卷子答案网-一个不只有答案的网站广州重点中学2023-2024学年第一学期高一年级12月教学质量监测
数学试卷
本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟.
一 选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.若集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知都是实数，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知是锐角，那么是（ ）
A.第一象限角 B.第二象限角
C.小于的正角 D.第一或第二象限角
4.设，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
5.函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
6.已知，则（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
7.设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则（ ）
A.3 B.1 C.-1 D.-3
8.已知函数，若关于的方程恰有两个不同的实数解，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二 多选题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A.与
B.与
C.与
D.与
10.下列命题中是真命题的是（ ）
A.满足 的集合的个数是3个
B.命题“，使”的否定是：“均有”
C.函数的图象关于原点对称
D.函数在上单调递增
11.已知关于的不等式的解为或，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.不等式的解集为
C.
D.不等式的解集为或
12.下列选项中正确的有（ ）
A.已知正实数满足，则
B.互为反函数
C.若函数在上连续，且同时满足，则在上有零点
D.已知角的终边与单位圆交点坐标为，则
三 填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）
13.计算__________.
14.函数的定义域为__________.
15.已知，若，则__________.
16.已知且，若对任意的，都存在，使得成立，则实数的取值范围是__________.
四 解答题（本题洪6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）已知，求的值.
18.（本小题满分12分）已知函数过点.
（1）求的解析式；
（2）求的值；
（3）判断在区间上的单调性，并用定义证明.
19.（本小题满分12分）
已知全集，集合.
（1）当时，求；
（2）如果，求实数的取值范围.
20.（本小题满分12分）
（1）若正数满足，求的最小值，并求出对应的的值；
（2）若正数满足，求的取值范围.
21.（本小题满分12分）
某电动摩托车企业计划在2023年投资生产一款高端电动摩托车.经市场调研测算，生产该款电动摩托车需投入设备改造费1000万元，生产1万台该款电动摩托车需投入资金3000万元，生产该款电动摩托车万台需投入资金万元，且，当该款电动摩托车售价为5000（单位：元/台）时，当年内生产的该款摩托车能全部销售完.
（1）求2023年该款摩托车的年利润（单位：万元）关于年产量（单位：万台）的函数解析式；
（2）当2023年该款摩托车的年产量为多少时，年利润最大？最大年利润是多少？（年利润=销售收入-投入资金-设备改造费）
22.（本小题满分12分）
已知函数，且
（1）当时，求的值；
（2）当时，若方程在上有解，求实数的取值范围；
（3）若在上恒成立，求实数的取值范围.
答案及评分标准
一 选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B C D C B D D
1.【考点】集合的基本运算 一元二次不等式的解法
【题源】2020学年番禺区期末T1
【答案】A
【解析】，所以
2.【考点】充分条件 必要条件与充要条件 不等式的性质
【题源】2021学年番禺区期末T2
【答案】B
【解析】由，不一定有，若；反之，由，一定有，可得“”是“”的必要不充分条件.故选：.
3.【考点】任意角的概念和弧度制
【题源】2021学年天河区期末T4
【答案】C
【解析】解：因为是锐角，所以，所以.故选.
4.【考点】指 对比大小
【题源】2021学年番禺区期末T4
【答案】D
【解析】，又，
，故选：.
5.【考点】函数的表示法（图象）
【题源】2021学年番禺区期末T5
【答案】C
【解析】函数的图象如下如图所示；将函数的图象关于轴对称，得到的图象，再向右平移1个单位即得的图象（如下如图）.
做选：C.
6.【考点】同角三角函数的基本关系
【题源】2021学年广州市联考T14.
【答案】B
【解析】将原式分子分母同时除以，得，敌选.
7.【考点】函数的奇偶性
【题源】2021学年番禺区期末T7
【答案】D
【解析】因为为定义在上的奇函数，所以，解得，
所以当时，，又因为为定义在上的奇函数，所以
，故选：.
8.【考点】函数的零点与方程解的关系 指数函数的概念 图象及其性质
【题源】2021学年番禺区期末T8
【答案】D
【解析】由题设，在上递减且值域为，在上递增且值域为，在上递减且值域为，可得图象如下，
要使方程恰有两个不同的实数解，即
与有两个不同交点，由图知：当或时，它们有两个交点，实数的取值范围是.
二 多选题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
题号 9 10 11 12
答案 BD AD ABD BCD
9.【考点】函数的概念（同一函数）
【题源】2021学年番禺区期末T9
【答案】BD
【解析】对于A，，定义域为的定义域为，两函数的定义域不同，不是同一函数；
对于，定义琙关，定义域为，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；
对于的定义域为的定义域为，定义域不同，不是同一函数；
对于D，的定义域为的定义域为，定义域相同，对应关系也相同，是同一函数.故选：.
