第12天 数列-【18天考点全覆盖】冲刺2023年高考数学考前必刷题（含解析)

【18天考点全覆盖】冲刺2023年高考数学考前必刷题
第12天 数列
一、单选题
1．设等比数列的前n项和为，已知，，则（ ）
A．6 B．12 C．18 D．48
2．记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．记为等差数列的前项和.若，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知数列的前n项和为，，且，则下列说法中错误的是（ ）
A． B．
C．是等比数列 D．是等比数列
5．已知数列满足，且，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则
A．64 B．96 C．128 D．160
7．南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前项分别为、、、、、、，则该数列的第项为（　　）
A． B． C． D．
8．等比数列的公比为，且，，成等差数列，则的前10项和为（ ）．
A． B． C．171 D．
9．已知数列满足，且，，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知正项等比数列满足，若存在、，使得，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
12．已知数列满足，，则=（ ）
A．80 B．100 C．120 D．143
13．若是数列的前n项和，已知，,且，则（ ）
A． B． C． D．
14．已知数列满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
15．已知是数列的前项和，且，（），则下列结论正确的是（ ）
A．数列为等比数列 B．数列为等比数列
C． D．
二、填空题
16．已知等比数列的公比，，，则_____________.
17．数列{an}满足，，则数列{an}的通项公式为___________.
18．记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．
19．已知数列满足首项，，则数列的前2n项的和为_____________．
20．已知数列的前项和为，，，若数列满足，，则_____________.
21．设正项等比数列的前项和为，若，则的值为______.
22．已知数列满足，若，则的最大值为__________．
23．已知数列满足，且，则数列的通项公式为______．
24．已知数列中，，则数列的通项公式为______.
25．数列满足：，，则的通项公式为_____________.
26．在数列中，，，且满足，则___________.
27．在数列中，，，且满足，则___________.
三、解答题
28．记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
29．已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
30．已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
31．已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
(1)若，求；
(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
32．数列满足：.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围.
33．已知数列为等差数列，，，前项和为，数列满足，求证：
(1)数列为等差数列；
(2)数列中任意三项均不能构成等比数列.
34．已知等差数列{}的前三项和为15，等比数列{}的前三项积为64，且.
(1)求{}和{}的通项公式;
(2)设，求数列{}的前20项和.
35．已知数列是等差数列，且，前四项的和为16，数列满足，，且数列为等比数列.
(1)求数列和的通项公式：
(2)求数列的前项和.
36．已知数列满足，，且．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)记的前项和为，若，均有，求实数的取值范围．
37．在数列中，，，，且数列是等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
38．已知数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项；
（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
39．记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
40．记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，数列满足，且.
(1)求的通项公式；
(2)证明数列是等比数列，并求的通项公式；
(3)求证：对任意的，.
41．已知数列和满足．
(1)证明：是等比数列，是等差数列；
(2)求的通项公式以及的前项和．
42．已知数列的各项均为正整数且互不相等，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等比数列；②数列是等比数列；③．
注：如选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
43．已知等差数列的前项和为，满足，.数列满足，，.求数列，的通项公式.
44．设数列的前项和为，已知，且．
（1）证明为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，且，证明；
（3）在（2）的条件下，若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围．
45．已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．
（I）求和的通项公式；
（II）记，
（i）证明是等比数列；
（ii）证明
46．记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
参考答案
1．B
【分析】首先根据已知条件得到，从而得到，再求即可.
【详解】因为，所以.
所以，解得.
所以.
故选：B
2．A
【分析】根据题目条件可得，，成等比数列，从而求出，进一步求出答案.
【详解】∵为等比数列的前n项和，
∴，，成等比数列
∴，
∴，
∴.
故选：A.
3．D
【分析】利用等差数列通项和求和公式可构造不等式组求得，由等差数列通项公式可求得结果.
【详解】设等差数列的公差为，
由得：，解得：，
.
