卷子答案网-一个不只有答案的网站2022-2023学年河南省信阳市百师联盟高一下学期期中考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题：，，则是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知为虚数单位，复数，，则( )
A. 的共轭复数为 B. 的虚部是
C. 为实数 D.
4.设点，，不共线，则“”是“与的夹角为钝角”的
( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.下列说法正确的是
( )
A. 过空间中的任意三点有且只有一个平面
B. 三棱柱各面所在平面将空间分成部分
C. 空间中的三条直线，，，如果与异面，与异面，那么与异面
D. 若直线在平面外，则平面内存在直线与平行
6.函数，，的部分图象如图，则
A. ， B. ，
C. ， D. ，
7.设，，则的最小值为
A. B. C. D.
8.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比赵爽弦图，用个全等的小三角形拼成了如图所示的等边，若，，则
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列说法中不正确的是
( )
A. 正四棱柱一定是正方体
B. 圆柱的母线和它的轴不一定平行
C. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
D. 以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥
10.下列选项中，与的值相等的是( )
A. B.
C. D.
11.下列说法正确的有
( )
A. 若，，则
B. 已知向量，，则
C. 若且，则和在上的投影向量相等
D. 若复数，，其中是虚数单位，则的最大值为
12.已知函数，实数，是函数的两个零点，则下列结论正确的有
A. B. C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知函数则 ．
14.一个水平放置的平面图形的直观图，它是底角为，腰和上底长均为的等腰梯形，则原平面图形的面积为 ．
15.已知向量，满足，，，的夹角为，则与的夹角为 ．
16.小王同学为了估算学校天文台的高度，在学校宿舍楼和天文台之间的地面上的点三点共线处测得楼顶、天文台顶的仰角分别是和，在楼顶处测得天文台顶的仰角为，宿舍楼高为，假设，和点在同一平面内，则学校天文台的高度为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知复数，其中为虚数单位，且满足，且为纯虚数．
求；
若复数是关于的方程的一个根，求实数，的值．
18.本小题分
如图，在中，为钝角，，是的平分线，交于点，且，．
求的大小；
求的面积．
19.本小题分
已知函数的最小正周期为，且图象的一个对称中心为．
求的解析式；
设函数，求的单调增区间．
20.本小题分
如图所示，在正六棱锥中，为底面中心，，．
求该正六棱锥的体积和侧面积；
若该正六棱锥的顶点都在球的表面上，求球的表面积和体积．
21.本小题分
已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点记，．
请用，表示向量；
若，设，的夹角为，若，求证：．
22.本小题分
已知函数，函数．
若是偶函数，求实数的值，并用单调性的定义判断在上的单调性；
在的条件下，若对于，，都有成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查集合的交集、补集混合运算，属于基础题．
先由一元二次不等式的解法求得集合，再由集合的补集和交集运算可求得答案．
【解答】
解：因为，
所以或，而，
所以．
故选A．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查全称量词命题的否定，属于基础题．
全称量词命题的否定是存在量词命题，据此可得到答案．
【解答】
解：全称量词命题的否定是存在量词命题，将全称量词改为存在量词，再否定结论即可，所以命题：，，的否定是，
故选B．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复数的概念、共轭复数及复数的运算，属于基础题．
利用复数的基本概念及运算法则逐项判断即可．
【解答】
解：因为的共轭复数为，所以不正确
的虚部为，所以不正确
因为，所以不是实数，所以不正确
，所以D正确．
故选D．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查向量等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
“ 与 的夹角为钝角”“ ”，“ ”“ 与 的夹角为钝角”，由此能求出结果．
【解答】
解：设与的夹角为，当时，
，
，，
，即，所以，
因为点，，不共线，所以与的夹角为钝角
当与的夹角为钝角时，，
所以，
所以，即
所以“”是“与的夹角为钝角”的充分必要条件．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查空间中共面问题，直线与直线，直线与平面的位置关系，属于基础题．
根据不共线的三点可确定平面，即可判断；
根据分步乘法计数原理即可判断；
根据异面直线的概念即可判断；
根据线面关系即可判断．
【解答】
解：：当空间中的三点共线时，不能确定平面，故A错误；
：三棱柱的个侧面所在平面将空间分成部分，两个平行的底面所在平面又将其中每部分都分成部分，所以三棱柱各面所在的平面将空间分成个部分，故B正确；
：空间中直线、、，若与异面，与异面，
则与可能异面，也可能共面，故C错误；
：由直线在平面外可知，或与相交．
若，则内存在直线与直线平行；
若与相交，则内不存在直线与直线平行，故D错误．
故选B．
6.【答案】
【解析】解：由题意可知，函数的周期为，
因为，
则；
又因为函数的图象经过，
所以，
可得，，
所以，，
因为，
所以当时，．
故选：．
根据图象求得周期，则得到，再代入点，结合的范围即可得到值．
本题考查了根据部分三角函数图象确定三角函数解析式，考查了数形结合思想和函数思想的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，解决本题的关键是对代数式进行合理配凑，属于中档题．
函数的解析式配凑为 ，然后利用基本不等式可求出函数的最小值．
【解答】
解：，
因为，所以，，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．
