卷子答案网-一个不只有答案的网站2023年湖北省数学中考试题汇编方程与不等式
一、选择题（本大题共10小题，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. (2023·湖北省随州市)如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线则下列结论正确的有( )
；
；
方程的两个根为，；
抛物线上有两点和，若且，则．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2. (2023·湖北省黄冈市)已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列论中；；若点，，均在该二次函数图象上，则；若为任意实数，则；方程的两实数根为，，且，则，正确结论的序号为( )
A. B. C. D.
3. (2023·湖北省)若关于的一元二次方程有两个实数根，，且，则( )
A. 或 B. 或 C. D.
4. (2023·湖北省十堰市)为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球已知每个篮球的价格比每个足球的价格多元，用元购进篮球的数量比用元购进足球的数量多个如果设每个足球的价格为元，那么可列方程为( )
A. B.
C. D.
5. (2023·湖北省随州市)甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修千米，乙工程队需要修千米已知乙工程队每个月比甲工程队多修千米，最终用的时间比甲工程队少半个月若设甲工程队每个月修千米，则可列出方程为( )
A. B. C. D.
6. (2023·湖北省宜昌市)某校学生去距离学校的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达已知汽车的速度是骑车学生速度的倍，汽车的速度是( )
A. B. C. D.
7. (2023·湖北省鄂州市)已知不等式组的解集是，则( )
A. B. C. D.
8. (2023·全国)不等式组的解集是( )
A. B. C. D.
9. (2023·湖北省宜昌市)解不等式，下列在数轴上表示的解集正确的是( )
A. B.
C. D.
10. (2023·湖北省黄冈市)不等式的解集为( )
A. B. C. D. 无解
二、填空题（本大题共4小题）
11. (2023·湖北省武汉市)我国古代数学经典著作九章算术记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程单位：步关于善行者的行走时间的函数图象，则两图象交点的纵坐标是 ．
12. (2023·湖北省随州市)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为______ ．
13. (2023·湖北省宜昌市)已知，是方程的两根，则代数式的值为______ ．
14. (2023·湖北省黄冈市)已知一元二次方程的两个实数根为，，若，则实数 ______ ．
三、解答题（本大题共5小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (2023·湖北省宜昌市)
为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗某顾客端午节前在超市购买豆沙粽个，肉粽个，共付款元，已知肉粽单价是豆沙粽的倍．
豆沙粽数量 肉粽数量 付款金额
小欢妈妈
小乐妈妈
求豆沙粽和肉粽的单价；
超市为了促销，购买粽子达个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量单位：个和付款金额单位：元；
根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价；
为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成，两种包装销售，每包都是个粽子包装成本忽略不计，每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计，两种包装中分别有个豆沙粽，个肉粽，包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半端午节当天统计发现，，两种包装的销量分别为包，包，，两种包装的销售总额为元求的值．
16. (2023·湖北省黄冈市)
创建文明城市，构建美好家园为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购，两种型号的新型垃圾桶若购买个型垃圾桶和个型垃圾桶共需要元，购买个型垃圾桶和个型垃圾桶共需要元．
求两种型号垃圾桶的单价；
若需购买，两种型号的垃圾桶共个，总费用不超过元，至少需购买型垃圾桶多少个？
17. (2023·湖北)
已知关于的一元二次方程．
求证：无论取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
设该方程的两个实数根为，，若，求的值．
18. (2023·湖北省黄冈市)
加强劳动教育，落实五育并举孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地年计划将其中的土地全部种植甲乙两种蔬菜经调查发现：甲种蔬菜种植成本单位；元与其种植面积单位：的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的种植成本为元．
当 ______ 时，元；
设年甲乙两种蔬菜总种植成本为元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使最小？
学校计划今后每年在这土地上，均按中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降若甲种蔬菜种植成本平均每年下降，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当为何值时，年的总种植成本为元？
