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提升卷06
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）设全集，，，则（ ）
A．{1，2} B．
C． D．
【答案】D
【分析】由交集和补集的定义求解即可.
【详解】因为所以，
∴.
故选：D.
2．（2023·湖南益阳·安化县第二中学校考三模）已知复数满足，则复数的虚部为（ ）
A． B．5 C． D．2
【答案】A
【分析】由复数的乘、除法运算化简复数，再由复数的定义即可得出答案.
【详解】因为，所以，
故复数的虚部为.
故选：A.
3．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，该双曲线过点，则该双曲线的右焦点到渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据渐近线的倾斜角求出，再根据双曲线过点求出，再根据点到直线的距离公式可求出结果.
【详解】因为一条渐近线的倾斜角为，所以斜率为，所以，该渐近线为，即，
因为该双曲线过点，所以，
将代入得，得，，，，
所以，右焦点到渐近线的距离为.
故选：D
4．（2023·四川成都·川大附中校考模拟预测）下列关于统计概率知识的判断，正确的是（ ）
A．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，且已知，则总体方差
B．在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数 r越接近于1
C．用来刻画回归效果，值越大，说明拟合效果越好
D．回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点
【答案】C
【分析】A选项，根据均值和方差的定义，通过两层的均值和方差表示出总体的均值和方差，然后进行判断；
B选项，根据相关系数的性质进行判断；
C选项，根据决定系数的性质进行判断；
D选项，根据回归直线的性质进行判断.
【详解】对于A，设2层数据分别记为，因为，
所以总体样本平均数为，
所以，
所以总体方差，
只有当时，才成立，A错误；
对于B，相关关系越强，相关系数的绝对值越接近于，B错误；
对于C，用来刻画回归效果，值越大，表示残差的平方和越小，故模型的拟合效果越好，C正确；
对于D，回归直线恒过样本点的中心，可以不过任一个样本点，D错误.
故选：C
5．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校考模拟预测）在我国古代，杨辉三角（如图1）是解决很多数学问题的有力工具，从图1中可以归纳出等式： 类比上述结论，借助杨辉三角解决下述问题：如图2，该“刍童垛”共2021层，底层如图3，一边2023个圆球，另一边2022个圆球，向上逐层每边减少个圆球，顶层堆6个圆球，则此“刍童垛”中圆球的总数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，由杨辉三角中观察规律，推广之后，代入计算即可得到结果.
【详解】由杨辉三角中观察得可得.
推广，得到
即
由题意，2021层“刍童垛”小球的总个数为
故选:B
6．（2023春·湖北武汉·高一华中师大一附中校考期末）下列四个函数中的某个函数在区间上的大致图象如图所示，则该函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用题给函数在上先正值后负值的变化情况排除选项A；利用题给图象可知函数是奇函数排除选项C；利用当时题给函数值为负值排除D；而选项B均符合以上要求.
【详解】当时，，.排除A；
由偶函数定义可得为偶函数，由题给图象可知函数是奇函数，排除C；
当时，.排除D；
为奇函数，且当时，，
当时，.B均符合题给特征.
故选：B.
7．（2023·四川成都·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）19世纪法国著名数学家加斯帕尔 蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（ ）
A．±3 B．±4 C．±5 D．
【答案】B
【分析】由题意求出蒙日圆方程，再由两圆只有一个交点可知两圆相外切，从而列方程可求出的值．
【详解】由题意可得椭圆的蒙日圆的半径，
所以蒙日圆方程为，
因为圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，
所以两圆相外切，
所以，．
故选：B．
8．（2023·辽宁大连·统考三模）已知向量与的夹角为，且，向量满足，且，记向量在向量与方向上的投影分别为x y.现有两个结论：①若，则；②的最大值为.则正确的判断是（ ）
A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
【答案】C
【分析】①根据及与的夹角为求出，假设成立，求出与，代入后发现等式不成立，故①错误；②利用向量共线定理可知，点C在线段AB上，再结合，可得：，利用投影公式求出，只需求出最大值，利用面积公式和基本不等式求出最大值为1，进而求出的最大值.
【详解】由，解得：，当时，，由得：，即，由得：，因为，假设，则可求出，，代入中，等号不成立，故①错误；
设，，，因为，由向量共线定理可知，点C在线段AB上，如图，设，则，因为，所以，即，故在方向的投影等于在方向的投影相等，故点C满足，又，，所以
，其中，而要想保证最大，只需最小，由余弦定理可得：，当且仅当时，等号成立，所以最小值为，所以最大值为，故的最大值为，②正确.
故选：C
【点睛】向量投影的理解是很重要的，在出题中往往会画出图形来进行思考问题，利用几何法来解决问题，这道题目的突破口就是结合与，可得：点C在线段AB上且，进而得到最小值.
