卷子答案网-一个不只有答案的网站2023—2024学年度第一学期高三年级第4次月考
数学试题（理）
总 分 值：150分 考试时间： 120分钟
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1．集合，则集合等于（ ）
A． B． C． D．
2．如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（ ）
A．30
B．28
C．26
D．24
3．为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
4．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列命题：
①若，，则.②若，，则.
③若，，则.④若，，则.
其中正确命题的序号是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
5．若实数a使得“，”为真命题，实数a使得“，”为真命题，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．若实数满足约束条件，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．-3
7．欧拉公式（其中为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，下列结论中正确的是（ ）
A．的实部为1 B．的共轭复数为1
C．在复平面内对应的点在第一象限 D．的模长为1
8．已知，则（ ）．
A． B． C． D．
9．已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知数列，，，且，则数列的前32项之和为（ ）
A．128 B．64 C．32 D．16
11．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数在上有两个极值点，且在上单调递增，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知函数，则 ．
14．设是公比不为1的等比数列，若为的等差中项，则的公比为 ．
15．在正方体中，E，F分别为AB，的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有 个公共点．
16．中，，的角平分线交BC于D，则 ．
解答题(共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17--21题为必考题.第22，23题为选考题，考生根据要求作答)
（一）必考题：共60分
17．(12分)的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求B；
(2)若，，求a．
18．（12分）已知数列、，满足，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
19．（12分）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．
(1)证明：；
(2)点F满足，求二面角的正弦值．
20．（12分）已知，且函数．
(1)求函数图象的对称轴方程与单调递增区间；
(2)已知，求的值．
21．（12分）已知函数，.
(1)求函数的极值；
(2)若，求函数的最小值；
(3)若有两个零点，，证明：.
（二）选考题：共10分.请考生在22，23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做第一题计分.
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线和的极坐标方程分别为和和与曲线分别相交于两点（两点异于坐标原点）.
(1)求的极坐标方程；
(2)求的面积.
23．已知函数的图象关于直线对称．
(1)求m的值，及的最小值；
(2)设，均为正数，且，求的最小值.
高三第4次月考理科数学参考答案：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B A A C B C D D B C C A
13．1 14． 15．12 16．
17．【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
所以，即，
因为B为三角形内角，，
所以，由，所以； ..................6分
（2）因为，，所以，
由正弦定理，可得，
所以.....................12分
18．【详解】（1）解：因为，，则，，，
以此类推可知，对任意的，，所以，
即，，
又因为，所以是首项为，公比为的等比数列，
所以的通项公式为..................6分
（2）解：，则，
所以，，
故...........12分
19．【详解】（1）连接，因为E为BC中点，，所以①，
因为，，所以与均为等边三角形，
，从而②，由①②，，平面，
所以，平面，而平面，所以．...............6分
（2）不妨设，，．
，，又，平面平面．
以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
设，
设平面与平面的一个法向量分别为，
二面角平面角为,而，
因为，所以，即有，
，取，所以；
，取，所以，
所以，，从而．
所以二面角的正弦值为．...............12分
20．【详解】（1），
令，得，
所以函数图象的对称轴方程为；
令，解得，
故函数的单调递增区间为．...............6分
（2）因为，即，所以，
又，所以，
所以，
所以．...............12分
21．【详解】（1）由题意知函数的定义域为，，
，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，极大值为，无极小值................3分
（2）由题意知函数的定义域为.
，
则，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以................6分
（3）不妨设，则由（2）知，.
设，由，得，
即，
因为函数在R上单调递增，所以成立.
构造函数，则，
，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
构造函数，则，
所以函数在上单调递增，
所以当时，，即当时，，
所以，
又在上单调递减，所以，即................12分
22．【详解】（1）曲线的参数方程为（为参数），
转换为直角坐标方程为，
整理得，
根据，转换为极坐标方程为，
即................5分
（2）根据题意可设两点的极坐标分别为，
则，
所以................10分
23．【详解】（1），
令，解得；令，解得，
因为函数的图象关于直线对称，
所以，解得，
所以，当且仅当时，取等号，
故的最小值为4；...............5分
（2）由（1）可得，即，
所以，
当且仅当即时，取等号，
故的最小值为...............10分
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