19. (2023·湖北省荆州市)
荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进，两种文创饰品对游客销售已知元采购种的件数是元采购种件数的倍，种的进价比种的进价每件多元，两种饰品的售价均为每件元；计划采购这两种饰品共件，采购种的件数不低于件，不超过种件数的倍．
求，饰品每件的进价分别为多少元？
若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购种超过件时，种超过的部分按进价打折设购进种饰品件，
求的取值范围；
设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润．
1.【答案】
【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线交轴于正半轴，
，
，
，
，故正确；
抛物线对称轴为直线，时，，
时，，
，故正确；
由可得方程的解，，
的抛物线与轴交于点，对称轴为直线，
抛物线与轴另一个交点为，
方程的两个根为，，
，，
，
而若方程的两个根为，，则，，故错误；
抛物线开口向下，对称轴为直线，
若且，则点到对称轴的距离小于到直线的距离，
，故不正确．
故选：．
根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置判断；由抛物线的对称性可判断；由二次函数与方程的关系，以及根与系数的关系可判断；由二次函数的性质可判断．
本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
2.【答案】
【解析】解：抛物线经过，
，正确，
，
抛物线开口向下，
点，，均在该二次函数图象上，且点到对称轴的距离最大，点到对称轴的距离最小，
，错误；
，
，
，
，
抛物线的最大值为，
若为任意实数，则，
，正确；
方程的两实数根为，，
抛物线与直线的交点的横坐标为，，
由抛物线对称性可得抛物线与轴另一交点坐标为，
抛物线与轴交点坐标为，，
抛物线开口向下，，
，，正确．
故选：．
由抛物线经过可判断，由各点到抛物线对称轴的距离大小可判断从而判断，由时取最大值可判断，由抛物线的对称性可得抛物线与轴交点坐标，从而判断．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
3.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程有两个实数根，，
，即，且，，
，
，即，
，即，
解得：或．
故选：．
利用根与系数的关系表示出与，已知等式整理后代入计算即可求出的值．
此题考查了根的判别式，以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根与系数的关系是解本题的关键．
4.【答案】
【解析】解：设每个足球的价格为元，可列方程为：
．
故选：．
直接利用根据单价，表示出篮球与足球价格，再利用元购进篮球的数量比用元购进足球的数量多个得出等式即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确得出等量关系是解题关键．
5.【答案】
【解析】解：乙工程队每个月比甲工程队多修千米，且甲工程队每个月修千米，
乙工程队每个月修千米．
根据题意得：．
故选：．
根据两个工程队工作效率间的关系，可得出乙工程队每个月修千米，利用工作时间工作总量工作效率，结合乙工程队所用的时间比甲工程队少半个月，即可列出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：设学生的速度为，
由题意可得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意；
，
故选：．
设学生的速度为，根据一部分学生骑自行车先走，过了后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．列出方程，即可求解．
本题考查了分式方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：由，得：，
由，得：，
解集为，
，，
解得，，
则．
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集得出、的值，代入计算可得．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
8.【答案】
【解析】解：
由移项，合并同类项得：，
系数化为得：；
由移项，合并同类项得：，
系数化为得：，
则原不等式组的解集为：，
故选：．
首先解两个不等式求得各自的解集，然后取它们解集的公共部分即可．
本题考查解一元一次不等式组，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
9.【答案】
【解析】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
那么在数轴上表示其解集如图所示：
，
故选：．
解不等式求得其解集，然后在数轴上表示其解集即可．
本题考查在数轴上表示一元一次不等式的解集，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
10.【答案】
【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
11.【答案】
【解析】
【分析】
设善行者经过分钟追上，根据两个人所行的路程差为步，列出方程解答即可．
此题考查一元一次方程的实际运用，掌握行程问题中的基本数量关系是解决问题的关键．
【解答】
解：设善行者经过分钟追上，
由题意得，
解得
步
即两图象交点的纵坐标是．
故答案为．