故选：D.
4．C
【分析】根据已知条件，令代入，求得，判断A；结合数列前n项和与的关系式，求出时，结合，判断C,求出，即可判断B;利用可得，构造出，即可判断D．
【详解】由题意数列的前项和为，，且，
则，即，
所以即选项A正确；
因为①，
∴当 时，②，
①-②可得，，即，
当时，，不满足 ，
故数列不是等比数列，故C错误，
由时，可得，则，
故，故B正确；
由得：
所以
令，则
所以
所以，即，
故是首项为，
公比为4的等比数列，D正确，
故选：C.
5．B
【分析】根据累加法求解即可.
【详解】由，且，根据累加法可得：
，
所以，则.
故选：B
6．C
【分析】设等差数列公差为，求得，得到，结合党旗长与宽之比都相等和，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，设公差为，
因为，，可得，
可得，
又由长与宽之比都相等，且，可得，所以.
故选：C.
7．C
【分析】设所求数列为，分析可得，，，，，利用累加法可求得的值.
【详解】设数列的前项分别为、、、、、、，
由题意可得，，，，，
上述等式全加可得，
所以，.
故选：C.
8．A
【分析】根据已知条件求得，从而求得.
【详解】由于，，成等差数列，
所以，
即，
解得，
所以.
故选：A
9．C
【分析】根据等差中项定义可确定为等差数列，结合等差数列通项公式可推导得到，代入即可求得结果.
【详解】由得：，数列为等差数列，
又，，数列的公差，
，，.
故选：C.
10．D
【分析】设等比数列的公比为，则，根据已知条件求出的值，由已知条件可得出，将代数式与相乘，利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】设等比数列的公比为，则，由可得，解得，
因为，则，，可得，
由已知、，所以，
，
当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：D.
11．D
【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.
【详解】解：设等比数列的公比为，
若，则，与题意矛盾，
所以，
则，解得，
所以.
故选：D.
12．C
【分析】根据，可得，从而可证得数列是等差数列，从而可求得数列的通项，即可得解.
【详解】解：因为，
所以，即，
等式两边开方可得：，即，
所以数列是以首项为，公差为1的等差数列，
所以，所以，
所以.
故选：C．
13．A
【分析】根据已知条件及与的关系，利用构造法得通项公式，结合等比数列的前n项和公式及分组求和法即可求解.
【详解】由题意得当时，，
设，得，
又因为，，
所以也满足上式，
所以数列是以首项为，公比为的等比数列，
所以，即，
所以
故.
故选：A.
14．C
【分析】对所给式子化简、变形，构造新数列，通过等比数列的定义求出新数列的通项公式，再用累加法求出，进而得到数列的通项公式，即可得到答案.
【详解】因为，由递推知，，所以，
则，有，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，所以
则，所以.
故选：C.
【点睛】利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值。比较复杂的递推公式求通项公式一般需用构造法构造来求，构造法求数列通项公式一般而言包括：取倒数，取对数，待定系数法等,其中待定系数法较为常见.
一、倒数变换法，适用于（为常数）
二、取对数运算
三、待定系数法
1、构造等差数列法
2、构造等比数列法
①定义构造法。利用等比数列的定义通过变换，构造等比数列的方法.
②（为常数）型递推式可构造为形如的等比数列.
③（为常数，下同）型递推式，可构造为形如的等比数列.
四、函数构造法
对于某些比较复杂的递推式，通过分析结构，联想到与该递推式结构相同或相近的公式、函数，再构造“桥函数”来求出所给的递推数列的通项公式的方法.
15．D
【分析】A选项，计算出，故不是等比数列，A错误；
B选项，计算出的前三项，得到，B错误；
C选项，由题干条件得到，故为等比数列，得到，故，，……，，相加即可求出，C错误；
D选项，在的基础上，分奇偶项，分别得到通项公式，最后求出.
