卷子答案网-一个不只有答案的网站2022-2023学年高二（下）期末数学试卷
一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|x（x﹣2），则A∩B＝（ ）
A．{﹣1} B．{1} C．{0，1} D．{﹣1，0}
2．（5分）设命题q： x0＜0，cosx0＜1+sinx0，则￢q为（ ）
A． x≥0，cosx＞1+sinx B． x＜0，cosx＜1+sinx
C． x≥0，cosx≥1+sinx D． x＜0，cosx≥1+sinx
3．（5分）下列有关事件的说法正确的是（ ）
A．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大
B．若P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝1，则事件A，B为对立事件
C．若A，B为互斥事件，则P（A）+P（B）≤1
D．若事件A，B，C满足条件P（B）＞0，A和C为互斥事件，则P（（A∪C）|B）＜P（A|B）+P（C|B）
4．（5分）已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡．若顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲、乙结账方式不同，那么他们结账方式的组合种数共有（ ）
A．36种 B．30种 C．24种 D．20种
5．（5分）设随机变量X～B（10，p），且满足D（X）＝2.1，P（X＝4）（X＝6），则p＝（ ）
A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3
6．（5分）已知x＝5log323，，，则（ ）
A．y＜x＜z B．z＜y＜x C．x＜z＜y D．z＜x＜y
7．（5分）某次考试共有8道单选题，某学生对其中7道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题目每道做对的概率为0.6，只好任意猜一个答案，猜对的概率为0.25．若从这8道题中任选2道（ ）
A．0.27 B．0.0375 C．0.3075 D．0.3175
8．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，值域为（0，+∞）（x﹣y）f（x+y）＝f2（x），，函数g（x）＝f（x）（﹣x）的最小值为2，则＝（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多个项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）下列命题正确的是（ ）
A．若a＞b，则a2＞b2
B．x2＝1是x＝1的充分不必要条件
C． x∈R，log2x＝﹣1
D．设A，B为两个集合，若A不包含于B，则 x∈A，使得x B
（多选）10．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）是定义在R上的偶函数（x），g（x）在（﹣∞，0]单调递增，则（ ）
A．f（f（1））＞f（f（2）） B．f（g（1））＞f（g（2））
C．g（f（1））＞g（f（2）） D．g（g（1））＞g（g（2））
（多选）11．（5分）某地区高三女生的“50米跑”测试成绩ξ（单位：秒）服从正态分布N（9，σ2），且P（ξ≤8）＝0.2．从该地区高三女生的“50米跑”测试成绩中随机抽取5个（8，10）内的个数记为X，则下列说法正确的有（ ）
A．P（8＜ξ＜10）＝0.6 B．
C．E（X）＝3 D．P（X≥1）＞0.9
（多选）12．（5分）如图是导函数y＝f′（x）的导函数的图像，则下列说法正确的是（ ）
A．函数y＝f（x）在区间（a，x2）上单调递增
B．函数y＝f（x）在区间（x4，b）上单调递减
C．函数y＝f（x）在x6处取极小值
D．函数y＝f（x）在x2处取极大值
三、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在题中横线上.
13．（5分）“石头、剪刀、布”是民间广为流传的游戏，游戏时双方每次任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种，那么游戏时“双方所出的手势相同”的概率为 ．
14．（5分）设函数，则f（2023）＝ ．
15．（5分）如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ，Ⅲ构成，Ⅱ，Ⅲ的概率分别为0.15，0.23，则不命中靶的概率是 ．
16．（5分）盲盒常指装有不同公仔手办，但消费者不能提前得知款式的盒装玩具，一般按系列贩售．它的随机性和一些隐藏款吸引着很多年轻人重复购买．小明购买了7个冰墩墩单只盲盒，要求相同的摆件不相邻．若相同摆件视为相同元素，则一共有 种摆放方法．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知．
