卷子答案网-一个不只有答案的网站贵州省遵义市2022-2023学年七年级下学期数学期末考试试卷
一、单选题
1．（2023七下·遵义期末）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
2．（2016·邵阳）下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023七下·遵义期末）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．6，8，12 B．，1 C．8，15，16 D．9，12，15
4．（2023七下·遵义期末）在中，若，下列图形中最符合条件的图形是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·深圳模拟）共同富裕的要求是：在消除两极分化和贫穷基础上实现普遍富裕．下列有关个人收入的统计量中，最能体现共同富裕要求的是（ ）
A．平均数小，方差大 B．平均数小，方差小
C．平均数大，方差小 D．平均数大，方差大
6．（2021八下·营口期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．＝4 C．（）2＝6 D．＝2
7．（2022八下·无为期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交AD于点F；分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G：连接AG并延长，交BC于点E．连接BF，若，，则AB的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．8
8．（2022八下·无为期末）已知，，，中有三个点在同一直线上，不在此直线上的点是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
9．（2023七下·遵义期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点也在格点上，这样的能做出（ ）
A．个 B．个 C． 个 D．个
10．（2023七下·遵义期末）如图，已知在矩形中，对角线，相交于点O，于点E．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023七下·遵义期末）如图，：和：相交于，则解集为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023七下·遵义期末）如图，在平行四边形中，，于E，于F，交于H，、的延长线交于E，给出下列结论：
①； ②；
③； ④若点F是的中点，则；
其中正确的结论有（ ）．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
13．（2019八下·南浔期末）若二次根式 有意义，则x的取值范围是 ．
14．（2023七下·遵义期末）两台A、B型号的大米自动封装机包装的质量为的袋食品中各封装了10袋大米，测得其实际质量如下表（单位：）：
A
B
由上表可以判断 型号自动封装机性能更好．
15．（2023七下·遵义期末）已知直线，当时必有，则k的值可以是 （写出满足条件的一个值即可）．
16．（2023七下·遵义期末）在正方形中，，点E、F分别为上一点，且，连接，则的最小值是 ．
三、解答题
17．（2023七下·遵义期末）计算
（1）下面是小华同学解答题目的过程：
第一步．
第二步．
第三步．
第四步．
小华的解题过程是否有错误 如果有，请指出在第几步出现错误，并从这一步开始写出正确解答过程．
（2）
18．（2023七下·遵义期末）如图，已知是矩形的对角线．
（1）用直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）连接，若，求的度数．
19．（2023七下·遵义期末）新冠过后人们的生活逐渐恢复正常，家长们会选择去自然环境较好的地方“遛娃”．如图所示，是无动力游乐场内一个小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴中心B到地面的距离为．在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到的距离为，点A到地面的距离为；当从A处摆动到处时，有．
（1）求到的距离；
（2）求到地面的距离．
20．（2023七下·遵义期末）《中华人民共和国国家安全法》规定，“中华人民共和国公民有维护国家的安全、荣誉和利益的义务，不得有危害国家的安全、荣誉和利益的行为．”2014年4月15日，习近平总书记强调，要准确把握国家安全形势变化新特点新趋势，坚持总体国家安全观，走出一条中国特色国家安全道路．某校为了了解全校学生对国家安全相关知识的掌握情况，特组织了一次国家安全知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分为A、B、C、D四个等级，对应的分数依次为100分、90分、80分、70分．学校将七年级1班和2班的成绩整理并绘制如图的统计图：
（1）把竞赛成绩统计图补充完整；
（2）根据下表填空： ； ； ；
平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
一班 90
二班 87.6 80
（3）请从平均数和中位数或众数中任选两个对这次竞赛成绩的结果进行分析．