【详解】由题意得：，，
由于，故数列不是等比数列，A错误；
则，，，
由于，故数列不为等比数列，B错误；
时，，即，
又，
故为等比数列，首项为2，公比为3，
故，
故，，……，，
以上20个式子相加得：，C错误；
因为，所以，两式相减得：
，
当时，，，……，，
以上式子相加得：，
故，而也符和该式，故，
令得：，
当时，，，……，，
以上式子相加得：，
故，而也符号该式，故，
令得：，
综上：，D正确.
故选：D
【点睛】当遇到时，数列往往要分奇数项和偶数项，分别求出通项公式，最后再检验能不能合并为一个，这类题目的处理思路可分别令和，用累加法进行求解.
16．
【分析】根据已知条件求出和的值，得到公比，即可求出的表达式．
【详解】解：在等比数列中，公比，，
，解得：．
∵，∴解得：或．
当时，；
当时，，不合题意，舍去．
∴，此时，解得：．
∴．
故答案为：.
17．．
【分析】已知式两边同除以，构造一个等差数列，由等差数列的通项公式可得结论．
【详解】∵，所以，即，
∴是等差数列，而，
所以，
所以．
故答案为：．
18．2
【分析】转化条件为，即可得解.
【详解】由可得，化简得，
即，解得.
故答案为：2.
19．
【分析】当为奇数时，由递推关系得，构造为等比数列，可求出通项，结合即可分组求和.
【详解】当为奇数时，，即，此时为以为首项，公比为3的等比数列，
故，即.
.
故答案为：
【点睛】本题解题关键是根据题意找到相邻奇数项或偶数项之间的递推关系，从而求出当为奇数或为偶数时的通项公式，再通过相邻两项的关系求出前2n项的和．
20．5149
【分析】用求出的递推，然后根据递推求通项,根据，分奇偶项来找规律求解.
【详解】∵，∴.
当时，，
∴，
即.∴.……
，上式累加得，
∴.
当时也满足，故.又，，∴，
当时，，①
当时，，②
当时，，③
由①②得，由②③得，
∴
.
故答案为：5149
21．91
【分析】方法一：利用等比数列前项和的性质即可求解；方法二：利用等比数列前项和的公式，代入计算即可求解.
【详解】方法一：等比数列中，，，成等比数列，
则，，成等比数列，∴，∴，
∴.
方法二：设公比为，由题意显然且,所以，
∴，
故答案为：.
22．
【详解】由题意可得： ，
即： ，整理可得： ，
又 ，则数列 是首项为-10，公比为 的等比数列，
，
则： ,
很明显， 为偶数时可能取得最大值，由 可得： ，
则的最大值为.
点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．
23．
【分析】利用取倒数及等差数列通项公式即可求解.
【详解】由两边取倒数可得，即．
所以数列是首项为2，公差为3等差数列.
所以，所以．
故答案为：.
24．
【分析】将整理为，即可得到数列是以为首项，2为公差的等差数列，然后求即可.
【详解】当时，解得，不满足，所以，同理，
由可得，当时，，
所以数列是以为首项，2为公差的等差数列，，
所以.
故答案为：.
25．
【分析】先由条件得，再结合累乘法求得的通项公式即可.
【详解】由得，，
则，
即，又，所以.
故答案为：.
26．
【分析】由递推公式两边同除得到，即可得到，即可得到是以为首项、为公比的等比数列，则，再利用累加法求出，即可得到数列的通项公式；
【详解】解：因为，，，显然，所以，同除得，所以，所以，所以是以为首项、为公比的等比数列，所以，所以
所以
故答案为：
27．
【分析】由递推公式两边同除得到，即可得到，即可得到是以为首项、为公比的等比数列，则，再利用累加法求出，即可得到数列的通项公式；
【详解】解：因为，，，显然，所以，同除得，所以，所以，所以是以为首项、为公比的等比数列，所以，所以
所以
故答案为：
28．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；
（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．
【详解】（1）因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时，．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，即有.