（1）求的值；
（2）求a1+2a2+3a3+…+9a9的值．
18．（12分）作为一种益智游戏，中国象棋具有悠久的历史，中国象棋的背后，某地举办了一次地区性的中国象棋比赛，李夏作为选手参加．除李夏以外的其他参赛选手中，30%是二类棋手，其余的是三类棋手．李夏与一、三、三类棋手比赛获胜的概率分别是0.2、0.4和0.5．
（1）从参赛选手中随机选取一位棋手与李夏比赛，求李夏获胜的概率；
（2）如果李夏获胜，求与李夏比赛的棋手为一类棋手的概率．
19．（12分）已知函数f（x）＝x3+ax2+b．
（1）若f（x）在x＝1处的切线方程为y＝5x﹣4，求实数a；
（2）记g（x）＝f（x）+ax2+a2x，若g（x）在x＝﹣1时有极值0，b的值．
20．（12分）近几年我国新能源汽车产业发展迅速．下表是某省新能源汽车的年销售量与年份的统计表：
年份 2018 2019 2020 2021 2022
年销售量（万台） 13 22 25 20 40
某机构调查了该省200位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如表所示：
购置传统燃油汽车 购置新能源汽车 总计
男性车主 30 150
女性车主 30
总计 200
（1）求新能源汽车的销售量y关于年份x的样本相关系数r，并推断y与x的相关程度；
（2）请将上述2×2列联表补充完整，并根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验，判断购车车主购置新能源汽车是否与性别有关．
参考公式：相关系数，
卡方统计量，其中n＝a+b+c+d．
参考数据：，若|r|＞0.75，则可判断y与x相关程度很强．
附表：
α 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
xα 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
21．（12分）据世界田联官方网站消息，原定于2023年5月13、14日在中国广州举办的世界田联接力赛延期至2025年4月至5月举行．据了解，甲、乙、丙三支队伍将会参加2025年4月至5月在广州举行的4×400米接力的角逐．接力赛分为预赛、半决赛和决赛和；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和．
（1）甲、乙、丙三队中，谁进入决赛的可能性最大；
（2）设甲、乙、丙三队中进入决赛的队伍数为ξ，求ξ的分布列．
22．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣ax，其中a为实数．
（1）若a＝e，求函数f（x）的最小值．
（2）若方程f（x）＝0有两个实数解x1，x2（x1＜x2），求证：．
2022-2023学年高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|x（x﹣2），则A∩B＝（ ）
A．{﹣1} B．{1} C．{0，1} D．{﹣1，0}
【分析】根据不等式的解法求得集合B＝{x|0＜x＜2}，结合集合交集的运算，即可求解．
【解答】解：B＝{x|x（x﹣2）＜0}＝{x|3＜x＜2}，又A＝{﹣1，2，
∴A∩B＝{1}．
故选：B．
【点评】本题考查交集及其运算，是基础题．
2．（5分）设命题q： x0＜0，cosx0＜1+sinx0，则￢q为（ ）
A． x≥0，cosx＞1+sinx B． x＜0，cosx＜1+sinx
C． x≥0，cosx≥1+sinx D． x＜0，cosx≥1+sinx
【分析】将存在量词命题的否定为全称量词命题即可
【解答】解：因为命题q： x0＜0，cosx4＜1+sinx0，
所以 q为 x＜2，cosx≥1+sinx．
故选：D．
【点评】本题主要考查了含有量词的命题的否定，属于基础题．
3．（5分）下列有关事件的说法正确的是（ ）
A．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大
B．若P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝1，则事件A，B为对立事件
C．若A，B为互斥事件，则P（A）+P（B）≤1
D．若事件A，B，C满足条件P（B）＞0，A和C为互斥事件，则P（（A∪C）|B）＜P（A|B）+P（C|B）
【分析】根据互斥事件、对立事件和条件概率的定义与计算，逐项判定，即可求解．
【解答】解：对于A中，若事件A和B都为不可能事件，所以A错误；
对于B中，若在不同试验下，但事件A和B不对立，说明事件A和B对立；
对于C中，若A，且A，则P（A）+P（B）＝1，
若A，B不对立，所以C正确；
对于D中，若事件A，B，A和C为互斥事件，
则P（（A C）|B）＝P（A|B）+P（C|B），所以D错误．
故选：C．
【点评】本题考查条件概率相关知识，属于中档题．
