卷子答案网-一个不只有答案的网站第一章综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)
1．在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
2．下列各组数中，是勾股数的是( )
A．1，2，3 B．0.3，0.4，0.5
C．9，40，41 D．－6，－8，－10
3．【2023·南昌二中模拟】如图是单位长度为1的正方形网格，格点上A，B两点间的距离为( )
A．4 B．4.5 C．5 D．6
4．若△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)2＋|a2＋b2－c2|＝0，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
5．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为7 cm，此时底部边缘A处与C之间的距离AC为24 cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠DAF时(D是B的对应点)，顶部边缘D处到桌面的距离DE为20 cm，则底部边缘A处与E之间的距离AE为( )
A．15 cm B．18 cm C．21 cm D．24 cm
6．【母题：教材P16复习题T3】一艘快艇欲驶向正东方向24 km远的A处，速度为50 km/h，由于水流原因，半小时后快艇到达位于A处正南方向的B处，则此时快艇距离A处( )
A．25 km B．24 km C．7 km D．1 km
7．【2023·长沙雅礼实验中学模拟】如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10，在AC上取一点E，以BE为折痕将△ABE折叠，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则CE的长度为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
8．如图为某楼梯的示意图，测得楼梯的长为5 m，高为3 m．计划在楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少为( )
A．5 m B．7 m C．8 m D．12 m
9．【母题：教材P13图1 11】如图，一只蚂蚁从圆柱的下底面的点A沿着侧面爬到上底面与点A相对的点B，已知圆柱的底面半径为1 cm，高为4 cm，则蚂蚁爬行的最短路程(π取3)约为( )
A．4 cm B．4.5 cm C．5 cm D．6 cm
10．【2023·苏州立达中学模拟】如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中不正确的是( )
A．∠PBQ＝60° B．∠PQC＝90° C．∠APC＝120° D．∠APB＝150°
二、填空题(每题3分，共24分)
11．在Rt△ABC中，斜边AB＝5，则AB2＋AC2＋BC2＝________．
12．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AC＝17，BC＝16，AD＝15，则AB的长为________．
13．若直角三角形两条边的长分别为8和15，且第三条边的长为整数，则第三条边的长为________．
14．【2023·东北师大附中月考】如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P是线段BC上的一点，则线段AP的最小值为____________．
15．【母题：教材P17复习题T5】如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行 12 n mile和16 n mile，1 h后两轮船分别位于点A，B处，且相距20 n mile.如果知道甲轮船沿北偏西40°方向航行，则乙轮船沿__________方向航行．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝12，AD是∠BAC的平分线，若M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是________．
17．【母题：教材P18复习题T11】如图，一架梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙脚C的距离为0.7米，梯子滑动后停在DE的位置，测得BD长为1.3米，则梯子顶端A下滑了________米．
18．如图，在正方形ABCD中，AB边上有一点E，AE＝3，EB＝1.在AC上有一动点P，则EP＋BP的最小值为________．
三、解答题(19～21题每题10分，其余每题12分，共66分)
19．如图，在锐角三角形ABC中，高AD＝12，边AC＝13，BC＝14.求AB的长．
20．长方形具有四个内角均为直角，并且两组对边分别相等的特征．如图，把一张长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF.
(1)判断△ABF和△AGE是否全等，并说明理由．
(2)若AB＝8，BC＝16，求AE的长．
21．【生活数学】规定：小汽车在城市公路上行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市公路上沿CB匀速行驶，某时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪相距130米．
(1)求小汽车6秒行驶的路程；
(2)求小汽车每小时行驶的路程，并判断小汽车是否超速．
22．【母题：教材P15习题T4】如图，一只蜘蛛在一个实心长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在这个实心长方体木块的顶点G处．若AB＝3 cm，BC＝5 cm，BF＝6 cm，问蜘蛛要沿着怎样的路线爬行，才能最快抓到苍蝇，这时蜘蛛走过的路程是多少？
23．【问题探究型】如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．
(1)弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边为c，结合图①，试验证勾股定理．
(2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状图案，已知它的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积．
(3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1＋S2＋S3＝40，求S2.
24．【2022·北京】在△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE＝DC.
(1)如图①，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF.若AF⊥EF，试说明：BD⊥AF.
(2)连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图②，若AB2＝ AE2＋BD2，用等式表示线段CD与CH之间的数量关系，并说明理由．(提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)
答案
一、1．A 【点拨】由勾股定理可知，弦为5.
2．C 【点拨】12＋22≠32，故A错误；92＋402＝412，故C正确；勾股数都是正整数，故B，D错误．故选C.
