【分层训练】 线段的和差 专项练习
A夯实基础
1.(2020上·山东枣庄·七年级校考阶段练习)已知点在线段上,下列五个等式:①;②;③;④;⑤,其中能表示为的中点的有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2.(2023上·陕西西安·七年级校考阶段练习)如图,A、B、C是一条公路上的三个村庄,A、B间的路程为,A、C间的路程为,现要在A、B之间建一个车站P,若要使车站到三个村庄的路程之和最小,则车站应建在何处?( )
A.点C处 B.线段之间 C.线段的中点 D.线段之间
3.(2023上·重庆沙坪坝·七年级重庆一中校考阶段练习)如图,点M、点C在线段AB上,点M是线段AB的中点,AC=2BC,若MC=2,则AB的长为( ).
A.8 B.10 C.12 D.16
4.(2023上·江苏·七年级姜堰区实验初中校考周测)数轴上的三点表示的数分别为,,,其中,下列说法正确的是( )
A.点A与点C的距离一定小于点B与点C的距离
B.点A与点C的距离一定大于点B与点C的距离
C.点A与点B的距离一定小于点B与点C的距离
D.点A与点B 的距离一定大于点B与点C的距离
5.(2023下·山东淄博·六年级统考期末)如图,D是的中点,E是的中点,若,,则下列说法中错误的是( )
A. B. C. D.
B能力提升
1.(2022下·山东济南·七年级校联考期中)已知,在直线AB上有一点C,BC=3cm,AB=8cm,M为线段AB的中点,N为线段BC的中点,则MN= .
2.(2023上·河北保定·七年级统考期中)如图,线段与线段a,b的数量关系是 .
3.(2023上·福建福州·七年级福建省福州第十六中学校联考期中),,,在数轴上的位置如图所示,为原点,,,若点所表示的数为,则的长度为 .(结果用含的代数式表示)
4.(2023上·河北张家口·七年级统考期中)如图,有公共端点C的两条线段,组成一条折线,若该折线上一点D把这条折线分成相等的两部分,我们把这个点D叫做这条折线的“折中点”. 若为线段中点,,,则的长为 .
5.(2022上·四川泸州·七年级统考期末)如图,一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点C,蚂蚁爬行的最短路线有 条.
C综合素养
1.(2020上·七年级课时练习)已知:线段,如图(1).求作:线段,使.在下面的作法中,有些地方叙述稍显笼统,请找出来,并加以改正.
作法:如图(2),①作射线;②以点为一端,作线段.就是所求作的线段.
2.(2023上·河北唐山·七年级统考期中)如图,点是线段上一点,且,.
(1)图中共有__________条线段;
(2)试求出线段的长;
(3)如果点是线段的中点,请求线段的长.
3.(2023上·内蒙古呼和浩特·七年级校考阶段练习)如图,已知线段,点为线段上一点,且.动点以的速度,从点出发,沿方向运动,运动到点停止;点出发后,点以的速度,从点出发,沿方向运动,运动到点时,停留,按原速沿方向运动到点停止.设的运动时间为.
(1)___________,___________;
(2)当从向运动时,若,求的值.
4.(2023上·全国·七年级专题练习)如图,点在线段上,点是的中点,,.
(1)图中共有 条线段.
(2)求线段的长;
(3)在线段上取一点,使得,求线段的长.
5.(2023上·河北张家口·七年级统考期中)已知数轴上两点A、B,若在数轴上存在一点C,使得,则称点C为线段的“n倍点”.例如如图1所示:当点A表示的数为,点B表示的数为2,点C表示的数为0,有,则称点C为线段的“1倍点”.
请根据上述规定回答下列问题:
已知图2中,点A表示的数为,点B表示的数为1,点C表示的数为x.
(1)当时,点C______(填“一定是”或“一定不是”或“不一定是”)线段的“1倍点”;
(2)若点C为线段的“n倍点”,且,求n的值;
(3)若点D是线段的“2倍点”,则点D表示的数是多少?请说明理由.
