卷子答案网-一个不只有答案的网站徐州市重点中学2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题
注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.请将答案填涂在答题卡上，直接写在试卷上不得分.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1.若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为（ ）
A. B. C. D.
3.已知直线，.当时，的值为（ ）
A.1 B. C.或1 D.
4.若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
5.双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C.2 D.4
6.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，改编书中一道题目如下：把60个大小相同的面包分给5个人，使每个人所得面包个数从少到多依次成等差数列，且较少的三份之和等于较多的两份之和，则最多的一份的面包个数为（ ）
A.16 B.18 C.19 D.20
7.已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为，，连接并延长交椭圆于另一点B，若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知实数，，，满足，，，则的最大值是（ ）
A. B.6 C. D.12
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得5分，部分选对得2分不选或有选错的得0分.
9.记为等差数列的前项和.若，则以下结论一定正确的是（ ）
A. B.的最大值为 C. D.
10.设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点，则下列结论正确的是（ ）
A.抛物线的准线方程是 B.当轴时，取最小值
C.若，则的最小值为3 D.以线段为直径的圆与轴相切
11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点所构成的曲线为，下列结论正确的是（ ）
A.的方程为
B.在上存在点到点的距离为4
C.上的点到直线的最大距离为6
D.过点作直线，若上恰有三个点到直线的距离为2，则该直线的斜率为
12.已知首项为正数的等比数列的公比为，曲线，则下列叙述正确的有（ ）
A.，为圆 B.，离心率为
C.，离心率为2 D.，为共渐近线的双曲线
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在答题卡相应位置上.
13.已知，若圆与圆外切，则______.
14.直线分别交轴和于、两点，若是线段的中点，则直线的方程为______.
15.以双曲线的下焦点为焦点的抛物线的标准方程为______.
16.在数列中，若，，记是数列的前项和，则______.
四、解答题：本小题共6小题，共70分.请把解答填写在答题卡相应位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17题10分，18-22题均为12分）.
17.已知直线经过
（1）当直线的倾斜角为45°时，求直线的方程；
（2）当直线在两坐标轴上的截距相等时，求直线的方程.
18.已知是等差数列的前项和，且，，求：
（1）数列的通项公式；
（2）数列的前项和.
19.已知圆和圆.
（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为4，求的方程；
（2）求圆与圆的公共弦的长.
20.已知在等比数列中，，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足：，求数列的前项和.
21.已知椭圆的离心率为，左顶点到左焦点的距离为1，椭圆上一点位于第一象限，点与点关于原点对称，直线与椭圆的另一交点为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线的斜率为，直线的斜率为.求证：为定值.
22.在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，且经过点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知，是双曲线上关于原点对称的两点，垂直于的直线与双曲线相切于点.当点位于第一象限，且被轴分割为面积比为的两部分时，求直线的方程.
徐州市重点中学2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题评分细则
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.A 7.C 8.D
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对得5分，部分选对得2分不选或有选错的得0分.
9.AC 10.AD 11.ACD 12.ABD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.3 14. 15. 16.2550
四、解答题：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17题10分，18-22题均为12分）.
17.解：（1）由题意，直线的倾斜角为45°时，可得直线的斜率为，……2分
又由直线经过，所以直线的方程为，即直线的方程为.……4分
（2）当直线过原点时，因为直线经过，可得直线方程为，即；……6分
当直线不过原点时，可设直线的方程为，
因为直线过点，可得，解得，所以直线的方程为.……9分
综上所述，直线的方程为或.……10分
18.解：（1）设等差数列的公差为，则，所以.……3分
所以，即……6分
（2由（1）知，，……9分
所以……12分
19.解：（1）由得，故圆的圆心为，半径为，设圆心到直线的距离为，由弦长公式得，故，
若直线斜率不存在，则，此时圆心到直线的距离为2，符合题意；……2分
若直线斜率存在，设直线方程为，即，
故，解得，则直线方程为，……5分
所以直线得方程或.……6分
（2）因为圆，所以圆的圆心为，，
所以，，，
故，即圆与圆相交，……7分
联立，两式相减得公共弦方程为，……9分
所以圆心到公共弦的距离为，
又因为，所以公共弦长为.……12分
20.解：（1）设等比数列的公比为
因为，，成等差数列，可得，所以……2分
所以数列的通项公式.……5分
（2）由（1）可得，……8分
所以
.……12分
21.解：（1），，∴，，∴……3分
（2）①设，，则，
联立∴，∴……5分
……12分
22.解：（1）因为的右焦点为，且经过点，
所以，解得.故双曲线的标准方程为.……3分
（2）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设的方程为.
联立消去，得.
由得且，解得.
因为与垂直，所以设的方程为.
联立消去，化简得.
由且，得.
因为与双曲线相切于，所以，即，
化简得，且.
因为点位于第一象限，所以，.
不妨设，分别位于双曲线的左、右两支上，记与轴的交点为.
因为被轴分割为面积比为的两部分，且与面积相等，
所以与的面积比为，由此可得.
因此，即.
又因为，所以，解得.
因为，所以，故直线的方程为.……12分
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