卷子答案网-一个不只有答案的网站2023—2024学年上期12月高二期中测试
数学试题
一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分。
1. 向量，，，则（ ）
A. 9 B. 3 C. 1 D.
2. 如图所示，空间四边形中，点分别为的中点，则等于（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知直线，.则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
5. 在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，则动点的轨迹与圆的位置关系是（ ）
A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切
6. 已知直线与双曲线无公共交点，则C的离心率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7. 当时，方程表示的曲线不可能是（ ）
A. 圆 B. 直线
C. 焦点在轴的椭圆 D. 焦点在轴的双曲线
8. 数学美的表现形式多种多样，我们称离心率（其中）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为，若以原点为圆心，短轴长为直径作为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过作的两条切线，切点分别为，直线与轴分别交于两点，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分。
9. 在正四棱柱中，，，M，N分别为棱，上的一点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 当M，N分别为棱，的中点时，直线与所成角的余弦值为
C. 存在点M，使得为钝角
D. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围是
10. 若曲线与圆恰有4个公共点，则m的值可能是（ ）
A. B. C. D. 2
11. 在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线（Cassinioval）.在平面直角坐标系xOy中，动点到两个定点，的距离之积等于3，化简得曲线C：.则下列结论正确的是（ ）
A. 曲线C关于y轴对称 B. 的最小值为
C. 面积的最大值为 D. 的取值范围为
12. 已知，同时为椭圆：与双曲线：的左右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点M，椭圆与双曲线的离心率分别为，，O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则的取值范围是
三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分。
13. 已知，，，且共面，则x的值为 .
14. 已知两条平行直线间的距离为，则 .
15. 在两坐标轴上的截距相等，且与圆相切的直线有 条.
16. 已知椭圆C：，点，M为椭圆上任意一点，A，B为椭圆的左，右顶点，当M不与A，B重合时，射线交椭圆C于点N，直线交于点T，则动点T的轨迹方程为 .
四、解答题：共70分。
17. 如图，在四面体中，，，.
(1)求的值；
(2)已知是线段中点，点满足，求线段的长.
18. 如图，在矩形和中，，，，，，，记.
(1)将用，，表示出来；
(2)当时求与夹角的余弦值；
(3)是否存在使得平面？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
19. 已知坐标平面内三点，，.
(1)求直线AC的倾斜角；
(2)若D为的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围.
20. 阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.已知动点到点与点的距离之比为2，记动点的轨迹为曲线
(1)求曲线的方程；
(2)过点作曲线的切线，求曲线关于直线对称的曲线的方程.
21. 已知双曲线的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过，两点.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知点，设过点的直线交于，两点，直线，分别与轴交于点，，当时，求直线的斜率.
22. 已知椭圆的左 右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与椭圆相交于，两点，记的面积为，求的最大值.
数学参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A B A A C D D A ABD AC ABD BCD
1. 因为，所以，解得，
则，所以.
2. 因为点分别为的中点，
所以
，
3. 由可得，即曲线为半圆，
又直线过定点，
作直线与曲线图象，如图，
当直线与圆相切时，，
故可得直线斜率，
由图象知，当直线斜率时，直线与曲线有两个交点，
4. 当时，直线的斜率为，的斜率为，
又，所以，充分性成立；
直线，，
若，则有，解得或，必要性不成立.
所以“”是“”的充分不必要条件.
5. 由，得，
则，整理得，
表示圆心为，半径为的圆，
圆的圆心为为圆心，半径，
两圆的圆心距为，满足，
所以两个圆相交.
6. 双曲线的一条渐近线方程为，
因为直线与C无公共点，所以，即，
所以，又，所以C的离心率的取值范围为.
7. 对于方程，
当时，，方程为表示圆心在原点，半径为1的圆；
当时，，则，
此时方程，即表示焦点在轴的椭圆；
当时，，方程为，即表示两条直线；
当时，，则，
此时方程，即表示焦点在轴的双曲线.
8. 依题意有OAPB四点共圆，设点P坐标为，则该圆的方程为：，
将两圆方程：与相减，得切点所在直线方程为
，解得，因为，所以
9.
以D为坐标原点，，，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，由，，，，有，，，可得，故A正确；
当M，N分别为棱，的中点时，，，，，所以，，所以，，，故B正确；
，设，所以，，
所以，故C错误；
设，所以，，设平面的一个法向量为，所以令，解得，，所以平面的一个法向量为，又，设直线与平面所成角的大小为，所以，又，所以，故D正确.
10. 曲线表示直线和，
解得.