则当或时，．
【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式；
法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．
29．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出；
（2）根据题意化简可得，即可解出．
【详解】（1）设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证．
（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为．
30．证明过程见解析
【分析】选①②作条件证明③时，可设出，结合的关系求出，利用是等差数列可证；也可分别设出公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，进行证明.
选①③作条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出，结合等差数列定义可证；
选②③作条件证明①时，设出，结合的关系求出，根据可求，然后可证是等差数列；也可利用前两项的差求出公差，然后求出通项公式，进而证明出结论.
【详解】选①②作条件证明③：
[方法一]：待定系数法+与关系式
设，则，
当时，；
当时，；
因为也是等差数列，所以，解得；
所以，，故.
[方法二] ：待定系数法
设等差数列的公差为d，等差数列的公差为，
则，将代入，
化简得对于恒成立．
则有，解得．所以．
选①③作条件证明②：
因为，是等差数列，
所以公差，
所以，即，
因为，
所以是等差数列.
选②③作条件证明①：
[方法一]：定义法
设，则，
当时，；
当时，；
因为，所以，解得或；
当时，，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列；
当时，，不合题意，舍去.
综上可知为等差数列.
[方法二]【最优解】：求解通项公式
因为，所以，，因为也为等差数列，所以公差，所以，故，当时，，当时，满足上式，故的通项公式为，所以，，符合题意.
【整体点评】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，选①②时，法一：利用等差数列的通项公式是关于的一次函数，直接设出，平方后得到的关系式，利用得到的通项公式，进而得到，是选择①②证明③的通式通法；法二：分别设出与的公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，，进而得到；选①③时，按照正常的思维求出公差，表示出及，进而由等差数列定义进行证明；选②③时，法一：利用等差数列的通项公式是关于的一次函数，直接设出，结合的关系求出，根据可求，然后可证是等差数列；法二：利用是等差数列即前两项的差求出公差，然后求出的通项公式，利用，求出的通项公式，进而证明出结论.
31．(1)
(2)
【分析】（1）利用等差数列通项公式及前项和公式化简条件，求出，再求；
(2)由等比数列定义列方程，结合一元二次方程有解的条件求的范围.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，又，
所以，
所以，
所以，
（2）因为，，成等比数列，
所以，
，
，
由已知方程的判别式大于等于0，
所以，
所以对于任意的恒成立，
所以对于任意的恒成立，
当时，，
当时，由，可得
当时，，
又
所以
32．(1)
(2)
【分析】（1）把递推关系式里的换成得到一个新的递推公式，两个递推相减可得到.
(2)裂项相消求和，然后求和的范围.
【详解】（1）当时，
①
②
②减①得：
经检验也符合
综上：
（2）
又因为，又因为恒成立，即或
所以的范围为
33．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求出数列的公差，可求得、的表达式，利用等差数列的定义可证得结论成立；
（2）假设数列中存在不同三项构成等比数列，不妨设、、（、、均不相等）成等比数列，即，结合数列的通项公式化简可得出，即可推出矛盾，从而可证得原结论成立.
【详解】（1）解：因为数列为等差数列，，，
所以数列的公差为，，
则，又，
，故数列为等差数列.
（2）证明：假设数列中存在不同三项构成等比数列，
不妨设、、（、、均不相等）成等比数列，即，
由数列的通项公式可得，
将此式展开可得，
所以有，即，
所以，，所以，，
化简整理得，，与假设矛盾，
故数列中任意三项均不能构成等比数列.
34．(1)，
(2)
【分析】（1）根据等差，等比数列的性质，分别求公差和公比，即可求得通项公式；
（2）根据（1）的结果求数列的通项公式，再利用分组求和法，求数列的前20项和.
