卷子答案网-一个不只有答案的网站2022-2023学年江苏省南通市崇川区启秀中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的绝对值是( )
A. B. C. D.
2. 下列运算一定正确的是( )
A. B. C. D.
3. 以原点为中心，将点按逆时针方向旋转，得到的点所在的象限为( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. 如图，直线与相交于点，平分，，若，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
5. 据研究，某种似球形病毒的直径约为，用科学记数法表示应为( )
A. B. C. D.
6. 如图，沿折叠矩形纸片，使点落在边的点处已知，，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
7. 下列说法中，正确的是( )
A. 对于函数，随的增大而减小
B. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C. 若∽，目，则
D. 直线是函数 图象的对称轴
8. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为，线段和的端点都在网格线的交点上．若与相交于点，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
9. 已知二次函数的图象如图所示，并且关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，下列结论：
；；；，
其中，正确的个数有( )
A. B. C. D.
10. 如图，在等腰中，，，点从点出发，以的速度沿方向运动到点停止，同时点从点出发，以的速度沿方向运动到点停止若的面积为，运动时间为，则下列最能反映与之间函数关系的图象是( )
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. ______．
12. 如图，四边形的顶点、、在上，若，则 ．
13. 分解因式： ______ ．
14. 如图，圆锥的底面圆的半径是，其母线长是，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角度数是______
15. 甲同学小时清点完一批图书的一半，乙同学加入清点另一半图书的工作，两人合作小时清点完另一半图书，如果乙同学单独清点这批图书需要小时，根据题意列方程______ ．
16. 如图是一台手机支架，图是其侧面示意图，，可分别绕点，转动，测量知，当，转动到，时，则点到的距离为______ 结果保留小数点后一位，参考数据：，
17. 在平面直角坐标系中，点，点，其中若，，则的面积为______．
18. 如图，菱形中，，点在上且，为边上一动点，将菱形在下方的部分沿向上翻折，点、对应点分别为、，连接，若，则的取值范围是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
按题目要求解题：
计算：．
解方程：．
20. 本小题分
年是中国共产主义青年团建团周年．某校举办了一次关于共青团知识的竞赛，七、八年级各有名学生参加了本次活动，为了解两个年级的答题情况，从两个年级各随机抽取了名学生的成绩进行调查分析．下面给出了部分信息：
七年级学生的成绩整理如下单位：分：
八年级学生成绩的频数分布直方图如图数据分成四组：，，，：
其中成绩在的数据如下单位：分：
两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
年级 平均数 中位数 众数
七年级
八年级
根据所给信息，解答下列问题：
______，______；
估计______年级学生的成绩高于平均分的人数更多；
若成绩达到分及以上为优秀，估计七年级和八年级此次测试成绩优秀的总人数．
21. 本小题分
如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
求一次函数的解析式；
直接写出关于的不等式的解集．
22. 本小题分
如图所示，小张同学在由块黑色和块白色小正方形组成的“”正方形网格中做涂色游戏，发现某些涂色方案可构成轴对称图形．
若将其中一块白色的小正方形涂黑，则块黑色小正方形组成的图形是轴对称图形的概率是______ ．
若将其中两块白色的小正方形涂黑，请用列表或画树状图的方法求块黑色小正方形组成的图形是轴对称图形的概率．
23. 本小题分
在中，以边上一点为圆心，为半径的圆与相切于点，分别交，于点，．
如图，连接，若，求的大小；
如图，若点为的中点，，求的大小．
24. 本小题分
某地政府计划为农户购买农机设备提供补贴．其中购买Ⅰ型、Ⅱ型设备农民所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系．
型号
金额 Ⅰ型设备 Ⅱ型设备
投资金额万元
补贴金额万元
分别求和的函数解析式；
有一农户共投资万元购买Ⅰ型、Ⅱ型两种设备，两种设备的投资均为整数万元，要想获得最大补贴金额，应该如何购买？能获得的最大补贴金额为多少？