3．C 【点拨】利用网格根据勾股定理即可求出A，B两点间的距离．
4．C 【点拨】因为(a－b)2＋|a2＋b2－c2|＝0，(a－b)2≥0，|a2＋b2－c2|≥0，所以 (a－b)2＝0，|a2＋b2－c2|＝0，所以a＝b，a2＋b2＝c2. 所以△ABC为等腰直角三角形．
5．A 【点拨】依题意，得AC＝24cm，BC＝7cm，在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2＝625，所以AB＝25 cm，因为AD＝AB＝25 cm，DE＝20 cm，所以在Rt△ADE中，AE2＝AD2－DE2＝252－202＝225，所以AE＝15 cm.
6．C 【点拨】由题意知，快艇半小时行驶50×0.5＝25(km)，因为252－242＝49，所以快艇距离A处7 km.
7．C 【点拨】因为在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10，所以AC2＝AB2－BC2＝64，所以AC＝8. 设CE＝x，由折叠可得BD＝AB＝10， DE＝AE＝8－x，所以DC＝10－6＝4.因为∠ACB＝90°，所以∠DCE＝90°，所以(8－x)2＝x2＋42，解得x＝3，所以CE＝3.
8．B 【点拨】由勾股定理知，楼梯的水平长度为4 m，所以地毯的长度至少为 3＋4＝7(m)．
9．C 【点拨】圆柱侧面展开如图，连接AB，由题意知AB的长为蚂蚁爬行的最短路程，由圆柱底面的周长公式和勾股定理计算即可．
10．C 【点拨】根据△ABC是等边三角形，得出∠ABC＝60°，根据△BQC≌△BPA，得出∠CBQ＝∠ABP，PB＝QB＝4，PA＝QC＝3，∠BPA＝∠BQC，求出 ∠PBQ＝60°，即可判断A正确；易得△BPQ是等边三角形，则PQ＝BP＝4，由PC2＝PQ2＋CQ2可知△CPQ为直角三角形，且∠PQC＝90°，即可判断B正确；根据△BPQ是等边三角形，可得∠BQP＝60°，所以∠APB＝∠BQC＝150°，即可判断D正确；可求出∠APC＝150°－∠QPC，因为PC≠2QC，所以∠QPC≠30°，所以∠APC≠120°，即可判断C不正确．
二、11．50 【点拨】在Rt△ABC中，斜边AB＝5，所以AB2＋AC2＋BC2＝AB2＋AB2＝2AB2＝50.
12．17 【点拨】因为AD是BC边上的中线，所以BD＝DC＝BC＝8. 因为 DC2＝64，AD2＝225，AC2＝289，所以DC2＋AD2＝AC2.所以△ADC为直角三角形，且∠ADC＝90°，所以∠ADB＝90°.在Rt△ADB中，AB2＝BD2＋AD2＝ 82＋152＝289，所以AB＝17.
13．17 【点拨】设第三条边的长为x，则x2＝82＋152＝289＝172或x2＝152－ 82＝161.因为第三条边的长为整数，所以第三条边的长为17.
14．4.8 【点拨】因为AB＝6，AC＝8，BC＝10，所以AB2＝36，AC2＝64， BC2＝100，所以AB2＋AC2＝BC2，所以△ABC为直角三角形且∠BAC＝90°.当AP⊥BC时，AP的长度最小，此时AB·AC＝AP·BC，即×6×8＝AP×10，解得AP＝4.8.
15．北偏东50°(或东偏北40°) 【点拨】因为AP＝1×12＝12(n mile)，PB＝1× 16＝16(n mile)，AB＝20 n mile，所以AP2＋BP2＝400＝AB2，所以∠APB＝90°.因为∠APN＝40°，所以∠BPN＝50°.因为∠EPN＝90°，所以∠BPE＝40°.所以乙轮船沿北偏东50°(或东偏北40°)方向航行．
16． 【点拨】如图，作N关于AD的对称点E，连接ME，BE.
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝12，所以AC2＝AB2＋BC2＝52＋ 122＝169，所以AC＝13.
因为AD是∠BAC的平分线，
所以△AMN与△AME关于AD所在直线成轴对称，
所以MN＝ME.
所以BM＋MN＝BM＋ME≥BE.
当BE⊥AC时BE最小，
此时S△ABC＝AB×BC＝AC×BE，
即×5×12＝×13×BE，解得BE＝.
所以BM＋MN的最小值是.
17．0.9 【点拨】在Rt△ABC中，AB＝2.5米，BC＝0.7米，
所以AC2＝AB2－BC2＝2.52－0.72＝2.42，所以AC＝2.4米．在Rt△ECD中， DE＝AB＝2.5米，CD＝1.3＋0.7＝2(米)，所以EC2＝DE2－DC2＝2.52－22＝1.52，
所以EC＝1.5米，
所以AE＝AC－CE＝2.4－1.5＝0.9(米)．
18．5 【点拨】连接DE，与AC交于点P，连接BP，易知此时EP＋BP的值最小，且最小值为DE的长，利用勾股定理即可得解．
三、19．【解】在Rt△ADC中，AD＝12，AC＝13，由勾股定理得CD2＝AC2－ AD2＝25，
所以CD＝5.