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由条件可知，，得，，
所以，
等比数列中，，则，，
所以；
（2）,
对数列为奇数时，，
所以数列的奇数项是首项为2，公差为6的等差数列，
对数列为偶数，，
所以数列的偶数项是首项为2，公比为2的等比数列，
所以数列的前20项和为：
.
35．(1)；
(2)
【分析】（1）先利用等差数列的通项公式与前项和公式求得基本量，从而求得，再利用等比数列的通项公式求得公比，从而求得，由此得解；
（2）结合（1）中结论，利用分组求和法与公式法即可求得.
【详解】（1）设等差数列的公差为，的前项和为，
因为，所以，整理得，解得，
所以，
所以，，又，，则，
因为数列为等比数列，设其公比为，
则，故，
所以.
（2）由（1）得，，
所以.
36．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由已知递推关系式可得，根据等比数列定义可证得结论；
（2）由等比数列通项公式可求得，整理可得，结合可确定，得到；利用等比数列求和公式可得，采用分离变量法可求得；采用作差法可求得单调递增，由此可得，进而构造不等关系求得结果.
【详解】（1）由得：，
又，数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）得：，即，
，又，
数列为常数列且，即，
，，
则由得：
令，
则；
当为奇数时，恒成立，则；
当为偶数时，，
单调递增，；
综上所述：单调递增，，
，解得：，即实数的取值范围为.
37．(1)
(2).
【分析】（1）根据数列是等差数列，利用条件进行推导首项，公差的值，再利用累加法求得数列的通项公式；
（2）根据，讨论n的奇偶性，分类求解，利用并项求和法可得答案.
【详解】（1）因为，，所以，
所以数列是首项为4，公差为2的等差数列，所以.
当时，
，
当时，也满足上式，所以.
（2）由（1）知，，
当，时，
，
当，时，
.
所以.
38．（1）；（2）.
【分析】（1）由，结合与的关系，分讨论，得到数列为等比数列，即可得出结论；
（2）由结合的结论，利用错位相减法求出，对任意恒成立，分类讨论分离参数，转化为与关于的函数的范围关系，即可求解.
【详解】（1）当时，，
，
当时，由①，
得②，①②得
，
又是首项为，公比为的等比数列，
；
（2）由，得，
所以，
，
两式相减得
，
所以，
由得恒成立，
即恒成立，
时不等式恒成立；
时，，得；
时，，得；
所以.
【点睛】易错点点睛：（1）已知求不要忽略情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正负零讨论，如（2）中恒成立，要对讨论，还要注意时，分离参数不等式要变号.
39．(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.
【详解】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
（2）
∴
40．(1)
(2)证明见解析；
(3)见解析
【分析】（1）根据题意求出等差数列的首项与公差，再根据等差数列的通项即可得解；
（2）根据等比数列的定义结合递推公式证明为定值，即可得证，再根据等比数列的通项求出数列的通项，从而可得出答案；
（3）由（2）得，再根据等比数列的前项和的公式即可得证.
【详解】（1）解：设等差数列的公差为，
因为，
则，
解得或（舍去），
所以；
（2）证明：因为，
所以，即，
所以，
因为，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以；
（3）证明：由（2）得，
故
，
所以.
41．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据所给递推关系，结合结论提示，变形递推关系，由等比、等差定义证明即可；
（2）由（1）求出通项公式，利用分组求和即可得解.
【详解】（1）证明：因为，
所以，即，
所以是公比为的等比数列．
将方程左右两边分别相减，
得，化简得，
所以是公差为2的等差数列．
（2）由（1）知，
，
上式两边相加并化简，得，
所以．
42．证明见解析
【分析】选择①②为条件，③为结论．根据已知条件及等比数列的通项公式，再利用等比数列前n项和公式，结合等比中项即可求解；
选择①③为条件，②为结论，据已知条件及等比数列的通项公式，再利用等比数列前n项和公式，结合等比数列的定义即可求解；
选择②③为条件，①为结论，据已知条件及等比数列的通项公式，得出，再利用与的关系，结合等比数列的定义即可求解.