【分层训练】 线段的和差 专项练习
参考答案与解析
A夯实基础
1.(2020上·山东枣庄·七年级校考阶段练习)已知点在线段上,下列五个等式:①;②;③;④;⑤,其中能表示为的中点的有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【答案】B
【分析】根据线段中点的概念及性质,逐一分析每个等式,从而可得答案.
【详解】解:如图,点在线段上,
①,由线段中点的概念可得为的中点;
②,由线段中点的概念可得为的中点;
③,可得两点重合,所以不是的中点;
④,由线段中点的概念可得为的中点;
⑤,如图,
可得:为的三等分点,不是的中点;
综上:能表示为的中点的有①②④.
故选:
【点睛】本题考查的是线段的中点的概念与性质,掌握利用中点的概念与性质是解题的关键.
2.(2023上·陕西西安·七年级校考阶段练习)如图,A、B、C是一条公路上的三个村庄,A、B间的路程为,A、C间的路程为,现要在A、B之间建一个车站P,若要使车站到三个村庄的路程之和最小,则车站应建在何处?( )
A.点C处 B.线段之间 C.线段的中点 D.线段之间
【答案】A
【分析】设、间的路程为,分类讨论,当点在点的左侧和点在点的右侧,用含的代数式表示车站到三个村庄的路程之和,就可以得出结论.
【详解】解:∵,,
∴,
设、间的路程为,
如图,当点在点的左侧,
车站到三个村庄的路程之和为:;
如图,当点在点的右侧,
车站到三个村庄的路程之和为:;
综上所述:车站到三个村庄的路程之和为;
∴当时,路程之和最小为,
∴当车站建在村庄处,车站到三个村庄的路程之和最小.
故选: A.
【点睛】本题考查了分类讨论思想的运用,代数式的运用,解答时求得车站到三个村庄的路程之和是关键.
3.(2023上·重庆沙坪坝·七年级重庆一中校考阶段练习)如图,点M、点C在线段AB上,点M是线段AB的中点,AC=2BC,若MC=2,则AB的长为( ).
A.8 B.10 C.12 D.16
【答案】C
【分析】根据线段中点的定义和线段的和差即可得到结论.
【详解】解:设为,
∵,,
∴,
又∵点是的中点,
∴,
∵,
∴,
解得.
故选:.
【点睛】本题考查了两点间的距离,线段中点的定义,熟练掌握线段中点的定义是解题的关键.
4.(2023上·江苏·七年级姜堰区实验初中校考周测)数轴上的三点表示的数分别为,,,其中,下列说法正确的是( )
A.点A与点C的距离一定小于点B与点C的距离
B.点A与点C的距离一定大于点B与点C的距离
C.点A与点B的距离一定小于点B与点C的距离
D.点A与点B 的距离一定大于点B与点C的距离
【答案】A
【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离,根据题意可得的中点表示的数为2,设点D表示数2,则,然后分点A在点C与点D之间,点A在点C左边两种情况,利用线段的和差关系求解即可.
【详解】解:∵数轴上的两点表示的数分别为,, ,
∴的中点表示的数为2,
∵,
∴点A在数2的左边,点B在数2的右边,
设点D表示数2,则,
如图当点A在点C与点D之间时,;
如图当点A在点C左边时,则,
∴;
综上所述,点A与点C的距离一定小于点B与点C的距离,
故选A.
5.(2023下·山东淄博·六年级统考期末)如图,D是的中点,E是的中点,若,,则下列说法中错误的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】根据线段中点的定义以及线段之间的和差关系分别求出、、、即可.
【详解】解:∵D是的中点,E是的中点,,,
∴,,
∴,故此项不符合题意;
,故此项不符合题意;
,故此项符合题意;
,故此项不符合题意;
故选:C.
【点睛】本题考查中点的定义及两点间的距离,掌握线段的和差关系是解题的关键.