21．（2023七下·遵义期末）某城建公司共有50台渣土运输车，其中甲型20台，乙型30台．现将这台渣土运输车全部配往两工地，其中30台派往A地，20台派往B地．两工地与城建公司商定的每天的租赁价格如下：
甲型渣土车租金 乙型渣土车租金
A地 1800元/台 1600元/台
B地 1600元/台 1800元/台
（1）设派往A地x台甲型渣土运输车，该城建公司这50台渣土车一天获得的租金为y（元），请求出y与x的函数解析式．
（2）若该城建公司这50台渣土运输车一天的租金总额不低于79600元，说明有多少种分派方案，并将各种方案写出．
（3）在（2）的条件下，选择哪种方案该城建公司一天获得租金最多 最多租金是多少 请说明理由．
22．（2023七下·遵义期末）如图1和图2所示，是等腰三角形，，点P是底边上的一个动点（不与A，B重合），连接．
（1）如图2所示，当平分时，求证：．
（2）如图1所示，当时，结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
23．（2023七下·遵义期末）在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．
阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
化简：．
解：隐含条件，解得，
∴，
∴原式．
（1）试化简：；
（2）已知a、b满足，求的值．
24．（2022八下·沂南期末）如图，正方形中，是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线上移动，另一边交于Q．
（1）如图1，当点Q在边上时，探究与所满足的数量关系；
小明同学探究此问题的方法是：过P点作于E点，于F点，根据正方形的性质和角平分线的性质，得出，再证明，可得出结论，他的结论应是 ；并证明该结论．
（2）如图2，当点Q落在的延长线上时，猜想并写出与满足的数量关系，并证明你的猜想．
25．（2023七下·遵义期末）在平面直角坐标系中，我们将横纵坐标都是整数的点叫作整点．以P为顶点向右上方作各边垂直于坐标轴的正方形，若对于直线，此正方形内部（不包括边）有且仅有m个整点在直线上，则称该正方形为直线关于点P的“m类正方形”．
（1）已知点，，，，则正方形为直线关于点P的 类正方形；
（2）若点是整点，正方形的边长为4，正方形为直线关于点P的1类正方形，则点B的坐标是 ；
（3）已知点P是整点且位于直线上．设直线关于点P的“3类正方形”的边长为a，求a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】最简二次根式
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项错误；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选D．
【分析】分别根据轴对称图形与中心对称图形的性质对各选项进行逐一分析即可．本题考查的是轴对称图形，熟知轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合是解答此题的关键．
3．【答案】D
【知识点】勾股数
4．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
5．【答案】C
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】解：人均收入平均数大，方差小，最能体现共同富裕要求.
故答案为：C.
【分析】根据平均数和方差的意义进行解答即可.
6．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
B、原式＝，不符合题意；
C、原式＝9×2＝18，不符合题意；
D、原式＝2，符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的加法、二次根式的除法和二次根式的性质逐项判断即可。
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：设与交于点，
由作图知，，平分，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
故答案为：B．
【分析】先求出，再利用勾股定理求出AB的长即可。
8．【答案】D
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：假设P（ 2，4）在直线y＝kx上，
则4＝ 2k，
∴k＝－2，
∴y＝－2x，
当x＝3时，y＝ 2×3＝－6，可知Q（3，－6）在该直线上，
当x＝1时，y＝ 2×1＝ 2，可知R（1， 2）在该直线上，
当x＝ 2时，y＝ 2×（ 2）＝4，可知S（ 2，6）不在该直线上，
综上可得，不在此直线上的点是S（ 2，6），
故答案为：D．
【分析】先求出函数解析式，再将各点坐标分别代入判断即可。
9．【答案】D
【知识点】三角形的综合
10．【答案】A
【知识点】角的运算；矩形的性质
11．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
12．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
13．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x-3≥0，
解得： .