【详解】选择①②为条件，③为结论．
证明过程如下：设等比数列的公比为q，由题意知且．
则，，，
因为是等比数列，所以，
即，展开整理得，
所以，即．
选择①③为条件，②为结论，
证明过程如下：设的公比为q，由题意知且．
因为，即，因为，所以．
所以，所以．
因为，，
所以是首项为，公比为的等比数列．
选择②③为条件，①为结论，
证明过程如下：设的公比为，由题意知且．
则，所以，
又因为，且，所以．所以．
当时，，
所以，
所以是首项为，公比为的等比数列．
43．，
【分析】利用基本量代换列方程组求出列的通项公式；用累乘法求出数列的通项公式.
【详解】设等差数列的公差为d，由题意可得，解得，
所以，所以数列的通项公式为；
因为数列满足，，，
所以当时，，
又满足，
所以数列的通项公式为.
44．（1）证明见解析，；（2）证明见解析；（3）．
【分析】（1）运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式即可得到所求；
（2）求得，由放缩法和裂项相消求和，即可得证；
（3）由题意可得恒成立，设，讨论，，，结合二次函数的单调性，即可得到所求范围．
【详解】解：（1）在，中，
令，得，即，
∵，解得，
当时，由，得到，
则，
又，则，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列，
∴，即，
（2），则，
当时，，
当时，，
，
综上，．
（3）当恒成立时，
即恒成立，
设，
当时，恒成立，则满足条件；
当时，由二次函数性质知不恒成立；
当时，由于对称轴，则在上单调递减，
恒成立，则满足条件，
综上所述，实数的取值范围是．
【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式，考查构造数列法，以及数列不等式的证明，注意运用放缩法和裂项相消求和，考查数列的单调性的运用，以及转化思想和运算能力和推理能力，属于难题．
45．（I），；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【分析】（I）由等差数列的求和公式运算可得的通项，由等比数列的通项公式运算可得的通项公式；
（II）（i）运算可得，结合等比数列的定义即可得证；
（ii）放缩得，进而可得，结合错位相减法即可得证.
【详解】（I）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64．
所以，所以，
所以；
设等比数列的公比为，
所以，解得（负值舍去），
所以；
（II）（i）由题意，，
所以，
所以，且，
所以数列是等比数列；
（ii）由题意知，，
所以，
所以，
设，
则，
两式相减得，
所以，
所以.
【点睛】关键点点睛：
最后一问考查数列不等式的证明，因为无法直接求解，应先放缩去除根号，再由错位相减法即可得证.
46．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列;
（2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得.
【详解】（1）[方法一]：
由已知得,且，,
取,由得,
由于为数列的前n项积，
所以,
所以，
所以,
由于
所以，即,其中
所以数列是以为首项，以为公差等差数列;
[方法二]【最优解】：
由已知条件知 ①
于是． ②
由①②得． ③
又， ④
由③④得．
令，由，得．
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
[方法三]：
由，得，且，，．
又因为，所以，所以．
在中，当时，．
故数列是以为首项，为公差的等差数列．
[方法四]：数学归纳法
由已知，得，，，，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且．
下面用数学归纳法证明．
当时显然成立．
假设当时成立，即．
那么当时，．
综上，猜想对任意的都成立．
即数列是以为首项，为公差的等差数列．
（2）
由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
,
,
当n=1时，,
当n≥2时,,显然对于n=1不成立,
∴.
【整体点评】（1）方法一从得，然后利用的定义，得到数列的递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论；
方法二先从的定义，替换相除得到，再结合得到，从而证得结论，为最优解；
方法三由，得，由的定义得，进而作差证得结论；方法四利用归纳猜想得到数列，然后利用数学归纳法证得结论．
（2）由（1）的结论得到，求得的表达式,然后利用和与项的关系求得的通项公式；
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