卷子答案网-一个不只有答案的网站4 探索三角形相似的条件
第4课时 黄金分割
测试时间:20分钟
一、选择题
1.(2023山东济南汇才学校期中)已知点C是线段AB的黄金分割点,且AC>BC,AB=2,则AC为 ( )
A. D.0.618
2.已知点C把线段AB分成两条线段AC、BC,且AC>BC,下列说法错误的是 ( )
A.如果,那么线段AB被点C黄金分割
B.如果AC2=AB·BC,那么线段AB被点C黄金分割
C.如果线段DE被点F黄金分割,那么DF与DE的比叫做黄金比
D.0.618是黄金比的近似值
3.矩形相邻两边的长分别为a、b,下列能构成黄金矩形的是 ( )
A.a=4,b=+2 B.a=4,b=-2 C.a=2,b=+2 D.a=2,b=-1
4.(2023广东深圳模拟)某品牌20寸的行李箱把拉杆拉开后放置如图所示,经测量该行李箱从轮子底部到箱子上沿的高度AB与从轮子底部到拉杆顶部的高度CD之比是黄金比(约等于0.618).已知CD=80 cm,则AB约是 ( )
A.30 cm B.49 cm C.55 cm D.129 cm
二、填空题
5.在某一温度中,人体的新陈代谢水平处于最佳状态,这个温度与人体的正常体温(37 ℃)的比值正好是黄金比,那么这个使人新陈代谢水平处于最佳状态的温度约是 ℃.(精确到0.1 ℃)
6.(2023广东深圳贤义外国语学校期中)如图,在某校的新年晚会中,舞台AB的长为20米,主持人站在点C处自然得体,已知点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点,则此时主持人与点A的距离为 米.
7.五角星是我们生活中常见的一种图形,在如图所示的正五角星中,点C,D为线段AB的黄金分割点,已知黄金比为,且AB=2,则图中五边形CDEFG的周长为 .
三、解答题
8.(2023广西凤山期中)在设计人体雕像时,使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部(全身)的高度比,可以增加视觉美感,按比例,如果雕像的高为2 m,那么它的下部设计高度约为多少 (结果保留小数点后两位,参考数据:≈1.414,≈1.732,≈2.236)
9.如图,在△ABC中,点D在边AB上,且BD=DC=AC,已知△ABC的外角∠ACE=108°,BC=2.
(1)求∠B的度数;
(2)我们把顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形,其底边长与腰长的比等于黄金比.
①写出图中所有的黄金三角形,选一个说明理由;
②求AD的长.
10.【数学文化】(2023山西平陆期末)阅读下列材料,并按要求完成相应的任务:
古希腊数学家欧多克索斯(Eudoxus,约公元前400年—公元前347年)发现:如图1,将一条线段AB分割成长、短两条线段AP、PB,若短段的长度与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比,即(此时线段AP叫做线段PB,AB的比例中项),则可得出这一比值等于(0.618…).这种分割称为黄金分割,这个比值称为黄金比,点P叫做线段AB的黄金分割点.
采用如下方法可以得到黄金分割点:如图2,设AB是已知线段,经过点B作BD⊥AB于点B,且使BD=AB,连接DA,在DA上截取DE=DB,在AB上截取AC=AE,C就是线段AB的黄金分割点.
任务:(1)求证:点C是线段AB的黄金分割点;
(2)若BD=1,则BC的长为 .
答案全解全析
一、选择题
1.答案 A ∵点C是线段AB的黄金分割点,且AC>BC,∴AC=AB,
∵AB=2,∴AC=-1.故选A.
2.答案 C 根据黄金分割的定义可知A、B、D中说法正确;C.如果线段DE被点F黄金分割(DF>EF),那么DF与DE(或EF与DF)的比叫做黄金比,所以C中说法错误.故选C.
3.答案 D 宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形,D中,,∴D符合题意,故选D.
4.答案 B 由题意可得,≈0.618,CD=80 cm,解得AB≈49 cm,
故选B.
二、填空题
5.答案 22.9
解析 根据题意得37×0.618≈22.9 ℃.故答案为22.9.
6.答案 (10-10)
解析 ∵点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点,AB=20米,
∴AC=×20=(10-10)米.