10.【考点】集合的基本关系 全称量词命题与存在量词命题的否定 幂函数的概念 指数幂的运算性质
【题源】2021学年番禺区期末T12+2021学年广州市联考T11改编
【答案】AD
【解析】对于，若 ，则，共有3个，正确；
对于，命题“，使”的否定是：“均有”，错误；
对于，定义域为，满足，为偶函数，其图象关于对称，错误；
对于，当时，单调递增，故正确；故选：.
11.【考点】一元二次不等式与相应函数 方程的联系
【题源】2021学年番禺区期末T11
【答案】ABD
【解析】由题意知，-3和4是方程的两根，且，即选项正确；
由韦达定理知，，即，
所以不等式可化为，即，解得，即选项正确；
不等式可化为，即，解得或；即选项正确；因为或，所以当时，有，即选项错误.
12.【考点】对数换底公式 指数函数与对数函数互为反函数 用二分法求方程近似解 任意角的正弦 余弦 正切的定义
【题源】2022学年广州市联考T12+必修-P140T7+课时跟踪训练33T3+2022学年番禺区期末T2
【答案】BCD
【解析】对于选项：设，则，，故选项错误；
对于选项：求的反函数有.故互为反函数，故选项B正确；
对于选项：由题函数在上连续，且同时满足.由“二分法”可知，一定有，即函数在上有零点，故选项C正确；
对于选项D：三角函数的定义，角的终边与单位圆交点的横坐标为该角的余弦值，故选项D正确.
三 填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）
13.5 14. 15.3 16.
13.【考点】对数的概念与运算性质
【题源】2022学年广州市联考T14
【答案】5
【解析】原式
14.【考点】函数的概念（定义域）
【题源】2020学年广州市联考T13
【答案】
【解析】由题意，得，解得，故函数的定义域是
15.【考点】分段函数
【题源】2021学年广州市联考T4
【答案】3
【解析】当时，，解得或（舍去），当时，，解得（舍去），所以的值为3.
16.【考点】一元二次不等式与相应函数 方程的联系
【题源】2022学年广州市联考T16
【答案】
【解析】当时，，则，因为对任意的，都存在，使得成立，因此函数在[-1，2]上的最大值小于函数在上的最大值，而当时，，不符合题意，于是，函数在上单调递增，则，即，解得，所以实数的取值范围是
四 解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）
【考点】同角三角函数的基本关系
【题源】必修一P183.例6
【解析】解：因为，所以是第三或第四象限角
由得
如果是第三象限角.，那么，于是，
从而；
如果是第罗象限角，那么.
综上所述，当是第三象限角时，；当是第四象限角时，，
18.（本小题满分12分）
【考点】函数的单调性
【题源】2021学年番禺区期末T17
【解析】解：（1）根据题意，函数过点，
则，则，
则
（2）根据题意，，则；
（3）在上为增函数，
证明：设，
则，
又由，则，
故，即
函数在上为增函数.
19.（本小题满分12分）
【考点】集合的基本运算
【题源】2021学年越秀区期末T17
【解新】解：（1）时，，
，且，
或；
（2），
①时，
解得；
②时，，
解得；
综上，实数的取值范围为.
20.（本小题满分12分）
【考点】基本不等式及其应用
【题源】2021学年番禺期末T19
【解析】解：（1）正数满足，
当且仅当时等号成立；
（2）正数满足，
则，
整理得
所以，
当且仅当时，等号成立.
故的取值范围.
21.（本小题满分12分）
【考点】函数模型的应用 函数的最大（小）值
【题源】2020学年广州市联考T21
【解析】解：（1）由题意，所以，
当时；
当时，，
所以
（2）当时，，
所以当时，
当时，，..
因为，所以，
当且仅当时，即时等号成立，
所以，所以当时，，
因为，
所以，当2021年该款摩托车的年产量为5万台时，年利润最大，最大年利润是4000万元.
22.（本小题满分12分）
【考点】对数函数的概念 图象及其性质 函数零点存在定理
【题源】2020学年番禺区期末T22
【解析】解：（1）当时，，
（2）当时，函
故函数的定义域为.
设
又在上单调递增.
要使方程在上有解
则符合题意，故实数的取值范围
（3）
由题意得
所以函数在上单调递增
①若，则在上单调递减
在上最大值为
在上恒成立
，解得或.
②若，则在上单调递增
在上最大值为
在上恒成立
，解得
此时不存在实数满足题意，综上，的取值范围为
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