故答案为：
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此列不等式，解不等式即可得出结果。
14．【答案】B
【知识点】平均数及其计算
15．【答案】（答案不唯一）
【知识点】一次函数的性质
16．【答案】
【知识点】轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
17．【答案】（1）解：错误．出现在第二步，正确解答为：
原式
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
18．【答案】（1）解：如图，直线即为所求；
（2）解：垂直平分线段，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的性质；作图-线段垂直平分线
19．【答案】（1）解：如图2，作，垂足为．
，
；
在中，；
又，
，
；
在和中，
，
；
，
且，，
；
，
，
即到的距离是．
（2）解：由（1）知：，
，
作，垂足为．
，
，
，
即到地面的距离是．
【知识点】全等三角形的应用；线段的计算
20．【答案】（1）解：根据题意得：一班中等级的人数为（人），
补全条形统计图，如图所示：
（2）87.6；90；100
（3）解：一班与二班的平均数相同，但是二班众数为100分，一班众数为90分，
则二班成绩较好．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数
21．【答案】（1）解：∵甲车发A地x台，
∴甲车发B地，乙车发A地台，乙车发B地x台，
，
∴（）；
（2）解：由题意得：，
解得，
或1或2，
故有如下三种方案，
第一种：派往A地的甲车0台，乙车30台；派往B地的甲车20台，乙车0台；
第二种：派往A地的甲车1台，乙车29台；派往B地的甲车19台，乙车1台；
第三种：派往A地的甲车2台，乙车28台；派往B地的甲车18台，乙车2台．
（3）解：∵（），
∴y随x的增大而减小，
∴x取最小值0时，租金最多为80000元，
此时方案为：派往A地乙车30台；派往B地甲车20台．
【知识点】一次函数的实际应用
22．【答案】（1）证明：，平分，
，．
在中，；
（2）解：成立，
证明如下：如图所示，过点C作，垂足为点H．
，
．
在和中，有，．
．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的应用
23．【答案】（1）解：∵则
∴
∴
（2）解：∵，
∴
∴
∴当时，
则解得：，
∵，
∴或
解得：或
∴或
当时，则无解，舍去，
综上：或
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简
24．【答案】（1）解：结论：，理由：过P作，
如图所示：
∵P，C为正方形对角线上的点，
∴平分，，
∴，∴四边形为正方形，
∵，
∴， 在和中，
∴，∴．
（2）解：，理由如下：证明：过P作，∴
∵P，C为正方形对角线上的点，
∴平分，，
∴，
∴四边形为正方形，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】正方形的性质；四边形的综合
【解析】【分析】（1）利用“ASA”证明，再利用全等三角形的性质可得；
（2）方法同（1），先证明，再利用全等三角形的性质可得。
25．【答案】（1）3
（2）或
（3）解：∵直线过点
如图所示：若点是
∵点在直线上，
∴直线关于点的“3类正方形”的边长为，
【知识点】坐标与图形性质
贵州省遵义市2022-2023学年七年级下学期数学期末考试试卷
一、单选题
1．（2023七下·遵义期末）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
2．（2016·邵阳）下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项错误；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选D．
【分析】分别根据轴对称图形与中心对称图形的性质对各选项进行逐一分析即可．本题考查的是轴对称图形，熟知轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合是解答此题的关键．
3．（2023七下·遵义期末）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．6，8，12 B．，1 C．8，15，16 D．9，12，15
【答案】D
【知识点】勾股数
4．（2023七下·遵义期末）在中，若，下列图形中最符合条件的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
5．（2022·深圳模拟）共同富裕的要求是：在消除两极分化和贫穷基础上实现普遍富裕．下列有关个人收入的统计量中，最能体现共同富裕要求的是（ ）
A．平均数小，方差大 B．平均数小，方差小
C．平均数大，方差小 D．平均数大，方差大
【答案】C
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】解：人均收入平均数大，方差小，最能体现共同富裕要求.
故答案为：C.
【分析】根据平均数和方差的意义进行解答即可.