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2023春·江西新余·高一新余市第一中学校考阶段练习）若函数，则（ ）
A．函数的一条对称轴为
B．函数的一个对称中心为
C．函数的最小正周期为
D．若函数，则的最大值为2
【答案】ACD
【分析】根据三角函数的同角关系和二倍角的正、余弦公式化简可得，结合余弦函数的性质依次判断选项即可.
【详解】由题意得，
.
A：当时，，又，
所以是函数的一条对称轴，故A正确；
B：由选项A分析可知，所以点不是函数的对称点，故B错误；
C：由，知函数的最小正周期为，故C正确；
D：，所以，故D正确.
故选：ACD．
10．（2023·湖南益阳·安化县第二中学校考三模）已知直线过抛物线C：的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线，两切线交于点G，设，，，则下列选项正确的是：（ ）
A．
B．以线段AB为直径的圆与直线相离
C．当时，
D．面积的取值范围为
【答案】AB
【分析】求出抛物线的焦点及准线，设直线l的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理，计算可判断A；利用定义及直线与圆的位置可判断B；由向量共线求出弦长判断C；求出点G的坐标及面积的函数式即可判断作答.
【详解】抛物线的焦点，准线方程为，设直线l的方程为，
由消去y得：，于是得，
，A正确；
以线段AB为直线的圆的圆心，则，点
到直线距离，
由抛物线定义得，显然，即以线段为直径的圆与直线相离，B正确；
当时，有，即，而，于是得，，C不正确；
由求导得，于是得抛物线C在A处切线方程为：，即，
同理，抛物线C在B处切线方程为：，联立两切线方程解得，，
点到直线l：的距离，
于是得面积，当且仅当时取“=”，
面积的取值范围为，D不正确.
故选：AB.
11．（2023春·广东汕头·高一统考期末）陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也作陀罗，闽南语称作“干乐”，北方叫作“冰尜（gá）”或“打老牛”．传统古陀螺大致是木制或铁制的倒圆锥形．现有一圆锥形陀螺（如图所示），其底面半径为3，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则（ ）
A．圆锥的母线长为9 B．圆锥的表面积为
C．圆锥的侧面展开图（扇形）的圆心角为 D．圆锥的体积为
【答案】AB
【分析】对于A，利用圆锥在平面内转回原位置求解以S为圆心，为半径的圆的面积，再求解圆锥的侧面积，根据圆锥本身恰好滚动了3周列出方程求解结果；对于B，利用圆锥的表面积公式进行计算；对于C，圆锥的底面圆周长即为圆锥侧面展开图(扇形)的弧长，根据弧长公式求解圆心角；对于D，求解圆锥的高，利用圆锥体积公式求解.
【详解】对于A，设圆锥的母线长为，以S为圆心，为半径的圆的面积为，
圆锥的侧面积为，
当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，
则，所以圆锥的母线长为，故A正确；
对于B，圆锥的表面积，故B正确；
对于C，圆锥的底面圆周长为，设圆锥侧面展开图(扇形)的圆心角为，
则，解得，即，故C错误；
对于D，圆锥的高，所以圆锥的体积为,故D错误.
故选：AB.
12．（2023·山东日照·统考二模）如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中，且．记，如，即，即，即，…，以此类推．设数列的前n项和为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】设，，记设数列的前n项和为，则，由图观察可知第圈的个点对应的这项的和为0，则，同时第圈的最后一个点对应坐标为，设在第圈，则圈共有个数，可判断前圈共有个数，所在点的坐标为，向前推导，则可判断A，B选项；当时,，即可判断C选项；借助与图可知，即项之和，对应点的坐标为，，…，，即可求解判断D选项.
【详解】由题知，点，，设，，记设数列的前n项和为，
则，第一圈从点到点共8个点，由对称性可知；
第二圈从点到点共16个点，由对称性可知，即 ，
以此类推，可得第圈的个点对应的这项的和为0，即，
设在第圈，则，由此可知前圈共有个数，故，则，所在点的坐标为，则，所在点的坐标为，
则，所在点的坐标为，则，故A错误；
，故B正确；
当时，所在点的坐标为，则，故C错误；
，对应点的坐标为，，…，，
所以，故D正确.
故选：BD
【点睛】关键点睛：观察图形，利用对称性求解问题，对D选项，考虑已知的前项和与所求的关系，结合图形，可适当先列举找到规律，再求解.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数的图像过点，则函数的零点为 ．
【答案】，，
【分析】设幂函数解析式，求解函数解析式，解方程即可得函数函数的零点.
【详解】设幂函数，因为函数的图像过点，所以，解得
所以，则函数的零点为方程的根，解得或，
所以函数的零点为，，.
故答案为：，，.
14．（2023·山西大同·统考模拟预测）已知，，，，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】由已知可得，结合基本不等式求的最小值，再求的最小值.
【详解】因为，，
所以，又，，
所以，当且仅当时取等号．
所以，当且仅当时取等号．
所以的最小值为.