7.答案 10-20
解析 ∵点C,D为线段AB的黄金分割点,
∴AC=BD=-1,∴BC=AB-AC=3-,
∴CD=BD-BC=(-1)-(3-)=2-4,
∴五边形CDEFG的周长=5×(2-4)=10-20.
故答案为10-20.
三、解答题
8.解析 设下部设计高度应为x米,则上部的高度为(2-x)米,
根据题意得,,
整理得,x2+2x-4=0,
解得x1=-1+,x2=-1-(舍去),
∴雕像的下部高度应设计为-1+≈1.24(米).
答:如果雕像的高为2 m,那么它的下部设计高度约为1.24米.
9.解析 (1)设∠B=x,∵BD=DC,∴∠DCB=∠B=x,
∴∠ADC=∠B+∠DCB=2x,
∵AC=DC,∴∠A=∠ADC=2x,
∵∠ACE=∠B+∠A=108°,∴x+2x=108°,
解得x=36°,即∠B的度数为36°.
(2)①△ABC、△CAD是黄金三角形.理由如下:
∵∠BCA=180°-∠ACE=72°,∠A=2×36°=72°,
∴∠A=∠ACB,∴AB=BC,
又∠B=36°,∴△ABC为黄金三角形.
∵∠ACD=∠ACB-∠DCB=72°-36°=36°,CA=CD,
∴△CAD为黄金三角形.
②∵△ABC为黄金三角形,∴,
∵BC=2,∴AC=-1,AB=2,
∴BD=-1,
∴AD=AB-BD=2-(-1)=3-.
10.解析 (1)证明:设BD=x(x>0),则AB=2x,由勾股定理得AD=x,
∵DE=BD,AE=AC,∴AC=AE=AD-DE=AD-BD=(-1)x,
∴,∴点C是线段AB的黄金分割点.
(2)3-.
详解:当BD=1时,由(1)知AB=2,AC=-1,
∴BC=AB-AC=2-(-1)=3-,
故答案为3-.4 探索三角形相似的条件
第2课时 相似三角形的判定定理2
测试时间:20分钟
一、选择题
1.如图所示,已知△ABC,则下列各项中与△ABC相似的是 ( )
A B C D
2.如图,△ABC中,∠A=78°,AB=6,AC=9,将△ABC沿选项中的虚线剪开,剪下的三角形(阴影部分)与原三角形不相似的是 ( )
A B C D
3.如图,D为△ABC的边BC上一点,要使△ABD∽△CBA,应该具备下列条件中的 ( )
A.
4.(2022河北邯郸永年期中)如图,在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,下列条件中能判断△ABC∽△AED的是 ( )
①∠AED=∠B;②∠ADE=∠C;③;④.
A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④
二、填空题
5.(2021四川南充中考)如图,在△ABC中,D为BC上一点,BC=AB=3BD,则AD∶AC的值为 .
6.(2021江苏盐城期末)如图,△ABC中,AB=3,AC=4,D是AB的中点,在边AC上确定点E的位置,使得△ADE∽△ACB,则AE的长为 .
7.如图,在矩形ABCD中,AD=2,AB=5,P为CD边上的动点.当△ADP与△BCP相似时,DP的长为 .
三、解答题
8.(2022陕西武功期中)如图,已知∠BAC=∠EAD,AB=24,AC=48,AE=17,AD=34,求证:△ABC∽△AED.
9.如图,点C,D在线段AB上,△PCD是等边三角形,且AC=1,CD=2,DB=4.求证:△ACP∽△PDB.
10.(2021辽宁沈阳和平期末)如图,AB⊥BD,CD⊥BD,AB=9,CD=1,BD=6,点E在BD上移动,当以C,D,E为顶点的三角形与△ABE相似时,求DE的长.
答案全解全析
一、选择题
1.答案 D 因为AB=AC=6,∠B=75°,所以∠B=∠C=75°,所以∠A=30°,
选项D中的三角形与△ABC满足两边成比例且夹角相等,
所以选项D中的三角形与△ABC相似,故选D.
2.答案 C A.阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故本选项不符合题意;
B.阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故本选项不符合题意;
C.阴影部分的三角形与原三角形各边的比不相等,故两三角形不相似,故本选项符合题意.
D.阴影部分的三角形与原三角形的两边成比例且夹角相等,故两三角形相似,故本选项不符合题意.故选C.
3.答案 C 当时,∵∠B=∠B,∴△ABD∽△CBA.故选C.
