．
3．如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点，，，，其中，且．
(1)则的长为 ；
(2)若以为原点，写出点，，所对应的数，并求出它们所对应数的和．
题型04 线段之间的数量关系
1．两点的距离是20，有一点，如果，那么下列结论正确的是（ ）
A．点必在线段上 B．点必在直线上
C．点必在直线外 D．点可能在直线外，也可能在直线上
2．为了比较线段和线段的长短，把线段移到线段上，使点与点A重合．（填“>”“=”或“<”）
（1）当点落在线段上时， ；
（2）当点与点重合时， ；
（3）当点落在线段的延长线上时， ．
3．应用题：如图，已知线段，点为线段上的一个动点，点、分别是和的中点．
(1)若，求的长；
(2)若为的中点，则与的数量关系是______；
(3)试着说明，不论点在线段上如何运动，只要不与点和重合，那么的长不变．
题型05 与线段有关的动点问题
1．如图，线段的长为，点为上一动点（不与，重合），为中点，为中点，随着点的运动，线段的长度（ ）
A．随之变化 B．不改变，且为
C．不改变，且为 D．不改变，且为
2．如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线l，在直线上有A，B，C，D四点，且AB＝BC＝CD．点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有 个．
3．线段AB＝16，C，D是线段AB上的两个动点（点C在点D的左侧），且CD＝2，E为BC的中点．
(1)如图1，当AC＝4时，求DE的长．
(2)如图2，F为AD的中点．点C，D在线段AB上移动的过程中，线段EF的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请求出EF的长．
题型06 两点之间线段最短
1．下列生活、生产现象：
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；
②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；
③从A地到B地架设电线，尽可能沿直线架设；
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．
其中可用“两点确定一条直线”来解释的现象有（ ）
A．①② B．①②③ C．②④ D．③④
2．下列四个生产生活现象，可以用基本事实“两点之间，线段最短”来解稀的是（ ）
A．用两个钉子就可以把木条固定在墙上
B．为了节省航行时间，把原来弯曲的河道改直
C．植树时，只要定出两颗树的位置，就能确定同一行树所在的直线
D．打靶的时候，眼睛要与枪上的准星、靶心在同一条直线上
3．如图，平地上A，B两点位分别位于一条排水沟的两旁，其上用钢梁覆盖，位于A处的蚂蚁从第 号钢梁上通过到达B处，才能使得全程路程最短．
题型07 两点间的距离
1．下列说法正确的个数有（ ）
①若，则点C是线段的中点；
②两点确定一条直线；
③射线与射线是同一条射线；
④线段就是点A到点B之间的距离；
⑤两点之间线段最短．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．在一条直线上顺次取，，，四点，使，如果，，则 cm．
3．如图，已知线段，点为线段上一点，且．动点以的速度，从点
出发，沿方向运动，运动到点停止；点出发后，点以的速度，从点出发，沿方向运动，运动到点时，停留，按原速沿方向运动到点停止．设的运动时间为．
(1)___________，___________；
(2)当从向运动时，若，求的值．
题型08 最短路径问题
1．某市计划在公路l旁修建一个飞机场M，现有如下四种方案，则机场M到A、B两个城市之间的距离之和最短的方案是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，小明从处出发沿街道行走，先到处与小红会合，再一起到位于处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）条．
A．18 B．16 C．12 D．9
3．如图，A、B两点在直线l的同侧，在l上求作一点M，使AM+BM最小．小明的做法是：作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点M，点M即为所求．
请你写出小明这样作图的依据： ．