4．（5分）已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡．若顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲、乙结账方式不同，那么他们结账方式的组合种数共有（ ）
A．36种 B．30种 C．24种 D．20种
【分析】根据题意，依次分析四人的结账方式，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析四人的结账方式：
对于甲，只会用现金结账，
对于乙，只会用现金和银联卡结账，
对于丙，与甲，若乙用现金，若乙用银行卡，
对于丁，用哪种结账方式都可以，
则他们结账方式的组合有3×4+3×4＝20种，
故选：D．
【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，属于基础题．
5．（5分）设随机变量X～B（10，p），且满足D（X）＝2.1，P（X＝4）（X＝6），则p＝（ ）
A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3
【分析】利用二项分布的方差公式求出p，再根据概率不等式判断作答．
【解答】解：因为随机变量X～B（10，p），
则D（X）＝10p（1﹣p）＝2.8，即p2﹣p+0.21＝7，解得p＝0.7或p＝3.3，
由P（X＝4）＜P（X＝5），得，即（7﹣p）2＜p2，解得，
所以p＝5.7．
故选：A．
【点评】本题主要考查二项分布的方差公式，属于基础题．
6．（5分）已知x＝5log323，，，则（ ）
A．y＜x＜z B．z＜y＜x C．x＜z＜y D．z＜x＜y
【分析】利用对数运算性质化简x、y、z，再用作商法比较大小．
【解答】解：因为x＝5log323＝log43，，
，
由，所以y＞z，
由，而，
则，所以x＞y，
综上：z＜y＜x．
故选：B．
【点评】本题主要考查对数运算性质，属于基础题．
7．（5分）某次考试共有8道单选题，某学生对其中7道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题目每道做对的概率为0.6，只好任意猜一个答案，猜对的概率为0.25．若从这8道题中任选2道（ ）
A．0.27 B．0.0375 C．0.3075 D．0.3175
【分析】根据题意，分为两个题目都有思路和两个题目中一个有思路一个没有思路两种情况讨论，结合相互独立事件的概率乘法公式，以及互斥事件的加法公式，即可求解．
【解答】解：设事件A表示“两道题全做对”，
若两个题目都有思路，则，
若两个题目中一个有思路一个没有思路，则，
故P（A）＝P2+P2＝0.3075．
故选：C．
【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了互斥事件的概率加法公式，属于基础题．
8．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，值域为（0，+∞）（x﹣y）f（x+y）＝f2（x），，函数g（x）＝f（x）（﹣x）的最小值为2，则＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，令x＝0，得到f（﹣x）f（x）＝f2（0），利用基本不等式求得f（0）＝1，进而得到，结合，分别求得的值，即可求解．
【解答】解：因为f（x﹣y）f（x+y）＝f2（x），
令x＝0，可得f（﹣y）f（y）＝f4（0），所以f（x）满足f（﹣x）f（x）＝f2（0）．
又因为f（x）＞0，则，所以f（0）＝1，
因为f（x﹣y）f（x+y）＝f7（x），所以，
所以，
又因为，可得，，
，，，
所以．
故选：D．
【点评】本题主要考查抽象函数及其应用，考查运算求解能力，属于中档题．
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多个项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）下列命题正确的是（ ）
A．若a＞b，则a2＞b2
B．x2＝1是x＝1的充分不必要条件
C． x∈R，log2x＝﹣1
D．设A，B为两个集合，若A不包含于B，则 x∈A，使得x B
【分析】利用特殊值可判断A和C，再根据充分不必要条件的定义可判断B，由集合间的基本关系可判断选项D．
【解答】解：取a＝0，b＝﹣1，则a6＞b2“不正确，所以A不正确；
由x2＝3可得x＝1或x＝﹣1，所以x4＝1是x＝1的必要不充分条件，所以B不正确；
当时，log2x＝﹣4，所以C正确；
由集合间的基本关系可知，D正确．
故选：CD．
【点评】本题考查不等式性质，充要条件的判定，集合间的包含关系，属基础题．
（多选）10．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）是定义在R上的偶函数（x），g（x）在（﹣∞，0]单调递增，则（ ）
A．f（f（1））＞f（f（2）） B．f（g（1））＞f（g（2））