25. 本小题分
如图，在中，，，正方形的边长为，将正方形绕点旋转一周，连接、、．
请判断线段和的数量关系，并说明理由；
当、、三点在同一直线上时，求的长；
设的中点为，连接，试求线段长的取值范围．
26. 本小题分
对于平面直角坐标系中的任意一点，我们定义：当为常数，且时，点为点的“对应点”．
点的“对应点”的坐标为______；若点的“对应点”的坐标为，且点的纵坐标为，则点的横坐标______；
若点的“对应点”在第一、三象限的角平分线原点除外上，求值；
若点在轴的负半轴上，点的“对应点”为点，且，求值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的绝对值是．
故选：．
根据一个负数的绝对值是它的相反数即可求解．
本题考查了绝对值，如果用字母表示有理数，则数的绝对值要由字母本身的取值来确定：当是正数时，的绝对值是它本身；当是负数时，的绝对值是它的相反数；当是零时，的绝对值是零．
2.【答案】
【解析】解：、与不是同类项，不能合并，故此选项错误，不符合题意；
B、，故此选项错误，不符合题意；
C、，故此选项错误，不符合题意；
D、，故此选项正确，符合题意
故选：．
根据合并同类项法则、幂的运算分别计算可得答案．
此题主要考查了合并同类项、同底数幂的除运算、积的乘方以及幂的乘方，正确掌握运算法则是解题关键．
3.【答案】
【解析】解：如图，点按逆时针方向旋转，
得点所在的象限为第二象限．
故选：．
根据旋转的性质，以原点为中心，将点按逆时针方向旋转，即可得到点所在的象限．
本题考查了坐标与图形变化旋转，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
4.【答案】
【解析】解：，
，
平分，
，
，
．
故选：．
根据对顶角相等求出，根据角平分线的定义求出，根据余角的概念计算即可．
本题考查的是对顶角、邻补角的概念和性质以及垂直的定义，掌握对顶角相等、垂线的夹角是是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．当原数为较大数时，为整数位数减；当原数为较小数大于小于的小数时，为第一个非数字前面所有的个数的相反数．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
6.【答案】
【解析】解：由同角的余角相等可得，
，
，
，
，
，
由折叠可得，
四边形是矩形，
．
故选：．
根据折叠的性质和锐角三角函数的概念来解决．
本题考查了翻折变换，矩形的性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
7.【答案】
【解析】解：、对于函数，随的增大而减小，错误应该是在每个象限，随的增大而减小，本选项不符合题意；
B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确，本选项符合题意；
C、若∽，目，则，错误应该是，本选项不符合题意；
D、直线是函数 图象的对称轴，错误，应该是直线是函数 图象的对称轴．本选项不符合题意．
故选：．
根据反比例函数的性质，矩形的判定，相似三角形的性质，二次函数的性质一一判断即可．
此题考查了相似三角形的性质，反比例函数的性质，二次函数的性质，矩形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
8.【答案】
【解析】解：设与交于点，如图，
，，
是的中位线．
，．
，
∽．
．
设，则．
．
解得：．
．
．
．
在中，．
．
故选：．
由于是的中位线，，；利用∽，可得，设，求得，，可得，在中，可求．
本题主要考查了解直角三角形，三角形的中位线，三角形的相似的判定与性质．通过计算得出，在中，通过计算得出结论，体现数学中的转化的思想方法．
9.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，正确把握二次函数与方程之间的关系是解题关键．
直接利用抛物线与轴交点个数以及抛物线与方程之间的关系、函数图象与各系数之间关系分析得出答案．
【解答】
解：如图所示：图象与轴有两个交点，则，故错误；
图象开口向上，，
对称轴在轴右侧，
，异号，
，
图象与轴交于轴下方，
，
，故正确；
当时，，故错误；
二次函数的顶点纵坐标为：，
故二次函数向上平移小于个单位，则平移后解析式与轴有两个交点，此时关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
故，
解得：，
故正确．
正确的个数有个．
故选B．
10.【答案】
【解析】解：如图，作于，
，
，
，，
，
点运动的速度为，点运动的速度为，
点从点运动到需，点运动到需，
当时，作于，如图，，，
在中，，
，
当时，作于，如图，，，
在中，，
，
综上所述，．
故选：．
作于，根据等腰三角形的性质得，利用可计算出，，则，利用速度公式可得点从点运动到需，点运动到需，然后分类讨论：当时，作于，如图，，，，利用三角形面积公式得到；当时，作于，如图，，，，利用三角形面积公式得出解析式，于是可得时，函数图象为抛物线的一部分，当时，函数图象为抛物线一部分，则易得答案为．