故答案为：.
15．（2023·全国·高二专题练习）若曲线有三条经过点的切线，则的范围为 ．
【答案】
【分析】求导后对导函数求导分析函数的凹凸性，再数形结合分析相切的临界条件，从而可得.
【详解】由题意，
令，则，
令可得或.
故当和时，单调递增，图象往下凸；
当时，单调递减，图象往上凸.
又经过的切线方程为，即，
令可得，又经过的切线方程为，故当时有三条经过点的切线.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：求导分析函数切线的问题，需要根据题意求导，并求导数形结合分析切线斜率的单调性，进而可得函数的凹凸性，从而分析切线可能的情况，属于难题.
16．（2023·全国·高三专题练习）已知正四面体的棱长为，现截去四个全等的小正四面体，得到如图的八面体，若这个八面体能放进半径为的球形容器中，则截去的小正四面体的棱长最小值为 ．
【答案】
【分析】画出图形，做出辅助线，求出大正四面体的外接球半径，这个八面体的外接球半径为，则截去的小正四面体的棱长最小，根据勾股定理列出方程，求出答案，舍去不合要求的解.
【详解】如图，正四面体在点截去小正四面体，
取中点，连接，过点作⊥平面，则在上，且⊥平面，垂足为，连接，则为正的中心，
大正四面体的外接球球心在高上，设为，连接，则，
因为大正四面体的棱长为，故，解得，
由勾股定理得，
在Rt中，，即，解得，
则大正四面体的外接球半径为3，
若这个八面体的外接球半径为，则截去的小正四面体的棱长最小，
由对称性可知，这个八面体的外接球的球心与正四面体的外接球球心重合，连接，
则，
设截去的小正四面体的棱长为，则，即，
则，故，故高，
所以，
在Rt中，，即，
解得或，
，不合要求，舍去，符合要求，
截去的小正四面体的棱长最小值为.
故答案为：
【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径
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一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）设全集，，，则（ ）
A．{1，2} B．
C． D．
2．（2023·湖南益阳·安化县第二中学校考三模）已知复数满足，则复数的虚部为（ ）
A． B．5 C． D．2
3．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，该双曲线过点，则该双曲线的右焦点到渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·四川成都·川大附中校考模拟预测）下列关于统计概率知识的判断，正确的是（ ）
A．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，且已知，则总体方差
B．在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数 r越接近于1
C．用来刻画回归效果，值越大，说明拟合效果越好
D．回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点
5．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校考模拟预测）在我国古代，杨辉三角（如图1）是解决很多数学问题的有力工具，从图1中可以归纳出等式： 类比上述结论，借助杨辉三角解决下述问题：如图2，该“刍童垛”共2021层，底层如图3，一边2023个圆球，另一边2022个圆球，向上逐层每边减少个圆球，顶层堆6个圆球，则此“刍童垛”中圆球的总数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023春·湖北武汉·高一华中师大一附中校考期末）下列四个函数中的某个函数在区间上的大致图象如图所示，则该函数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·四川成都·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）19世纪法国著名数学家加斯帕尔 蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（ ）
A．±3 B．±4 C．±5 D．
8．（2023·辽宁大连·统考三模）已知向量与的夹角为，且，向量满足，且，记向量在向量与方向上的投影分别为x y.现有两个结论：①若，则；②的最大值为.则正确的判断是（ ）
A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2023春·江西新余·高一新余市第一中学校考阶段练习）若函数，则（ ）
A．函数的一条对称轴为
B．函数的一个对称中心为
C．函数的最小正周期为
D．若函数，则的最大值为2
10．（2023·湖南益阳·安化县第二中学校考三模）已知直线过抛物线C：的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线，两切线交于点G，设，，，则下列选项正确的是：（ ）
A．
B．以线段AB为直径的圆与直线相离
C．当时，
D．面积的取值范围为
11．（2023春·广东汕头·高一统考期末）陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也作陀罗，闽南语称作“干乐”，北方叫作“冰尜（gá）”或“打老牛”．传统古陀螺大致是木制或铁制的倒圆锥形．现有一圆锥形陀螺（如图所示），其底面半径为3，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则（ ）
A．圆锥的母线长为9 B．圆锥的表面积为
C．圆锥的侧面展开图（扇形）的圆心角为 D．圆锥的体积为
12．（2023·山东日照·统考二模）如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中，且．记，如，即，即，即，…，以此类推．设数列的前n项和为，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数的图像过点，则函数的零点为 ．
14．（2023·山西大同·统考模拟预测）已知，，，，则的最小值为 ．
15．（2023·全国·高二专题练习）若曲线有三条经过点的切线，则的范围为 ．
16．（2023·全国·高三专题练习）已知正四面体的棱长为，现截去四个全等的小正四面体，得到如图的八面体，若这个八面体能放进半径为的球形容器中，则截去的小正四面体的棱长最小值为 ．
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