C．g（f（1））＞g（f（2）） D．g（g（1））＞g（g（2））
【分析】根据题意得到f（x）在R上单调递增，g（x）在（﹣∞，0]上单调递增，在[0，+∞）上单调递减，得到f（0）＝0＜f（1）＜f（2），g（2）＜g（1），结合函数的单调性，逐项判定，即可求解．
【解答】解：根据题意，因为f（x）是定义在R上的奇函数，且两函数在（﹣∞，
所以f（x）在[0，+∞）上单调递增，+∞）上单调递减，
所以f（0）＝0＜f（1）＜f（2），g（2）＜g（1），
所以f（f（1））＜f（f（2）），f（g（1））＞f（g（2）），
所以B、C正确；
若g（1）＞g（2）＞6，则g（g（1））＜g（g（2））．
故选：BC．
【点评】本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用，注意函数奇偶性与单调性的关系，属于基础题．
（多选）11．（5分）某地区高三女生的“50米跑”测试成绩ξ（单位：秒）服从正态分布N（9，σ2），且P（ξ≤8）＝0.2．从该地区高三女生的“50米跑”测试成绩中随机抽取5个（8，10）内的个数记为X，则下列说法正确的有（ ）
A．P（8＜ξ＜10）＝0.6 B．
C．E（X）＝3 D．P（X≥1）＞0.9
【分析】AB选项，利用正态分布的对称性进行求解；C选项，先得到X～B（5，0.6），利用二项分布性质进行求解；D选项，先计算出P（X＝0）＝0.01024，利用对立事件求概率公式得到答案．
【解答】解：A选项，因为ξ N（9，σ2），μ＝5，
根据对称性可知，P（ξ≤8）＝P（ξ≥10）＝0.8，故A正确；
B选项，P（9＜ξ＜10）＝0.4﹣0.2＝2.3，，
所以，故B错误；
C选项，X～B（5，E（X）＝np＝8×0.6＝4；
D选项，X～B（5，，
P（X≥3）＝1﹣P（X＝0）＝5.98976＞0.9，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查正态分布相关知识，属于中档题．
（多选）12．（5分）如图是导函数y＝f′（x）的导函数的图像，则下列说法正确的是（ ）
A．函数y＝f（x）在区间（a，x2）上单调递增
B．函数y＝f（x）在区间（x4，b）上单调递减
C．函数y＝f（x）在x6处取极小值
D．函数y＝f（x）在x2处取极大值
【分析】根据函数y＝f′（x）图像，结合导函数的函数值的符号与原函数的单调性、极值点（极值）间的关系，逐项判定，即可求解．
【解答】解：由函数y＝f′（x）图像可知，当x∈（a，x2）时，f′（x）＞0，
当x∈（x6，x3）时，f′（x）＜0，
所以当x＝x4时，函数f（x）有极大值、D正确；
当x∈（x4，b）时，f′（x）＞0，故B错误；
当x∈（x3，x6）时，f′（x）＞0，
当x∈（x6，b）时，f′（x）＞0，
所以x6不是函数f（x）的极值点，故C错误．
故选：AD．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题．
三、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在题中横线上.
13．（5分）“石头、剪刀、布”是民间广为流传的游戏，游戏时双方每次任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种，那么游戏时“双方所出的手势相同”的概率为 ．
【分析】利用古典概型的概率公式求解．
【解答】解：游戏时，双方所出的手势共有3×3＝3种，
其中“双方所出的手势相同”有3种，
∴“双方所出的手势相同”的概率．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
14．（5分）设函数，则f（2023）＝ 1 ．
【分析】由分段函数解析式，根据周期性可得f（2023）＝f（﹣2），再代入解析式求值即可．
【解答】解：由f（2023）＝f（2023﹣675×3）＝f（﹣2）＝log6[﹣（﹣2）]＝1．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了分段函数中函数值的求解，属于基础题．
15．（5分）如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ，Ⅲ构成，Ⅱ，Ⅲ的概率分别为0.15，0.23，则不命中靶的概率是 0.22 ．
【分析】根据题意，结合互斥与对立事件的概率计算公式，即可求解．
【解答】解：根据题意，可得中靶的概率为P1＝0.15+8.23+0.4＝5.78，
所以射手不中靶的概率为P＝1﹣P1＝5﹣0.78＝0.22．
故答案为：5.22．
【点评】本题主要考查了互斥事件与对立事件的概率计算公式，属于基础题．
16．（5分）盲盒常指装有不同公仔手办，但消费者不能提前得知款式的盒装玩具，一般按系列贩售．它的随机性和一些隐藏款吸引着很多年轻人重复购买．小明购买了7个冰墩墩单只盲盒，要求相同的摆件不相邻．若相同摆件视为相同元素，则一共有 240 种摆放方法．