本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到与的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题．
11.【答案】
【解析】解：，
的算术平方根是，即．
故答案为：．
利用算术平方根定义计算即可求出值．
此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
12.【答案】
【解析】解：如图，在优弧上取点，连接，，
，
，
．
故答案是：．
首先在优弧上取点，连接，，由圆的内接四边形的性质，可求得的度数，然后由圆周角定理，求得的度数．
此题考查了圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
13.【答案】
【解析】解：
，
故答案为：．
先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
14.【答案】
【解析】解：圆锥底面周长，
扇形的圆心角的度数．
故答案为：．
先由半径求得圆锥底面周长，再由扇形的圆心角的度数圆锥底面周长计算．
本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是根据圆锥的底面周长得到扇形圆心角的表达式子．
15.【答案】
【解析】解：由题意可得：，
故答案为：．
设乙同学单独清点这批图书需要小时，根据两人合作小时清点完另一半图书，列出方程即可．
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键，注意分式方程一定要检验．
16.【答案】
【解析】解：如图，过点、分别作的垂线，垂足分别为、，过点作，垂足为，
在中，
，，
，
，
在中，
，
，
又，
，
，
即点到的距离约为，
故答案为：．
通过作垂线构造直角三角形，在中，求出，在中，求出，即可求出，从而解决问题．
本题考查解直角三角形，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系是解决问题的关键．
17.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
，
如图所示，过点作轴于，作轴于，过点作轴于，
点，点，
，，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
，
，
由和得：，
．
故答案为：．
先将等式变形后，将左边分解因式，可得，则，作辅助线，构建全等三角形，证明≌，最后根据可得结论．
本题主要考查了坐标与图形的性质，三角形全等的性质和判定，三角形和四边形的面积，解方程组等知识，在求三角形面积时，用到了和差法，它是求不规则图形面积常用的方法，应熟练掌握．
18.【答案】
【解析】解：连接、，由题意可得：，因此点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动，
当过点时，最短，如图，过点作于点，
在菱形中，，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
即的最小值为；
当点和点重合时，最长，如图，过点作于点，过点作交延长线于点，
根据折叠的性质可得，四边形为菱形，，
为等边三角形，
，，
四边形为菱形，，
，，
，
点、、在同一条直线上，
，
，，
四边形为矩形，
，，
，，
在中，由勾股定理得，
即的最大值为．
综上，．
故答案为：．
分析题意可知，点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动，因此当过点时，最短，过点作于点，根据菱形的性质和等边三角形的性质得出，，再根据勾股定理依次求出、，即可得到的最小值；当点和点重合时，最长，过点作于点，过点作交延长线于点，根据折叠的性质和等边三角形性质先证明点、、三点共线，以此证明四边形为矩形，再根据勾股定理即可求出的最大值．
本题主要考查折叠的性质、等边三角形的性质、菱形的性质、勾股定理，分析题意，分析出取得最大值和最小值的两种情况，并画出图象，利用数形结合思想解决问题是解题关键．
19.【答案】解：原式
．
方程两边都乘以最简公分母，得
，
解得．
检验：把代入中，结果不等于，
所以是原方程的解．
【解析】原式第一项利用平方差公式计算，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，最后一项利用完全平方公式化简，去括号合并即可；
给方程两边都乘以最简公分母，得出，解得的值，把的值代入最简公分母进行验根，得出原方程的解即可．
本题考查整式的混合运算，解分式方程，熟练掌握乘法公式已经解分式方程的一般步骤是解题的关键．
20.【答案】 八
【解析】解：根据七年级的成绩可知，
，
由题意知，八年级学生的成绩中第、第位分别是，，
．
故答案为：；．
由题意知，七年级成绩在平均分以上的有人，占总数的，
估计七年级学生的成绩高于平均分的人数为人，
八年级成绩在平均分以上的有人，占总数的，
估计八年级学生的成绩高于平均分的人数为人，
，
估计八年级学生的成绩高于平均分的人数更多．