6．（2021八下·营口期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．＝4 C．（）2＝6 D．＝2
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
B、原式＝，不符合题意；
C、原式＝9×2＝18，不符合题意；
D、原式＝2，符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的加法、二次根式的除法和二次根式的性质逐项判断即可。
7．（2022八下·无为期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交AD于点F；分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G：连接AG并延长，交BC于点E．连接BF，若，，则AB的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．8
【答案】B
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：设与交于点，
由作图知，，平分，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
故答案为：B．
【分析】先求出，再利用勾股定理求出AB的长即可。
8．（2022八下·无为期末）已知，，，中有三个点在同一直线上，不在此直线上的点是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】D
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：假设P（ 2，4）在直线y＝kx上，
则4＝ 2k，
∴k＝－2，
∴y＝－2x，
当x＝3时，y＝ 2×3＝－6，可知Q（3，－6）在该直线上，
当x＝1时，y＝ 2×1＝ 2，可知R（1， 2）在该直线上，
当x＝ 2时，y＝ 2×（ 2）＝4，可知S（ 2，6）不在该直线上，
综上可得，不在此直线上的点是S（ 2，6），
故答案为：D．
【分析】先求出函数解析式，再将各点坐标分别代入判断即可。
9．（2023七下·遵义期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点也在格点上，这样的能做出（ ）
A．个 B．个 C． 个 D．个
【答案】D
【知识点】三角形的综合
10．（2023七下·遵义期末）如图，已知在矩形中，对角线，相交于点O，于点E．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算；矩形的性质
11．（2023七下·遵义期末）如图，：和：相交于，则解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
12．（2023七下·遵义期末）如图，在平行四边形中，，于E，于F，交于H，、的延长线交于E，给出下列结论：
①； ②；
③； ④若点F是的中点，则；
其中正确的结论有（ ）．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
二、填空题
13．（2019八下·南浔期末）若二次根式 有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x-3≥0，
解得： .
故答案为：
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此列不等式，解不等式即可得出结果。
14．（2023七下·遵义期末）两台A、B型号的大米自动封装机包装的质量为的袋食品中各封装了10袋大米，测得其实际质量如下表（单位：）：
A
B
由上表可以判断 型号自动封装机性能更好．
【答案】B
【知识点】平均数及其计算
15．（2023七下·遵义期末）已知直线，当时必有，则k的值可以是 （写出满足条件的一个值即可）．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】一次函数的性质
16．（2023七下·遵义期末）在正方形中，，点E、F分别为上一点，且，连接，则的最小值是 ．
【答案】
【知识点】轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
三、解答题
17．（2023七下·遵义期末）计算
（1）下面是小华同学解答题目的过程：
第一步．
第二步．
第三步．
第四步．
小华的解题过程是否有错误 如果有，请指出在第几步出现错误，并从这一步开始写出正确解答过程．
（2）
【答案】（1）解：错误．出现在第二步，正确解答为：
原式
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
18．（2023七下·遵义期末）如图，已知是矩形的对角线．
（1）用直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）连接，若，求的度数．
【答案】（1）解：如图，直线即为所求；
（2）解：垂直平分线段，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的性质；作图-线段垂直平分线
19．（2023七下·遵义期末）新冠过后人们的生活逐渐恢复正常，家长们会选择去自然环境较好的地方“遛娃”．如图所示，是无动力游乐场内一个小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴中心B到地面的距离为．在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到的距离为，点A到地面的距离为；当从A处摆动到处时，有．
（1）求到的距离；
（2）求到地面的距离．
【答案】（1）解：如图2，作，垂足为．
，
；
在中，；
又，
，
；
在和中，
，
；
，
且，，
；
，
，
即到的距离是．
（2）解：由（1）知：，
，
