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24.4弧长和扇形面积课时训练-2023-2024学年九年级上册人教版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．如图，将扇形围成一个圆锥，若扇形半径为18，，则圆锥的底面半径为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
2．如图，已知的半径为6，，是的弦，若，则的长是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，扇形中，，．若将此扇形绕点顺时针旋转，得一新扇形，其中点在上，则点的运动路径长为（ ）（结果保留）．
A． B． C． D．
4．如图，圆锥的底面半径，高则这个圆锥的侧面展开后扇形的圆心角是（ ）
A． B． C． D．
5．斐波那契数列指的是这样一列数：1，1，2，3，5，8，…（从第3个数起，每个数是前面两数的和），如图，用以这些数为边长的正方形拼成长方形，在以这些数为边长的正方形中作出圆心角为的圆弧，则接下来一段圆弧对应的扇形面积是（ ）．
A． B． C． D．
6．已知扇形的半径为，圆心角的度数是，则扇形的弧长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，斜边是半圆的直径，点是半圆上的一个动点，连接与交于点，若时，弧的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，是半径为4的上的三点．如果，那么的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．若扇形半径为，面积为，则它的弧长为 ．
10．如图，，，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当，时，则阴影部分的面积为 ．
11．如图，正方形的边长为6，以为直径的半圆交对角线于点，则阴影部分的面积是 ．
12．如图，扇形是圆锥的侧面展开图，且点O、A、B分别是格点，已知小正方形方格的边长为，则这个圆锥的底面半径为 ．
13．如图，的半径为2，是弦，点在优弧上．将沿折叠后，连接，交于点．若，则的长是 （结果保留）．
14．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为9cm，圆锥的底面圆的半径r为3cm，则扇形的圆心角为 °．
15．已知半径为的扇形的面积为，则扇形的弧长是 ．
16．如图，已知圆锥底面圆的半径为，母线长为，一只蚂蚁从点A出发沿圆锥侧面一周（回到原来的位置A）所爬行的最短路径为 ．
三、解答题
17．如图所示，已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥侧面，求围成的圆锥的高．
18．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，．
(1)将绕点逆时针旋转后对应得到，请写出点，，的坐标．
(2)请在图中画出绕点顺时针旋转后的，并求出旋转过程中点所经过的路径长（结果保留根号和．
19．如图，为的直径，弦于点，连接，，，为中点，且.
(1)求的长；
(2)当时，
①__________；
②求阴影部分的周长和面积.
20．如图，已知是的直径，点在上，为外一点，且，．
(1)试说明：直线为的切线；
(2)若，求阴影部分的面积．
21．如图，已知中，，
(1)用尺规作的外接圆O；
(2)若的半径为4，求扇形的面积．
22．如图，已知，点是上的一个定点．
(1)尺规作图：请在图1中作，使得与射线相切于点，同时与相切，切点记为；
(2)在（1）的条件下，若，求所作的的劣弧与所围成图形的周长．
参考答案：
1．B
【分析】此题考查了弧长公式，弧长与圆锥底面圆周长的关系，熟记弧长与圆锥底面圆周长的关系是解题的关键．根据弧长等于圆锥底面圆周长即可求解．
【详解】解：设圆锥的底面圆的半径是r，
根据题意，得，
解得，
故选：B．
2．B
【分析】本题考查的圆周角定理的应用，弧长的计算；先求解，再利用弧长公式进行计算即可．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∴弧的长，
故选：B．
3．A
【分析】本题主要考查求了扇形的弧长，等腰三角形的性质，旋转的性质等．
先确定点O的运动轨迹是以点B为圆心，为半径的弧线，再根据等腰三角形的性质得出，然后根据计算，可得答案．
【详解】根据题意可知，，
∴，
∴．
故选：A．
4．C
【分析】此题主要考查了圆锥的有关计算，首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再利用底面周长展开图的弧长，圆锥的母线长展开图的扇形的半径，即可求解．
【详解】解：∵圆锥的底面半径，高，
∴圆锥的母线长，
设圆锥的侧面展开后扇形的圆心角为，则
，
解得：，
故选：C．
5．C
【分析】本题考查了扇形面积的计算，正方形的性质，长方形的性质．根据规律可知，接下来一段圆弧对应的扇形的半径为，圆心角为，据此根据扇形面积公式“”，代入数据计算即可．
【详解】解：，
故选：C．
6．B
【分析】本题主要考查了扇形的弧长计算，根据弧长计算公式计算即可；
【详解】∵扇形的半径为，圆心角的度数为，
∴．
故选：B．
7．B
【分析】本题考查弧长公式，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，先根据三角形内角和定理求出，再由同弧所对的圆周角是圆心角的一半，得，利用弧长公式求解即可．
【详解】解：当时，如图：
∵，，
∴，
因为
∴，
∵
∴
∴弧的长为，
故选：B
8．A
【分析】连接，根据圆周角定理可得出，再根据弧长公式计算即可．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴的长为，
故选：A．
【点睛】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解题的关键是熟练掌握弧长公式．
9．4
【分析】本题考查了扇形的面积公式，根据扇形的面积公式，即可求解．正确记忆公式是关键．
【详解】解：设弧长是，则，
解得：．
故答案为：4．
10．
