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数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷
上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：苏教版必修第一册第一章至第七章第 1节。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.已知集合 A x x 1 ，B 3, 2, 1,0,1,2 ，则 RA B ( )
A.{ 3, 2} B.{ 3, 2, 1} C.{0,1,2} D.{ 1,0,1,2}
2.若扇形的弧长为8cm ，圆心角为 2 弧度，则该扇形的面积为（）
A.8 cm2 B.8cm2 C.16cm2 D.16 cm2
1
3.已知 a R，则“ a 1”是“ 1”的（ ）
a
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
4.已知 a 20.3 ，b log3 2， c log5 2，则（ ）
A. a b c B. a c b C. c b a D.b c a
5.下列函数中，既是偶函数又在 (0, )上单调递增的函数是（）
A. y x B. y x 2 C. y x2 1 D. y 2 x
6.已知函数 f (x) (x a)(x b)（其中 a b）的图象如下图所示，则 g(x) a x b的图象是（ ）
(2a 1)x 4a, x 1,
7.已知 f (x) 在 R上是减函数，那么 a的取值范围是（ ）
loga x, x 1
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(0,1) 1 ,1 1 1 1 A. B. C. , D. 0, 6 6 2 2
8.流行病学基本参数：基本再生数 R0 指一个感染者传染的平均人数，世代间隔 T指相邻两代间传染所需的平
均时间.在某流感初始阶段，可用模型： I t =N n0e （其中 N0 是开始确诊病例数）描述累计感染病例 I t 随
时间 t（单位：天）的变化规律，指数增长率 r与 R0 ，T满足 R0 1 rT ，有学者估计出 R0 =3.4，T 6 ，
据此，在该流感初始阶段，当 I t 2N0 时，t的值为（ ln2 0.69）（ ）
A.1.2 B.1.7 C.2.0 D.2.5
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合
题目要求的.全部选对的得 5分，部分选对的是 2分，有选错的得 0分.
5
9.已知角 与角 的终边相同，则角 可以是（）
3
7 1 4 13
A. B. C. D.
3 3 3 3
10.若 a b 0，则下列几个不等式中正确的是（）
b b 5 1 1 5 5 lg a b lga lgbA. B. C.
a a 5 a b a b
D.
2 2
11.已知函数 y f (x)，x R，对于任意 x，y R，f (x y) f (x) f (y)，且当 x 0时，均有 f (x) 0，
则（）
A. f (0) 1 B. f (3x) 3 f (x)
3
C. f ( x) f (x) 0 D.若 f (m 1) f (m 2) 0 ，则m
2
12.通过等式 ab c(a 0,a 1)我们可以得到很多函数模型，例如将 a视为常数，b视为自变量 x，那么 c就
是 b（即 x）的函数，记为 y，则 y a x ，也就是我们熟悉的指数函数.若令 c e（e是自然对数的底数），将
a视为自变量 x(x 0, x 1)，则 b为 x的函数，记为 y f (x)，下列关于函数 y f (x)的叙述中正确的有
（）
A. f e 2
B. x (0,1) (1, ) e f (x) 1，
x
C. y f (x)在 (0,11)上单调递减
D.若对任意 x (0,1) (1, ) mx2，不等式 x 2m 1 f (x) 0 恒成立，则实数 m的值为 0
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三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.
2
13.计算： eln 2
0.125 3 log 9 ______.
3
8
14.已知正数 x，y满足3x 4 9y，则 x 的最小值为______.y
15.设幂函数 f (x) 同时具有以下两个性质：
①函数 f (x) 在第二象限内有图象；
f (a) f (b)
②对于任意两个不同的正数 a，b，都有 0成立.
a b
请写出一个符合上述条件的幂函数： f (x) ______.
1 9x16.（第一空 2 分，第二空 3 分）设函数 f (x) x 2 ，则 f log3 2 ______；不等式3x
f 1 x2 f (5x 5) 4 的解集为______.
四、解答题：本题共 6小题，共 70分.解答题应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.
17.（本题满分 10 分）
设函数 f (x) lg x2 1 的定义域为集合 A， g(x) 9x a 3 的定义域为集合 B.
（1）当 a 1时，求 R A B；
（2）若“ x A”是“ x B”的必要条件，求实数 a的取值范围.
18.（本题满分 12 分）
已知函数 f (x) loga (3 bx) ，且 f (1) 1， f (2) 0 .
（1）求 f (x) 的解析式；
（2）设函数 g(x) f (x) f ( x)，判断 g(x)的单调性并用定义证明.
19.（本题满分 12 分）
已知函数 f (x) log4 4 x 1 4 kx 1是偶函数.