12.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，
，，
．
故答案为：．
直接利用根于系数的关系，，再代入计算即可求解．
本题主要考查根与系数的关系，熟记根与系数的关系时解题关键．根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，．
13.【答案】
【解析】解：，是方程的两根，
，，
．
故答案为：．
利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，把两根之和与两根之积代入即可求出值．
此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
14.【答案】
【解析】解：一元二次方程的两个实数根为，，
，，
，
，
解得，
又方程有两个实数根，
，
解得，
综合以上可知实数取值范围是．
故答案为：．
把两根之和与两根之积代入已知条件中，求得的值，再根据根的判别式求得的取值范围．最后综合情况，求得的值．
此题考查一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
15.【答案】解：设豆沙粽的单价为元，肉粽的单价为元；
由题意可得：，
解得：，
元，
答：豆沙粽的单价为元，肉粽的单价为元；
设豆沙粽优惠后的单价为元，肉粽优惠后的单价为元，
由题意可得：，
解得：，
答：豆沙粽优惠后的单价为元，肉粽优惠后的单价为元；
由题意可得：，
解得：或，
，
，
．
【解析】设豆沙粽的单价为元，肉粽的单价为元，由购买豆沙粽个，肉粽个，共付款元，列出方程可求解；
设豆沙粽优惠后的单价为元，肉粽优惠后的单价为元，由题意列出方程组，即可求解；
由，两种包装的销售总额为元，列出方程，即可求解．
本题考查了一元二次方程的应用，二元一次方程组的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
16.【答案】解：设型垃圾桶单价为元，型垃圾桶单价为元，
由题意可得：，
解得：，
答：型垃圾桶单价为元，型垃圾桶单价为元；
设型垃圾桶个，
由题意可得：，
，
答：至少需购买型垃圾桶个．
【解析】设型垃圾桶单价为元，型垃圾桶单价为元，根据购买个型垃圾桶和个型垃圾桶共需要元，购买个型垃圾桶和个型垃圾桶共需要元，列出二元一次方程组，即可求解；
设型垃圾桶个，根据总费用不超过元，列出不等式，即可求解．
本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
17.【答案】证明：
，
无论取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
解：该方程的两个实数根为，，
，，
，
，
，
整理得：，
解得：，，
的值为或．
【解析】要证明方程都有两个不相等的实数根，即证明即可；
利用根与系数的关系得，，再将变形可得，将，的代入可得关于的一元二次方程，求解即可．
本题主要考查一元二次方程根的判别式的应用、根与系数的关系的关系，熟练掌握根的判别式与根与系数的关系是解题关键．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，．
18.【答案】
【解析】解：当时，设甲种蔬菜种植成本单位；元与其种植面积单位：的函数关系式为，
把，代入得：，
解得：，
，
当时，，
当时，，
解得：，
故答案为：；
当时，，
，
抛物线开口向上，
当时，有最小值，最小值为，
此时，，
当时，，
，
当时，有最小值为：，
，
当种植甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，最小；
由可知，甲、乙两种蔬菜总种植成本为元，乙种蔬菜的种植成本为元，
则甲种蔬菜的种植成本为元，
由题意得：，
设，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
，
，
答：当为时，年的总种植成本为元．
当时，由待定系数法求出一次函数关系式，当时，，再求出当时的值，即可得出结论；
当时，，由二次函数的性质得当时，有最小值，最小值为，再求出当时，，由一次函数的性质得当时，有最小值为，然后比较即可；
根据年的总种植成本为元，列出一元二次方程，解方程即可．
本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用以及一次函数的应用等知识，解题的关键：用待定系数法正确求出一次函数关系式；找出数量关系，正确求出二次函数关系式；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
19.【答案】解：设种饰品每件的进价为元，则种饰品每件的进价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
，
答：种饰品每件的进价为元，则种饰品每件的进价为元；
由题意得：，
解得：，
购进种饰品件数的取值范围为：，且为整数；
设采购种饰品件时的总利润为元，
当时，，
，
随的增大而减小，
当时，有最大值是：，
当时，，
，
随的增大而增大，
当时，有最大值是：，
，
的最大值是，此时，
即当采购种饰品件，种饰品件，商铺获利最大，最大利润为元．
【解析】设种饰品每件的进价为元，则种饰品每件的进价为元，利用数量总价单价，结合用元采购种的件数是元采购种件数的倍，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出每台种电器的进价，再将其代入中即可求出每台种电器的进价；
利用“计划采购这两种饰品共件，采购种的件数不低于件，不超过种件数的倍“列不等式组可得结论；
设采购种饰品件时的总利润为元，分两种情况：当时，当时，分别表示与的关系式根据增减性可解答．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
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