作，垂足为．
，
，
，
即到地面的距离是．
【知识点】全等三角形的应用；线段的计算
20．（2023七下·遵义期末）《中华人民共和国国家安全法》规定，“中华人民共和国公民有维护国家的安全、荣誉和利益的义务，不得有危害国家的安全、荣誉和利益的行为．”2014年4月15日，习近平总书记强调，要准确把握国家安全形势变化新特点新趋势，坚持总体国家安全观，走出一条中国特色国家安全道路．某校为了了解全校学生对国家安全相关知识的掌握情况，特组织了一次国家安全知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分为A、B、C、D四个等级，对应的分数依次为100分、90分、80分、70分．学校将七年级1班和2班的成绩整理并绘制如图的统计图：
（1）把竞赛成绩统计图补充完整；
（2）根据下表填空： ； ； ；
平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
一班 90
二班 87.6 80
（3）请从平均数和中位数或众数中任选两个对这次竞赛成绩的结果进行分析．
【答案】（1）解：根据题意得：一班中等级的人数为（人），
补全条形统计图，如图所示：
（2）87.6；90；100
（3）解：一班与二班的平均数相同，但是二班众数为100分，一班众数为90分，
则二班成绩较好．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数
21．（2023七下·遵义期末）某城建公司共有50台渣土运输车，其中甲型20台，乙型30台．现将这台渣土运输车全部配往两工地，其中30台派往A地，20台派往B地．两工地与城建公司商定的每天的租赁价格如下：
甲型渣土车租金 乙型渣土车租金
A地 1800元/台 1600元/台
B地 1600元/台 1800元/台
（1）设派往A地x台甲型渣土运输车，该城建公司这50台渣土车一天获得的租金为y（元），请求出y与x的函数解析式．
（2）若该城建公司这50台渣土运输车一天的租金总额不低于79600元，说明有多少种分派方案，并将各种方案写出．
（3）在（2）的条件下，选择哪种方案该城建公司一天获得租金最多 最多租金是多少 请说明理由．
【答案】（1）解：∵甲车发A地x台，
∴甲车发B地，乙车发A地台，乙车发B地x台，
，
∴（）；
（2）解：由题意得：，
解得，
或1或2，
故有如下三种方案，
第一种：派往A地的甲车0台，乙车30台；派往B地的甲车20台，乙车0台；
第二种：派往A地的甲车1台，乙车29台；派往B地的甲车19台，乙车1台；
第三种：派往A地的甲车2台，乙车28台；派往B地的甲车18台，乙车2台．
（3）解：∵（），
∴y随x的增大而减小，
∴x取最小值0时，租金最多为80000元，
此时方案为：派往A地乙车30台；派往B地甲车20台．
【知识点】一次函数的实际应用
22．（2023七下·遵义期末）如图1和图2所示，是等腰三角形，，点P是底边上的一个动点（不与A，B重合），连接．
（1）如图2所示，当平分时，求证：．
（2）如图1所示，当时，结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）证明：，平分，
，．
在中，；
（2）解：成立，
证明如下：如图所示，过点C作，垂足为点H．
，
．
在和中，有，．
．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的应用
23．（2023七下·遵义期末）在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．
阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
化简：．
解：隐含条件，解得，
∴，
∴原式．
（1）试化简：；
（2）已知a、b满足，求的值．
【答案】（1）解：∵则
∴
∴
（2）解：∵，
∴
∴
∴当时，
则解得：，
∵，
∴或
解得：或
∴或
当时，则无解，舍去，
综上：或
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简
24．（2022八下·沂南期末）如图，正方形中，是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线上移动，另一边交于Q．
（1）如图1，当点Q在边上时，探究与所满足的数量关系；
小明同学探究此问题的方法是：过P点作于E点，于F点，根据正方形的性质和角平分线的性质，得出，再证明，可得出结论，他的结论应是 ；并证明该结论．
（2）如图2，当点Q落在的延长线上时，猜想并写出与满足的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】（1）解：结论：，理由：过P作，
如图所示：
∵P，C为正方形对角线上的点，
∴平分，，
∴，∴四边形为正方形，
∵，
∴， 在和中，
∴，∴．
（2）解：，理由如下：证明：过P作，∴
∵P，C为正方形对角线上的点，
∴平分，，
∴，
∴四边形为正方形，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】正方形的性质；四边形的综合
【解析】【分析】（1）利用“ASA”证明，再利用全等三角形的性质可得；
（2）方法同（1），先证明，再利用全等三角形的性质可得。
25．（2023七下·遵义期末）在平面直角坐标系中，我们将横纵坐标都是整数的点叫作整点．以P为顶点向右上方作各边垂直于坐标轴的正方形，若对于直线，此正方形内部（不包括边）有且仅有m个整点在直线上，则称该正方形为直线关于点P的“m类正方形”．
（1）已知点，，，，则正方形为直线关于点P的 类正方形；
（2）若点是整点，正方形的边长为4，正方形为直线关于点P的1类正方形，则点B的坐标是 ；
（3）已知点P是整点且位于直线上．设直线关于点P的“3类正方形”的边长为a，求a的取值范围．
【答案】（1）3
（2）或
（3）解：∵直线过点
如图所示：若点是
∵点在直线上，
∴直线关于点的“3类正方形”的边长为，
【知识点】坐标与图形性质