卷子答案网-一个不只有答案的网站张家港市2023-2024学年高三上学期12月阶段性调研测试
数学
2023．12
注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求．
1．本卷共6页，包含单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第12题）、填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题）．本卷满分150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．
2．答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置．
3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0．5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1．设集合，，，则（ ）．
A． B． C． D．
2．若复数，，则（ ）．
A． B．0 C．1 D．2
3．“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．圆与圆的公切线的条数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单位：），则S占地球表面积的百分比约为（ ）．
A．18％ B．34％ C．42％ D．50％
6．已知为等边三角形，为等腰直角三角形，BC为斜边，若二面角为，则直线AD与平面所成角的正切值为（ ）．
A． B． C． D．
7．在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则的余弦值是（ ）．
A． B． C． D．
8．设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）．
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
9．设函数，则下列结论正确的是（ ）．
A．的一个周期为 B．的图象关于直线对称
C．的一个零点为 D．在单调递减
10．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面平行的是（ ）．
A．B．C．D．
11．已知椭圆，A，B为左右两个顶点，，为左右两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，则（ ）．
A．
B．的范围是
C．若直线l过点与椭圆交于M，N，则
D．若，则
12．已知函数，的定义域均为R，它们的导函数分别为，，且，，若是偶函数，则下列正确的是（ ）．
A． B．的最小正周期为4
C．是奇函数 D．，则
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13．若函数为偶函数，则__________．
14．已知正项等比数列中，，为前n项和，，则__________．
15．已知边长为2的正方形，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将，，分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点，则三棱锥的体积为__________．
16．已知，分别为双曲线的左、右焦点，若过点与双曲线C的渐近线垂直的直线分别交渐近线和双曲线C的左支于点M，E，且，则C的离心率为__________．
四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知三点，，．
（1）求以，为焦点且过点P的椭圆的标准方程；
（2）设点P，，关于直线的对称点分别为，，，求以，为焦点且过点的双曲线的标准方程．
18．（12分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求的值；
（2）若，求的最大值．
19．（12分）
已知数列满足，，且．
（1）令，求；
（2）记的前n和为，求证：．
20．（12分）如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，．
（1）求平面与平面所成二面角的余弦值；
（2）若点Q满足，当直线CQ与DP所成角最小时，求的值．
21．（12分）已知抛物线的焦点到准线间的距离为2，且点抛物线C上．
（1）求m的值；
（2）若直线l与抛物线C交于A，B两点，且，于点D，，求DQ的最大值．
22．（12分）已知函数．
（1）讨论函数在上的单调性；
（2）当时，
①判断函数的零点个数，并证明．
②求证：．
张家港市2023-2024学年高三上学期12月阶段性调研测试
数学参考答案
2023.12
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C B A C C B D
二、多选选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．
题号 9 10 11 12
答案 AB BCD ACD ABD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．
13．2 14．8 15． 16．
四、解答题：本大题共6小题，共计70分．
17．（10分）
解：（1）法一：设椭圆的标准方程是，
因为该椭圆的焦点为，，且过点，
所以，（2分）
所以，
因为，所以，，（4分）
所以以，为焦点且过点P的椭圆的标准方程为．（5分）
（2）点P，，关于直线的对称点分别为，，．（6分）
设双曲线的标准方程是，
因为该双曲线的焦点为，，且过点，
所以，（7分）
所以，，（9分）
所以以，为焦点且过点的双曲线的标准方程为．（10分）
18．（12分）
解：（1）因为，所以，
所以，（2分）
，
因为，，
所以（舍），或，
所以．（4分）
（2）由（1）可知，，
∴由正弦定理得，（6分）
，（10分）
因为，所以A，B都为锐角，
又因为，所以．
所以时，所以，所以．
所以的最大值为2．（12分）
19．（12分）
解：（1）因为，所以，
因为，所以，（2分）
因为，所以，
所以．（4分）
（2）因为，所以，（6分）
又因为，所以，（9分）
所以，（10分）
所以，
所以．（12分）
20．（12分）
解：（1）以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，
则各点的坐标为，，，．
因为平面，所以是平面的一个法向量，．（1分）
因为，．
设平面的法向量为，
则，，即．
令，解得，．
所以是平面的一个法向量．（3分）
从而，
所以平面与平面D所成二面角的余弦值为．（5分）
（2）因为，所以，
又，则，（6分）
又，，（8分）
设，，
则，
当且仅当，即时，取到最大值，（10分）
又因为在上是减函数，此时直线CQ与DP所成角最小．
所以．（12分）
21．（12分）
解：（1）因为抛物线的焦点到准线间的距离为2，
所以．（2分）
又因为点抛物线C上，所以．（3分）
（2）设，，所以，．
因为，所以，（5分）
所以，（6分）
又直线AB的方程为：，（7分）
所以直线AB：，
所以直线恒过．（9分）
因为于点D，所以点D在以PM为直径的圆上．
即圆心为，半径为．
．
所以DQ的最大值．（12分）
22．（12分）
解：（1）的定义域为，对求导得：．
当时，，，，，
所以在上单调递减，在上单调递增．（1分）
当时，，，，，
所以在上单调递增，在上单调递减．（2分）
当时，，，
所以在上单调递减．（3分）
当时，，，
，，，，
所以在，上单调递减，在上单调递增．（4分）
当时，，，，，
，，
所以在，上单调递减，在上单调递增．（5分）
（2）①由（1）可知，且，当时，，
令，可证得：，（6分）
所以．（7分）
当时，
即，
所以存在，使得，
根据零点存在性定理，当时，函数的零点个数是2．（9分）
另解：令，可证得：，（6分）
所以．（7分）
当时，
即，所以存在，使得，
根据零点存在性定理，当时，函数的零点个数是2．（9分）
②由，所以，
即令，所以，（10分）
所以，，…，，
所以．（12分）
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