4.答案 B ∵∠A=∠A,∴当∠AED=∠B或∠ADE=∠C时,△ABC∽△AED.
∵,∴,又∵∠A=∠A,∴△ABC∽△AED.
④的条件无法判断△ABC∽△AED.
故添加条件①②③后可以判断△ABC∽△AED,故选B.
二、填空题
5.答案
解析 ∵BC=AB=3BD,∴,
∵∠B=∠B,∴△ABC∽△DBA,
∴,∴AD∶AC=,
故答案为.
6.答案
解析 ∵AB=3,D是AB的中点,∴AD=,
当△ADE∽△ACB时,AE∶AB=AD∶AC,即AE∶3=∶4,
∴AE=,故答案为.
7.答案 1或4或2.5
解析 ①当△APD∽△PBC时,,即,解得PD=1或PD=4,
经检验,PD=1,PD=4都是原方程的解,且符合题意;
②当△PAD∽△PBC时,,即,解得PD=2.5,
经检验,PD=2.5是原方程的解,且符合题意.
综上所述,当△ADP与△BCP相似时,DP的长是1或4或2.5.
三、解答题
8.证明 ∵AB=24,AC=48,AE=17,AD=34,
∴,∴,
又∵∠BAC=∠EAD,∴△ABC∽△AED.
9.证明 ∵△PCD是等边三角形,
∴∠PCD=∠PDC=60°,PC=CD=PD=2,
∴∠PCA=∠PDB=120°.
∵AC=1,BD=4,∴,,
∴,
∴△ACP∽△PDB.
10.解析 设DE=x,则BE=BD-DE=6-x,
∵AB⊥BD,CD⊥BD,∴∠B=∠D=90°.
当时,△ABE∽△CDE,则,解得x=;
当时,△ABE∽△EDC,则,整理得x2-6x+9=0,
解得x1=x2=3.
故当DE的长为或3时,以C,D,E为顶点的三角形与△ABE相似.4 探索三角形相似的条件
第3课时 相似三角形的判定定理3
测试时间:20分钟
一、选择题
1.(2022辽宁盘锦大洼期末)已知△ABC三边的长分别为1,,,△DEF三边的长分别为,,,则△ABC与△DEF ( )
A.一定相似 B.一定不相似
C.不一定相似 D.无法判定是否相似
2.把△ABC的各边长分别扩大为原来的2倍,得到△A1B1C1,下列结论不能成立的是 ( )
A.△ABC∽△A1B1C1
B.△ABC与△A1B1C1的角分别相等
C.△ABC与△A1B1C1的相似比为
D.△ABC与△A1B1C1的相似比为
3.(2023河北师大附属实验中学期末)下列选项中的三角形与如图所示的三角形相似的是 ( )
A B C D
4.已知△ABC的三边长分别为6 cm,7.5 cm,9 cm,△DEF的一边长为4 cm,当△DEF的另两边长是下列哪一组时,这两个三角形相似 ( )
A.2 cm,3 cm B.4 cm,5 cm
C.5 cm,6 cm D.6 cm,7 cm
5.一个三角形木架的三边长分别是75 cm,100 cm,120 cm,现要再做一个与其相似的三角形木架,而只有长为60 cm和120 cm的两根木条.要求以其中一根木条为一边,从另一根木条上截下两段作为另两边(允许有余料),则不同的截法有 ( )
A.一种 B.两种 C.三种 D.四种
二、填空题
6.学习相似三角形的相关内容后,张老师请同学们交流这样一个问题:“如图,在正方形网格中有△A1B1C1和△A2B2C2,这两个三角形是否相似 ”你认为△A1B1C1和△A2B2C2 (填“相似”或“不相似”),理由是 .
7.(2021北京通州期中)△ABC三边的长分别为,,2,△A'B'C'两边的长分别为1,,要使△ABC∽△A'B'C',那么△A'B'C'第三条边的长是 .
三、解答题
8.如图,点E、D、F分别是△ABC的边AB、BC、CA上的中点,连接ED、DF、EF得到△DEF,△DEF与△ABC相似吗 为什么
9.如图,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点F,点E在BD上,且.
(1)∠1与∠2相等吗 为什么
(2)判断△ABE与△ACD是否相似,并说明理由.