（1）求实数 k的值；
（2）设函数 g(x) log4 a 2 x ，若 f (x) 与 g(x)的图象有公共点，求实数 a的取值范围.
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20.（本题满分 12 分）
为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙
体，建造一间墙高为 3 米，底面为 24 平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠
墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米 400 元，左右两面新建墙
体的报价为每平方米 300 元，屋顶和地面以及其他报价共计 14400 元.设屋子的左右两面墙的长度均为
x (1 x 5)米.
（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低 并求出最低报价.
1800a(1 x)
（2）现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为 (a 0) 元，若无论左右
x
两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求 a的取值范围.
21.（本题满分 12 分）
已知函数 f (x) ax2 (2a 1)x 2 ，
（1）解关于 x的不等式 ax2 (2a 1)x 2 0；
（2）若 f (x) (a 1)x2 2x 1在区间 ( ,1]上恒成立，求实数 a的取值范围.
22.（本题满分 12 分）
已知函数 f (x) 的定义域为 D，若恰好存在 n个不同的实数 x1 ，x2 ，…，xn D，使得 f xi f xi （其
中 i 1，2，…，n， n N*），则称函数 f (x) 为n级 J函数”.
（1）若函数 f (x) x2 1，试判断函数 f (x) 是否为“n级 J函数”.如果是，求出 n的值；如果不是，请说
明理由.
f (x) 4x (m 2) 2x m
2
（2）函数 是定义在 R 上的“4 级 J函数”，求实数 m的取值范围.
4
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江苏省百校大联考高一年级 12 月份阶段检测
数学试卷参考答案
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1．A 2．C 3．B 4.A 5.B 6．A 7．C 8.B
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合
题目要求的.全部选对的得 5分，部分选对的是 2分，有选错的得 0分.
9．BD 10．BCD 11．BCD 12．AD
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.
1 1
13. 10 14．12 15． 2 （答案不唯一） 16． log3 2 ， (1,4) ．x 2
四、解答题：本题共 6小题，共 70分.解答题应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.
17．【解答】（1）由 x2 1 0 ，解得 x 1或 x 1，
所以集合 A ( ， 1) (1， ) ，公众号：数学教与学 RA [ 1，1]，
当 a 1时，由 9x 1 3 0，即 32x 2 3，
x 1解得 ，
2
所以集合 B [
1
， ) ，
2
( A) B [ 1故 R ，1]，2
（2）由（1）知 A ( ， 1) (1， ) ，
x a 1由 9 3 0 ，解得 x a，
2
所以 B
1
[ a， ) ，
2
因为“ x A”是“ x B”的必要条件，公众号：数学教与学所以 B A，
1 1
所以 a 1，解得 a ，
2 2
故实数 a
1
的取值范围是 ( , ) ．
2
【点评】本题主要考查了复合函数的定义域，集合的运算，充要条件的定义，属于基础题．
f (1) loga (3 b) 1 a 1 b 3 118．【解答】（1）由 a ,b 1
f (2) log (3
得， ，解得 ，
a 2b) 0
3 2b 1 2
f (x) log1 (3 x)所以 ，
2
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（2） g(x) log1 (3 x) log1 (3 x) log
3 x
1 , x ( 3,3)，
2 2 2 3 x
g(x) 在定义域 ( 3,3) 上为增函数公众号：数学教与学，证明如下：
设任意 x1 ， x2 ( 3,3)，且 x1 x2 ，
3 x1 3 x2 (3 x1)(3 x2 )
则 g(x1) g(x2 ) log1 log1 log
2 3 x1 2 3 x
1
2 2 (3 x1)(3 x2 )
，
(3 x1)(3 x2 ) 1 6(x2 x 1)因为 (3 x )(3 x ) (3 ，且
3 x x 3，
1 2 x1)(3 x )
1 2
2
6(x x ) (3 x )(3 x )
所以由 x2 x1 0 ，3 x1 0，3 x 0
1 1 0 1 22 知 1(3 x1)(3 x )
，即