故答案为：八．
由题意知，七年级成绩优秀的人数占比为，八年级成绩优秀的人数占比为，
估计七年级和八年级此次测试成绩优秀的总人数为人．
答：估计七年级和八年级此次测试成绩优秀的总人数为人．
根据众数和中位数的定义可得出答案．
分别求出七、八年级的成绩在平均数以上的占比，再乘以总人数可得七、八年级学生的成绩高于平均分的总人数，比较即可．
由题意知，七年级成绩优秀的人数占比为，八年级成绩优秀的人数占比为，再根据计算求解即可．
本题考查频数分布直方图、众数、中位数、样本估计总体，能够从统计图中获取必要信息是解答本题的关键．
21.【答案】解：，两点在反比例函数的图象上，
，
，，
点的坐标为，，
又点、在的图象上，
，解得，
一次函数的解析式为；
由图象可知，关于的不等式的解集为或．
【解析】将点、点的坐标分别代入即可求出、的值，从而求出两点坐标，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
根据图象即可求得．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合是解题的关键．
22.【答案】
【解析】解：共有种情形，涂黑时，是轴对称图形，
块黑色小正方形组成的图形是轴对称图形的概率是，
故答案为：．
共有种可能，，其中，，，涂黑时，是轴对称图形．
块黑色小正方形组成的图形是轴对称图形的概率．
共有种情形，判断出涂黑时，是轴对称图形的可能性，可得结论；
共有种可能，，其中，，涂黑时，是轴对称图形，由此可得结论．
本题考查利用轴对称设计图案，轴对称图形的定义等知识，解题的关键是掌握轴对称图形的定义，属于中考常考题型．
23.【答案】解：连接，如图，
为的切线，
，
，
，
．
，
，
，
；
连接，，，如图，
由知：，
，
点为的中点，
．
，
，
，
为等边三角形，
．
，
，
为等边三角形，
．
．
，
，
．
在中，
，
，
，
．
【解析】连接，利用圆的切线的性质，平行线的判定与性质和直角三角形的性质解答即可；
连接，，，利用圆的切线的性质定理，平行线的性质和等腰三角形的性质得到为等边三角形，进而得到为等边三角形，再利用直角三角形的边角关系定理，在中求得线段，则圆的半径可求，最后在中求得，则，结论可得．
本题主要考查了圆的有关性质，圆心角，弧，弦之间的关系定理，圆周角定理，圆的切线的性质定理，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
24.【答案】解：设购买Ⅰ型设备补贴的金额的解析式为：，购买Ⅱ型设备补贴的金额的解析式为，
由题意，得：，或，
解得：，，
的解析式为：，的函数解析式为：
设投资Ⅱ型设备万元，Ⅰ型设备万元，补贴金额为万元：
所以
所以当或时，的最大值，所
以投资Ⅰ型设备万元，Ⅱ型设备万元；或投资Ⅰ型设备万元，Ⅱ型设备万元，获得最大补贴金额，最大补贴金额为万元．
【解析】利用待定系数法直接就可以求出与的解析式．
设总补贴金额为万元，购买Ⅱ型设备万元，购买Ⅰ型设备万元，建立等式就可以求出其值．
本题考查了待定系数法求函数的解析式的运用，抛物线的顶点式的运用．在求解析式中，待定系数法时常用的方法．二次函数的一般式化顶点式是求最值的常用方法．
25.【答案】解：结论：．
理由：在中，，，
，
，
四边形是正方形，是等腰直角三角形，
，，
，
∽，
，
；
，，
，
当、、三点在一直线上时，
，
，
如图，当在左上方时，
，
，
，
如图，当在右下方时，
同理，，
，
综上所述，当、、三点在一直线上时，的长为或；
如图，延长到使，连接，，
则是等腰直角三角形，
，
设为的中点，
连接，
是的中位线，
，
在中，，
，
．
【解析】根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理即可得到结论；
根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理得到，接下来分两种情形：如图，当在左上方时，如图，当在右下方时，即可得到结论；
如图，延长到使，连接，，求得是等腰直角三角形，得到，设为的中点，连接，根据三角形中位线的定理得到，根据三角形的三边关系即可得到结论．
本题考查了四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
26.【答案】
【解析】解：，，
则点的“对应点”的坐标为，
点的“对应点”的坐标为，点的纵坐标为，
，
解得，，即点的横坐标，
故答案为：；
故答案为：；；
点在第一、三象限的角平分线原点除外上，
，
整理得，，
由题意得，，
，
解得，；
点在轴的负半轴上，
设点的坐标为，
则点的“对应点”为点的坐标为，
轴，
，
，
，
解得，，
则点在轴的负半轴上，点的“对应点”为点，时，或．
根据点的“对应点”的定义列式计算，得到答案；
根据第一、三象限的角平分线上的点的横纵坐标相等计算；
根据点的“对应点”的定义表示出点的坐标，根据直角三角形的性质、正切的定义计算即可．
本题考查的是点的“对应点”的定义、直角三角形的性质、角平分线的性质，正确理解点的“对应点”的定义是解题的关键．
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