10.学习了“探索三角形相似的条件”后,我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得的经验,继续探索两个直角三角形相似的条件.
(1)“对于两个直角三角形,满足一边、一锐角分别相等或两直角边分别相等,这两个直角三角形全等”.类似地,可以得到“满足 或
的两个直角三角形相似”;
(2)“满足斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”.类似地,可以得到“满足 的两个直角三角形相似”.
请结合下列所给图形,写出已知,并证明.
已知:如图, .
求证:Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.
答案全解全析
一、选择题
1.答案 A 因为,所以△ABC与△DEF一定相似.故选A.
2.答案 C 因为把△ABC的各边长都分别扩大为原来的2倍,得到△A1B1C1,
所以△A1B1C1与△ABC的各边成比例,所以△A1B1C1与△ABC相似,且△ABC与△A1B1C1的相似比为1∶2.
故选C.
3.答案 B 假设网格中每个小正方形的边长均为1,所以已知三角形的三边长分别为,2,,
A选项中的三角形的三边长分别为2,,3,
因为,所以A选项不符合题意;
B选项中的三角形的三边长分别为2,4,2,
因为,所以B选项中的三角形与已知三角形相似;
C选项中的三角形的三边长分别为2,3,,
因为,所以C选项不符合题意;
D选项中的三角形的三边长分别为,,4,
因为,所以D选项不符合题意.
故选B.
4.答案 C 设△DEF的另两边长分别为x cm,y cm(x
则,解得x=5,y=6;
若△DEF中边长为4 cm的边与△ABC中边长为7.5 cm的边是对应边,
则,解得x=3.2,y=4.8;
若△DEF中边长为4 cm的边与△ABC中边长为9 cm的边是对应边,
则,解得x=,y=.故选C.
5.答案 B 因为三角形两边之和大于第三边,所以长120 cm的木条不能作为一边,
设从120 cm的木条上截下的两段的长分别为x cm,y cm(x
当新三角形木架中长60 cm的木条与原三角形木架中长为100 cm的边相对应时,,
解得x=45,y=72;
当新三角形木架中长60 cm的木条与原三角形木架中长为120 cm的边相对应时,,
解得x=37.5,y=50.
综上,有两种不同的截法:把120 cm的木条截成45 cm、72 cm两段或把120 cm的木条截成37.5 cm、50 cm两段.
故选B.
二、填空题
6.答案 相似;
解析 设每个小正方形的边长为1,则A1C1=4,A2C2=2,
由勾股定理,得A1B1=,B1C1=,
A2B2=,B2C2=,
∴=2,=2,=2,
∴=2,
∴△A1B1C1∽△A2B2C2.
7.答案
解析 ∵△ABC三边的长分别为,,2,∴△ABC三边的长之比为1∶,
∵△A'B'C'两边的长分别为1和,△ABC∽△A'B'C',
∴△A'B'C'第三条边的长为.
三、解答题
8.解析 △DEF与△ABC相似.理由如下:
∵点E、D、F分别为AB、BC、CA的中点,
∴DE、DF、EF为△ABC的中位线,∴DE=AC,DF=AB,EF=BC,
∴,∴△DEF与△ABC相似.
9.解析 (1)∠1与∠2相等.理由如下:
在△ABC和△AED中,∵,
∴△ABC∽△AED,∴∠BAC=∠EAD,
∴∠BAC-∠EAF=∠EAD-∠EAF,即∠1=∠2.
(2)△ABE与△ACD相似.理由如下:
∵,∴.
又∵∠1=∠2,∴△ABE∽△ACD.
10.解析 (1)一个锐角相等;两直角边成比例.
(2)斜边和一条直角边成比例;在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,.
证明:设=k(k>0),则AB=kA'B',AC=kA'C'.
在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,
=k,
∴,∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.4 探索三角形相似的条件
第1课时 相似三角形的判定定理1
测试时间:20分钟
一、选择题
1.(2023辽宁大连中山期中)如图,D、E分别是△ABC边AB、AC上的点,∠ADE=∠ACB,若AD=4,AB=12,AC=8,则AE的长是 ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
2.已知△ABC中,∠A=40°,∠B=75°,下图各三角形中与△ABC相似的是 ( )
A.① B.② C.①② D.①②③
3.(2022河南汝阳期末)如图,在Rt△ABC中,∠CAB=90°,AD⊥BC.在图中的三角形中,两两相似的三角形的对数为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
4.(2021陕西子洲期中)如图,平行四边形ABCD中,F是CD上一点,连接BF并延长,交AD的延长线于点G,交AC于E,则图中的相似三角形共有 ( )
A.8对 B.6对 C.4对 D.2对
二、填空题
5.(2022湖南邵阳中考)如图,在△ABC中,点D在AB边上,点E在AC边上,请添加一个条件 ,使△ADE∽△ABC.