2 (3 x1)(3 x )
，
2
log (3 x1)(3 x2 )所以 1 0(3 x )(3 x ) ，2 1 2
因此 g(x1) g(x2 ) ，
所以函数 g(x) 在定义域上是增函数．
19．【解答】（1）由函数 f (x) log x 14 (4 4) kx 1，得 f (x) log
x
4 (4 1) kx，
又因为 f (x) 是偶函数，公众号：数学教与学所以满足 f (x) f ( x) ，
即 log4 (4x 1) kx log4 (4
x 1) kx，
x
所以 log ( 4 14 x ) 2kx log (4
2kx
4 1 4
) ，
1
即 4x 1 4 x 2kx 4 2kx对于一切 x R恒成立，所以 2kx x，故 k ；2
（2）由 g(x) log4 (a 2
x )得 a 0 ，
若函数 f (x) 与 g(x) 的图象有公共点，等价于方程 f (x) g(x) 有解，
x
即 log4 (a 2 ) log4 (4
x 1) 1 x，
2
4x 1 1 x
所以 42x 2
x ，
a 2
即方程 a 1
1
x 在 x R上有解，4
1 1
由指数函数值域可知， x (0, ) ，所以1 (1, )，所以实数 ax 的取值范围是 (1, )．4 4
20．【解答】（1）设甲工程队的报价为 y元，而1 x 5，
y 3(300 2x 400 24 ) 14400 1800(x 16 ) 14400
x x
1800 2 x 16 14400 28800，
x
x 16当且仅当 ，即 x 4 时，等号成立，
x
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所以当左右两侧墙的长度为 4 米时，公众号：数学教与学，甲工程队的报价最低，为 28800 元．
16 1800a(1 x)
（2）由题意知，1800(x ) 14400 对任意的 x [1，5] 恒成立，
x x
(x 4)2 a(1 x) (x 4)2
即 ，从而 a恒成立，
x x x 1
令 x 1 t [2 ， 6]，
(x 4)2 (t 3)2 9 9
则 t 6 2 t 6 12，
x 1 t t t
9
当且仅当 t ，即 t 3时，等号成立，
t
所以 0 a 12 ．
21．【解答】（1）当 a 0 时， x 2 0，公众号：数学教与学，不等式的解集为{x | x 2}；
当 a 0时，由 ax2 (2a 1)x 2 0，可得 (ax 1)(x 2) 0 ，
方程 (ax 1)(x 2) 0
1
的根为 ，2，
a
1 1
① a 0 时， 2 ，不等式的解集为{x | x 2}；
a a
1 1
② a 0 时，若 2 ，即 a 时，不等式的解集为{x | x 2}；
a 2
1 1 1
若 2 ，即 0 a 时，公众号：数学教与学，不等式的解集为{x | x 或 x 2}；
a 2 a
1 1 1
若 2 ，即 a 时，不等式的解集为{x | x 2或 x }；
a 2 a
（2）由 f (x) (a 1)x2 2x 1，得 x2 (2a 3)x 3 0，
所以对于任意的 x ( ，1]，有 x2 (2a 3)x 3 0恒成立；
2a 3
设函数 g(x) x2 (2a 3)x 3，其对称轴方程为 x ，
2
2a 3 1 2a 3
①当 1，即 a ， x 时取得最小值，
2 2 2
g(x) g(2a 3min ) 0，解得 3
3
a 3 3 3 1 ，所以 3 a
2 2 2 2 2
2a 3
②当 1 a
1
，即 ，函数 g(x) 在 x ( ，1]单调递减．
2 2
所以 x 1时取得最小值， g (x)
1 1 1
min g （1） 0 ，得 a ，所以 a ．2 2 2
a ( 3 3 1综上， 的取值范围为 ， ) ．
2 2
22．【解答】由 f ( xi ) f (xi ) 可知方程 xi 应是 f ( x) f (x) 的根，
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（1）由 f ( x) f (x) 得 ( x)2 1 (x2 1)，解得 x 1，
所以函数 f (x) 是“ n级 J函数”，且 n 2 ；
2
（2）函数 f (x) 4x (m 2) 2x m 是定义在 R上的“4级 J函数”，
4
m2 m2
则由 f ( x) f (x) 得公众号：数学教与学， 4 x (m 2)2 x [4x (m 2)2x ]，有 4 个解，
4 4
2 2
所以 4 x 4x (m m m 2)(2 x 2x ) 0有 4 个解，
4 4
2 2
所以 (2 x 2x )2 2 (m 2)(2 x 2x ) m m 0 有 4 个解，
4 4
x x m
2
令 t 2 2 2 ，所以 t2 (m 2)t 2 0，
2
当 t 2 时， t 2 x 2x 只有一个根，
当 t 2 时， t 2 x 2x 有两个根，
当 t 2 时， t 2 x 2x 没有实数根，
2
为使原方程有 4 个根，所以 t2 (m 2)t 2 m 0，有两个大于 2 的不等实根，
2
m 2
2
2
2
所以 22
m
(m 2) 2 2 0 ，
2
22 m
(m 2) 4( 2 0
2
解得 2 2 2 m 6，
所以实数m的取值范围为 (2 2 2 ， 6) ．
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