卷子答案网-一个不只有答案的网站安平县2023-2024学年高二上学期12月第三次月考
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在直角坐标系中，在轴上截距为且倾斜角为的直线方程为( )．
A. B. C. D.
2．在等比数列中，，是方程的两根，则的值为( )
A．2 B．-2 C．6 D．-6
3．若数列的前项和为，且，则( )
A．684 B．682 C．342 D．341
4．等差数列的前n项和为则的最大值为( )
A．60 B．45 C．30 D．15
5． 如图，在斜三棱柱中，M为BC的中点，N为靠近的三等分点，设，，，则用，，表示为( )
A. B.
C. D.
6．若圆上有四个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.设等差数列的前项和为，满足，数列中最大的项为第( )项．
A.4 B.5 C.6 D.7
8．已知点为椭圆:的右焦点，点是椭圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知数列，下列结论正确的有( )
A．若，，则 B．若，，则
C．若，则数列是等比数列 D．若，，则
10.已知数列的前项和为，则( )
A. 若为递减等比数列，则的公比．
B. “为等差数列”是“为等差数列”的充要条件
C. 若为等比数列，则可能为等比数列
D. 若对于任意的，数列满足，且各项均不为0，则为等比数列
11.如图，棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点，P为线段内的动点（含端点），则（ ）
A．平面
B．存在点P，使得
C．平面与底面ABCD所成角的余弦值是
D．三棱锥的体积是
12． 如图拋物线的顶点为，焦点为，准线为，焦准距为4；抛物线的顶点为，焦点也为，准线为，焦准距为6．和交于、两点，分别过、作直线与两准线垂直，垂足分别为M、N、S、T，过的直线与封闭曲线交于、两点，则( )
A. B. 四边形的面积为100
C. D. 的取值范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知是等比数列的前项和，且，，则________.
14.如图，在四棱锥中，底面为正方形，，底面，点、分别为、的中点，若线段上存在点，使得，则线段的长度最小值为________.
15．已知椭圆E：的右焦点为，过点F的直线交椭圆于A，B两点，若且，则E的方程为________.
16．已知椭圆的两个焦点为．点为上关于坐标原点对称的两点，且，的面积，则的离心率的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(本小题满分10分)
已知圆心为C的圆经过点和点两点，且圆心C在直线上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）已知线段MN的端点M的坐标，另一端点N在圆C上运动，求线段MN的中点G的轨迹方程．
18．(本小题满分12分)
如图，在三棱柱中，侧面是边长为的正方形，为矩形，.
（1）求证：平面ABC；
（2）求平面与平面所成角的正弦值；
（3）求点C到平面的距离.
19．(本小题满分12分)
在数列中，，是的前n项和，且数列是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
20．(本小题满分12分)
如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，，为线段PB的中点，F为线段BC上的动点.
（1）求证：平面平面PBC；
（2）求平面AEF与平面PDC夹角的余弦的最大值.
21．(本小题满分12分)
已知数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列前项和为，求证：．
22．(本小题满分12分)
已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
（1）求双曲线的方程．
（2）已知双曲线的左、右顶点分别为，，直线与双曲线的左、右支分别交于点，（异于点，）．设直线，的斜率分别为，，若点在双曲线上，证明为定值，并求出该定值．高二数学答案
1.【详解】由题意可得，直线的斜率，再根据直线的截距得到直线过点（0，-1）
根据直线方程的斜截式可知所求的直线方程为，即，故选：．
2..根据题意，，又是等比数列，所以.故选：A.
3.【详解】，，，，，
所以.故选：B.
4.【详解】因为则，
则，则，令，解得：，
因为是等差数列，所以当时，，，当时，，
所以的最大值为.故选：B.
5.【详解】故选：A
6.【详解】将圆的方程化为标准方程为，圆心为，半径为，设与直线平行且到直线的距离为的直线的方程为，
则，解得或，所以，直线、均与圆相交，所以，，解得，
因此，实数的取值范围是.故选：C.
7.【详解】依题意，，，
显然，且，等差数列的公差，
即数列是递减数列，前6项均为正数，从第7项起为负数，
数列的最大项为，是数列中的最小项，且，
所以数列中最大的项为，是第6项.故选：C.
8.【详解】如下图所示：
在椭圆中，，
则，圆的圆心，半径，圆心为椭圆的左焦点，由椭圆定义可得，，由椭圆的几何性质可得，即，由圆几何性质可得，所以，所以的最小值是.故选：B.
9.选项A：由得，则，故A 正确.
选项B：由得所以数列是以为首项，3为公比的等比数列.则，即，所以，故B正确.
选项C：由可得当时，，当时，，当时，得，显然，所以数列不是等比数列，故C错误.