因为BC＝14，所以BD＝9.
在Rt△ABD中，由勾股定理得AB2＝AD2＋BD2＝225，
所以AB＝15.
20．【解】(1)△ABF≌△AGE.理由如下：
因为AG＝CD，AB＝CD，所以AB＝AG.
因为∠BAE＝90°，∠GAF＝∠C＝90°，
所以∠BAE＝∠GAF，
所以∠BAE－∠EAF＝∠GAF－∠EAF，
所以∠BAF＝∠GAE.
因为∠B＝90°，∠G＝∠D＝90°，所以∠B＝∠G.
在△ABF和△AGE中，
所以△ABF≌△AGE(ASA)．
(2)由(1)得△ABF≌△AGE，
所以AF＝AE.
设AE＝x，则CF＝AF＝x，BF＝16－x，
在Rt△ABF中，AF2＝AB2＋BF2，即x2＝82＋(16－x)2，解得x＝10，即AE＝10.
21．【解】(1)过点A作AD⊥BC，设小汽车经过6秒后到达点E，连接AE，如图 所示．
由题意可得AD＝50米，AE＝130米，
在Rt△ADE中，DE2＝AE2－AD2＝1302－502＝1202，
所以DE＝120米．
答：小汽车6秒行驶的路程为120米．
(2)小汽车的速度为120÷6＝20(米/秒)＝72(千米/时)，所以小汽车每时行驶的路程为72千米．
因为72>70，
所以小汽车超速了．
22．【解】分三种情况讨论：
(1)如图①，连接AG，此时蜘蛛从点A出发先到BF上，再到点G处．
因为AB＝3 cm，BC＝5 cm，
所以AC＝AB＋BC＝3＋5＝8(cm)．
因为CG＝BF＝6 cm，所以在Rt△ACG中，AG2＝AC2＋CG2＝82＋62＝100.
(2)如图②，连接AG，此时蜘蛛从点A出发先到EF上，再到点G处．
因为FG＝BC＝5 cm，
所以BG＝5＋6＝11(cm)．
在Rt△ABG中，AG2＝AB2＋BG2＝32＋112＝130.
(3)如图③，连接AG，此时蜘蛛从点A出发先到EH上，再到点G处．
因为AE＝BF＝6 cm，EF＝AB＝3 cm，
所以AF＝AE＋EF＝6＋3＝9(cm)．
因为GF＝BC＝5 cm，
所以在Rt△AFG中，AG2＝AF2＋GF2＝92＋52＝106.
因为130＞106＞100，
所以蜘蛛按情况(1)中的路线爬行，才能最快抓到苍蝇，这时蜘蛛走过的路程是10 cm.
23．【解】(1)S小正方形＝(a－b)2＝a2－2ab＋b2，
S小正方形＝c2－4×ab＝c2－2ab，
即a2－2ab＋b2＝c2－2ab，则a2＋b2＝c2.
(2)24÷4＝6，
设AC＝m，依题意有32＋(m＋3)2＝(6－m)2，
解得m＝1.所以AC＝1.
S飞镖状图案＝×(3＋1)×3×4＝×4×3×4＝24.
故该飞镖状图案的面积是24.
(3)设四边形MNKT的面积为x，每个三角形的面积为y，
因为正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，
所以S1＝8y＋x，S2＝4y＋x，S3＝x.
所以S1＋S2＋S3＝8y＋x＋4y＋x＋x＝3x＋12y.
因为S1＋S2＋S3＝40，所以3x＋12y＝40，
所以x＋4y＝.
所以S2＝x＋4y＝.
24．【解】(1)在△BCD和△FCE中，
所以△BCD≌△FCE(SAS)．
所以∠DBC＝∠EFC.
所以BD∥EF.
因为AF⊥EF，
所以BD⊥AF.
(2)由题意补全图形如图．
CD＝CH.
理由：延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，如图．
因为∠ACB＝90°，所以AC⊥BF.
又因为BC＝CF，所以AB＝AF.
由(1)可知BD∥EF，△BCD≌△FCE，则BD＝EF，
因为AB2＝AE2＋BD2，
所以AF2＝AE2＋EF2.
所以∠AEF＝90°.
所以AE⊥EF.
所以BD⊥AE.
所以∠DHE＝90°.
又因为CD＝CE，
所以CH＝CD.