【分析】本题考查勾股定理和三角形的面积、圆的面积．根据勾股定理求出，分别求出三个半圆的面积和的面积，即可得出答案．能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积是解题的关键．
【详解】解：在中，，，，
∴，
∴阴影部分的面积为：，
∴阴影部分的面积为．
故答案为：．
11．
【分析】本题考查扇形的面积的计算、正方形的性质，解题的关键是根据题意和图形可知阴影部分的面积是的面积减去弓形的面积，再减去的面积，从而可以解答本题．
【详解】解：正方形边长为6，
，
∵弓形和弓形的面积相等，
阴影部分的面积是：
，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、求弧长，根据勾股定理的逆定理得是等腰直角三角形，再根据弧长公式即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：根据勾股定理可以得到：，即．
，，
，
是等腰直角三角形．
的长是．
设圆锥的底面半径是，则，
解得：．
故答案为．
13．
【分析】本题考查了弧长的计算，圆的折叠的性质，圆内接四边形的性质，补全圆，取与关于对称，连接，，，先求出，再求出，根据求弧长公式计算即可．
【详解】解：如图，补全圆，取与关于对称，连接，，，
，
，
由内接四边形定理可得：，
，
的长，
故答案为：．
14．120
【分析】本题考查圆锥的侧面展开图的圆心角，根据圆锥的底面周长等于扇形的弧长，列出等式，求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
解得：；
故答案为：120．
15．
【分析】本题考查了扇形面积公式的计算，设扇形的弧长为，根据扇形面积公式得出，再求出即可．
【详解】解：设扇形的弧长为，
∵半径为的扇形的面积为，
∴，
解得：，
即扇形的弧长为．
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角，把圆锥的侧面展开得到圆心角为，半径为的扇形，求出扇形中的圆心角所对的弦长即为最短路径．将圆锥中的数据对应到展开图中是解题的关键．
【详解】解：圆锥的侧面展开如图，过点S作，
∴，
设，
即：，
得：，
∵，，
∴，
∴
∴，
∴．
故答案为：．
17．圆锥的高为．
【分析】本题考查了圆锥的计算，重点考查了扇形的弧长公式．求出扇形的弧长，除以即为圆锥的底面半径，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可．
【详解】解：扇形的弧长，
圆锥的底面半径为，
故圆锥的高为：．
18．(1)，，．
(2)见解析，
【分析】本题考查作图旋转变换、弧长公式，熟练掌握旋转的性质、弧长公式是解答本题的关键．
（1）根据旋转的性质可得答案．
（2）先利用勾股定理求出的长，再利用弧长公式计算即可．
【详解】（1）解：由题意得，，，；
（2）解：如图，即为所求．
，
由勾股定理得，，
旋转过程中点所经过的路径长为．
19．(1)2
(2)①；②周长，面积
【分析】本题以圆为几何背景，考查了中位线定理、垂径定理、勾股定理等知识点．熟记定理内容是解题关键．
（1）由题意可得且，结合“垂径定理”可得，，据此即可求解；
（2）①由“垂径定理”可得，，解直角三角形即可求解；②连接，在求出线段的长度即可．
【详解】（1）解：∵为的直径，
∴，
∵为中点，为中点，
∴且，
∵，
∴，
∵弦于点，
∴，
∴；
（2）解：①∵弦于点，
∴，
∵，，
∴，，
∴.
故答案为：
②连接，
∵，，
∴，
∴.
在，
∵，，，
∴，，
∴的长，
阴影部分的周长，
阴影部分的面积.
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明：连接，由，，得，则，所以，即可证明直线为的切线．
（2）连接，则，所以是等边三角形，则，所以，，则，，，即可由求得阴影部分的面积是．
【详解】（1）解：如图，连接，
，
，
，
，
．
，
，
，
即，又是的半径，
直线为的切线．
（2）如图，连接，作，垂足为，则，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，即的半径为4，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】此题重点考查平行线的判定与性质、切线的判定、等边三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质、扇形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了尺规作图—作三角形外接圆，圆周角定理，扇形面积计算．
（1）三角形外接圆圆心是三角形三条垂直平分线的交点，据此作出圆心O的位置即可作出；
（2）由圆周角定理得到，再利用扇形面积公式计算即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∴．
22．(1)作图见详解
(2)
【分析】（1）作的角平分线与过点的垂直平分线的交点即可；
（2）根据切线的性质，可得，，根据含角的直角三角形的性质可求出的值，根据弧长的计算方法可求出的值，由此即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，作的角平分线与过点的垂直平分线的交点即可，
以点为圆心，以任意长度为半径画弧，交于点，交于点；
分别以点为圆心，画弧交于点，连接，得是的角平分线；
以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点；
分别以点为圆心，以大于为半径画弧，交于点，连接，交于点；
以点为圆心，以为半径画圆，所得即为所求．
（2）解：由（1）可知，是的切线，是的角平分线，
∴，，，
在中，，，
∴，即的半径，
∴，
∴，
根据题意可得，，
∴的劣弧与所围成图形的周长为．
【点睛】本题主要考查尺规作角平分线，垂直平分线，弧长的计算，含角的直角三角形的性质，不规则图形周长的计算，掌握角平分线的性质，垂直平分线的性质，弧长的计算方法是解题的关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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