因为曲线与圆恰有4个公共点，
所以直线，均与圆相交，
且两直线的交点不在该圆上，
又圆的圆心为，半径为，
所以，解得.
11. 由题意得：，
即，则，解得：，
令，则，所以.
对于A选项：方程中的x换成方程不变，所以曲线C关于y轴对称，A选项正确；
对于B选项：，当且仅当，
即时等号成立，所以B选项正确；
对于C选项：面积为，
则面积的最大值为，所以C选项错误；
对于D选项：因为，
则的取值范围为，所以D选项正确，
12.
对于A项，由已知椭圆与双曲线共焦点可得，，故A项错误；
对于B项，根据椭圆以及双曲线的定义
可得，
所以，.
在中，由余弦定理可得，
即，
整理可得，.
所以有，即，故B项正确；
对于C项，若，则为直角三角形，
所以，，
即，
整理可得，，
两边同时除以可得，，即，故C项正确；
对于D项，由已知可得.
所以，.
令，则.
因为，所以.
又，所以有，所以有；，所以有，所以有.
所以，.
由对勾函数的性质可知，在上单调递增，
所以，，
所以，，故D正确.
13.5 14.5 15.4 16. （）
13. 设，则，可得，解得.
14. 根据题意，两条直线平行，
必有，解可得
则即，变形可得，
又由两条平行直线间的距离为，则有，
故，解之可得或，
则时；时.
15. 圆的圆心坐标为，半径为，
当横纵截距为零时，直线方程为，
令，整理得，
因为，所以方程有两个解，
故当横纵截距为零时存在两条直线与圆相切；
当横纵截距不为零时，设直线方程为，
令，解得或9，
所以横纵截距不为零时存在两条直线与圆相切，
综上可得，存在4条截距相等的直线与圆相切.
16. 由题知，MN不与x轴重合，设直线MN的方程为，
联立，消x整理得，，
设、，则，.
因为AM的方程为，AN的方程为
两直线方程联立得：，
因为.
所以，解得.
所以动点T的轨迹方程为（）.
方程得到为关键.
17. （1）在四面体中，，，
.
（2）如图所示：
因为，则，
因为F是CD中点，则，
于是.
，
所以.
18. （1）因为，，，
记，所以，且，，
由空间向量的线性运算法则，
可得
.
（2）当时，；
所以可得，易知
又可知
.
（3）假设存在使得平面，又平面，
可知，，
由（1）知，,
可得.
且
化简得，解得，满足条件.
故存在，使得平面.
19. （1）由，得，
因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是，所以直线AC的倾斜角为.
（2）如图，当直线CD绕点C由CA逆时针转到CB时，直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上，
此时由增大到，又，，所以的取值范围为，
即直线CD的倾斜角的取值范围为.
20. （1）根据题意设，
则，化简可得；
所以曲线的方程为.
（2）易知圆的圆心为，半径为；
如下图所示：
①当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，
显然圆心到直线的距离为，与半径相等，即直线与圆相切；
所以此时切线方程为
此时圆心关于切线的对称点为，
此时曲线的方程为；
②当过点的直线斜率存在时，不妨设斜率为，
则切线方程为，即，
又圆心到直线距离等于半径，即，解得，
此时切线方程为.
设圆心关于切线的对称点为，
则可得，解得；
此时曲线的方程为；
综上可知，曲线关于直线对称的曲线的方程为或
21. （1）设曲线的方程为，由曲线过，两点，得，
解得，所以曲线的方程为.
（2）由题意可设过点的直线方程为，由消去，
得，
则且，
解得①
设，则有②
设直线的方程为，令 得，
所以直线与轴交点的坐标为 ，
同理可得直线的方程为，令 得，
所以直线与轴交点的坐标为.
由题意可知，
所以，，
整理得，所以，
即
所以③
将②代入③得
，
整理得，
解得满足①式，
综上，.
22. （1）因为，所以，则，
所以的标准方程为，
因为点在上，所以，
解得，从而，.
所以的标准方程为.
（2）易知点在的外部，则直线的斜率存在且不为0，
设，，，
联立方程组消去得，
由得，由根与系数的关系知
所以，
化简得.
设点到直线的距离为，则，
所以的面积
令，得，所以，
因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立.
因为满足，所以的最大值为.
评分细则：
第二问另解：
（2）设，，，
联立方程组，消去得.
由得，由根与系数的关系知.
所以，
化简得.
设点到直线的距离为，则，
所以的面积.
令，得，
所以，
因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立.
因为满足，所以的最大值为.
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