选项D：由，可得，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，所以，则，即，故D错误.故选：AB
10.【详解】取，则为递减等比数列，公比，故A错误；
若为等差数列，则，所以，
故（常数），故等差数列，
若为等差数列，则，即，
所以，两式相减得，
所以，故（常数），所以为等差数列，
所以“为等差数列”是“为等差数列”的充要条件，故B正确；
若，满足为等比数列，此时，当时，，
所以，不是等比数列，故C错误；
任意的，满足，不妨取，则
，因为各项均不为0，所以（不为0的常数），故为等比数列，故D正确.故选：BD
11.【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，
令，则，故，因为，
故⊥，故平面；
B选项，设，，
则，，
解得，因为，所以舍去，综上，不存在点P，使得，B错误；
C选项，由A选项可知，平面的法向量为，平面的法向量为，设平面与底面ABCD所成角的大小为，
则，故平面与底面ABCD所成角的余弦值为，C正确；
D选项，由于平面，故到平面的距离等于到平面的距离，
其中到平面的距离为，
其中，
由余弦定理得，
故，
则，
三棱锥的体积是，D正确.
故选：ACD
12.【详解】设直线与直线分别交于，由题可知，所以，，故A正确；
如图以为原点建立平面直角坐标系，则，，所以抛物线的方程为，连接，由抛物线的定义可知，又，
所以，代入，可得，所以，又，故四边形的面积为，故B错误；连接，因为，所以，
所以，
故，故C正确；根据抛物线的对称性不妨设点在封闭曲线的上部分，设在直线上的射影分别为，当点在抛物线，点在抛物线上时，，当与重合时，最小，最小值为，
当与重合，点在抛物线上时，因为，直线，与抛物线的方程为联立，可得，设，则，，
所以；当点在抛物线，点在抛物线上时，设，
与抛物线的方程为联立，可得，设，
则，，当，
即时取等号，故此时；当点在抛物线，点在抛物线上时，根据抛物线的对称性可知，；综上，，故D正确.
故选：ACD.
13.【详解】因为是等比数列，是等比数列的前项和，所以成等比数列，且，所以，又因为，，
所以，即，解得或，
因为，所以。
14.【详解】设，，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则，因为，所以，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以，即,所以SD长度的最小值为4.
15.【详解】如图所示：因为椭圆E的右焦点为，所以，不妨设，由题意等价于是的中点，所以，又点在椭圆E上面，
所以，进一步有，即，所以直线的斜率可以表示为，
又、在直线上，所以直线的斜率为，
从而，所以解得，即E的方程为.
16.【详解】连接，由题意得，，
又，所以四边形为矩形，故，
所以，故，
又，由勾股定理得，
即，，
故，即，故，解得，又上存在关于坐标原点对称的两点，使得，故，所以，即，所以，，解得，综上，的离心率的取值范围是.
17.【小问1详解】因为圆C经过点和点两点，
所以圆心C在线段的垂直平分线上，即上，联立可解得，即，所以圆C的半径为
则圆C的标准方程；
【小问2详解】设线段MN的中点，又M的坐标，且G为线段MN的中点，所以，又N在圆C上运动，可得，化简可得，所以，线段MN的中点G的轨迹方程.
18.【小问1详解】因为侧面为正方形，为矩形，所以，，因为，平面，所以平面；
【小问2详解】由（1）知，，，由题意知，，，所以即，如图，以为原点，以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，连接，
所以，，，
设平面的法向量为，则即，
令，则，，所以，设平面的法向量为，
则即，令，则，，所以，
设平面与平面所成角为，则，
则；故所求平面与平面所成角的正弦值为；
【小问3详解】由（1）知平面的法向量为，
，则点到平面的距离为.
故点C到平面的距离为.
19.【详解】（1）由已知得，，所以，①
当时，，②，得，
也符合该式，所以．
（2）由（1）得，所以，③
，④
，得．
故．
20.【小问1详解】中，E为PB的中点，所以.
在正方形ABCD中，.因为平面ABCD，平面ABCD，即.
又因为，平面PAB，所以平面PAB.平面PAB，即，又因为，，平面PBC.所以平面PBC，平面AEF，即平面平面PBC.
【小问2详解】因为平面ABCD，底面ABCD是正方形，所以易知AB，AD，AP两两垂直.以A为原点， AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
有，，，，，
PB中点，设，.
，，，.
设平面PCD的法向量，由，
得，取.设平面的法向量，由，
得，取.所以平面AEF与平面PCD的夹角的余弦值为.令，，
则，
所以当即时，平面AEF与平面PCD的夹角的余弦值取得最大值，
.21.【详解】（1）当时，，两式相减得，，
又，，．所以数列是首项为，公比是的等比数列，所以．
（2）证明：，因为，所以
，因为，所以．
22.解：（1）因为渐近线方程为，所以，即．
，，．
故的方程为．
（2）因为点在双曲线上，所以，即．
联立得．设，．
．，．
．
．因为，所以，所以．
．
故为定值，定值为．
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