B能力提升
1.(2022下·山东济南·七年级校联考期中)已知,在直线AB上有一点C,BC=3cm,AB=8cm,M为线段AB的中点,N为线段BC的中点,则MN= .
【答案】2.5cm或5.5cm
【分析】根据题意作出图形进行分类讨论即可求解.
【详解】①线段BC在线段AB上,
MN=AB-BC=(8-3)=2.5cm;
②线段BC在直线AB延长线上,
MN=AB+BC=(8+3)=5.5cm;
故MN=2.5cm或5.5cm
【点睛】此题主要考查线段的长度计算,解题的关键是根据题意分情况讨论.
2.(2023上·河北保定·七年级统考期中)如图,线段与线段a,b的数量关系是 .
【答案】
【分析】本题考查了线段的和差关系,根据,即可求解.
【详解】解:根据题意可得,
故答案为:.
3.(2023上·福建福州·七年级福建省福州第十六中学校联考期中),,,在数轴上的位置如图所示,为原点,,,若点所表示的数为,则的长度为 .(结果用含的代数式表示)
【答案】/
【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离,线段的和与差,数形结合思想;根据数轴上两点间的距离得到点A表示的数为,,从而得到,即可求解.
【详解】解:∵,点所表示的数为,
∴点A表示的数为,,
∵点A位于原点左侧,
∴,
∵,
∴,
∴.
故答案为:
4.(2023上·河北张家口·七年级统考期中)如图,有公共端点C的两条线段,组成一条折线,若该折线上一点D把这条折线分成相等的两部分,我们把这个点D叫做这条折线的“折中点”. 若为线段中点,,,则的长为 .
【答案】或
【分析】本题考查了线段的和差运算,线段中点,新定义折中点等知识,分两种情况:点D在线段上与点D在线段上,利用中点的意义及折中点的含义即可求解,分类讨论,结合图形利用线段的和差倍分关系是解题的关键.
【详解】解:当点D在线段上时,
则,
∴;
∵E为线段中点,,
∴,
∴;
当点D在线段上时,如图,
则,
∴;
∵E为线段中点,,
∴,
∴;
综上,的长为或;
故答案为:或.
5.(2022上·四川泸州·七年级统考期末)如图,一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点C,蚂蚁爬行的最短路线有 条.
【答案】6
【分析】根据线段的性质:两点之间线段最短,把正方体展开,直接连接A、C两点可得最短路线.
【详解】解:根据两点之间线段最短可知,把正方体展开,直接连接A、C两点可得最短路线,分6种情况:①前面和下面展开在一起时;②前面和右面展开在一起时;③上面和后面展开在一起时;④上面和右面展开在一起时;⑤左面和后面展开在一起时;⑥左面和下面展开在一起时.
故答案为:6.
【点睛】本题考查正方体的展开图,线段的性质,具备一定的空间想象能力是解题的关键.
C综合素养
1.(2020上·七年级课时练习)已知:线段,如图(1).求作:线段,使.在下面的作法中,有些地方叙述稍显笼统,请找出来,并加以改正.
作法:如图(2),①作射线;②以点为一端,作线段.就是所求作的线段.
【答案】见解析.
【分析】根据用尺规作一条线段等于已知线段的方法解答即可.
【详解】解:作法的叙述中第②步太笼统,没交待清楚.
这一步正确作法为以点为圆心,以线段的长为半径画弧,交射线于点.线段即为所求.
或者是用圆规在射线上截取线段,线段即为所求.
【点睛】本题考查了基本作图,属于基本题型,熟练掌握尺规作线段的方法是解题关键.
2.(2023上·河北唐山·七年级统考期中)如图,点是线段上一点,且,.
(1)图中共有__________条线段;
(2)试求出线段的长;
(3)如果点是线段的中点,请求线段的长.
