卷子答案网-一个不只有答案的网站莆田市重点中学2023-2024学年高二上12月月考数学试卷
一.选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.直线在轴上的截距为2,则该直线的斜率为( )
A.-2 B.2 C. D.
2.已知拋物线上一点到轴的距离是6,则点到该抛物线焦点的距离是( )
A.4 B.6 C.8 D.10
3.已知数列满足,则( )
A.30 B.31 C.45 D.46
4.若两条平行直线与之间的距离是,则
A.5 B.-15 C.0 D.1
5.已知成等比数列,且2和8为其中的两项,则的最小值为( )
A.-64 B.-16 C. D.
6.已知正数数列是公比不等于1的等比数列,且,试用推导等差数列前项和的方法探求:若,则
A.2022 B.4044 C.2023 D.4046
7.已知等差数列的前项和满足:,若,则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知焦点在轴上的椭圆,点,当时,上有且仅有一点到点的距离最小,则的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.若圆与圆相交,则的取值可能为( )
A.-1 B.0 C.3 D.5
10.对于数列,若,则下列说法正确的是( )
A. B.数列是等差数列
C.数列是等差数列 D.
11.设等比数列的公比为,前项积为,并目满足条件,则下列结论不正确的是( )
A. B. C.的最大值为 D.
12.加斯帕尔蒙日(图1)是18-19世纪法国著名的几何学家,他在研究圆锥曲线时发现:与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆(图2).已知椭圆的左、右焦点分别为,点均在的蒙日圆上,分别与相切于,则下列说法正确的是( )
A.的蒙日圆方程是
B.设，则的取值范围为
C.长方形的四条边均与椭圆相切,长方形的面积的最大值为14
D.若直线过原点,且与的一个交点为,则
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知数列的前项和为,若,则_______.
14.已知平面内的动点到两定点的距离分别为和,且,则点到直线的距离的最大值为_______.
15.冰墩墩作为北京冬奥会的吉祥物特别受欢迎,官方旗舰店售卖冰墩墩运动造型多功能徽章,若每天售出件数成递增的等差数列,其中第1天售出10000件，第21天售出15000件;价格每天成递减的等差数列,第1天每件100元,第21天每件60元,则该店第_____天收入达到最高.
16.已知一族双曲线,设为在第一象限内的点,过点分别作的两条渐近线的垂线,垂足分别为,记的面积为,则_______.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知直线和圆.
(1)若直线交圆于两点,求弦的长;
(2)求过点且与圆相切的直线方程.
18.在(1),(2),(3)这三个条件中选择两个,补充在下面问题中,并进行解答.已知等差数列的前项和为,_______,_______.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
注:如果选择多组条件分别解答,按第一个解答计分.
19.已知双曲线的中心为坐标原点,左、右焦点分别为,且点在双曲线上.
(1)求双曲线的浙近线方程;
(2)点是直线上一点,点是双曲线上一点,且满足,记直线的斜率为,直线的斜率为,试证：为定值.
20.如图,在正四棱锥中,在侧棱上,平面.
(1)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值;
(2)侧棱上是否存在一点,使得平面 若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
已知在平面直角坐标系中,拋物线的焦点为,过点的直线与交于两点,且.
(1)求的标准方程；
(2)已知为轴上的点,直线与的另一个交点为,直线与的另一个交点为,当直线的斜率为1时,求点的坐标.
22.已知数列是公差不为零的等差数列,满足,正项数列的前项和为,且.
(1)求数列和的通项公式；
(2)在和之间插入1个数,使成等差数列;在和之间括入2个数,使,成等差数列;;在和之问插入个数,使,成等差数列.
(i)求;
(ii)求的值.
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