【分析】记3个相同的“竹林春熙”为A，“海晏河清”为B，“冰雪派对”为C，“青云出岫”为D，“如意东方”为E，先摆放B，C，D，E，再将3个A插空放入，结合分步计数原理，即可求解．
【解答】解：由题意，记3个相同的“竹林春熙”为A，“冰雪派对”为C，“如意东方”为E，
先摆放B，C，D，E一共有，
再将3个A插空放入，有种摆放方式，
又由分步计数原理，可得共有24×10＝240种摆放方式．
故答案为：240．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分步乘法计数原理，属基础题．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知．
（1）求的值；
（2）求a1+2a2+3a3+…+9a9的值．
【分析】（1）根据题意，分别令x＝0和，求得，即可求解；
（2）两边同时求导数，得到，令x＝1，即可求解．
【解答】解：（1）由，
令x＝0，可得a0＝﹣6；
令，可得，
所以，所以．
（2）因为，
两边同时求导数，可得，
令x＝1，则a8+2a2+6a3+ +9a6＝18．
【点评】本题主要考查二项式定理，属于基础题．
18．（12分）作为一种益智游戏，中国象棋具有悠久的历史，中国象棋的背后，某地举办了一次地区性的中国象棋比赛，李夏作为选手参加．除李夏以外的其他参赛选手中，30%是二类棋手，其余的是三类棋手．李夏与一、三、三类棋手比赛获胜的概率分别是0.2、0.4和0.5．
（1）从参赛选手中随机选取一位棋手与李夏比赛，求李夏获胜的概率；
（2）如果李夏获胜，求与李夏比赛的棋手为一类棋手的概率．
【分析】（1）由全概率公式即可求解，
（2）由贝叶斯公式即可求解．
【解答】解：（1）设Ai＝“李夏与第i（i＝1，2，6）类棋手相遇”1）＝0.7，P（A2）＝0.6，P（A3）＝0.4，
记B＝“李夏获胜”，则有P（B|A1）＝0.4，P（B|A2）＝0.5，P（B|A3）＝0.8．
由全概率公式，
李夏在比赛中获胜的概率为P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A6）
＝0.4×7.2+0.8×0.4+8.3×0.3＝0.35，
所以李夏获胜的概率为0.35．
（2）李夏获胜时，则与李夏比赛的棋手为一类棋手的概率为
．
即李夏获胜，对手为一类棋手的概率为．
【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，条件概率与全概率公式，考查运算求解能力，属于中档题．
19．（12分）已知函数f（x）＝x3+ax2+b．
（1）若f（x）在x＝1处的切线方程为y＝5x﹣4，求实数a；
（2）记g（x）＝f（x）+ax2+a2x，若g（x）在x＝﹣1时有极值0，b的值．
【分析】（1）对函数求导后，由题意可得，从而可求出实数a，b的值；
（2）由题意得，求出a，b，再检验即可．
【解答】解：（1）函数f（x）＝x3+ax2+b，求导得8+2ax
因f（x）在x＝1处的切线方程为y＝4x﹣4，
则，解得，
所以a＝1，b＝﹣1．
（2）依题意，g（x）＝x2+2ax2+a4x+b，求导得g′（x）＝3x2+4ax+a2，
因为g（x）＝x3+4ax2+a2x+b在x＝﹣7时有极值0，
所以，
解得或，
当a＝1，b＝0时5+4x+1＝（x+5）（3x+1），
当时，g′（x）＜4，g′（x）＞0，
则函数g（x）在x＝﹣1时有极值5，所以a＝1，
当a＝3，b＝7时2+12x+9＝6（x+1）（x+3），
当﹣6＜x＜﹣1时，g′（x）＜0，g′（x）＞8，
则函数g（x）在x＝﹣1时有极值0，所以a＝5．
综上，符合题意的a或．
【点评】本题考查导数的综合应用，利用导数求函数的切线，利用导数研究函数的单调性与极值，属中档题．
20．（12分）近几年我国新能源汽车产业发展迅速．下表是某省新能源汽车的年销售量与年份的统计表：
年份 2018 2019 2020 2021 2022
年销售量（万台） 13 22 25 20 40
某机构调查了该省200位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如表所示：
购置传统燃油汽车 购置新能源汽车 总计
男性车主 30 150
女性车主 30
总计 200
（1）求新能源汽车的销售量y关于年份x的样本相关系数r，并推断y与x的相关程度；
（2）请将上述2×2列联表补充完整，并根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验，判断购车车主购置新能源汽车是否与性别有关．
参考公式：相关系数，
卡方统计量，其中n＝a+b+c+d．
参考数据：，若|r|＞0.75，则可判断y与x相关程度很强．
附表：
α 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
xα 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