【答案】(1)6
(2)28
(3)6
【分析】本题主要考查了两点间的距离与线段中点的定义;
(1)根据线段的定义进行判断即可;
(2)由B在线段上可知,把,代入即可得到答案;;
(3)根据O是线段的中点及的长可求出的长,由即可得出答案.
找出各个线段间的数量关系是解决问题的关键.
【详解】(1)解:图中线段有,,,,,共6条;
故答案为:6.
(2)解:∵,,
∴;
(3)解:由(2)知:,
∵点O是线段的中点,
∴,
∴.
3.(2023上·内蒙古呼和浩特·七年级校考阶段练习)如图,已知线段,点为线段上一点,且.动点以的速度,从点出发,沿方向运动,运动到点停止;点出发后,点以的速度,从点出发,沿方向运动,运动到点时,停留,按原速沿方向运动到点停止.设的运动时间为.
(1)___________,___________;
(2)当从向运动时,若,求的值.
【答案】(1)8,16
(2)2
【分析】(1)根据,即可解答;
(2)根据运动时间和运动速度可用含的代数式表示出和,再根据列出方程,求解即可.
【详解】(1)解:线段,,
,
,
故答案为:8,16;
(2)设的运动时间为,
当从向运动时,,,
,
,
解得:,
当从向运动时,若,的值为2.
【点睛】本题主要考查列代数式、一元一次方程的应用、两点间的距离,解题关键是掌握两点间距离的表示方法.
4.(2023上·全国·七年级专题练习)如图,点在线段上,点是的中点,,.
(1)图中共有 条线段.
(2)求线段的长;
(3)在线段上取一点,使得,求线段的长.
【答案】(1)10
(2)2
(3)7
【分析】本题主要考查了线段、线段的和计算、线段中点的性质等知识.(1)根据线段的定义分析,即可获得答案;(2)首先求得的长,再结合中点的定义计算线段的长;(3)首先求得的长,再结合、计算的长,即可获得答案.
【详解】(1)解:图中线段为线段、线段、线段、线段、线段、线段、线段、线段、线段、线段,共10条线段,
故答案为:10.
(2)∵点在线段上,,,
∴,
∵点是的中点,
∴.
(3)∵是的中点,
∴,
∵点在线段上,,
∴,
又∵,
∴,
∴.
5.(2023上·河北张家口·七年级统考期中)已知数轴上两点A、B,若在数轴上存在一点C,使得,则称点C为线段的“n倍点”.例如如图1所示:当点A表示的数为,点B表示的数为2,点C表示的数为0,有,则称点C为线段的“1倍点”.
请根据上述规定回答下列问题:
已知图2中,点A表示的数为,点B表示的数为1,点C表示的数为x.
(1)当时,点C______(填“一定是”或“一定不是”或“不一定是”)线段的“1倍点”;
(2)若点C为线段的“n倍点”,且,求n的值;
(3)若点D是线段的“2倍点”,则点D表示的数是多少?请说明理由.
【答案】(1)一定是
(2)1.5
(3)或3,见解析
【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离,解绝对值方程,
(1)根据数轴上两点距离公式求出与之间的关系即可得到答案;
(2)根据数轴上两点距离公式求出长,进而求出与之间的关系即可得到答案;
(3)设点D表示的数为m,根据两点距离公式结合已知条件得到,据此求解即可;
正确理解题意熟知“n倍点”的定义是解题的关键.
【详解】(1)解∵点A表示的数为,点B表示的数为1,点C表示的数为x,
∴,
∵,
∴,
∴点C一定是线段的“1倍点”,
故答案为:一定是;
(2)解:点A表示的数为,点B表示的数为1,点C表示的数为,
∴,
∴,
∴,
∴;
(3)解:设点D表示的数为m,
∴,
∵点D是线段的“2倍点”,
∴,
∴,
当时,则,解得;
当时,则,此时不满足题意;
当时,则,解得;
综上所述,点D表示的数为或3,
故答案为:或3.
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