6.(2022山东聊城莘县甘泉路中学月考)如图,在平行四边形ABCD中,点E是边AD上一点,且AE=2ED,EC交对角线BD于点F,则等于 .
三、解答题
7.(2023山东济南长清期中)如图,在△ABC中,D、E分别是边AB、AC上的点,连接DE,且∠AED=∠B,AD=6,AB=8,AC=10,求AE的长.
8.(2022陕西武功期中)如图,已知AB∥CD,AD,BC相交于点O,若OA=2,OD=4,AB=3.
(1)求证:△AOB∽△DOC;
(2)求线段CD的长.
9.(2021陕西西安交大附中航天学校月考)如图,在等边三角形ABC中,点E,D分别在BC,AB上,且∠AED=60°,求证:△AEC∽△EDB.
10.(2021山东济南槐荫期中)如图,正方形ABCD的边长为6,点E是AB边上的一个动点,过点E作EF⊥DE交BC边于点F,当BE=2AE时,求BF的长.
答案全解全析
一、选择题
1.答案 C ∵∠A=∠A,∠ADE=∠ACB,∴△ADE∽△ACB,
∴,∴,∴AE=6.故选C.
2.答案 C ∵∠A=40°,∠B=75°,∴∠C=180°-40°-75°=65°.
①在△EDF中,
∠E=∠A=40°,∠D=∠C=65°,
∴△EFD∽△ABC.
②在△HGK中,
∠H=180°-∠G-∠K=∠A=40°,∠G=∠B=75°,
∴△HGK∽△ABC.
另外一个三角形不与△ABC相似.
故选C.
3.答案 B ∵AD⊥BC,∴∠ADC=∠ADB=90°,∴∠CAB=∠ADC=90°.
又∵∠C=∠C,∴△ADC∽△BAC,同理△ADB∽△CAB,
∴△ADC∽△BAC∽△BDA.故图中共有3对三角形相似,故选B.
4.答案 B ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD,
∴△BEC∽△GEA,△ABE∽△CFE,△GDF∽△GAB,△DGF∽△CBF,
∴△GAB∽△BCF,另外还有△ABC∽△CDA,共有6对相似三角形.故选B.
二、填空题
5.答案 ∠ADE=∠B(答案不唯一)
解析 可添加条件为∠ADE=∠B(答案不唯一),
∵∠A=∠A,∠ADE=∠B,
∴△ADE∽△ABC.(两角分别相等的两个三角形相似)
6.答案
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∵AE=2DE,
∴AD=3DE,
∵AD∥BC,∴∠EDF=∠CBF,∠FED=∠FCB,
∴△DEF∽△BCF,
∴,
故答案为.
三、解答题
7.解析 ∵∠AED=∠B,∠A=∠A,
∴△ADE∽△ACB,
∴AD∶AC=AE∶AB,
而AD=6,AB=8,AC=10,
∴6∶10=AE∶8,
∴AE=4.8.
8.解析 (1)证明:∵AB∥CD,∴∠A=∠D,∠B=∠C,
∴△AOB∽△DOC.
(2)∵△AOB∽△DOC,∴,
∵OA=2,OD=4,AB=3,
∴,解得CD=6.
9.证明 ∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠C=60°,∴∠CAE+∠AEC=120°,
∵∠AED=60°,∴∠BED+∠AEC=180°-60°=120°,
∴∠CAE=∠BED,∴△AEC∽△EDB.
10.解析 ∵四边形ABCD是正方形,
∴∠A=∠B=90°,∴∠ADE+∠AED=90°,
∵EF⊥DE,∴∠DEF=90°,
∴∠AED+∠BEF=180°-∠DEF=90°,∴∠ADE=∠BEF,
∴△DAE∽△EBF,∴.
∵正方形ABCD的边长为6,BE=2AE,
∴AD=6,AE=2,BE=4,则,∴BF=.
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