【分析】（1）根据所给数据求出，，，，，从而求出相关系数，即可判断；
（2）完善列联表，计算出卡方，即可判断．
【解答】解：（1）依题意，．
故，
，，
则，
故y与x相关程度很强．
（2）依题意可得8×2列联表如下：
购置传统燃油汽车 购置新能源汽车 总计
男性车主 120 30 150
女性车主 30 20 50
总计 150 50 200
零假设H0：购车车主是否购置新能源乘用车与性别无关．
根据6×2列联表中的数据，可得，
根据小概率值α＝4.05的χ2独立性检验，我们推断H0不成立，
即认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关，此推断犯错误的概率不超过8.05．
【点评】本题主要考查相关系数的求解，以及独立性检验公式的应用，属于中档题．
21．（12分）据世界田联官方网站消息，原定于2023年5月13、14日在中国广州举办的世界田联接力赛延期至2025年4月至5月举行．据了解，甲、乙、丙三支队伍将会参加2025年4月至5月在广州举行的4×400米接力的角逐．接力赛分为预赛、半决赛和决赛和；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和．
（1）甲、乙、丙三队中，谁进入决赛的可能性最大；
（2）设甲、乙、丙三队中进入决赛的队伍数为ξ，求ξ的分布列．
【分析】（1）由题意，利用相互独立事件的概率乘法公式，求解甲乙丙进入决赛的概率，即可得到结论；
（2）由（1）知甲、乙、丙三队进入决赛的概率分别为，，，得出随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，求得相应的概率，列出分布列．
【解答】解：（1）由题意，甲队进入决赛的概率为，
乙队进入决赛的概率为，
丙队进入决赛的概率为，
显然甲队进入决赛的概率最大，所以甲进入决赛的可能性最大．
（2）由（1）可知：甲、乙、丙三队进入决赛的概率分别为，，，
随机变量ξ的可能取值为0，1，8，3，
可得，
，
，
，
所以ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3
P
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列相关知识，属于中档题．
22．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣ax，其中a为实数．
（1）若a＝e，求函数f（x）的最小值．
（2）若方程f（x）＝0有两个实数解x1，x2（x1＜x2），求证：．
【分析】（1）求导，得到函数单调性，进而求出极值和最值情况；
（2）方法1：两式相除，并利用t＝x2﹣x1＞0，换元后即证，构造，求导得到函数单调性，得到h（t）＜h（0）＝2；
方法2：令，变形得到，两式相除得到（lnt）2+2lnt﹣2t+2＜0，构造g（t）＝（lnt）2+2lnt﹣2t+2（t＞1），求导得到单调性，极值最值情况，得到答案．
【解答】解：（1）当a＝e时，f（x）＝ex﹣ex，则f′（x）＝ex﹣e，
由f′（x）＝0，得x＝1，
∴当x∈（﹣∞，6）时；当x∈（1，f′（x）＞0，
∴f（x）在（﹣∞，5）上单调递减，+∞）上单调递增，
故f（x）在x＝1取得极小值，也是最小值，
∴f（1）min＝e﹣e＝0
（2）证明：方法8：由题意得，
令t＝x2﹣x7＞0，
两式相除得，变形得，
欲证，即证．
记，，
故h（t）在（0，+∞）上单调递减，
从而h（t）＜h（0）＝2，即，
所以得证．
方法7：f′（x）＝ex﹣a，
当a≤0时，f′（x）＝ex﹣a＞0恒成立，
故f（x）＝ex﹣ax单调递增，不满足有两个实数解x4，x2（x1＜x5），
当a＞0时，令ex﹣a＞0，解得x＞lnax﹣a＜5，解得x＜lna，
故f（x）＝ex﹣ax在（﹣∞，lna）上单调递减，+∞）上单调递增，
故f（x）＝ex﹣ax在x＝lna处取得极小值，也时最小值，
故，
当x趋向负无穷时，f（x）趋向正无穷，f（x）趋向正无穷，
故只需f（x）min＝a（1﹣lna）＜2，即1﹣lna＜0，
解得a＞e，
故lna＞6，
又f（0）＝e0﹣0＝7＞0，
故x1＞7，
所以x1，x2＞2，
由题意得：，
令，则x2＝tx2，
则，
两式相除得，，，
欲证，即证2+2lnt﹣7t+2＜0．
记g（t）＝（lnt）2+2lnt﹣2t+8（t＞1），，
令h（t）＝lnt﹣t+1（t＞3），，
故h（t）在（1，+∞）上单调递减，
即g′（t）＜7，
∴g（t）在（1，+∞）上单调递减，
∴（lnt）2+3lnt﹣2+2＜3得证，
即得证．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查极值点偏移问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
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