故选B．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用正弦定理解三角形，利用余弦定理解三角形，三角形面积公式，属于中档题．
根据题意，求出，设，则，由正弦定理求出，由余弦定理求出，得出，再利用三角形面积公式求解即可．
【解答】
解：在中，，
因为，
所以．
设，则，
由正弦定理可知，，即，则，
在中，，
，又，则，
故AC，
所以．
故选B．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间几何体的结构特征，属于基础题．
由空间几何体的结构特征即可求解．
【解答】
解：对于，正方体一定是正四棱柱，但正四棱柱不一定是正方体，故A错误
对于，圆柱的母线和它的轴一定平行，故选项B错误
对于，由正棱锥的定义可知，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故C正确
对于，当以斜边所在直线为旋转轴时，会得到两个同底的圆锥组合体，故D错误．
故选ABD．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
利用三角恒等变换即可求解．
【解答】
解：，
对于，，故A符合题意
对于，，故B符合题意
对于，，故C符合题意
对于，，故D不符合题意故选ABC．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平面向量的共线定理及向量的坐标运算，考查投影向量及复数模的最值，属于中档题．
根据平面向量的共线定理判断、根据向量运算的坐标表示判断、根据投影向量判断，根据复数的模及几何意义数形结合判断．
【解答】
解：选项A，若，满足，，但与不一定共线，故A错误
选项B，因为向量，，
所以，故B错误
选项C，因为且，
在上的投影向量为，
在上的投影向量，
所以，故C正确
选项D，由题意可得，对应的点在以原点为圆心，以为半径的圆上，对应的点为，
如图所示，则，故D正确．
故选CD．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查指数函数性质，基本不等式，属于中档题．
易得，由图象得，可判定；根据题意可知 ，然后可知 ，在结合基本不等式判断选项．
【解答】
解：，
的零点即函数与图象交点的横坐标，作出图象，
由图象可知，当时，两个函数图象有个交点，且，
即，化简可得，
由，
因为，所以等号取不到，可得，所以．
综上可知，BCD正确，A错误．
故选BCD．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查分段函数函数值的求法，属于基础题．
先计算，再计算的值即可．
【解答】
解：因为，
以．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了空间几何体的直观图与斜二测画法．
利用斜二测画法中直观图与原图的面积关系计算得结论．
【解答】
解：因为底角为，腰和上底长均为的等腰梯形，下底为，高为，
则直观图的面积为，
所以该平面图形的面积等于．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用向量的数量积求向量的夹角，属于中档题．
利用向量的数量积公式，变形应用，先求夹角的余弦值，再求角．
【解答】
解：因为，，，的夹角为，
所以，
所以．
又因为，
所以 ，
又因为 ，
所以与的夹角为．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角形的解法，正弦定理的应用，考查运算能力，属于中档题．
由已知求得，再在三角形中，运用正弦定理可得，再解直角三角形，计算可得学校天文台的高度．
【解答】
解：在直角三角形中，，
在中，，，
故，
在中，由正弦定理，，
故C，
在直角三角形中，
．
故答案为：．
17.【答案】解：为纯虚数，，
且，
，
因为关于的方程的一个根为，
所以此方程的另一根为，
则
解得：，．
所以实数，的值分别为：，．
【解析】本题考查复数的运算，纯虚数的定义及复数的模，复数集内解方程，属于基础题．
根据纯虚数的定义求出，再根据复数的模求出，由复数的除法运算求解即可；
由题意可得方程的另一根为，根据韦达定理即可求解．
18.【答案】解：在中，由正弦定理得．
所以．
因为为钝角，所以．
由得．
则，即为等腰三角形．
所以．
，
所以的面积为．
【解析】本题考查解三角形，涉及正弦定理，三角形面积公式，两角差的正弦公式，属于中档题．
由正弦定理得，再结合为钝角，即可求；
由题可得，所以，利用三角形面积公式求解即可．
19.【答案】解：
，
因为，所以．
因为图象的一个对称中心为，
所以．
解得．
因为，所以，
所以
．
因为在上单调递增，
由，
解得．
所以的单调增区间为．
【解析】本题考查了正弦函数的性质和三角恒等变换的综合应用，是中档题．
先由三角恒等变换得，利用周期公式可求，由图象的一个对称中心坐标为，结合的范围可得，即可得函数解析式；
先由三角恒等变换得，再利用正弦函数的单调性即可得解．
20.【答案】解：由条件可知正六边形的边长为，
所以底面积为，
该正六棱锥的体积为．
正六棱锥的侧棱长为，
侧面等腰三角形的面积为，
故该正六棱锥的侧面积为．
球心一定在直线上，设球的半径为，
则，
又，
所以，解得．
所以球的表面积为，
体积为．
【解析】本题考查球的内接多面体，球的半径以及几何体的体积，考查计算能力与空间想象能力．属于中档题．
由正六棱锥的定义可知正六边形的边长为，利用体积和侧面积公式即可求解；
正六棱锥的顶点都在球的表面上，设球的半径为，通过解直角三角形，求出球的半径，即可求表面积和体积．
21.【答案】解：，由题意得，
所以．
证明：由题意，．
，，
．
，
．
【解析】本题考查平面向量基本定理的应用，向量的加减与数乘混合运算，向量的数量积的概念及其运算，向量的数量积与向量的垂直关系，属于中档题．
由题意得，可得出；
根据题意，，，推出，推出．
22.【答案】解：为偶函数，恒成立，
恒成立，即，，
．
设，且，
则
因为，所以，，
所以，，，即，
所以在上是单调增函数．
由可知：，
当且仅当，即时等号成立，
，
由题意可得：，恒成立，
即，恒成立，
由有意义，得，
由有意义，得在恒成立，
即在上恒成立，
设，
易知在上的值域为，故，综上
又，恒成立，
即，恒成立，
即恒成立，
即恒成立，
，
综上，实数的取值范围为．
【解析】本题考查函数的奇偶性，对数运算，对数函数单调性，函数的最值，不等式的恒成立问题，属于较难题．
根据函数为偶函数可得恒成立，解得，，利用定义法判断在上的单调性；
先求出，问题转化为，恒成立，根据对数式有意义，结合对数函数的单调性，即可得到的取值范围．
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