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第4章 相似三角形 单元 达标 训练 试卷（解答卷）
选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）
1．已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
如图，为测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具，
移动竹竿使竹竿和旗杆两者顶端的影子恰好落在地面的同一点A，此时，竹竿与点A相距8m，
与旗杆相距22m，则旗杆的高为（ ）
A．6m B．8.8m C．12m D．15m
【答案】C
3．如图，在中，点D为AC边上一点，则CD的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，
光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，
已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是（ ）
A．6米 B．8米 C．18米 D．24米
【答案】B
5.如图，在中，．将沿图示中的虚线剪开，
剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
6..如图，平行四边形ABCD中，点为中点，若的面积为1，则的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
7.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，
设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上.
已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，
则树高是（ ）
A．4米 B．4.5米 C．5米 D．5.5米
【答案】D
8．如图，平行四边形中，为的中点，已知的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
9．现有一张Rt△ABC纸片，直角边BC长为12cm，另一直角边AB长为24cm．现沿BC边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（ ）
A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
【答案】C
10 . 如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．
将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：
①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG//CF；④S△FGC=3．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
填空题（本大题共有8个小题，每小题3分，共24分）
11．已知，则 ．
【答案】
12.如图，，交于点O，且，，，当_______时，．
【答案】
13．如图，点D是△ABC边AB上的一点，AD＝2BD＝2，当AC＝ 时，△ACD∽△ABC．
【答案】
14．如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是____________
【答案】①和③
15．如图，在矩形中，若，，则 ．
【答案】
16,如图，在等边中，点D，E分别是上的点，，则______
【答案】
17 .人的上半身长与下半身长的比约为（黄金比），这时人的身长比例看上去更美观．
小明的妈妈身长情况如图所示，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，根据“黄金比”，
她购买的高跟鞋鞋跟最合适的高度是 （结果精确到）．
【答案】
如图，中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，
点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与相似时，运动时间为
【答案】秒或4秒
三、解答题（本大题共有6个小题，共46分）
19．如图，在Rt△ABC中，∠A=90 ，AB=6，BC=10，D是AC上一点，CD=5，DE⊥BC于E，
求线段DE的长.
解：∵∠C=∠C，∠A=∠DEC，
∴△DEC∽△BAC，
则
解得：DE=3.
20．已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，且∠B=∠ACD．求证：AC2=AD AB．
证明：在△ABC和△ACD中，
∵∠A＝∠A，∠B＝∠ACD，
∴ △ABC ∽△ACD ，
∴ ，
∴ .
21．如图，虎门外语学校九（9）班身高的班长，站在距路灯杆的点处，
测得她在灯光下的影长为，求路灯的高度．
解：如图：
由题意得：，，
，
，
，
，
，经检验符合题意，
解得：，
路灯的高度为．
22．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，
交AD的延长线于点E，交DC于点N．
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，
∴∠AMB=∠EAF，
又∵EF⊥AM，
∴∠AFE=90°，
∴∠B=∠AFE，
∴△ABM∽△EFA；
（2）∵∠B=90°，AB=12，BM=5，
∴AM==13，AD=12，
∵F是AM的中点，
∴AF=AM=6.5，
∵△ABM∽△EFA，
∴，
即，
∴AE=16.9，
∴DE=AE－AD=4.9．
23.△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，
△EDF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，
线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．
（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；
（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；
（3）在（2）的条件下，BP=2，CQ=9，求BC的长
解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°，AB=AC，
∵AP=AQ，∴BP=CQ，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
在△BPE和△CQE中，∵，
∴△BPE≌△CQE（SAS）；
如下图，连接PQ，
∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=∠DEF=45°，
∵∠BEQ=∠EQC+∠C，
即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，
∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，
∴∠BEP=∠EQC，
∴△BPE∽△CEQ；
∵△BPE∽△CEQ
∴
∵BP=2，CQ=9，BE=CE
∴
∴BE=CE=
∴BC=．
24．【提出问题】
（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），
连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．
【类比探究】
如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），
其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．
【拓展延伸】
如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），
连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．
连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．
解：（1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°．
∴∠BAM=∠CAN．
∵在△BAM和△CAN中，，
∴△BAM≌△CAN（SAS）．
∴∠ABC=∠ACN．
（2）结论∠ABC=∠ACN仍成立．理由如下：
∵△ABC、△AMN是等边三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°．
∴∠BAM=∠CAN．
∵在△BAM和△CAN中，，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴∠ABC=∠ACN．
（3）∠ABC=∠ACN．理由如下：
∵BA=BC，MA=MN，顶角∠ABC=∠AMN，
∴底角∠BAC=∠MAN，
∴△ABC∽△AMN，
∴，
又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，
∴∠BAM=∠CAN，
∴△BAM∽△CAN，
∴∠ABC=∠ACN．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第4章 相似三角形 单元 达标 训练 试卷
选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）
1．已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
如图，为测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具，
移动竹竿使竹竿和旗杆两者顶端的影子恰好落在地面的同一点A，此时，竹竿与点A相距8m，
与旗杆相距22m，则旗杆的高为（ ）
A．6m B．8.8m C．12m D．15m
3．如图，在中，点D为AC边上一点，则CD的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，
光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，
已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是（ ）
A．6米 B．8米 C．18米 D．24米
5.如图，在中，．将沿图示中的虚线剪开，
剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A．B．C．D．
6..如图，平行四边形ABCD中，点为中点，若的面积为1，则的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
7.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，
设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上.
已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，
则树高是（ ）
A．4米 B．4.5米 C．5米 D．5.5米
8．如图，平行四边形中，为的中点，已知的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．现有一张Rt△ABC纸片，直角边BC长为12cm，另一直角边AB长为24cm．
现沿BC边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图．
已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（ ）
A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
10 . 如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．
将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：
①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG//CF；④S△FGC=3．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
填空题（本大题共有8个小题，每小题3分，共24分）
11．已知，则 ．
12.如图，，交于点O，且，，，当_______时，．
13．如图，点D是△ABC边AB上的一点，AD＝2BD＝2，当AC＝ 时，△ACD∽△ABC．
14．如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是____________
15．如图，在矩形中，若，，则 ．
16,如图，在等边中，点D，E分别是上的点，，则______
17 .人的上半身长与下半身长的比约为（黄金比），这时人的身长比例看上去更美观．
小明的妈妈身长情况如图所示，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，根据“黄金比”，
她购买的高跟鞋鞋跟最合适的高度是 （结果精确到）．
如图，中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，
点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与相似时，运动时间为
三、解答题（本大题共有6个小题，共46分）
19．如图，在Rt△ABC中，∠A=90 ，AB=6，BC=10，D是AC上一点，CD=5，DE⊥BC于E，
求线段DE的长.
20．已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，且∠B=∠ACD．求证：AC2=AD AB．
.
21．如图，虎门外语学校九（9）班身高的班长，站在距路灯杆的点处，
测得她在灯光下的影长为，求路灯的高度．
22．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，
交AD的延长线于点E，交DC于点N．
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．
23.△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，
△EDF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，
线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．
（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；
（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；
（3）在（2）的条件下，BP=2，CQ=9，求BC的长
24．【提出问题】
（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），
连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．
【类比探究】
如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），
其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．
【拓展延伸】
如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），
连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．
连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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